1. Assalamualaykum wr wb
Bagaimana Kabarnya? Mungkin biasanya dalam blog ini saya berintuisi dalam suatu balutan kata
, sekarang mungkin saya akan mencoba membuat sesuatu yang menarik yaitu merangkai angka
menjadi sesuatu formula yang bisa dipandang seindah prosa.Ngomongin masalah Puisi atau
prosa buat anak sastra sudah biasa, tapi lain hal jika puisi ataupun prosa tersebut yang membuat
adalah anak fisika , wah pasti pada mikir semua kira-kira bagaimana hasil kreasi sastra ala
fisika?yuk chek this out!
A. Pengertian Lagrange
Salah satu masalah umum kalkulus multivariabel adalah menemukan maksimum atau
minimum dari suatu fungsi, tetapi seringkali terjadi kesulitan untuk menemukannya. Kesulitan
ini sering timbul ketika memaksimalkan atau meminimalkan fungsi mengikuti kendala.Metode
Lagrange adalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah ini tanpa perlu secara eksplisit
mengatasi kondisi dan menggunakannya untuk menghilangkan variabel ekstra.
Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P0 dan P1.
Karena di titik- titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung
(mempunyai garis singgung yang sama dan mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi
disebarang titik dari kurva ketinggian, vector gradien ∇f tegak lurus terhadap kurva ketinggian,
dan dengan cara serupa ∇g tegak lurus terhadap kurva kendala.jadi, ∇f dan ∇g sejajar di Po dan
juga P1. Yaitu:
∇f(Po) = λ0 ∇g (P0) dan ∇f(P1) = λ1 ∇g (P1)
λ adalah Multiplier konstanta yang tidak diketahui, diperlukan karena besarnya dari dua gradien
mungkin berbeda.
Andaikan f (x,y) dimaksimisasi atau diminimisasi dengan batasan g (x,y) = 0. Maka bentuk
fungsi objektifnya adalah;
F ( x, y, λ ) = f (x,y) – λ. g (x, y)
Diferensiasikan F ( x, y, λ ) secara Parsial terhadap x, y dan λ dan dinyatakan hasilnya sama de
ngan nol.
Nah sekilas sudah dapat mengerti bagaiamana tentang persamaan lagrangian? Nah
selanjutnya kita akan membahas bahwa persamaan tersebut bukan hanya menjadi deretan fungsi
2. saja tetapi menjadi sebuah terapan yang dapat di aplikasikan yuk kita tengok problem dalam
kehidupan sehari-hari
Perkembangan ilmu pengetahuan sikap yang sangat cepat, membuat beberapa rahasia
alam terpecahkan. Turbulensi adalah satu fenomenayang sangat menarik karena sangat sulit
dipe-cahkan meskipun gejala ini sudah lama disadari. Sedangkan teori gauge baru saja muncul
untuk mencoba menjelaskan semua dasar interaksi dialam Pemodelan turbulensi dalam teori
gaugemerupakan suatu hal yang benar-benar baru se-hingga usaha untuk menjelaskan masalah
yang sulit terpecahkan (turbulensi) menjadi sangat menarik.
Dinamika fluida dapat digambarkan oleh persamaan Navier-stokes yang diturunkan dari
hukum Newton kedua. Sebelumnya dibeberapa tulisan untuk mengetahui dinamika yang ter-
jadi dengan menghitung hamiltonian dari sistem dengan menggunakan prinsip aksi terkecil. Di
tulisan lain juga menghubungkan persamaan Navier-stokes dengan persamaan maxwell, tetapi
tidak begitu jelas karena menggambarkan dua hal yang berbeda. se-lanjutnya dinamika gerak
sistem. Untuk mengetahui dinamika fluuida di lakukan pendekatan yang berbeda dengan
sebelumnya, yaitu dengan menggunakan relativistik lagrangian bosonik. Hal ini dapat
dilakukan karena persamaan Navier-stokes yang menggambarkan dinamika °uida dapat
dibangun berdasarkan relativistik lagrangian bosonik. Untuk mengetahui interaksi yang
terjadi pada suatu titik dengan menghitung.
Untuk mengetahui dinamika fluida di lakukan pendekatan yang berbeda dengan
sebelumnya, yaitu dengan menggunakan relativistik lagrangian bosonik. Hal ini dapat
dilakukan karena persamaan Navier-stokes yang menggambarkan dinamika °uida dapat
dibangun berdasarkan relativistik lagrangian bosonik. Untuk mengetahui interaksi yang
terjadi pada suatu titik dengan menghitung amplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut
1. Turbulensi
Mekanika fluida adalah cabang dari ilmu fisika yang mempelajari tentang aliran fluida yang
bergerak maupun yang diam dan mempelajari tentang peralatan maupun aplikasi yang
berhubungan dengan fluida. Mekanika fluida terbagi menjadi 2 bagian yaitu Statika fluida
yang mempelajari fluida dalam keadaan diam dan dinamika fluida yang mempelajari fluida
bergerak.
mengunakan Dinamika fluida dalam kasus turbulensi. Turbulensi disini memiliki sifat-sifat
viscous (kekentalannya tidak bisa diabaikan) dan rotasional yaitu alirannya berolak. Jean
Leonard Marie Poiseuille dan Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen adalah orang yang per-
tama menulis tentang aliran fluida. Mereka membahas mengenai masalah aliran darah di-
dalam pembuluh darah. Mereka menulis tanpa melibatkan pengaruh viskositas. Claude
Louis Marie Navier dan Sir George Gabriel Stokes merumuskan persamaan yang melibatkan
viskositas dan persamaan tersebut dinamakan persamaan Navier-Stokes. Persamaan ini sangat
sulit sehingga hanya bisa menjelaskan fenomene yang sederhana, contohnya adalah laminar. Per-
samaan Bernoulli berhasil diturunkan dari persamaan ini. Persamaan Bernoulli berlaku
untuk°uida yang memiliki kecepatan relatif rendah. Garis arus fluuida belum pecah pada
kecepatan ini. Apabila kecepatan fluida ditambah maka garis arus °uida akan pecah dan berolak.
Pecahnya garis arus dan timbulnya arusi dikenal sebagai fenomena turbulensi. Kapan
3. terjadinya arus laminar dan turbulensi belum bisa terpecahkan sampai Osborne Reynolds
memperkenalkan bilangan reynolds. Bilangan Reynold ini berbanding lurus dengan kecepatan,
massa jenis fluida dan diameter pipa yang dilalui fluida serta berbanding terbalik dengan viskosi-
tas. Batas antara laminar dan turbulensi bilangan reynoldnya 2300. Jika bilangan reynold lebih
besar dari 2300 maka kemungkinan terbesar dari aliran fluida adalah turbulensi. Transisi aliran
laminar dan turbulen dapat dilihat pada asap rokok. Pada saat asap rokok
mulai mengepul aliran itu adalah laminar. Pada saat asap rokok itu bergerak mulai menjauh
aliran tersebut adalah turbulen. Deskripsi aliran fluida bisa dengan 2 cara, yatu deskripsi
Lagrange dan deskripsi Euler. Pada deskripsi Lagrange aliran fluida dijelaskandengan melihat
lintasan fluida. Deskripsi Euler menggunakan fungsi ruang-waktu. Masalah ini menggunakan
deskripsi Euler. Karakterisasi turbulensi menggunakan 2 parameter yaitu kecepatan dan massa
jenis. Aliran Turbulensi
Aliran Turbulensi ini memenuhi 5 hukum yaitu hukum kekekalan massa, hukum kekekalan
momentum, hokum kekekalan momentum sudut, hukum termodinamika I dan hokum
termodinamika II. Pada bagian ini yang dibahas hanya hukum kekekalan massa dan hukum
kekekalan momentumHukum kekekalan massa menyatakan bahwa fluida tidak bisa diciptakan
dan tidak bisa dimusnahkan. Jika kita menggangu fluuida tersebut maka massa awal akan selalu
sama dengan massa akhirnya. Misalkan ada volume (V) fluida yang dilingkupi oleh permukaan S
. Massa fluida dalam volume (V) adalah ∭ 𝑝𝑑𝑣 massa fluida yang mengalir melalui permukaan
tertutupvadalah ∮ 𝑝𝑑𝑆.Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa fluuida yang keluar dari per-
mukaan tertutup S akan sama dengan hilangnya massa fluida per waktu pada Volume.Pernyataan
ini ditulis Sebagai berikut
∮(𝑃
𝑣
→) . dS = −
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉
Telah diketahui Lagrangian Navier-Stokes yang menggambarkan dinamika fluida dari
persamaan Navier-Stokes yang invarian terhadap local gauge transformations. Dengan
menggunakan teori medan akan dihitung amplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut untuk
mengetahui interaksi pada suatu titik untuk empat fluida. Untuk interaksi empat °uida besarnya
dipengaruhi dua sudut antar fluida yang berinteraksi, kecepatan dan Potensial dari gaya-gaya
konservatif. Pada kasus turbulensi amplitudo kuadrat memiliki arti fisis sebagai Energi
turbulensi.
Persamaan Lagrange
Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan
meninjau energi kinetik dan energi potensial tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada
partikel. Energi kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi
potensial partikel yang bergerak dalam medan konservatif adalah fungsi dari posisi.
Pada umumnya transformasi dari sistem koordinat kartesan r1 ,r2 ,r3,…,t ke sistem koordinat
umum q1, q2, q3,…,t dapat dilakukan dengan menyatakan :
Persamaan ini disebut sebagai persamaan transformasi sehingga
Dengan menganggap ecara eksplisit tak bergantung waktu, maka suku , sehingga :
Apabila ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan
adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel
dengan permukaan bidang, namun ternyata tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap
4. partikel dapat diketahui. Apabila sistem dianggap setimbang maka total gaya yang bekerja pada
sistem tersebut sama dengan nol , demikian pula total kerja yang dilakukan oleh gaya menggeser
partikel sebesar juga sama dengan nol . Jika total gaya yang bekerja pada sistem terdiri dari gaya
luar dan gaya kendala (konstrain) maka dalam keadaan kesetimbangan mekanik,
Apabila sistem dibatasi pada kondisi kerja nyata oleh gaya kendala sama dengan nol, (misalkan
pada benda tegar tentu saja kerja oleh gaya internalnya sama dengan nol dalam hal ini tidak
terjadi perubahan bentuk benda akibat gaya internal) maka suku kedua pada pers. (4.5) sama
dengan nol sehingga pers. 4.5 menjadi . Oleh karena gaya luar , maka yang harusnya sama
dengan nol (hal ini dipenuhi apabila kita hanya meninjau kesetimbangan saja/statika), namun
apabila ada konstrain/gaya kendala yang bekerja pada sistem yang berada dalam kesetimbangan
mekanik maka diperlukan suatu batasan persamaan gerak seperti yang diajukan oleh D’Alembert
sebagai berikut
dengan = Gaya Luar Sistem dan = Perubahan Impuls
Berdasarkan azas D’ Alembert maka persamaan transformasi menjadi
dimana:
(Gaya umum); adalah hasil transformasi gaya F dari sistem koordinat kartesian (r1 ,r2 ,r3,…) ke
sistem koordinat (q1 ,q2 ,q3,…)
:
L = fungsi Lagrange = kecepatan umum
V = Energi potensial = koordinat umum
T = Energi kinetik
Persamaan (17) disebut persamaan Lagrange dan L = T – V dikenal dengan istilah fungsi
Lagrangian. Jika didefinisikan Lagrangian adalah sebagai selisih antara energi kinetik dan energi
potensial, persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari
koordinat umum, kecepatan umum, dan waktu. Untuk penulisan koordinat umum yaitu koordinat
yang dapat berubah dengan bebas yang cacahnya = f = derajat kebebasan sistem yang tidak lain
adalah dimensi ruang yang ditinjau. Derifatifnya ke waktu dikenal sebagai kecepatan umum.
Sering kali tidak semua dapat bernilai bebas. Terdapat sejumlah Nc pembatas (constraints) gerak
yang mengurangi derajat kebebasan nilai dari 3N buah menjadi 3N-Nc = f buah sehingga hanya f
daripadanya yang benar-benar bebas. Apabila pembatasan gerak tersebut dapat diungkapkan
dalam Nc hubungan fungsi
maka terjadi pembatasan holonomik, jika tidak pembatasan bersifat nonholonomik
Kegayutan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari kegayutan konstrain
terhadap waktu atau dikarenakan oleh persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat
kartesian dan koordinat umum yang mengandung fungsi waktu. Jadi sistem holonomik yaitu
sistem yang koordinat-koordinat transformasinya tidak tergantung satu sama lain atau fungsi
kendalanya sama dengan nol. Salah satu contohnya seperti dalam Osilator harmonik sederhana.
yang tak memuat waktu, hadir pembatasan skleronomik sedangkanUntuk bergantung waktu
t, pembatasan gerak bersifat rheonomik.bila
Contoh:
Gerak suatu banduk kerucut: jarak titik massa m dengan koordinat kartesan yang sumbu z nya
vertikal ke bawah dari titk gantung O tetap = l . Apabila (x,y,z) adalah kordinat titik P letak zarah
m, maka berlaku
(satu pembatasan gerak)
5. Pada bagian awal kita telah menggunakan hukum-hukum Newton untuk menganalisis gerak
sebuah benda. Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkan persamaan gerak benda.
Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui. Namun
dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang tidak mudah diselesaikan dengan
menggunakan dinamika gerak serta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda
yang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya
pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun
koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan gayanya
diketahui.
Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan
dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama dikembangkan oleh matematikawan
Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme Lagrange. Disamping formalisme
Lagrange terdapat pula formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya terletak
pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme Hamilton menggunakan posisi dan kecepatan
sebagai koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada
formalisme Hamilton posisi dan momentum digunakan untuk koordinat rampatan yang
menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme
tersebut konsisten dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.
A. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)
Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis
koordinat; dapat berupa koordinat Kartesian, koordinat bola atau koordinat silinder. Jika partikel
bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya
dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak
pada sebuah garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat
saja.
Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N
koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum
koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut
dinyatakan dengan
6. q1, q2, …..qn (1)
yang disebut dengan koordinat rampatan (generalized coordinates). Istilah rampat diambil dari
kata merampat dan papan Koordinat qk dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat
berubah secara bebas terhadap lainnya; sistem tersebut dinamakan holonomic. Jumlah koordinat
n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.
Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara
bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari
jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu
contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang
kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat
untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam
hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola
tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan
selanjutnya kita akan membatasi diri pada sistem holonomic.
Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebih mudah diungkapkan dengan
menggunakan koordinat Kartesius:
x = x(q)
(satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva).
x = x(q1,q2)
(dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah permukaan).
x = x(q1,q2,q3)
y = y(q1,q2,q3)
z = z(q1,q2,q3)
(tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang)
7. Misalkan q berubah dari harga awal (q1,q2, ….) menuju harga (q1+q1,q2+q1 ..).
Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian adalah :
.....
2
2
1
1
q
q
x
q
q
x
x (2)
.....
2
2
1
1
q
q
y
q
q
y
y (3)
.....
2
2
1
1
q
q
z
q
q
z
z (4)
Turunan parsial x/q1 dan seterusnya adalah fungsi dari q. Sebagai contoh, misalkan sebuah
partikel bergerak dalam bidang. Misalkan kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan
konfigurasi sistem, maka dalam hal ini :
q1 = r q2 = (5)
Selanjutnya :
x = x(r,) = r cos
y = y(r,) = r sin (6)
dan
2
2
1
1
q
q
x
q
q
x
x
= cos r - r sin (7)
8. 2
2
1
1
q
q
y
q
q
y
y
= sin r + r cos (8)
Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandung sejumlah n partikel; dalam hal ini
mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan :
q1, q2, …..qn (9)
Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q1, q2, …..qn) ke konfigurasi di dekatnya (q1+q1,
q2+q2, …qn+qn) menyatakan perpindahan partikel ke i dari titik (xi,yi,zi) ke titik di dekatnya
(xi+xi,yi+yi,zi+zi) dimana:
n
1k
k
k
i
i q
q
x
x (10)
n
1k
k
k
i
i q
q
y
y (11)
n
1k
k
k
i
i q
q
z
z (12)
Persamaan (10–12) menunjukkan bahwa turunan parsialnya merupakan fungsi q.
Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks k
untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol xi kita pakai untuk menyatakan sembarang
koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapat berharga antara 1
dan 3N.
9. B. GAYA RAMPATAN
Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh r dibawah pengaruh sebuah gaya aksi
F, gaya yang bekerja padanya dinyatakan dengan
zFyFxFW zyx rF (13)
Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan
i
ii xFW (14)
Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk partikel tunggal, tetapi juga
untuk sistem banyak partikel. Untuk satu partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3. Untuk N
partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3N.
Jika pertambahan xi dinyatakan dalam koordinat rampatan, maka diperoleh
i k
k
k
i
i q
q
x
FW
i k
k
k
i
i q
q
x
F (15)
i
k
k k
i
i q
q
x
F
10. Persamaan di atas juga dapat ditulis
k
kk qQW (16)
dimana :
k
i
ik
dq
x
FQ (17)
Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut dengan gaya rampatan.
Oleh karena perkalian Qkqk memiliki dimensi kerja/usaha, maka dimensi Qk adalah gaya jika qk
menyatakan jarak, dan dimensi Qk adalah torka, jika qk menyatakan sudut.
C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM
KONSERVATIF
Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif,
besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh persamaan
i
i
x
V
F
(18)
dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan gaya rampatan
dapat dinyatakan
11.
i k
i
i
k
q
x
x
V
Q (19)
Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan parsial fungsi V terhadap qk. Oleh
karena itu
k
k
q
V
Q
(20)
Misalkan, kita menggunakan koordinat kutub, q1 = r ; q2 = , maka gaya rampatan dapat
dinyatakan dengan Qr = -V/r ; Q = -V/. Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus gaya
sentral), maka Q = 0.
D. PERSAMAAN LAGRANGE
Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam
koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:
iii xmF (21)
dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan
pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik
T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat
rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung
N partikel dapat dinyatakan dengan
12.
k
1i
2
i
2
i
2
1i2
1
zyxmT ( (22)
atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut
N3
1i
2
ii2
1
xmT (23)
Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung
waktu t secara eksplisit. Kita dapat misalkan
),,...,,( tqqqxx n21ii (24)
dan selanjutnya
t
x
q
q
x
x i
k
k
i
i
(25)
Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N dimana N
menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n menyatakan
jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat melihat bahwa
energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu, atau mungkin
dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk,
sehingga xi/t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen
dari kecepatan rampatan kq .
Dari persamaan
k
i
k
i
q
x
q
x
(26)
13. Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan ix dan diferensialkan terhadap t, akan
diperoleh:
k
i
i
k
i
i
q
x
x
dt
d
q
x
x
dt
d
k
i
i
k
i
i
q
x
x
q
x
x
(27)
atau
2
x
qq
x
x
2
x
qdt
d 2
i
kk
i
i
2
i
k
(28)
Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan iii Fxm , kita dapat peroleh
2
xm
qq
x
F
2
xm
qdt
d 2
ii
kk
i
i
2
ii
k
(29)
Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :
i kk
i
i
k q
T
q
x
F
q
T
dt
d
(30)
Dari definisi gaya rampatan kita peroleh
14. k
k
k q
T
Q
q
T
dt
d
(31)
Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal
dengan persamaan Lagrange untuk gerak.
Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai
berikut:
kkk q
V
q
T
q
T
dt
d
(32)
Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi
Lagrangian L yakni
L = T - V (33)
Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena V =
V(qk) dan 0qV k / , kita peroleh
kk q
T
q
L
dan
kkk q
V
q
T
q
L
(34)
kk q
L
q
L
dt
d
(35)
15. Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi
Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif,
misalkan nilainya adalah '
kQ , maka kita dapat menuliskan
k
kk
q
V
QQ
'
(36)
Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L = T - V, dan menuliskan
persamaan diferensial gerak dalam bentuk
k
k
k q
L
Q
q
L
dt
d
'
(37)
'
k
k k
d L L
Q
dt q q
(37)
Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.
E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN
LAGRANGE
Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk menyelesaikan
masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial
gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:
16. 1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.
2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.
3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau
jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk.
4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di
atas.
Beikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya :
1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada
sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.
Misalkan koordinat polar (r,) digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat Cartesian
(r,) dapat dihubungkan melalui :
x = r cos y = r sin
Energi kinetik partikel dapat ditulis :
2 2 2 2 2 21 1 1
2 2 2T mv m x y m r r
Energi potensial oleh gaya sentral
1/2
2 2
k k
V
rx y
Persamaan Lagrange untuk sistem ini:
17. 2 2 21
2
k
L T V m r r
r
Dari persamaan Lagrange:
kkk q
V
q
T
q
T
dt
d
k k
d L L
0
dt q q
Substitusi q1 = r dan q2 = , diperoleh:
d L L
0
dt r r
d L L
0
dt
Dari kedua persamaan di atas diperoleh:
2
2
L
mr
r
d L
mr
dt r
L k
mr
r r
18. 2 2
2
k
mr mr
r
Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :
2
V(r) k
F(r)
r r r
Jadi : 2 2
rmr mr F
Dari persamaan Lagrange :
2L
mr
L
0
2d L
2mrr mr
dt
2
2mrr mr 0
atau : 2d dJ
mr 0
dt dt
Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan
di atas menghasilkan
2
J mr = konstan
19. Berdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum
sudut J, merupakan tetapan gerak.
2. Osilator Harmonik
Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya
peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang
tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya
adalah
L = T - V = 2
2
12
2
1
kxxm (38)
dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya:
xm
x
L
dan kx
x
L
(39)
Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding
dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c x , sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
)( kxxcxm
dt
d
(40)
mx cx kx 0
Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam
yang sudah kita kenal.
20. 3. Partikel yang berada dalam medan sentral.
Mari kita rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di
bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = . Maka
222
2
12
2
1
rrmmvT (41)
)(rVV (42)
rVrrmL 222
2
1
(43)
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :
rm
r
L
)r(fmr
r
L 2
(44)
0
L
2
mr
L
(45)
Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :
r
L
r
L
dt
d
LL
dt
d
(46)
)(rfmrrm 2
0mr
dt
d 2
(47)
4. Mesin Atwood
21. Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan m2 dihubungkan oleh tali
homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki
satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x
adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Gambar 2. 1
Mesin atwood tunggal
Kecepatan sudut katrol adalah ax / , dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem ini
adalah :
a
l-x
x
m1
m2
22. 2
2
2
12
22
12
12
1
a
x
IxmxmT
(48)
dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :
2 1V m gx m g(l x ) (49)
Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah
glmxmmgx
a
I
mmL 221
2
2212
1
(50)
dan persamaan Lagrangenya adalah
x
L
x
L
dt
d
(51)
yang berarti bahwa :
21221 mmgx
a
I
mm
(52)
atau
1 2
2
1 2
m m
x g
m m I / a
(53)
23. adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1 akan bergerak turun, sebaliknya
jika m1<m2 maka m1 akan bergerak naik dengan percepatan tertentu.
5. Mesin Atwood Ganda
Mesin Atwood ganda diperlihatkan pada gambar 2.2.. Nampak bahwa sistem tersebut
mempunyai dua derajat kebebasan. Kita akan menyatakan konfigurasi sistem dengan koordinat x
dan x'. Massa katrol dalam hal ini diabaikan (untuk menyederhanakan persoalan).
Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah :
2
32
12
22
12
12
1
xxmxxmxmT )'()'( (54)
)''()'( xlxlgmxxlgmgxmV 321 (55)
dimana m1, m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, dan l serta l' adalah panjang tali
penghubungnya.
25. Mesin Atwood Ganda
2 2 21 1 1
1 2 3 1 2 32 2 2
2 3
L m x m ( x x') m ( x x') g(m m m )x
g(m m )x' tetapan
(56)
sehingga persamaan geraknya dapat ditulis :
x
L
x
L
dt
d
'' x
L
x
L
dt
d
(57)
dengan penyelesaian
)()'()'( 321321 mmmgxxmxxmxm (58)
)()'()'( 3232 mmgxxmxxm (59)
dan dari persamaan ini percepatan x dan 'x dapat ditentukan.
6. Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan.
Mari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang
miring yang juga dapat bergerak pada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan pada
gambar 2.3. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga kita butuhkan dua
koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau. Kita akan memilih koordinat x
dan x' yang masing-masing menyatakan pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik
acuan dan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada
gambar.
Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh
dengan menggunakan hukum kosinus :
26. cosxx2xxv 222
''
(60)
Oleh karena itu energi kinetiknya adalah
2
2
12222
2
12
2
12
2
1
xM)cosxx2xxmxMmvT ''
( (61)
dimana M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan , seperti yang ditunjukkan
dalam gambar 2.3. dan m adalah massa partikel. Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh
karena bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan :
V=mgx'sin + tetapan (62)
dan
2 '2 ' 2 '1 1
2 2L m(x x 2xx cos ) Mx mgx sin tetapan (63)
Persamaan geraknya
x
L
x
L
dt
d
'' x
L
x
L
dt
d
(64)
sehingga
0xM)cosxxm '( ; mgsin)cosxxm '
( (65)
27. Percepatan x dan '
x adalah :
2
cos
m
Mm
cossing
x ;
Mm
cosm
1
sing
'x 2
(66)
'x
v
x'
M
x
m
28. Gambar 2. 3
Gerak pada bidang miring dan representasi vektornya
7. Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah benda tegar. Metode Lagrange dapat
digunakan untuk menurunkan persamaan Euler untuk gerak sebuah benda tegar. Kita akan
tinjau kasus torka - rotasi bebas. Kita ketahui bahwa energi kinetik diberikan oleh persamaan:
)III(
2
1
T 2
33
2
22
2
11 (67)
Dalam hal ini harga mengacu pada sumbu utama. Dalam Bagian sebelumnya telah
ditunjukkan bahwa dapat dinyatakan dalam sudut Euler , dan sebagai berikut:
sinsincos1
cossinsin2
(68)
cos3
Dengan memperhatikan sudut Eulerian sebagai koordinat rampatan, persamaan geraknya adalah:
LL
dt
d
(69)
x
29.
LL
dt
d
(70)
LL
dt
d
(71)
oleh karena Q (gaya rampatan) semuanya nol. Dengan menggunakan aturan/dalil rantai :
3
3
TL
(72)
Sehingga
33I
L
dt
d
(73)
Dengan menggunakan lagi aturan rantai, kita peroleh
2
22
1
11 II
T
)sinsincos(I)cossinsin(I 2211
122211 II
(74)
Akibatnya, persamaan 71 menjadi :
30. )II(I 212133 (75)
yang mana seperti yang ditunjukkan dalam bagian sebelumnya adalah persamaan Euler ketiga
untuk rotasi bebas sebuah benda tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan Euler lainnya
dapat diperoleh dengan melakukan permutasi siklik (putaran) dari subskrip : 12, 23, 31.
8. Pandanglah sebuah benda bermassa m (gambar 2.4) meluncur dengan bebas pada sebuah
kawat dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari a. Lingkaran kawat berputar searah
jarum jam pada bidang horisontal dengan kecepatan sudut ω disekitar titik O. (a). Selidiki
bagaimana gerak benda tersebut, dan (b). Bagaimana reaksi lingkaran kawat.
