ini adalah hukum newton dengan pendekatan metode lagrenge

1. Diaz Fatahillah – M0213024
Metode Lagrange
Sebelum menjelaskan lebih juh tentang metode lagrange, kita akan membandingkan metode
lagrangian dengan metode Newtonian. Metode Newton mengacu pada gerak suatu benda yang
memiliki kecepatan tertentu. Kecepatan tersebut dapat dikatakan konstan maupun dapat dikatakan
berubah. Bayangkan sebuah benda yang memiliki massa dipercepat hingga kecepatan tertentu, benda
tersebut akan memiliki suatu besaran yang akan mempengaruhi pergerakan benda tersebut. besaran
tersebut dinamakan dengan gaya. Gaya disimbolkan sebagai berikut.
𝐹 = m𝑎⃑
Dari gaya tersebut, benda akan mengeluarkan suatu energy yang besarnya sebanding dengan massa dan
kuadrat kecepatan benda itu sendiri. Energi tersebut dikatakan sebagai energy kinetik. Energi tersebut
terjadi karena benda yang bergerak memerlukan suatu usaha untuk berpindah dari posisi awal ke posisi
akhir, dari usaha tersebut timbul energi. Usaha disimbolkan sebagai berikut.
𝑊 = 𝐹𝑠
Jika kita integrasikan Usaha terhadap perpindahannya, maka akan menghasilkan energi kinetik. Dimana
energi kinetik disimbolkan sebagai berikut.
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2
Pada suatu saat, benda yang bergerak akan berhenti. Namun terdapat energi lain yang
mempertahankan posisi benda yang diam. energy tersebut dikatakan sebagai energy potensial. Besar
energy potensial hanya dipengaruhi oleh posisi suatu benda dan besar interaksi yang dapat membuat
benda bergerak maupun berhenti(gaya berat maupun konstanta pegas), energy potensial secara umum
disimbolkan sebagai berikut.
𝑈 = 𝑚𝑔ℎ
Pada kasus tertentu, besar energy potensial akan berbeda dengan persamaan diatas. Seperti contoh
sebuah benda yang melekat pada suatu pegas. Besar energy potensial akan dipengaruhi oleh konstanta
pegas. Dimana besar energy potensial adalah
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2
Metode lagrange, memanfaatkan energy kinetic dan energy potensial yang merupakan energy
konservatif, dimana energy tersebut tidak dipengaruhi lintasan benda, namun hanya dipengaruhi titik
awal dan titik akhir suatu benda. bentuk umum dari persamaan lagrange adalah
ℒ = 𝐾 − 𝑈
Jika benda bergerak dari a ke b dan memiliki waktu t0 dan t1, maka terdapat titik kritis yang besarnya

2. 𝑆 = ∫ ℒ 𝑑𝑡
𝑡1
𝑡0
Metode lagrange sendiri menghitung aktivitas dari suatu system. Dimana metode tersebut biasa
digunakan untuk menghitung lintasan terpendek yang mungkin dari suatu system.
Seperti contoh, batu dilemparkan keatas dengan sudut tertentu, batu tersebut akan membentuk gerak
parabola. Pada puncak, besar energy potensial adalah maksimum dan besar energy kinetic yang
minimum. Pada daerah tersebut besar lagrangiannya adalah kecil. Sedangkan didaerah b, besar
lagrangiannya adalah besar. Jika ingin menentukan lintasan terpendeknya, maka akan digunakan jarak
yang terpendek dengan waktu yang sama dari a ke b dengan metode lagrange.
Metode lagrange juga dapat digunakan untuk menentukan persamaan gerak dari suatu system
mekanik. Dengan memanfaatkan karakteristik energy kinetic dan energy potensial, dengan prinsip
D’Alembert. Metode lagrange dapat diubah ke persamaan euler lagrange. Persamaan tersebut
disimbolkan sebagai berikut.
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
) −
𝜕ℒ
𝜕𝑥
= 0
Prinsip D’Alembert merupakan ekspresi dari hukum kedua Newton dalam kondisi dimana besar Usaha
oleh suatu gaya dianggap nol.
Seperti contoh yang sederhana, sebuah pegas yang memiliki kecepatan bergerak dari posisi a ke
posisi b dengan asumsi tidak ada gaya luar yang mempengaruhi, dengan menggunakan metode
lagrange. Dapat ditentukan persamaan geraknya dengan menggunakan persamaan euler lagrange.
ℒ = 𝐾 − 𝑈
ℒ =
1
2
𝑚𝑥̇2
−
1
2
𝑘𝑥2
𝜕ℒ
𝜕𝑥
= 𝑘𝑥
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
= 𝑚𝑥̇
a
b

3. Sehingga,
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
) −
𝜕ℒ
𝜕𝑥
= 0
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑥̇) − 𝑘𝑥 = 0
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑥̇) = 𝑘𝑥
𝑚𝑥̈ = 𝑘𝑥
𝑥̈ =
𝑘𝑥
𝑚
dari penyelesaian diatas, terbukti bahwa percepatan benda adalah gaya per satuan massa. Dimana 𝐹 =
𝑘𝑥 = 𝑚𝑥̈
Buku acuan :
Greiner, Walter.2010.Classical Mechanics:Systems of Particles and Hamiltonian.London:Springer
Marion, Jerry B. and Thornton, Stephen T.Classical Dynamics of Particles and Systems.California:
Thomson Learning