Ada banyak cara untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear diantaranya dengan menggunakan metode langsung, misalnya Gauss dan variasi-variasinya dan metode iterasi, diantaranya Jacobi dan Gauss-Seidel. Metode iterasi Gauss-Seidel merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan tidak diketahui. Sebagai titik awal pada proses rekursi tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya X = 0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah diketahui tahap sebelumnya dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya. Proses tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.
Prov.Jabar_1504_Pengumuman Seleksi Tahap 2_CGP A11 (2).pdf
Laporan alpro
1. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR METODE ITERASI
GAUSS SEIDEL DENGAN MATLAB
KELOMPOK 2
ANGGOTA :
1. YOHANA KEVISA EVALIANI H1071151015
2. ZULIYA EKA FITRIANA H1071151028
3. DESI INDAH PURNAMA H1071151037
4. SALAWATI H1071151040
LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS TANJUNGPURA
PONTIANAK
2017
2. Ekstraksi
Yohana Kevisa Evaliani*1, Zuliya Eka Fitriana*,Desi Indah Purnama*,Salawati*
*Mahasiswa Program Studi S1 Geofisika Fakultas Matematika Dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Tanjungpura Pontianak Jalan Prof. Dr. Hadari
Nawawi, Pontianak, Indonesia
1yohanakevisa@student.untan.ac.id
ABSTRAK
Ada banyak cara untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear diantaranya dengan
menggunakan metode langsung, misalnya Gauss dan variasi-variasinya dan metode iterasi,
diantaranya Jacobi dan Gauss-Seidel. Metode iterasi Gauss-Seidel merupakan proses rekursi
berulang untuk mendekati bilangan tidak diketahui. Sebagai titik awal pada proses rekursi
tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya X = 0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah
diketahui tahap sebelumnya dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya. Proses
tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi
kesalahan tertentu telah dicapai.
Kata kunci : Sistem persamaan Linear, Metode Gauss-Seidel
A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Sistem persamaan linear yang terdiri
dari n persamaan dengan n variabel
𝑥1, 𝑥2,….𝑥 𝑛 (Anton, 2007:24), dinyatakan
dengan
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 +..........+ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 +..........+ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
……..+………+……...+…….. =…
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 +..........+ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Sistem persamaan linear dapat
diselesaikan dengan metode langsung yaitu
diantaranya metode eliminasi Gauss, metode
eliminasi Gauss Jordan atau metode iterasi.
Metode iterasi lebih cocok digunakan dalam
kasus tertentu, yaitu sistem yang besar.
Metode iterasi menggunakan algoritma
secara rekursi dalam menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear.
Algoritma tersebut dilakukan sampai
diperoleh suatu nilai konvergen dengan
toleransi yang diberikan atau sesuai dengan
3. batas galat yang kita perbolehkan, dengan
kata lain besar galat dapat dikendalikan
sampai batas yang bias diterima (Munir,
2010:173). Ada dua metode iterasi yang
sering digunakan, yaitu metode Jacobi dan
metode Gauss-Seidel.
Seperti halnya metode iterasi Jacobi,
metode iterasi Gauss-Seidel juga merupakan
proses rekursi berulang untuk mendekati
bilangan yang tidak diketahui (x). Sebagai
titik awal pada proses rekursi tersebut
diperlukan nilai awal dan biasanya adalah
x=0. Pada proses selanjutnya nilai yang
sudah diketahui tahap sebelumnya (X(1))
dipergunakan untuk mencari nilai pada
tahap berikutnya (X(2)). Proses tersebut
terus berulang hingga diperoleh nilai X yang
sesungguhnya atau berhenti jika toleransi
kesalahan tertentu telah dicapai.(Ruminta,
2009:311).
2. Perumusan Masalah
Berdasarkan uarian di atas,
permasahan yang dibahas adalah
bagaimana penurunan
algoritma metode Gauss-
Seidel ?
bagaimana menganalisis
error secara numerik metode
Gauss-Seidel ?
bagaimana penerapan
metode Gauss-Seidel pada
suatu kasus ?
3. Tujuan
Tujuan makalah ini adalah
menjelaskan tentang
penurunan algoritma metode
Gauss-Seidel.
menjelaskan bagaimana
menganalisis error secara
numerik metode Gauss-
Seidel.
menjelaskan tentang
penerapan metode Gauss-
Seidel pada suatu kasus.
B. PEMBAHASAN
1. Penurunan Algoritma Metode
Gauss-Seidel
Kita bahas sistem persamaan linear
(Anton, 2007:24) :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 +..........+ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 +..........+ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
……..+………+……...+…….. =…
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 +..........+ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Persamaan ke-i dari persamaan di
atas adalah 𝑎𝑖1 𝑥1 + 𝑎𝑖2 𝑥2 + 𝑎𝑖𝑖 𝑥 𝑖 +…….+
𝑎𝑖𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏𝑖
dimana i = 1,2,3,….,n.
4. dapat diekspresikan sebagai
𝒂𝒊𝒊 𝒙𝒊+ ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝒊 = 𝒃𝒊 dengan i
= 1,2,3,………n
Karena dalam metode Gauss-Seidel,
nilai estimasi baru digunakan dalam
perhitungan maka penyelesaian persamaan
ke-i diekspresikan sebagai
𝒙𝒊 =
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 –
∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ]
Dengan demikian, algoritma metode Gauss-
Seidel diekspresikan sebagai
𝒙𝒊
(𝒌−𝟏)
=
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 𝒙𝒋
(𝒌−𝟏)
–
∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
(𝒌)𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ], k= 1,2,3,…..n
Untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan metode Gauss-
Seidel diperlukan suatu nilai pendekatan
awal yaitu 𝑥0. biasanya tidak diketahui dan
dipilih 𝑥0=0
2. Analisis Error Pada Metode
Gauss-Seidel
Menurut May (dalam Nugroho,
2003:3) untuk menyelesaikan persamaan
linear dengan metode iterasi, koefisien
matriks A dipecah menjadi dua bagian, N
dan P, sedemikian hingga A=N − P.
Diperoleh bahwa N (x - 𝑥(𝑘−1)
) = P ( x −
𝑥 𝑘
) atau (x − 𝑥(𝑘−1)
= M (𝑥 − 𝑥 𝑘
) dengan
M = 𝑁−1
P.
Perhatikan bahwa :
𝒂𝒊𝒊 𝒙𝒊
(𝒌−𝟏)
=−[ ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
(𝒌)𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝒊 ] + 𝒃𝒊
Sehingga diperoleh :
N = diag (𝑎11 𝑎22,………..𝑎 𝑛𝑛) =
[
𝑎11 0 0
0 𝑎22 0
0 0 𝑎 𝑛𝑛
]
P = [
0 −𝑎12 −𝑎1𝑛
−𝑎21 0 −𝑎2𝑛
−𝑎 𝑛1 −𝑎 𝑛2 0
]
Karena M = 𝑁−1
P maka :
M =
[
1
𝑎11
0 0
0
1
𝑎22
0
0 0
1
𝑎 𝑛𝑛 ]
x
[
0 −𝑎12 −𝑎1𝑛
−𝑎21 0 −𝑎2𝑛
−𝑎 𝑛1 −𝑎 𝑛2 0
]
M =
[
0 −
𝑎12
𝑎11
−
𝑎1𝑛
𝑎11
−
𝑎21
𝑎22
0 −
𝑎2𝑛
𝑎22
−
𝑎 𝑛1
𝑎 𝑛𝑛
−
𝑎 𝑛2
𝑎 𝑛𝑛
0 ]
Dengan demikian, dapat diperoleh
∥ 𝑀 ∥∞ = 1≤𝑗≤𝑛
𝑚𝑎𝑥 ∑ |
𝑎 𝑖𝑗
𝑎 𝑖𝑖
|𝑛
𝑗=1,𝑗≠𝑖
5. Oleh karena itu, syarat cukup agar metode
Gauss-Seidel konvergen adalah :
∑ |
𝒂𝒊𝒋
𝒂𝒊𝒊
|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
< 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝒂𝒊𝒊 > ∑ |𝒂𝒊𝒋|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
, 𝒊
= 𝟏, 𝟐, 𝟑 …… 𝒏
Dengan demikian metode Gauss-Seidel akan
konvergen jika koefisien matriks dominan
secara diagonal. Dalam hal ini, perlu dicatat
bahwa menyusun ulang persamaan akan
membuat koefisien matriks dominan secara
diagonal. Iterasi Gauss-Seidel dapat
dihentikan jika toleransi kesalahan tertentu
telah tercapai
|
𝒙 𝒌+𝟏 − 𝒙 𝒌
𝒙 𝒌+𝟏
| x 100 < 𝜺
3. Penerapan Metode Gauss-Seidel
Dalam Kasus
Diberikan sistem persamaan linear
yaitu:
10 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 6
−𝑥1 + 11 𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 25
2𝑥1 − 𝑥2+10𝑥3 − 𝑥4 = −11
3𝑥2 − 𝑥3 + 8𝑥4 = 15
Persamaan diatas ditulis lagi :
𝑥1
(𝑘)
=
1
10
𝑥2
(𝑘−1)
−
2
10
𝑥3
( 𝑘−1)
+
6
10
𝑥2
(𝑘)
=
1
11
𝑥1
(𝑘)
+
1
11
𝑥3
(𝑘−1)
−
3
11
𝑥4
(𝑘−1)
+
25
11
𝑥3
(𝑘)
= −
2
10
𝑥1
(𝑘)
+
1
10
𝑥2
(𝑘−1)
+
1
10
𝑥4
(𝑘−1)
−
11
10
𝑥4
(𝑘)
= −
3
8
𝑥2
(𝑘)
+
1
8
𝑥3
(𝑘)
+
15
8
Diperoleh Hasil :
𝑘 0 1 2 3 4 5
𝑥1
( 𝑘) 0,00000 0,6000 1,030 1,0065 1,009 1,0001
𝑥2
(𝑘) 0,00000 2,3272 2,037 2,0036 2,0003 2,0000
𝑥3
(𝑘) 0,00000 -0,9873 -1,014 -1,0025 -1,0003 -1,0000
𝑥4
(𝑘) 0,0000 0,8789 0,9844 0,9983 0,9999 1,0000
6. C. PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan penurunan algoritma
dan penerapan dalam kasus di atas, dapat
diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
o Algoritma metode Gauss-Seidel
adalah
𝒙𝒊
(𝒌+𝟏)
=
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 𝒙𝒋
(𝒌+𝟏)
–
∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
(𝒌)𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ]
Dimana k = 0, 1, 2, …., dengan nilai
pendekatan awal biasanya diambil X(0) = 0.
o Suatu kasus sistem persamaan linear
akan mendapatkan penyelesaian
yang konvergen jika memenuhi
syarat yaitu
∑ |
𝒂𝒊𝒋
𝒂𝒊𝒊
|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
< 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝒂𝒊𝒊
> ∑ |𝒂𝒊𝒋|
𝒏
𝒋=𝟏,𝒋≠𝟏
, 𝒊
= 𝟏, 𝟐, 𝟑 …… 𝒏
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Renaldi. 2008. metode numerik. Bandung: Informatika
Ruminta. 2009. matrik persamaan linier dan pemrograman linier. Bandung: Rekayasa Sains
Luknanto, Djoko. 2001. metoda numerik. Yogyakarta: UGM
Anton, Howard. 2003. dasar-dasar aljabar linier. Tanggerang: Binarup Aksara Publisher
Nugroho, Susilo. 2003. penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode iterasi. Jurnal
matematika
7. Lampiran
1. Script Matlab
clear all
clc
disp('Metode Gauss Seidel')
disp('___________________')
disp('----------nilai awal----------')
xlama=zeros(4,1)%matrik data lama
n=4 %jumlah elemen vektor
itermaks=10 %jumlah iterasi
maksimal
sc=0.001 %stopping-criteria
for i=1:itermaks
%------nilai update-------------
xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-
(2/10)*xlama(3,1)+(6/10)
xbaru(2,1)=(1/11)*xbaru(1,1)+(1/11)
*xlama(3,1)-
(3/11)*xlama(4,1)+(25/11)
xbaru(3,1)=-
(2/10)*xbaru(1,1)+(1/10)*xbaru(2,1)
+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10)
xbaru(4,1)=-
(3/8)*xbaru(2,1)+(1/8)*xbaru(3,1)+(
15/8)
xbaru
%------norm selisih-------------
s=0;
for i=1:n
s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
end
epsilon=sqrt(s)
%------memeriksa stopping criteria,
sc--------
if epsilon<sc
break
end
xlama=xbaru; %xbaru dijadikan
xlama untuk iterasi berikutnya
end
2. Variabel yang digunakan
Break = keluar dari suatu loop
Epsilon = bilangan yang sangat kecil
mendekati nol (0) yang merupakan
batas akurasi perhitungan
Length = untuk mengetahui ukuran
atau dimensi dari matriks
Norm = fungsi distribusi normal
gaussian
Operasi (:) = sampai dengan
Operasi(;) = perhitungan tanpa
menampilkan hasil
Operasi (‘) = operasi transposisi
untuk matriks berisi bilangan rill
atau transposisi dan konjugasi untuk
matriks kompleks
Operasi (*)= perkalian
Operasi(/)= pembagian
Operasi (+) = penjumlahan
Operasi (-)= pengurangan dan tanda
negatif
Zeros = membuat matriks atau
vektor nol
Sc = batas perhentian
8. 3. Flow Chart MULAI
INPUT MATRIKS
INPUT VEKTOR
TENTUKAN DIMENSI
VEKTOR
𝟏
𝒂 𝒊𝒊
[𝒃𝒊 – ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒊−𝟏
𝒋=𝟏 – ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝒊+𝟏 ]
FOR i = 1:n
BERHENTI
s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;
epsilon=sqrt(s)
FOR i=1:ITERMAKS
xlama=xbaru
If epsilon<sc
BREAK
