Metode Lagrangean merupakan pengembangan mekanika klasik yang menggunakan konsep energi total (kinetik dan potensial) sebagai kuantitas fisisnya dalam menjelaskan gerak partikel, berbeda dengan pendekatan gaya pada mekanika Newtonian. Persamaan Lagrangean didefinisikan sebagai selisih antara energi kinetik dan potensial suatu sistem, dan dapat digunakan untuk memecahkan masalah kinematika gerak partikel.

1. METODE LAGRANGEAN DALAM PENGEMBANGAN
MEKANIKA KLASIK
Nama : Dzaki Aminudin Alfaruqi
NIM : M0213026
A. Pendahuluan
Persamaan gerak partikel yang dinyatakn dengan persamaan Lagrangean
dapat diperoleh dengan meninjau total energi partikel tersebut yang terdiri dari
energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang
dilakukan partikel. Energi kinetik partikel dalam kardinat kartesian merupakan
fungsi dari waktu sedangkan untuk energi potensial dalam medan konservatif
merupakan fungsi dari posisi. Sehingga secara umum persamaan lagrangean dapat
didefinisikan sebagai selisih beda antara energi kinetik dan energi potensial.
Persamaan lagrangean merupakan bentuk pengembangan mekanika klasik,
dalam mekanika klasik sebelumnya dikenal persamaan newtonian yang
menjelaskan persamaan gerak suatu benda juga. Namun, persamaan newtonian
memiliki kelemahan dalam penjelasannya untuk gerak suatu partikel. Persamaan
Newtonian meninjau gerak partikel yang terhambat oleh suatu permukaan bidang
maka memunculkan gaya tertentu yakni gaya konstan yang bekerja
mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang, permasalahan
untuk persamaan Newtonian timbul ketika digunakan untuk penyelesaian konsep
gerak partikel yang gaya konstan partikel tidak diketahui. Dalam penyelesaian
permasalahan diatas persamaan Newtonian tidak berlaku karena tinjauan yang
digunkan adalah gaya konstan sedangkan pendekatan newton memerlukan
informasi gaya total yang bekerja pada partikel, termasuk juga gaya konstannya.
Oleh karena itu, perlu pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang
merupakan karakteristik partikel seperti energi totalnya. Pendekatan ini
menggunakan konsep Hamilton, dimana persamaan Lagrangean yakni persamaan
umum dinamika partikel dapat diturunkan oleh prinsip tersebut.

2. Dalam perbedaaannya mekanika Newtonian, konsep gaya digunakan sebagai
kuantitas fisisnya dalam peninjauan terhadap gerak suatu partikel. Sedangkan
dinamika Lagrangian, kuantitas fisis yang ditinjau adalah energi kinetik dan
energi potensial partikelnya. Hal tersebut memiliki keuntungan karena energi
merupakan besaran skalar maka bersifat invarian terhadap transformasi kordinat.
Dalam kondisi tertentu, terdapat kesulitan dalam menyatakan gerak partikel
dalam kuantitas fisisnya sebagai gaya dan pendekatan konsep newton menjadi
tidak mungkin untuk penyelesaiannya . olekh karena itu, perkembangan dari
mekanika klasik, konsep hamilton dan persamaan turunannya yaitu persamaan
lagrangean berperan penting dalam tinjauan gerak partikel karena kuantitas
fisisny adalah energi partikel yang merupakan besaran skalar.
B. Metode Lagrangean
Mekanika lagrangian merupakan bentuk pengembangan dari mekanika klasik
yang pertama kali dikemukakan Joseph Louis lagrange pada tahun 1788. Dalam
mekanika lagrangean, gerak benda ditinjau berdasarkan pada kuantitas fisis energi
kenetik dan energi potensialnya. Energi potensial yang dalam medan gaya
konservatif adalah fungsi dari posisi dan energi kinetik dalam kordinat kartesian
merupakan fungsi dari kecepatan. Persamaan lagrangean merupakan turunan dari
konsep hamiltonian seperti yang telah disebutkan, namun dapat dijabarkan dalam
konteks berikut. Persamaan diferensial gerak partikel yang dinyatakan dalam
koordinat rapatan dapat di tuliskan
𝐹 = 𝑚𝑥̈
Untuk lebih sederhana maka selanjutnya persamaan diatas dinyatakan dalam
q. Persamaan Lagrangean adalah selisih energi kinetik dan energi potensial maka
selanjutnya kita gunakan definisi tersebut dalam penjabaran persamaan
Lagrangean. Energi kinetik dalam bentuk kardinat kartesian maka selanjutanya
dinyatakan dalam bentuk koordinat rapatan dan turunannya terhadap waktu atau
dapat di notasikan

3. 𝑇 = ∑
1
2
𝑚(𝑥2̇ + 𝑦2̇ + 𝑧2̇ )𝑘
𝑛=1 .
𝑇 = ∑
1
2
𝑘
𝑛=1 𝑚 𝑖 𝑥̇ 2
𝑖
.
Jika koordinat x dan q mengandung fungsi waktu secara eksplisit maka
𝑥
𝑖=∑
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑞 𝑖
𝜕 𝑞 𝑖+
𝜕𝑥 𝑖
𝜕 𝑡 𝑖
𝑘
𝑛=1
.
I adalah jumlah partikel dalam sistem. Energi kinetik sebagai fungsi koordinat
rapatan turunannya terhadap waktu. Dalam hal ini, waktu (t) diturunkan tidak
secara eksplisit terkait hubungannya antara x dan q sehingga nilai
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑡 𝑖
= 0. Maka
dapat ditulis bahwa energi kinetik (T) merupakan fungsi kuadrat yang homogen
dari kecepatan rapatanya (q).
𝜕𝑥̇ 𝑖
𝜕𝑞̇ 𝑖
=
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑞 𝑖
Jika kedua ruas dikalikan dengan 𝑥̇ 𝑖 dan diturunkan terhadap waktu (t) akan di
peroleh.
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥̇ 𝑖
𝜕𝑥̇ 𝑖
𝜕𝑞̇ 𝑖
) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥̇ 𝑖
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑞 𝑖
).
= 𝑥̈
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑞̇ 𝑖
+ 𝑥̇ 𝑖
𝜕𝑥̇ 𝑖
𝜕𝑞 𝑖
.
Dengan mengkalikan mi dan digunakan persamaan 𝐹 = 𝑚𝑥̈ diperoleh
𝑑
𝑑𝑡
𝜕
𝜕𝑞̇ 𝑘
(𝑚𝑖 𝑥̇2
)
2
= Fi
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑞 𝑖
+
𝜕
𝜕𝑞̇ 𝑘
(𝑚𝑖 𝑥̇2
)
2
.
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇ 𝑘
= ∑ Fi
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑞 𝑖
𝑘
𝑛=1 +
𝜕𝑇
𝜕 𝑞 𝑖
.

4. Dengan menggunakan definisi gaya rapatan diperoleh.
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇ 𝑘
= Qk +
𝜕𝑇
𝜕𝑞 𝑖
.
Persamaan diatas adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam
koordinat rapatan dan dikenal dengan persamaan Lagrangean untuk gerak.
Sedangkan untuk persamaan Lagrangean sebagai koordinat medan yang
konservatif dapat dituliskan.
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇ 𝑘
=
𝜕𝑇
𝜕 𝑞 𝑖
-
𝜕𝑉
𝜕𝑞 𝑖
Namun secara singkat fungsi Lagrangean dalam dituliskan sebagai berikut.
L= T-V
Yang menyatakan T dan V dalam koordinat rapatan. Oleh karena V =V(qi) dan
𝜕𝑉
𝜕𝑞̇ 𝑘
= 0 maka diperoleh.
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
=
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇ 𝑘
dan
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝑖
=
𝜕𝑇
𝜕 𝑞 𝑖
-
𝜕𝑉
𝜕𝑞 𝑖
.
Maka secara umum persamaan Lagrangean dapat dinotasikan
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
=
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝑖
.
Persamaan diatas adalah persamaan yang digunakan untuk gaya-gaya rapatan
yang konservatif, sedangkan untuk gaya-gaya yang tidak konservatif misal
nilainya adalah Qk , maka dapat dituliskan.
Qk = Qk -
𝜕𝑉
𝜕𝑞 𝑖
.
Lalu jika persamaan diatas didefinisikan menjadi fungsi Lagrangean L = T – V ,
dan dituliskan dengan persamaan diferensial gerak

5. 𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
=
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝑖
+ Qk .
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑖
= Qk .
Bentuk persamaan terakhir ini lebih mudah digunakan untuk gaya-gaya
konservatif dan juga jika gaya gesek diperhitungkan.
C. Pembuktian dan pemakaian persamaan Lagrangean
Persamaan Lagrangean digunakan untuk memecahkan masalah-masalah yang
berhubungan dengan kinematika gerak partikel seperti yang telah dijelaskan.
Namun perbedaan dengan persamaan Newtonian adalah pada tinjauan kuatitas
fisisnya yaitu antara gaya untuk tinjauan persamaan Newtonian dan konsep energi
untuk tinjauan persamaan Lagrangean. Jika dalam sebuah kasus terdapat
analitikal gerak maka 2 konsep ini dapat digunakan tergantung permasalahan dan
clue-clue yang diketahui. Berikut prosedur umum pemakaian persamaan
Lagrangean dalam diferensial geral partikel sebuah sistem sebagai berikut.
 Menentukan koordinat yang tepat dalam kumpulan konfigurasi sistem
 Menentukan energi kinetik sebagai fungsi koordinat dan turunannya
terhadap waktu.
 Jika sistem konservatif, menentukan energi potensial V sebagai fungsi
koordinatnya atau sistem jika konservatif maka menentukan koordinat
rapatan Qk.
 Menentukan persamaan diferensial gerak .
D. Kesimpulan
Metode mekanika Lagrangean merupakan hasil pengembangan metode
perhitungan analitikal gerak partikel yang mengacu pada hukum kekekalan
energi. Mekanika Lagrangean didefinisikan sebagai selisih energi kinetik dan
energi potensial pada suatu sistem gerak partikel. Perbedaannya dengan metode
Newtonian adalah pada hal yang ditinjau dalam perhitungan, untuk metode

6. Newtonian tinjauan yang dipakai adalah gaya total yang bekerja pada suatu benda
termasuk didalamnya gaya konstan sedangkan metode Labgrangean tinjauan yang
dipakai adalah selisih energi kinetik dan energi potensial yang dialami suatu
benda yang bergerak.