PENDAHULUAN Mekanika merupakan cabang ilmu fisika yang berhubungan dengan benda, yaitu ilmu yang mempelajari gerak benda, baik benda yang diam (statis) maupun benda yang bergerak (kinematika dan dinamika). Kinematika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda tanpa memperhatikan penyebab gerak benda tersebut, sedangkam dinamika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda dengan memperhatikan atau memperhitungkan penyebab gerak benda tersebut. Masalah mekanika merupakan hal yang cukup penting dalam perkembangan ilmu fisika untuk kita pelajari karena masalah mekanika sangat erat kaitannya dengan peristiwa yang tejadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Sebagaimana kita ketahui bahwa fisika merupakan ilmu yang mempelajari gejala alam yang dapat diamati dan diukur, dan kasus mekanika merupakan salah satu gejala alam yang dapat diamati dan diukur. Dalam perkembangannya, mekanika dibagi dalam menjadi dua yaitu mekanika klasik dan mekanika kuantum. Mekanika klasik dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak dengan kecepatan jauh dibawah kecepatan cahaya, sedangkan mekanika kuantum dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya. MEKANIKA LAGRANGE Mekanika Lagrange merupakan suatu metode penyelesaian persoalan mekanika yang tidak mudah diselesaikan dengan Mekanika Newton. Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat kartesian, koordinat polar atau koordinat silinder. Dimisalkan jika suatu partikel bergerak dalam suatu bidang (memiliki derajat kebebasan 2 yaitu sumbu x dan y), dalam suatu ruang (memiliki derajat kebebasan 3 yaitu sumbu x, y, dan z). Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3 N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan: q_1,q_2,…,q_n yang disebut dengan koordinat umum (generalized coordinates). Koordinat q_k dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya (holonomic). Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut. Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya

1. PENDAHULUAN
Mekanika merupakan cabang ilmu fisika yang berhubungan dengan benda, yaitu ilmu yang
mempelajari gerak benda, baik benda yang diam (statis) maupun benda yang bergerak (kinematika
dan dinamika). Kinematika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda tanpa
memperhatikan penyebab gerak benda tersebut, sedangkam dinamika merupakan ilmu fisika yang
mempelajari gerak suatu benda dengan memperhatikan atau memperhitungkan penyebab gerak
benda tersebut. Masalah mekanika merupakan hal yang cukup penting dalam perkembangan ilmu
fisika untuk kita pelajari karena masalah mekanika sangat erat kaitannya dengan peristiwa yang
tejadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Sebagaimana kita ketahui bahwa fisika merupakan ilmu
yang mempelajari gejala alam yang dapat diamati dan diukur, dan kasus mekanika merupakan
salah satu gejala alam yang dapat diamati dan diukur.
Dalam perkembangannya, mekanika dibagi dalam menjadi dua yaitu mekanika klasik dan
mekanika kuantum. Mekanika klasik dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak dengan
kecepatan jauh dibawah kecepatan cahaya, sedangkan mekanika kuantum dititik beratkan pada
benda-benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya.
MEKANIKA LAGRANGE
Mekanika Lagrange merupakan suatu metode penyelesaian persoalan mekanika
yang tidak mudah diselesaikan dengan Mekanika Newton. Posisi sebuah partikel dalam l ruang
dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat kartesian,
koordinat polar atau koordinat silinder. Dimisalkan jika suatu partikel bergerak dalam suatu bidang
(memiliki derajat kebebasan 2 yaitu sumbu x dan y), dalam suatu ruang (memiliki derajat
kebebasan 3 yaitu sumbu x, y, dan z). Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka
diperlukan paling kurang 3 N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum,
terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem.
Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan:
𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞 𝑛
yang disebut dengan koordinat umum (generalized coordinates). Koordinat 𝑞 𝑘 dapat saja berupa
sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya (holonomic). Jumlah
koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.
Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah
secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil
dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu
contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar.
Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk

2. menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini,
koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut
menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita
akan membatasi diri pada sistem holonomic.
Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat umum lebih mudah diungkapkan dengan
menggunakan koordinat Kartesius:
𝑥 = 𝑥(𝑞) (satu derajat kebebasan – gerak pada sebuah kurva)
𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2) (dua derajat kebebasan – gerak pada sebuah permukaan)
𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3)
𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3)
𝑧 = 𝑧(𝑧1, 𝑧2, 𝑧3)
Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat
umum, kecepatan umum, dan waktu. Waktu berpengaruh dalam persamaan Lagrange dikarenakan
persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum
mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya persamaan Lagrange sama dengan persamaan Newton
jika diasumsikan koordinatnya adalah koordinat kartesian. Mekanika Lagrange digunakan dalam
sebuah pendekatan yang lebih efektif dalam mencari persamaan gerak suatu sistem. Joseph Louis
Lagrange adalah seorang ilmuan Prancis yang pertama kali mengembangkan metode ini. Pada
dinamika Lagrangian persamaan geraknya hanya ditinjau dari energi kinetik (T) dan energi
potensialnya (V). Hal ini karena setiap partikel yang bergerak terikat dengan energi kinetik
(partikel bergerak dengan kecepatan) kemudian terikat dengan energi potensial (posisi partikel
terhadap suatu ketinggian). Karena energi adalah besaran skalar, maka energi bersifat invarian
terhadap transformasikoordinat. Pendekatan Newtonian akan rumit jika diterapkan pada keadaan
ini. Persamaan Lagrangian ditunjukan dengan persamaan:
L = T – V
(diman T dan V merupakan fungsi 𝑞̇ 𝑘atau 𝑞 𝑘)
Sehingga dapat dilakukan defferensiasi sebagai berikut:
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
-
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑘
= 0
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
=
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑘
(tiga derajat kebebasan – gerak pada ruang)

3. Contoh dalam penggunaan persamaan Lagrange adalah osilator harmonik, pendulum
sederhana, dan mesin atwood.
Sumber:
http://asikphysics.blogspot.com/2011/01/sejarah-fisika-dalam-mekanika.html
http://www.academia.edu/8142053/Mekanika_Lagrangian