1. TUGAS ARTIKEL OLEH DESI ANGGREANI/M0213020
Dinamika Lagrange
Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari dan menganalisa gerak sebuah
benda, seperti contoh gerak ayunan bandul, gerak benda pada bidang pada bidang
miring dan gerak suatu pegas. Pada dasarnya analisisnya menggunakan hukum-
hukum Newton. Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkan
persamaan gerak benda. Akan tetapi dari kebanyakan persoalan yang dihadapi
terkadang tidak mudah untuk menganalisis persamaan geraknya. Persamaan
lagrange diformulasikan guna untuk membuat persoalan yang dihadapi lebih
efektif yang dapat digunakan untuk mencari gerak sistem.
Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan lagrange didapat
dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau
gaya-gaya yang berinteraksi pada partikel. Persamaan Lagrange itu sendiri adalah
persamaan gerak partikel yang merupakan fungsi dari koordinat umum. Koordinat
umum sebuah partikel dalam 1 ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga
jenis koordinat, yaitu koordinat kartesian, koordinat polar atau kordinat silinder.
Persamaan Lagrange dituliskan sebagai berikut:
ℒ = 𝑇 − 𝑈 …(1)
Persamaan Lagrange menggunakan posisi (x,y,z) dan kecepatan ( 𝑥̇, 𝑦̇, 𝑧̇)
sebagai koordinat umum ℒ = ℒ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥̇, 𝑦̇, 𝑧̇).
Pada dasarnya persamaan Lagrange ekuivalen dengan persamaan gerak Newton
jika koordinat yang digunakan adalah koordinat kartesian. Untuk partikel tunggal
lebih mudah menggunakan dengan metode ini. Dapat kita lihat dari persamaan.
𝜕ℒ
𝜕𝑥
= −
𝜕𝑈
𝜕𝑋
= 𝐹𝑥 …(2)
Dan
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
= −
𝜕𝑇
𝜕𝑋̇
= 𝑚𝑋̇ = 𝑝𝑥 …(3)

2. Persamaan ini dipengaruhi oleh fungsi waktu karena persamaan yang
menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum mengandung fungsi
waktu, sehingga :
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
=
𝜕
𝜕𝑡
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
Fx = m𝑥̈ …(4)
F = m.a
( John R Taylor,2005)
Pada persamaan gerak partikel dalam koordinat silinder, perubahan koordinat dari
(q1….,q3).q1 = 𝜌, q2 =𝜑 q3 = z Tenaga kinetic partikel
T =1/2m [(
𝑑𝜌
𝑑𝑡
)
2
+ 𝜌2
(
𝑑𝜑
𝑑𝑡
)
2
+ (
𝑑𝑧
𝑑𝑡
)
2
] …(5)
Untuk koordinat (𝜌)
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝜌
) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚
𝑑𝜌
𝑑𝑡
) = 𝑚
𝑑2 𝜌
𝑑𝑡2
,
𝜕𝑇
𝜕𝜌
= 𝑚𝜌(
𝑑𝜑
𝑑𝑡
)
2
…(6)
Sehingga gaya, Qp = m[
𝑑2 𝜌
𝑑𝑡2
− 𝜌 (
𝑑𝜑
𝑑𝑡
)
2
] …(7)
Untuk koordinat (𝜑)
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝜑
) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝜌2 𝑑𝜑
𝑑𝑡
) = 2𝑚𝜌
𝑑𝜌
𝑑𝑡
𝑑𝜑
𝑑𝑡
+ m𝜌2 𝑑2 𝜑
𝑑𝑡2
,
𝜕𝑇
𝜕𝜑
= 0 ….(8)
Sehingga gaya,Q𝜑 = 𝑚 (2
𝑑𝜌
𝑑𝑡
𝑑𝜑
𝑑𝑡
+ 𝜌
𝑑2 𝜑
𝑑𝑡2
) …(9)
Koordinat (z)
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑧
) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚
𝑑𝑧
𝑑𝑡
) = 𝑚
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2
,
𝜕𝑇
𝜕𝑧
= 0 …(10)
Sehingga gaya, Qz = m
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2
…(11)
Jadi persamaan gerak partikel dalam komponen-komponennya,
Qp = m[
𝑑2 𝜌
𝑑𝑡2
− (
𝑑𝜑
𝑑𝑡
)
2
], 𝑄𝜑 = 𝑚 (2
𝑑𝜌
𝑑𝑡
𝑑𝜑
𝑑𝑡
+ 𝜌
𝑑2 𝜑
𝑑𝑡2
) …(12)

3. Dan Qz = m
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2
…(13)
(Pujayanto,2011)
Dari penjelasan persamaan Lagrange pada koordianat kartesius dan silinder, maka
dapat kita simpulkan prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan
differensial gerak dari sebuah system adalah sebagai berikut :
1. Pilih sebuah koordinat untuk menyatakan konfigurasi system
2. Cari energi kinetic T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya
terhadap waktu.
3. Jika system tersebut konservatif cari energi potensial U sebagai fungsi
koordinatnya atau jika system tersebut tidak konservatif cari koordinat
umumnya.
U