mekanika lagrangian, tugal mekanika semester III

1. MEKANIKA LAGRANGIAN dan PRINSIP HAMILTON
Sebelum mengetahui tentang persamaan gerak dengan lagrangian dan prinsip
Hamilton, terlebih dahulu kita mempelajari tentang Mekanika klasik. Mekanika klasik
menggambarkan dinamika partikel atau sistem partikel. Dinamika partikel demikian, ditunjukkan
oleh hukum-hukum Newton tentang gerak, terutama oleh hukum kedua Newton.
Hukum ini menyatakan, "Sebuah benda yang memperoleh pengaruh gaya atau interaksi
akan bergerak sedemikian rupa sehingga laju perubahan waktu dari momentum sama dengan
gaya tersebut".
𝐹𝐼 = 𝑚𝑥𝑖̈
Persamaan gerak Newton untuk system sederhana dapat dijelaskan dengan mekanika
lagrangian,.
A) Koordinat umum
Posisi sebuah partikel dapat ditentukan dengan tiga koordinat, misalkan 𝑥, 𝑦, 𝑧 dari pusat
massa. Misalnya koordinat diberi symbol 𝑞1, 𝑞2,…., 𝑞 𝑛 sebagai koordinat umum. Pada system
tertentu , jika posisi sebuah partikel dalam sistem adalah fungsi dari variable ini, dan juga
secara rksplisit waktu :
𝑟𝑖 = 𝑟𝑖 ( 𝑞1 , 𝑞2, … .. 𝑞 𝑛, 𝑡) (1.1)
Koordinat 𝑞 𝑛 dapat berupa jarak atau sudut, jika untuk menentukan sebuah system,
sebuah koordinat dapat bervariasi secara independen atau menghapuskan koordinat yang lain
maka system ini disebut holonomic. Jika penghapusan ini memperkenalkan fungsi eksplisit
waktu, system dikatakan terpaksa.
Jika system berupa partikel, maka koordinat Cartesian dapat dinyatakan dalam
koordinat umum
𝑥 = 𝑥(𝑞) 1 derajat kebebasan
𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2) 2 derajat kebebasan
𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3) 3 derajat kebebasan
jika 𝑞 berubah dari nilai awal ( 𝑞1, 𝑞2)…… ke nilai (𝑞1 + 𝛿𝑞1, 𝑞2 + 𝛿𝑞2, 𝑞3) maka perubahan
tersebut berkaitan dengan koordinat Cartesian.
𝛿𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑞1
𝑑𝑞1 +
𝜕𝑥
𝜕𝑞2
𝑑𝑞2 + ⋯
𝛿𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑞1
𝑑𝑞1 +
𝜕𝑦
𝜕𝑞2
𝑑𝑞2 + ⋯ (1.2)
Contoh 1. Persamaan gerak untuk partikel didalam bidang, kita pilih koordinat polar maka 𝑞1 =
𝑟 dan 𝑞2 = 𝜃 sehingga,

2. 𝑥 = 𝑥( 𝑟, 𝜃) = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑦( 𝑟, 𝜃) = 𝑟sin 𝜃
𝛿𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝛿𝑟 +
𝜕𝑥
𝜕𝜃
𝛿𝜃 = cos 𝜃𝛿𝑟 − 𝑟sin 𝜃𝛿𝜃
𝛿𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝛿𝑟 +
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝛿𝜃 = sin 𝜃𝛿𝑟 − 𝑟 cos 𝜃𝛿𝜃 (1.3)
(Tom W.B , 2004)
Persamaan Lagrange
Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh
dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang
beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam sistem koordinat Kartesius adalah fungsi dari
kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi
dari posisi.
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 (1.4)
Dimana T dan V dinyatakan dalam koordinat umum 𝑉 = 𝑉(𝑞 𝑘) maka
𝜕𝑉
𝜕𝑞̇ 𝑘
= 0
Maka ,
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑘
=
𝜕𝑇
𝜕𝑞 𝑘
−
𝜕𝑉
𝜕𝑞 𝑘
(1.5)
Sehingga persamaan Lagrange untuk system yang konservatif adalah
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇ 𝑘
) =
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑘
(1.6)
Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamis
untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten dengan
sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah lintasan yang
meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan energi potensial.".
∫ 𝐿 𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
(1.7)
Sehingga, dengan kata lain dapat dijelaskan bahwa prinsip Hamilton menyatakan bahwa
semua kemungkinan system yang dapat berubah berada interval waktu berhingga 𝑡1 − 𝑡2 bisa
bernilai maksimum atau minimum.
Persamaan Hamilton
Dalam pandangan koordinat umum
𝐻 = ∑ 𝑞 𝑘̇ − 𝑝 𝑘 − 𝐿 (1.8)

3. Untuk system dinamik sederhanan, 𝑇 merupakan fungsi kuadrat dari 𝑞 𝑘̇ dan 𝑉 adalah
fungsi 𝑞 saja. Sehigga
𝐿 = 𝑇( 𝑞 𝑘 − 𝑞 𝑘̇ )− 𝑉(𝑞 𝑘) (1.9)
Dari persamaan Euler untuk fungsi homogeny dimana
𝑥1
𝑑𝑓
𝑑𝑥1
+ 𝑥2
𝑑𝑓
𝑑𝑥2
+ 𝑥3
𝑑𝑓
𝑑𝑥3
+⋯ 𝑥 𝑛
𝑑𝑓
𝑑𝑥 𝑛
= 𝑛𝑓 (1.10)
Maka, ∑ 𝑞 𝑘̇𝑘 𝑝 𝑘 = ∑ 𝑞 𝑘̇
𝑑𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
= ∑ 𝑞 𝑘̇𝑘
𝑑𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑘
= 2𝑇 (1.11)
Sehingga , 𝐻 = ∑ 𝑞 𝑘̇ 𝑝 𝑘 − 𝐿 = 2𝑇 − ( 𝑇 − 𝑉) = 𝑇 + 𝑉 (1.12)
Yaitu, bahwa fungsi 𝐻 sama dengan energy total dari system yang ditinjau.