Dokumen tersebut membahas berbagai metode untuk menemukan akar persamaan, termasuk metode grafik, metode bagi dua, metode posisi palsu, metode carian inkremental, metode iterasi satu titik sederhana, metode Newton Raphson, dan metode Secant. Metode-metode tersebut menggunakan berbagai algoritma untuk memperkirakan nilai x yang membuat nilai fungsi f(x) sama dengan nol.

1. Algoritma
Akar Persamaan
Arif Rahman, ST MT
1

2. AkarPersamaan
Akar persamaan menyatakan harga
variabel x yang membuat nilai
fungsi f(x) sama dengan 0 (nol)
Akar persamaan kuadrat
Akar persamaan bukan kuadrat
Metode Akolade
Metode Terbuka
a
acbb
x
2
42
12
−±−
=
2

3. MetodeAkolade
Metode Akolade (Bracketing Method)
Metode Grafik
Metode Bagi Dua
Metode Posisi Palsu
Metode Carian Inkremental
3

4. MetodeTerbuka
Metode Terbuka
Iterasi Satu Titik Sederhana
Metode Newton Raphson
Metode Secant
Akar Ganda
4

5. AkarPersamaanKuadrat
N
akar = b2
-(4*a*c)
akar > 0
X1 = (-b + √akar) / (2 * a)
X2 = (-b – √akar) / (2 * a)
N
Y
akar = 0
X1 = (-b ) / (2 * a)
X2 =X1
Y
akar imaginer
5

6. MetodeGrafik
Metode grafik memperoleh taksiran mengenai
akar persamaan dengan membuat grafik fungsi
tersebut dan mengamati di mana ia memotong
sumbu x
Taksiran akar persamaan adalah sebesar x = 0,57
f(0,57) = e-0,57
– 0,57 = -0,0045
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x) = e-x
– x
x f(x)
0 1,000
0,1 0,805
0,2 0,619
0,3 0,441
0,4 0,270
0,5 0,107
0,6 -0,051
0,7 -0,203
0,8 -0,351
0,9 -0,493
1 -0,632
6

7. MetodeBagiDua
Metode bagi dua (bisection method),
disebut juga pemotongan biner
(binary chopping), pembagian dua
(interval halving) atau metode
Bolzano adalah suatu jenis carian
inkremental di mana interval
senantiasa dibagi separuhnya.
7

8. MetodeBagiDua
Algoritma :
1. Pilih taksiran awal terrendah xlower dan tertinggi
xupper
2. Taksiran akar ditentukan dari
3. Evaluasi hasil taksiran
Jika nilai absolut f(xestimated) < batas penyimpangan,
hentikan, akar = xestimated
Jika (f(xlower).f(xestimated)) = 0, hentikan, akar = xestimated
Jika (f(xlower).f(xestimated)) < 0, xupper = xestimated , ulangi langkah
2
Jika (f(xlower).f(xestimated)) > 0, xlower = xestimated , ulangi langkah
2
8
2
upperlower
estimated
xx
x
+
=

9. MetodeBagiDua
N
Xlower
Xupper
Xestimated = (Xlower +Xupper) / 2
Abs(f(Xe)) < Batas
Y
Y
akar = Xestimated
(f(Xl).f(Xe)) = 0 (f(Xl).f(Xe)) < 0
Xlower = Xestimated
Xupper = Xestimated
N N
Y
9

10. MetodeBagiDua
Iterasi xlower xupper f(xlower) f(xupper) xestimated f(xestimated)
1 0 1 1 -0,6321 0,5 0,1065
2 0,5 1 0,1065 -0,6321 0,75 -0,2776
3 0,5 0,75 0,1065 -0,2776 0,625 -0,0897
4 0,5 0,625 0,1065 -0,0897 0,5625 0,0073
5 0,5625 0,625 0,0073 -0,0897 0,59375 -0,0415
6 0,5625 0,59375 0,0073 -0,0415 0,578125 -0,0172
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x) = e-x
– x
10

11. MetodePosisiPalsu
Metode posisi palsu (method of false
position), disebut juga metode
interpolasi linear, adalah suatu jenis
carian inkremental di mana interval
didasarkan pada perkalian
penyimpangan dengan fungsi
sebelumnya.
11

12. MetodePosisiPalsu
Algoritma :
1. Pilih taksiran awal terrendah xlower dan tertinggi
xupper
2. Taksiran akar ditentukan dari
3. Evaluasi hasil taksiran
Jika nilai absolut f(xestimated) < batas penyimpangan,
hentikan, akar = xestimated
Jika (f(xlower).f(xestimated)) = 0, hentikan, akar = xestimated
Jika (f(xlower).f(xestimated)) < 0, xupper = xestimated , ulangi langkah
2
Jika (f(xlower).f(xestimated)) > 0, xlower = xestimated , ulangi langkah
2
12
)()(
)).((
upperlower
upperlowerupper
upperestimated
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=

13. MetodePosisiPalsu
N
Xlower
Xupper
Abs(f(Xe)) < Batas
Y
Y
akar = Xestimated
(f(Xl).f(Xe)) = 0 (f(Xl).f(Xe)) < 0
Xlower = Xestimated
Xupper = Xestimated
N N
Y
13
)()(
)).((
upperlower
upperlowerupper
upperestimated
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=

14. MetodePosisiPalsu
Iterasi xlower xupper f(xlower) f(xupper) xestimated f(xestimated)
1 0 1 1 -0,6321 0,6127 -0,0708
2 0 0,6127 1 -0,0708 0,57218 -0,0079
3 0 0,57218 1 -0,0079 0,56770 -0,0009
4 0 0,56770 1 -0,0009 0,56721 -9,8E-05
5 0 0,56721 1 -9,8E-05 0,56715 -1,1E-05
6 0 0,56715 1 -1,1E-05 0,56714 -1,2E-06
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x) = e-x
– x
14

15. MetodeCarianInkremental
Metode carian inkremental (method
of incremental trace), adalah metode
pencarian dengan menetapkan
pilihan bermula pada suatu ujung
daerah yang diinginkan, lalu
membuat evaluasi fungsi dengan
kenaikan kecil di sepanjang daerah
tersebut. Jika tanda fungsi berubah
berarti terdapat akar yang
terlewatkan.
15

16. MetodeCarianInkremental
Algoritma :
1. Pilih taksiran awal xinitial dan inkremental ∆x
2. Taksiran akar ditentukan dari
xestimated = xinitial + ∆x
3. Evaluasi hasil taksiran
Jika nilai absolut f(xestimated) < batas penyimpangan,
hentikan, akar = xestimated
Jika (f(xinitial).f(xestimated)) = 0, hentikan, akar = xestimated
Jika f(xinitial) > 0 dan f(xinitial) < f(xestimated), atau jika f(xinitial) <
0 dan f(xinitial) > f(xestimated) , maka ubah tanda (+/-) dari
∆x , ulangi langkah 2
Jika (f(xinitial).f(xestimated)) < 0, xinitial = xestimated , maka ubah
tanda (+/-) dari ∆x, dan perkecil besaran absolut
∆x, ulangi langkah 2
16

17. MetodeCarianInkremental
N
Xinitial
∆ X
Xestimated = Xlast + (Pengali * ∆ X)
Abs(f(Xe)) < Batas
Y
Y
akar = Xestimated
(f(Xl).f(Xe)) = 0 (f(Xl).f(Xe)) < 0
Xinitial = Xestimated
Pengali = -1 * Pengali
∆ X = ∆ X / 10
N N
Y
Pengali = 1
17

18. MetodeIterasiSatuTitik
Sederhana
Metode iterasi satu titik sederhana
(one simple point iteration), adalah
metode pencarian dengan mengatur
kembali fungsi persamaan
sedemikian hingga x berada pada
ruas kiri persamaan.
f(x) = 0
⇔ x = f(x) + x
18

19. MetodeIterasiSatuTitikSederhana
Algoritma :
1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0
2. Akar iterasi ke-i ditaksir dari
xi = f(xi-1)+ xi-1
1. Evaluasi hasil taksiran
1. Jika f(xi) = 0, hentikan, akar = xi
2. Jika nilai absolut f(xi) < batas toleransi
penyimpangan, hentikan, akar = xi
3. Lanjutkan iterasi berikutnya, i = i + 1,
ulangi langkah 2
19

20. MetodeIterasiSatuTitik
Sederhana
Iterasi xestimated f(xestimated)
0 0 1
1 1 -0,6321
2 0,36788 0,3243
3 0,69220 -0,1917
4 0,50047 0,1058
5 0,60624 -0,0608
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Iterasi xestimated f(xestimated)
6 0,54540 0,0342
7 0,57961 -0,0195
8 0,56012 0,0110
9 0,57114 -0,0063
10 0,56488 0,0035
11 0,56843 -0,0020
f(x) = e-x
– xx = e-x
f(x) = e-x
– x
20

21. MetodeNewtonRaphson
Metode Newton Raphson, adalah
metode pencarian yang diturunkan
berdasarkan interpretasi geometrik
di mana jika tebakan awal dari akr
adalah xi , sebuah garis singgung
dapat diperluas dari titik [xi, f(xi)].
f(x) = 0
⇔
⇔
dx
xf
xf
)(
)(' =
1
0)(
)('
+−
−
=
ii
i
i
xx
xf
xf
21

22. MetodeNewtonRaphson
Algoritma :
1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0
2. Akar iterasi ke-i ditaksir dari
3. Evaluasi hasil taksiran
Jika f(xi) = 0, hentikan, akar = xi
Jika nilai absolut f(xi) < batas toleransi
penyimpangan, hentikan, akar = xi
Lanjutkan iterasi berikutnya, i = i + 1,
ulangi langkah 2
22
)('
)(
1
1
1
−
−
− −=
i
i
ii
xf
xf
xx

23. MetodeNewtonRaphson
Iterasi xestimated f(xestimated) f '(xestimated)
0 0 1 -2
1 0,5 0,1065 -1,6065
2 0,566311003 0,0013 -1,5676
3 0,567143165 1,9E-07 -1,5671
4 0,56714329 4,4E-15 -1,5671
5 0,56714329 0 -1,5671
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x) = e-x
– x
23

24. MetodeSecant
Metode Secant, adalah metode
pencarian dengan pendekatan
differensiasi terbagi hingga.
f(x) = 0
⇔
⇔
dx
xf
xf
)(
)(' =
ii
ii
i
xx
xfxf
xf
−
−
=
−
−
1
1 )()(
)('
24

25. MetodeSecant
Algoritma :
1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0
dengan x-1 ≠ x0
2. Akar iterasi ke-i ditaksir dari
3. Evaluasi hasil taksiran
Jika f(xi) = 0, hentikan, akar = xi
Jika nilai absolut f(xi) < batas toleransi
penyimpangan, hentikan, akar = xi
Lanjutkan iterasi berikutnya, i = i + 1,
ulangi langkah 2
25
)()(
)).((
12
121
1
−−
−−−
−
−
−
−=
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx

26. MetodeSecant
Iterasi xestimated f(xestimated)
-1 1 -0,6321
0 0 1
1 0,612699837 -0,0708
2 0,572181412 -0,0079
3 0,56710208 6,4E-05
4 0,567143328 -5,9E-08
5 0,56714329 -4,4E-13
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x) = e-x
– x
26

27. MetodeAkarGanda
Metode Akar Ganda yang
dikembangkan Ralston dan
Rabinowitz, adalah metode
pencarian yang berhubungan
dengan titik ekstrim (maksimum,
minimum atau belok) dalam fungsi
menyinggung sumbu x .
27

28. MetodeAkarGanda
Algoritma :
1. Pilih taksiran awal iterasi ke-0, x0 = 0
2. Akar iterasi ke-i ditaksir dari
3. Evaluasi hasil taksiran
Jika f(xi) = 0, hentikan, akar = xi
Jika nilai absolut f(xi) < batas toleransi
penyimpangan, hentikan, akar = xi
Lanjutkan iterasi berikutnya, i = i + 1,
ulangi langkah 2
28
)(").())('(
)(').(
11
2
1
11
1
−−−
−−
−
−
−=
iii
ii
ii
xfxfxf
xfxf
xx

29. MetodeAkarGanda
Iterasi xestimated f(xestimated) f '(xestimated) f '' (xestimated)
0 0 1 -2 1
1 0,666666667 -0,15325 -1,51342 0,51342
2 0,568769033 -0,00255 -1,56622 0,56622
3 0,567143768 -7,5E-07 -1,56714 0,56714
4 0,56714329 -6,5E-14 -1,56714 0,56714
5 0,56714329 0 -1,56714 0,56714
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x) = e-x
– x
29

30. Akhir Perkuliahan…Akhir Perkuliahan…
…… Ada Yang DitanyakanAda Yang Ditanyakan
30