Teknik Lagrangian dan Hamiltonian merupakan pengembangan dari hukum Newton yang memungkinkan penyelesaian masalah mekanika yang lebih rumit dengan menggunakan koordinat umum dan pendekatan energi. Kedua teknik tersebut menggunakan koordinat posisi dan momentum serta menghasilkan persamaan diferensial orde satu.

1. Artikel Hamiltonian, Barep FredY P, M0213016
Fisika, Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
Mekanika Hamiltonian
Dua macam metode berbeda telah dikembangkan, Persamaan Lagrange dan
Persamaan Hamilton, untuk mengatasi persoalan semacam ini. Dua teknik tersebut
bukanlah hasil dari teori baru. Keduaya merupakan turunan dari Hukum kedua
Newton, tetapi mereka memberikan penyelesaian yang lebih mudah dalam
menyangani kasu-kasus fisika alam yang sangat rumit. Pertama, teknik-teknik ini
menggunakan koordinat umum. Ini malahan, hanya dibatasi hanya penggunakan
koordinat kartesius atau polar, dan kuantitas-kuantitas, seperti kecepatan, momentum
anguler, atau panjang2, yang semuanya kita sukai, nantinya akan digunakan dalam
penyelesaian persoalan. Koordinat umum biasanya di notasikan dengan 𝑞 𝑘, di
mana 𝑞1 bisa berupa v, 𝑞2 bisa berupa 𝑣, 𝑞1 mungkin bisa berupa sudut 𝜃, dan
sebagainya. Selanjutnya, kedua teknik tersebut menggunakan pendekatan energi,
yang memiliki keuntungan lebih mudah apabila kita berurusan dengan skalar dari
pada dengan vektor. Nah sebaiknya kita mendiskusikan hal ini secara lebih rinci artikel
selanjutnya.
Gambar1: Ilustrasi permasalahan pada metode Langrangian dan Hamiltonian
Kita mungkin akan menyebutkan dengan ringkas, perbedaan antara metode
Langrange dan metode Hamilton. Dalam perumusan Langrange, koordinat umum
yang digunakan adalah posisi dan kecepatan, dalam penyelesaian persamaan
diferensial linier orde dua. Dalam perumusan Hamilton, koordinat umum yang
digunakan adalah posisi dan momentum, dalam menyelesaiakan persamaan
diferensial linier orde satu. Kedua metode tersebut tidak hanya menbantu banyak
dalam penyelesaian persamaan gerak yang dideskripsikan sistem, tetapi juga dapat
digunakan untuk menghitung gaya dan reaksinya.
Jika ditinjau dari gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang,
maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan
mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun sayang,
tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui.

2. Artikel Hamiltonian, Barep FredY P, M0213016
Fisika, Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
Pendekatan Newtonian memerlukan informasi gaya total yang beraksi pada partikel.
Gaya total ini merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk juga
gaya konstrain. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak
dapat diketahui, maka pendekatan Newtonian tak berlaku. Sehingga diperlukan
pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik
partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan menggunakan prinsip
Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni persamaan umum dinamika partikel
dapat diturunkan dari prinsip tersebut.
Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi
sistem dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik
(konsisten dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis
adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik
dengan energi potensial.".
Persamaan Hamilton untuk gerak pada sebuah fungsi dari koordinat umum
 
k
kk LpqH  (1)
Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat
dari q dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja :
)q(V)q,q(TL kkk   (2)
Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh
 






k k
k
k k
k
k
kk T2
q
T
q
q
L
qLpq



 (3)
Oleh karena itu :
 
k
kk VT)VT(T2LpqH  (4)
Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya,
pada n buah persamaan yang ditulis sebagai :
k
k
q
L
p


 (k = 1,2, …n) (5)
dan nyatakan dalam q dalam p dan q
)q,p(qq kkkk
  (6)
Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang bersesuaian dengan
variasi kk q,p  sebagai berikut :
 












k
k
k
k
k
kkkk q
q
L
q
q
L
pqqpH 

 (7)

3. Artikel Hamiltonian, Barep FredY P, M0213016
Fisika, Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling meniadakan, oleh
karena menurut defenisi kk q/Lp  , oleh karena itu:
  
k
kkk qppqH  (8)
Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
 












k
k
k
k
k
q
q
H
p
p
H
H (9)
Sehingga diperoleh :
Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak.
Persamaan-persamaan ini terdiri dari 2n persamaan defernsial orde-1 (bandingkan
dengan persamaan Lagrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-2.
Persamaan Hamilton banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala
atomik).
Contoh pemakaian
1. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik
satu dimensi.
Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :
2
xm
2
1
T  dan 2
Kx
2
1
V  (12)
Momentumnya dapat ditulis
xm
x
T
p 




 atau
m
p
x  (13)
Hamiltoniannya dapat ditulis :
22
x
2
K
p
m2
1
VTH  (14)
Persamaan geraknya adalah :
x
p
H



p
x
H



(15)
k
k
q
p
H



k
k
p
q
H



(10)
(11)

4. Artikel Hamiltonian, Barep FredY P, M0213016
Fisika, Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
dan diperoleh :
x
m
p
 pKx 
Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan
menggunakan kedua persamaan di atas, dapat kita tulis :
0Kxxm  (16)
yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.
2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang
berada di bawah pengaruh medan sentral.
Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat
polar sebagai berikut:
)rr(
2
m
T 222
  dan V=V(r) (17)
Jadi :
rm
r
T
pr






m
p
r r
 (18)






2
mr
T
p 2
mr
p
 (19)
sehingga:
)r(V)
r
p
p(
m2
1
H 2
2
2
r  
(20)
Persamaan Hamiltoniannya:
r
p
H
r



, rp
r
H



, 




p
H
, 


p
H
(21)
Selanjutnya:
r
m
pr
 (22)
r3
2
p
mr
p
r
)r(V


 
(23)
 
2
mr
p
(24)
0p   (25)
Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

5. Artikel Hamiltonian, Barep FredY P, M0213016
Fisika, Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
2
p konstan mr mh     (26)
Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,
r
)r(V
r
mh
prm 3
2
r


  (27)