Skripsi ini membahas solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu. Metode ini digunakan untuk menentukan solusi khusus dari sistem persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi pemisalan yang sesuai dengan bentuk fungsi tak homogen, lalu menghitung koefisiennya. Langkah-langkahnya adalah menuliskan sistem dalam bentuk matriks, mencari solusi homogen, memilih fungsi pemisalan sesuai bentuk

1. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN
DENGAN METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Ruth Dian Fitrio
Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Cenderawasih
Abstrak
Skripsi ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan dua
persamaan yang terdiri dua fungsi tak diketahui dan tiga persamaan yang terdiri dari tiga fungsi tak
diketahui, khususnya yang berorde satu dan memiliki koefisien konstan menggunakan metode koefisien
tak tentu. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan solusi sistem persamaan diferensial
dengan metode koefisien tak tentu dimulai dengan menuliskan sistem persamaan diferensial dalam
bentuk matriks 𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙) dengan 𝐴 merupakan matriks koefisien berordo 𝑛 × 𝑛 dan 𝑭(𝒙)
merupakan matriks fungsi tak homogen dari sistem tersebut. Langkah selanjutnya yaitu mencari
determinan dari matriks koefisien 𝐴, jika det(𝐴) ≠ 0, maka perhitungan dapat dilanjutkan yaitu mencari
solusi homogen (𝒚ℎ) dari sistem homogen 𝒚′
= 𝐴𝒚 dengan cara mencari nilai eigen dan vektor eigen
dari matriks 𝐴 sehingga diperoleh solusi homogen dari sistem persamaan diferensial, yaitu
𝒚ℎ = 𝑐1 𝐯1 𝑒 𝜆1 𝑥
+ 𝑐2 𝐯2 𝑒 𝜆2 𝑥
+ ⋯ + 𝑐 𝑛 𝐯n 𝑒 𝜆 𝑛 𝑥
dengan 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆 𝑛 merupakan nilai eigen dan 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯 𝑛
merupakan vektor eigen dari matriks 𝐴. Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi khusus (𝒚 𝑝) dari
fungsi tak homogen 𝑭(𝒙). Langkah-langkahnya yaitu, melihat bentuk fungsi yang mirip dengan fungsi
tak homogen 𝑭(𝒙) dari bentuk-bentuk fungsi yang tersedia. Kemudian lihat kesamaan 𝑭(𝒙) dengan
solusi homogen (𝒚ℎ), setelah itu memilih pemisalan 𝒚 𝑝 yaitu bentuk fungsi yang mirip dengan bentuk
𝑭(𝒙) dengan mengikuti aturan yang ada. Selanjutnya, substitusikan 𝒚 𝑝 ke sistem 𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙) untuk
mencari nilai dari koefisien-koefisien pada 𝒚 𝑝. Setelah 𝒚ℎ dan 𝒚 𝑝 diperoleh, maka dapat ditentukan
solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen yaitu 𝒚 = 𝒚ℎ + 𝒚 𝑝.
Kata kunci: Sistem Persamaan Diferensial, Metode Koefisien Tak Tentu
1. Latar Belakang
Persamaan diferensial dengan bentuk
𝑎 𝑛(𝑥)𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)
+ ⋯ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
dengan 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 dan 𝑔 adalah fungsi-
fungsi dari variabel bebas 𝑥, 𝑎 𝑛 ≠ 0 dan
𝑔(𝑥) ≠ 0 merupakan bentuk umum dari
persamaan diferensial linear tak homogen.
Sistem persamaan diferensial linear tak
homogen adalah sistem yang memuat 2 atau
lebih persamaan diferensial linear tak
homogen.
Solusi dari sistem persamaan
diferensial linear tak homogen ini dapat dicari
dengan menggunakan suatu metode tertentu.
Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu
metode koefisien tak tentu.
2. Landasan Teori
Definisi 2.1 (Anton, 2009)
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku
dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan
dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam
matriks.
Definisi 2.2 (Anton dan Rorres, 2004)
Sistem persamaan linear adalah suatu sistem
sebarang yang terdiri dari 𝑚 persamaan linear
dengan 𝑛 variabel yang tidak diketahui dengan
bentuk:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2+. . . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2+. . . +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2+. . . +𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚
dengan 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑖 merupakan konstanta dan
𝑖 = 1, 2, … , 𝑚, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛.
Sistem persamaan linear (2.1) dapat
ditulis matriks sebagai berikut
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2
⋱ ⋮
⋯ 𝑎 𝑚𝑛
] [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑚
] = [
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑚
]
Definisi 2.3 (Anton & Rorres, 2004)
Misalkan 𝐴 adalah matriks bujursangkar, maka
sebuah vektor tak nol 𝐯 dalam 𝑅 𝑛
dinamakan
vektor eigen dari 𝐴 jika 𝐴𝐯 adalah kelipatan
skalar dari 𝐯, yaitu:
𝐴𝐯 = 𝜆𝐯
dengan 𝜆 adalah skalar. Selanjutnya skalar 𝜆
dinamakan nilai eigen dari 𝐴 dan 𝐯 dikatakan
(2.1)

2. vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝐴 yang
terkait dengan 𝜆.
Persamaan Diferensial (Finizio & Ladas,
1988)
Persamaan diferensial linear yaitu
persamaan diferensial yang berpangkat satu
dalam peubah tak bebas dan turunan-
turunannya yaitu persamaan diferensial yang
berbentuk :
𝑎 𝑛(𝑥)𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)
+ ⋯ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
dengan 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi
dari variabel bebas 𝑥, serta 𝑎 𝑛 ≠ 0.
a. Jika 𝑔(𝑥) = 0 maka persamaan tersebut
homogen.
b. Jika 𝑔(𝑥) ≠ 0 maka persamaan tersebut tak
homogen.
c. Jika seluruh koefisien 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 adalah
konstanta, maka persamaan tersebut
dikatakan memiliki koefisien konstan.
Metode Koefisien Tak Tentu
Metode ini digunakan untuk
menghitung suatu penyelesaian khusus dari
persamaan diferensial tak homogen
𝑎 𝑛(𝑥)𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)
+ ⋯ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
dengan koefisien-koefisien 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛
merupakan konstanta-konstanta, 𝑎 𝑛 ≠ 0 dan
𝑔(𝑥) adalah kombinasi linear dari fungsi
dengan tipe yang dapat dilihat pada tabel
berikut.
Tabel 2. 1 Metode Koefisien Tak Tentu
Suku-suku dalam
𝑔(𝑥)
Pilihan untuk 𝑦𝑝
𝑘𝑒 𝛾𝑥
𝐶𝑒 𝛾𝑥
𝐾𝑥 𝑛
(𝑛 = 0, 1, … ) 𝐾𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝐾𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯
+𝐾1 𝑥 + 𝐾0
𝑘𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑥 𝐾𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑥 + 𝑀𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑥
Sumber: Purcell, 2004
Aturan untuk metode koefisien tak tentu:
a. Aturan Dasar
Jika 𝑔(𝑥) adalah salah satu fungsi yang
ada dalam Tabel 2.1, pilih fungsi 𝑦𝑝 yang
bersesuaian dan tentukan koefisien tak
tentunya dengan mensubstitusikan 𝑦𝑝
pada persamaan awal.
b. Aturan Modifikasi
Jika 𝑔(𝑥) sama dengan solusi persamaan
diferensial homogen, kalikan 𝑦𝑝 yang
bersesuaian dalam Tabel 2.1 dengan 𝑥
(atau 𝑥2
jika 𝑔(𝑥) sama dengan solusi akar
kembar persamaan diferensial homogen)
c. Aturan Penjumlahan
Jika 𝑔(𝑥) adalah jumlah fungsi-fungsi yang
terdapat dalam Tabel 2.1 pada kolom
pertama, 𝑦𝑝 adalah jumlah fungsi pada
baris yang bersesuaian.
3. Pembahasan
3.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD)
Linear Orde Satu
Definisi 3.1 (Goode, 1991)
Sistem Persamaan Diferensial (SPD) linear orde
satu dengan 𝑛 persamaan dan 𝑛 fungsi tak
diketahui dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑦1′ = 𝑎11 𝑦1 + 𝑎12 𝑦2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑦𝑛 + 𝐹1(𝑥)
𝑦2′ = 𝑎21 𝑦1 + 𝑎22 𝑦2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑦𝑛 + 𝐹2(𝑥)
⋮
𝑦𝑛′ = 𝑎 𝑛1 𝑦1 + 𝑎 𝑛2 𝑦2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑦𝑛 + 𝐹𝑛(𝑥)
dengan 𝑦𝑖′ =
𝑑𝑦 𝑖
𝑑𝑥
, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Sistem (3.1) dapat ditulis dalam bentuk
matriks
𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙)
dengan
𝒚 = [
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
], 𝒚′
= [
𝑦1′
𝑦2′
⋮
𝑦𝑛′
], 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2
⋮
⋯ 𝑎 𝑛𝑛
]
dan 𝑭(𝒙) = [
𝐹1(𝑥)
𝐹2(𝑥)
⋮
𝐹𝑛(𝑥)
],
𝐴 merupakan matriks koefisien yang berordo
𝑛 × 𝑛. Jika 𝑭(𝒙) = 𝟎, maka Sistem (3.1)
dikatakan SPD homogen, sehingga bentuk
matriksnya adalah
𝒚′
= 𝐴𝒚
selain itu dikatakan SPD tak homogen.
3.2 Solusi SPD Linear Tak Homogen
dengan Metode Koefisien Tak Tentu
Langkah-langkah menentukan solusi sistem
persamaan diferensial tak homogen dengan
metode koefisien tak tentu yaitu:
1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks
𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙).
2. Menghitung determinan dari matriks
koefisien 𝐴, jika det(𝐴) = 0, maka
perhitungannya tidak dilanjutkan.
3. Mencari solusi homogen dari sistem
𝒚′
= 𝐴𝒚 yaitu
𝒚ℎ = 𝑐1 𝒗1 𝑒 𝜆1 𝑥
+ 𝑐2 𝒗2 𝑒 𝜆2 𝑥
dengan 𝜆 dan v merupakan nilai dan
vektor eigen dari matriks 𝐴.
4. Mencari solusi khusus dari fungsi tak
homogen 𝑭(𝒙) dengan cara melihat dan
mencocokkan bentuk fungsi 𝑭(𝒙) dengan
bentuk yang tersedia dan dengan solusi
homogen, kemudian pilih pemisalan 𝒚 𝑝
yang bentuknya sesuai dengan bentuk
𝑭(𝒙), setelah itu substitusikan 𝒚 𝑝 ke
(3.1)

3. sistem 𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙) untuk mencari
koefisien-koefisien dari 𝒚 𝑝.
5. Diperoleh solusi umum dari sistem
persamaan diferensial linear tak homogen,
yaitu
𝒚 = 𝒚ℎ + 𝒚 𝑝
3.3 Studi Kasus Solusi SPD Linear Tak
Homogen dengan Metode Koefisien
Tak Tentu
Diberikan sebuah SPD linear sebagai berikut
𝑦1
′
= −3𝑦1 + 2𝑦2 − 𝑥2
𝑦2
′
= 𝑦1 − 2𝑦2 + 𝑒 𝑥
Solusi umumnya yaitu 𝒚 = 𝒚ℎ + 𝒚 𝑝
1. Bentuk matriks dari Sistem (3.2) adalah
𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙)
dengan 𝐴 = [
−3 2
1 −2
] dan 𝑭(𝒙) = [−𝑥2
𝑒 𝑥 ].
2. det(𝐴) = |
−3 2
1 −2
| = 4
karena det(𝐴) ≠ 0, maka solusi dapat
dicari.
3. Solusi Homogen (𝒚ℎ) dari SPD homogen
𝒚′
= 𝐴𝒚
𝒚ℎ = 𝑐1 𝒗1 𝑒 𝜆1 𝑥
+ 𝑐2 𝒗2 𝑒 𝜆2 𝑥
Mencari nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴
𝐴 = [
−3 2
1 −2
]
det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0
det([
𝜆 0
0 𝜆
] − [
−3 2
1 −2
]) = 0
|
𝜆 + 3 −2
−1 𝜆 + 2
| = 0
(𝜆 + 3)(𝜆 + 2) − (−2)(−1) = 0
𝜆2
+ 5𝜆 + 6 − 2 = 0
𝜆2
+ 5𝜆 + 4 = 0
(𝜆 + 1)(𝜆 + 4) = 0
Sehingga diperoleh nilai eigen dari 𝐴 yaitu
𝜆1 = −1 dan 𝜆2 = −4.
Selanjutnya, mencari vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen.
Untuk 𝜆1 = −1,
(𝜆𝐼 − 𝐴)𝒗 = 𝟎
[
𝜆 + 3 −2
−1 𝜆 + 2
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
0
0
]
[
2 −2
−1 1
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
0
0
]
Dengan operasi baris elementer, diperoleh
[
1 −1
0 0
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
0
0
]
– 𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥2 = 𝑥1
Misalkan 𝑥1 = 𝑠, maka 𝑥2 = 𝑠 sehingga
vektor 𝒗 = [
𝑠
𝑠
] = 𝑠 [
1
1
] jadi vektor eigen
yang bersesuaian dengan 𝜆1 = −1 yaitu
𝒗1 = [
1
1
]. Digunakan cara yang sama untuk
𝜆2 = −4, sehingga diperoleh vektor eigen
𝒗2 = [
−2
1
].
Sehingga diperoleh solusi homogen dari
SPD yaitu
𝒚ℎ = 𝑐1 𝒗1 𝑒 𝜆1 𝑥
+ 𝑐2 𝒗2 𝑒 𝜆2 𝑥
= 𝑐1 [
1
1
] 𝑒−𝑥
+ 𝑐2 [
−2
1
] 𝑒−4𝑥
4. Solusi khusus (𝒚 𝑝) dari fungsi tak
homogen 𝑭(𝒙)
𝑭(𝒙) = [−𝑥2
𝑒 𝑥 ] = [−𝑥2
0
] + [
0
𝑒 𝑥]
= [
−1
0
] 𝑥2
+ [
0
1
] 𝑒 𝑥
Dapat dilihat bahwa 𝑭(𝒙) memuat bentuk-
bentuk polinomial dan eksponensial, dan 𝑭(𝒙)
tidak sama dengan solusi homogen dari SPD,
sehingga dapat dipilih pemisalan 𝒚 𝑝 yang
sesuai dengan bentuk 𝑭(𝒙) yaitu
𝒚 𝑝 = 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 + 𝒄 + 𝒅𝑒 𝑥
Substitusikan 𝒚 𝑝 pada SPD (𝒚 𝑝)
′
= 𝐴𝒚 𝑝 + 𝑭(𝒙)
2𝒂𝑥 + 𝒃 + 𝒅𝑒 𝑥
= 𝐴𝒂𝑥2
+ 𝐴𝒃𝑥 + 𝐴𝒄 + 𝐴𝒅𝑒 𝑥
+ [
−1
0
] 𝑥2
+ [
0
1
] 𝑒 𝑥
Dari persamaan di atas, dikumpulkan koefisien-
koefisien 𝒂, 𝒃, 𝒄, dan 𝒅 sesuai dengan
variabelnya, yaitu:
1) koefisien dari 𝑥2
yaitu
𝟎 = 𝑨𝒂 + [
−1
0
]
2) koefisien dari 𝑥 yaitu
𝟐𝒂 = 𝑨𝒃
3) koefisien dari 𝑒 𝑥
yaitu
𝒅 = 𝐴𝒅 + [
0
1
]
4) dan koefisien dari konstanta yaitu
𝒃 = 𝑨𝒄
Dari Persamaan (1), diperoleh 𝒂 = [
−
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟒
]. Dari
Persamaan (2), diperoleh 𝒃 = [
3
4
5
8
]. Dari
Persamaan (3), diperoleh 𝒅 = [
2
10
4
10
] dan dari
Persamaan (4), diperoleh 𝒄 = [
−
11
16
−
21
32
].Sehingga
diperoleh solusi khusus (𝒚 𝑝) yaitu
𝒚 𝑝 = 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 + 𝒄 + 𝒅𝑒 𝑥
(3.2)
…(1)
…(2)
…(3)
…(4)

4. = [
−
1
2
−
1
4
] 𝑥2
+ [
3
4
5
8
] 𝑥 + [
−
11
16
−
21
32
] + [
2
10
4
10
] 𝑒 𝑥
5. Jadi solusi umum dari SPD tak homogen
yang diberikan yaitu
𝒚 = 𝒚ℎ + 𝒚 𝑝
= 𝑐1 [
1
1
] 𝑒−𝑥
+ 𝑐2 [
−2
1
] 𝑒−4𝑥
− [
1
2
1
4
] 𝑥2
+ [
3
4
5
8
] 𝑥
− [
11
16
21
32
] + [
2
10
4
10
] 𝑒 𝑥
4. Kesimpulan
Langkah-langkah menentukan solusi
sistem persamaan diferensial tak homogen
dengan metode koefisien tak tentu yaitu:
1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks
𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙).
2. Menghitung determinan dari matriks
koefisien 𝐴, jika det(𝐴) = 0, maka
perhitungannya tidak dilanjutkan.
3. Mencari solusi homogen dari sistem
𝒚′
= 𝐴𝒚 yaitu
𝒚ℎ = 𝑐1 𝒗1 𝑒 𝜆1 𝑥
+ 𝑐2 𝒗2 𝑒 𝜆2 𝑥
dengan 𝜆 dan v merupakan nilai dan
vektor eigen dari matriks 𝐴.
4. Mencari solusi khusus dari fungsi tak
homogen 𝑭(𝒙) dengan cara melihat dan
mencocokkan bentuk fungsi 𝑭(𝒙) dengan
bentuk yang tersedia dan dengan solusi
homogen, kemudian pilih pemisalan 𝒚 𝑝
yang bentuknya sesuai dengan bentuk
𝑭(𝒙), setelah itu substitusikan 𝒚 𝑝 ke
sistem 𝒚′
= 𝐴𝒚 + 𝑭(𝒙) untuk mencari
koefisien-koefisien dari 𝒚 𝑝.
5. Diperoleh solusi umum dari sistem
persamaan diferensial linear tak homogen,
yaitu
𝒚 = 𝒚ℎ + 𝒚 𝑝
5. Saran
Bagi pembaca yang tertarik untuk
membahas lebih mendalam mengenai metode
ini, dapat mengkaji tentang solusi sistem
persamaan diferensial linear tak homogen
dengan orde yang lebih tinggi atau solusi
persamaan diferensial linear tak homogen
dengan orde yang lebih tinggi.
6. Daftar Pustaka
Anton, Howard. 2009. Dasar-dasar Aljabar
Linear (Jilid 1). Tangerang : Binarupa Aksara.
Anton, H. dan C. Rorres. 2004. Aljabar Linear
Elementer versi Aplikasi (Edisi Kedelapan).
Terjemahan oleh R. Indriasari dan I. Harmen.
Jakarta : Erlangga.
Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan
Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern.
Terjemahan oleh Dra. W. Santoso. Jakarta:
Erlangga.
Goode, S. W. 1991. An Introduction to
Differential Equations and Linear Algebra. New
York: Prentice-Hall International, Inc.
Purcell, E. J, D. Varberg, dan S. E. Rigdon.
2004. Kalkulus Jilid 2 (Edisi Kedelapan).
Jakarta: Erlangga.