Dokumen ini membahas tentang Mekanika Lagrangia dan Hamiltonia. Mekanika Lagrangia menggunakan persamaan umum dinamika yang dikembangkan oleh Lagrange untuk menyelesaikan masalah gerak benda, terutama untuk sistem dengan gaya tidak diketahui secara pasti. Mekanika Hamiltonia menggunakan prinsip Hamilton dan koordinat fase untuk menyelesaikan masalah yang sama. Contoh penerapan kedua pendekatan ini diberikan untuk gerak

1. x
MEKANIKA LAGRANGIAN BRENDA
JULICA
M0213018
1. PERSAMAAN LAGRANGE
Apa itu persamaan lagrange ? kenapa muncul persamaan lagrange?
Digunakan untuk apa persamaan lagrange? Dan pertanyaan yang lain akan coba
kita bahas disini.
Untuk pembuka, ada yang sudah tahu tentang hukum newton? hukum
newton sudah sering kita dengar, nah yang amu kita bahas disini perkembangan
lebih efektif dari hukum newton, perkembangan lebih disini maksudnya Hukum
Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda
diketahui.Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang
tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan
awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda yang bergerak pada sebuah
permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk
gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun
koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan
gayanya diketahui. Disini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih
efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama
dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut
formalisme Lagrange.
Berikut salah satu contoh yang menggunakan persamaan lagrange,
Sebuah benda yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan.
Gambar 1.1
Gerak pada bidang miring dan penggambaran vektornya
1. Dipilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi
sistem.
'x
v
x'

Mx

m

2. Kita memilih koordinat x dan x'
Dimana, x = pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan
x' = pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang
ditunjukkan pada gambar.
Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel
diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus :
 cosxx2xxv 222
''
 .....................................................................(1)
2. Dicari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta
turunannya terhadap waktu.
T adalah energi kinetik
2
2
12222
2
12
2
12
2
1
xM)cosxx2xxmxMmvT   ''
( ...................................(2)
3. Jika sistem tersebut konservatif (tidak bergantung lintasan), dicari energi
potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak
konservatif ( bergantung pada lintasan), dicari koordinat umum Qk.
Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena bidangnya horisontal,
sehingga kita dapat tuliskan :
V=mgx'sin  + tetapan ............................................................................(3)
4. Persamaan deferensial geraknya
2 '2 ' 2 '1 1
2 2L m(x x 2xx cos ) Mx mgx sin tetapan       .................................... (4)
Dimana, M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan
m adalah massa partikel.
Persamaan geraknya

3. x
L
x
L
dt
d





 '' x
L
x
L
dt
d






…...........................................................(5)
sehingga
0xM)cosxxm   '( ;  mgsin)cosxxm  '
( …..................................(6)
Percepatan x dan '
x adalah :




2
cos
m
Mm
cossing
x ;
Mm
cosm
1
sing
'x 2




 …..................................... (7)
2. MEKANIKA HAMILTONIAN
Seperti halnya persamaan lagrange pasti ada pertanyaan-pertanyaan
yang timbul, apa kegunaan hamiltonian apa itu hamiltonian, untuk itu dibahas
dibawah ini.
Untuk pembuka, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat
diketahui, maka pendekatan Newtonian tak berlaku. Sehingga diperlukan
pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan
karakteristik partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan
menggunakan prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni
persamaan umum dinamika partikel dapat diturunkan dari prinsip tersebut.
Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem
dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik
(konsisten dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem
dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara
energi kinetik dengan energi potensial".
Contoh : untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah
pengaruh medan sentral.
Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat
polar sebagai berikut:
)rr(
2
m
T 222
  dan V=V(r) ..................... (8)
Jadi :

4. rm
r
T
pr






m
p
r r
 .............................................. (9)






2
mr
T
p 2
mr
p
 ........................................ (10)
Akibatnya :
)r(V)
r
p
p(
m2
1
H 2
2
2
r  
.............................. (11)
Persamaan Hamiltoniannya:
r
p
H
r



, rp
r
H



, 




p
H
, 


p
H
....................................... (12)
Selanjutnya:
r
m
pr
 ................................................... (13)
r3
2
p
mr
p
r
)r(V


 
.......................................................... (14)
 
2
mr
p
............................................................ (15)
0p   ............................................................ (16)
Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,
2
p kons tan mr mh     .......................................... (17)
Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,
r
)r(V
r
mh
prm 3
2
r


  ....................................(18)
untuk persamaan gerak dalam arah radial.

5. http://www.slideshare.net/7779/persamaan-lagrange-dan-hamilton
http://ach-jubaidi.blogspot.com/2011/12/persamaan-hamilton.html