Dokumen tersebut membahas penggunaan metode numerik, khususnya metode iteratif Newton-Raphson, untuk menentukan akar-akar persamaan yang rumit. Metode ini melibatkan pendekatan awal dan perulangan perhitungan untuk mencapai ketepatan yang diinginkan. Contoh penerapannya adalah menentukan akar persamaan e-x – x dan 4 + 5x2 – x3 = 0.

1. 1
28/10/2013
Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM

2. 2
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Dalam prakteknya, metode numerik sering digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan aljabar yang bentuknya cukup kompleks. Metode pendekatan:
• Penentuan akar pendekatan
•Perulangan perhitungan pendekatan hingga mencapai ketepatan yang diinginkan

3. 3
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

4. 4
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

5. 5
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

6. 6
Program Studi Teknik Kimia UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

7. 7
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh 3.1:
Dua kurva yang masing-masing dinyatakan dengan persamaan y1 = ex
dan y2 = 3x saling berpotongan di dua titik. Tentukan koordinat
kedua titik potong tersebut.
Penyelesaian:
y1=ex
y2=3x
Titik potongnya adalah ex=3x atau f(x)= ex-3x=0
Dengan cara iterative, perlu dibuat persamaan x=y(x), sehingga:
3
e
x
x

3
e
x
xi
i 1  
perlu dibuat persamaan x=y(x), sehingga:
ex=3x →
Jadi, persamaan iterasinya adalah

8. 8
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
0.333
3
e
x
0
1   0.465
3
e
x
0.333
2   0.53
3
e
x
0.465
3  
Dengan memisalkan titik awal, x0=0, maka hasil iterasi:
2.46
3
e
x
2
1   3.91
3
e
x
2.46
2   16.7
3
e
x
3.91
3  
Bila titik awal diambil x0 = 2, maka:
Untuk mengetahui, mana nilai titik awal, x0 yang memberikan hasil
yang konvergen, maka digunakan syarat untuk konvergen : │g’(x)│< 1
sehingga
3
ex < 1 → x < 1.1
Berdasarkan syarat di atas, maka diambil titik awal x0 = 0.

9. 9
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Penjelasan metode ini dijabarkan dalam gambar berikut:
y=f(x)
X y=f(x) x0
f(x0)
Koef
arah
f’(x0)
x1
X
y
Dari gambar di atas terlihat bahwa untuk mendapatkan harga x ditarik
garis singgung kurva pada titik x = x0, y = f(x0) sehingga memotong
sumbu x. Selanjutnya untuk memperoleh perhitungan diulangi dengan
titik awal x = x1, y = f(x1) dan ditarik pula garis singgung pada titik ke-2
tersebut dengan koefisien f’(x1) hingga memotong sumbu x pada x2.
Perhitungan iterative dilanjutkan sehingga mencapai x
.

10. 10
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Δx
f(x )
f'(x ) 0
0 
f'(x )
f(x )
x
0
0  
f'(x )
f(x )
x x
0
0
1 0  
Dari gambar 3.2 terlihat bahwa:
x1 = x0 - Δx
koefisien awal garis singgung kurva pada titik (x0, f(x0)) adalah:
Sehingga :
Jika persamaan disubstitusikan ke dalam persamaan
Jadi persamaan iterative Newton-Raphson adalah:
f'(x )
f(x )
x x
i
i
i 1 i   
Cara Newton-Raphson memberikan hasil dengan langkah iterasi yang
lebih singkat daripada metode iterative sebelumnya. (Buktikan
sendiri!)

11. 11
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh:
Gunakan metode Newton-Rapshon untuk menaksir akar-akar dari e-x – x
menggunakan sebuah tebakan awal x0 = 0.
Penyelesaian:
Turunan pertama dari fungsi dapat dievaluasi sebagai:
f’(x) = -e-x – 1
disubstitusikan ke persamaan Newton-Rapshon adalah
- e 1
e
x x
i
i
-x
-x
i 1 i 

  
i x
Dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iterative ini dapat digunakan
untuk menghitung:
Iterasi, i xi Error, %
0 0 100
1 0,500000000 11,8
2 0,566311003 0,147
3 0,567143165 0,0000220
4 0,567143290 < 10-8

12. 12
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Pendekatan di atas konvergen secara tepat pada akar sebenarnya
Tentukan akar real dengan cara metode Newton Raphson pada persamaan 4 + 5x2 – x3 = 0 sampai 3 desimal, dengan tebakan awal x=5