Vektor pada Dimensi 3

1. Vektor pada Dimensi
Tiga
“Geometri Analitik Ruang”
Oleh: Firzha Sururi Naufal
180101040636

2. 1. Pengertian Vektor
vektor dapat diartikan bebagai besaran yang memiliki nilai dan arah
Notasi vektor dinyatakan dengan huruf kecil dengan tanda anak panah di atasnya, atau
dengan menyatakan titik awal dan akhirnya yang disertai tanda panah.
Pada gambar tersebut vektor ini tersebut dapat dinotasikan dengan 𝑎 atau 𝐴𝐵 . Titik A
adalah titik pangkal vektor dan berujung di titik B

3. 2. Vektor Posisi
Jika kita melekan titik pangkal vector 𝑎 pada titik awal sistem koordinat, kemudian titik
ujungnya berada pada titik yang memiliki koordinat 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , maka vektor 𝑎 dapat
dituliskan menjadi 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 .Vektor 𝑎 = 𝑂𝑃 inilah yang disebut vektor posisi dari titik
𝑃 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 . Seperti gambar di dibawah

4. 2. Vektor Posisi
Pada representasi lain jika vektor 𝐴𝐵 memiliki titik pangkal A 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 dan titik ujung
B 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 . Kita ketahui bahwa 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑎1, 𝑦2 = 𝑦1 + 𝑎2, 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑎3. (perhatikan
gambar3). Sehingga kita peroleh jika vektor posisi untuk vektor 𝐴𝐵 adalah:
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 = [𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 −𝑦1, 𝑧2−𝑧1]

5. Contoh Vektor Posisi
Tentukan vektor posisi dari titik pangkal (A) ke titik ujung (B)berikut:
1. A(0,0,0) dan B(-2,1,1)
2. A(2,-3,4) dan B(-2,1,1)
Penyelasaian:
1. 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 −𝑦1, 𝑧2 −𝑧1 = −2 − 0,1 − 0,1 − 0 = [−2,1,1]
2. 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 −𝑦1, 𝑧2 −𝑧1 = −2 − 2,1 − −3 , 1 − 4 = [−4,4, −3]

6. 3. Operasional Vektor
Jika terdapat dua buah vektor yang berbeda terdapat beberapa teknik operasional
vektor yang dapat dilakukan. Misal dketahui vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 dan c sebagai
suatu skalar, maka aturan operasional vektornya adalah:
• 𝒂 + 𝒃 = 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐, 𝒃 𝟑 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏, 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐, 𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟑
• 𝒂 − 𝒃 = 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑 − 𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐, 𝒃 𝟑 = 𝒂 𝟏 − 𝒃 𝟏, 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐, 𝒂 𝟑 − 𝒃 𝟑
• 𝒄𝒂 = 𝒄 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑 = 𝒄𝒂 𝟏, 𝒄𝒂 𝟐, 𝒄𝒂 𝟑

7. Contoh Operasional Vektor
Jika Vektor 𝑎 = [3,0,4] dan 𝑏 = [−3,1,5], maka tentukan
1. 𝑎 + 𝑏
2. 2 𝑎 − 5𝑏
Penyelesaian:
1. 𝑎+𝑏=[3,0,4]+[-3,1,5]=[3+(-3),0+1,4+5]=[0,1,9]
2. 2 𝑎 − 5𝑏=2[3,0,4]−5[−3,1,5]=[6,0,8]−[−15,5,25]=[6−(−15),0−5,8−25]=[21,−5,−17]

8. 3. Operasional Vektor
Adapun panjang vektor, dinotasikan dengan 𝑎 dapat dihitung
sebagaimana menghitung panjang segmen garis, yaitu:
𝒂 = 𝒂 𝟏
𝟐
+ 𝒂 𝟐
𝟐
+ 𝒂 𝟑
𝟐

9. Contoh Operasional Vektor
Jika Vektor 𝑎 = [3,0,4] dan 𝑏 = [−3,1,5] Tentukan 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏
Penyelesaian:
𝑎 = 𝑎1
2
+ 𝑎2
2
+ 𝑎3
2
= 32 + 02 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
𝑏 = 𝑏1
2
+ 𝑏2
2
+ 𝑏3
2
= (−3)2+12 + 52 = 9 + 1 + 25 = 35

10. Hukum-Hukum Aljabar Vektor
Jika diketahui 𝑎, 𝑏, 𝑎 adalah vektor serta c dan d adalah bilangan skalar maka berlaku aturan-aturan vektor sebagai
berikut:
• 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂
• 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
• 𝒂 + 𝟎 = 𝒂
• 𝒄 𝒂 + 𝒃 = 𝒄𝒃 + 𝒄𝒂
• 𝒄 + 𝒃 𝒂 = 𝒄𝒂 + 𝒄𝒃
• 𝒄𝒅 𝒂 = 𝐜(𝐝𝒂)
• 𝟏𝒂 = 𝒂

11. 4. Vektor Satuan
Suatu vektor disebut vektor satuan jika panjangnya satu satuan. Jika diketahui vektor 𝑎
dengan panjang vector 𝑎 ≠ 0 maka
𝑎
𝑎
adalah suatu vektor satuan yang searah dengan 𝑎.
Penggunaan vektor satuan dapat sangat berguna untuk penulisan vektor dalam bentuk
linear. Hal yang perlu diketahui adalah:
• vektor satuan 𝒊 adalah vektor dengan titik awal (0, 0, 0) dan searah dengan sumbu x
positif.
• vektor satuan 𝒋 adalah vektor dengan titik awal (0, 0, 0) dan searah dengan sumbu y
positif.
• vektor satuan 𝒌 adalah vektor dengan titik awal (0, 0, 0) dan searah dengan sumbu z
positif.

12. 4. Vektor Satuan
ketiga vektor tersebut tadi dapat dituliskan menjadi:
𝒊 = 𝟏 𝒊 + 𝟎 𝒋 + 𝟎𝒌
𝒋 = 𝟎 𝒊 + 𝟏 𝒋 + 𝟎𝒌
𝒌 = 𝟎 𝒊 + 𝟎 𝒋 + 𝟏𝒌
Vektor satuan 𝑖, 𝑗 dan 𝑘 inilah yang dapat digunakan untuk menuliskan vektor-vektor lainnya
dalam bentuk linear.

13. Contoh Vektor Satuan
Tuliskan Vektor-vektor di bawah ke dalam bentul linear.
1. 𝑎 = 2,1,1 = 2 𝑖+ 𝑗+𝑘
2. 𝑏 = −3,6,7 = −3 𝑖 + 6 𝑗 + 𝑘
3. 𝑐 = 2,3, −3 = 2 𝑖 + 3 𝑗 − 3𝑘

14. 5. Hasil Kali Titik (Dot Product)
Jika dua buah vektor dilakukan operasi perkalian, maka operasional vektor tersebut akan
memenuhi suatu aturan tertentu. Diantaranya adalah aturan perkalian titik (Dot Product).
Aturan ini didefin- isikan sebagai berikut.
Definisi
Jika 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 dan 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 , selanjutnya hasil kali titik dari vektor 𝑎 dan 𝑏 adalah
sebuah skalar yang dinyatakan oleh:
𝒂. 𝒃 = 𝒂 𝟏 𝒃 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒂 𝟑 𝒃 𝟑

15. 5. Hasil Kali Titik (Dot Product)
Adapun dalam interpretasi geometri, hasil kali titik ini dapat diterapkan untuk
menghitung nilai sudut antara dua buah vektor.
Jika dua buah vektor (dinotasikan sebagai 𝑎 dan 𝑏) serta 𝜃 adalah sudut
diantara keduanya dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Maka:
𝒂. 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝜽

16. Contoh Hasil Kali Titik (Dot Product)
1. Tentukan hasl kali dari 𝑚 = 1,1, −1 dan 𝑛 = −4,3,6 .
2. Tentukan sudut yang terbentuk dari vektor 𝑎 = 2,2, −1 dan 𝑏 =
[5, −3,2]
Penyelesaiaanya:
1. 𝑚. 𝑛 = 𝑚1 𝑛1 + 𝑚2 𝑛2 + 𝑚3 𝑛3 = 1 −4 + 1 3 + −1 6
= −4 + 3 − 6 = −7

17. Contoh Hasil Kali Titik (Dot Product)
2. Untuk menentukan sudut yang terbentu kita menggunakan aturan perkalian
titik yaitu 𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃 pertama cari
𝑎. 𝑏 = 2 5 + 2 −3 + −1 2 = 2
𝑎 = 𝑎1
2
+ 𝑎2
2
+ 𝑎3
2
= 22 + 22 + (−1)2= 9 = 3
𝑏 = 𝑏1
2
+ 𝑏2
2
+ 𝑏3
2
= 52 + (−3)2+22 = 38

18. Contoh Hasil Kali Titik (Dot Product)
Sehingga diperoleh
𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
cos 𝜃 =
𝑎. 𝑏
𝑎 𝑏
=
2
3 38
𝜃 = cos−1
2
3 38
= 84°

19. 6. Hasil Kali Silang (Cross Product)
Hasil kali silang adalah operasi perkalian dua buah vektor yang menghasilkan
vektor kembali. Inilah yang membedakan dengan hasil kali titik dimana
hasilnya berupa skalar.
Definisi: Jika 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 dan 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 adalah vektor, maka
perkalian 𝑎 × 𝑏 (dibaca: a kros b) didefinisikan sebagai:
𝒂 × 𝒃 = 𝒂 𝟐 𝒃 𝟑 − 𝒂 𝟑 𝒃 𝟐, 𝒂 𝟑 𝒃 𝟏 − 𝒂 𝟏 𝒃 𝟑, 𝒂 𝟏 𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒃 𝟏

20. 6. Hasil Kali Silang (Cross Product)
Definisi hasil kali silang ini akan lebih mudah dipahami dan di- ingat dalam bentuk
bentuk determinan matriks. Jika Kedua vektor tersebut dituliskan dalam bentuk
linear menjadi 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘, maka:
𝑎 × 𝑏 =
𝑎2 𝑎3
𝑏2 𝑏3
𝑖 +
𝑎1 𝑎3
𝑏1 𝑏3
𝑗 +
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
𝑘
𝑎 × 𝑏 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3

21. Contoh Hasil Kali Silang (Cross Product)
Tentukan vektor dari 𝑎 = 2,3,4 dan 𝑏 = 2,7, −5
Penyelesaiannya:
𝑎 × 𝑏 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 3 4
2 7 −5
𝑎 × 𝑏 =
3 4
7 −5
𝑖 +
2 4
2 −5
𝑖 +
2 3
2 7
𝑘
𝑎 × 𝑏 = −43,18,8

22. Terima Kasih
Oleh:
Firzha Sururi Naufal (180101040636)
Kelas B PMTK 2018
Dosen:
Azis Muslim, M. Pd

23. “Learning never exhausts the mind”
(Leonardo Da Vinci)