Psikometri Bab a21

------------------------------------------------------------------------------
Teori Responsi Butir
------------------------------------------------------------------------------
Bab 21
TEORI RESPONSI BUTIR
A. Akurasi Pengukuran
1. Kemampuan dan Taraf Sukar
• Responden memiliki kemampuan q yang
biasanya berbeda di antara responden
• Butir memiliki taraf sukar butir b yang
biasanya berbeda di antara butir
• Pada pengukuran terjadi pertemuan di
antara kemampuan responden dengan
taraf sukar butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Hasil Ukur
• Jawaban atau tanggapan responden terhadap butir
membuahkan hasil ukur
• Dalam hal tertentu, hasil ukur menunjukkan salah
atau betul
• Pada skala dikotomi, jawaban salah sering diberi
sekor 0 dan jawaban betul diberi sekor 1
• Hasil ukur dapat juga dinyatakan dalam bentuk
probabilitas jawaban betul (nilai dari 0 sampai 1)
• Probabilitas jawaban betul ditentukan oleh padanan
di antara kemampuan responden dengan taraf
sukar butir
• Probabilitas jawaban betul Pgi(q) adalah probabilitas
jawaban betul responden ke-g pada butir ke-i

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Padanan Kemampuan dan Taraf Sukar
• Tidak selalu taraf sukar butir sepadan dengan
kemampuan responden
Butir sukar
Butir mudah
A B C Responden dan
kemampuan
• Butir terlalu mudah atau terlalu sukar tidak dapat
menunjukkan kemampuan responden, sehingga
akurasi pengukuran menjadi rendah

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Kecocokan kemampuan dan taraf sukar
• Kecocokan di antara kemampuan responden
dengan taraf sukar butir menghasilkan akurasi
pengukuran yang tinggi
q
b q – b > 0 P(q) > 0,5
q
b q – b < 0 P(q) < 0,5
q
b q – b = 0 P(q) = 0,5
• Kecocokan (akurasi tertinggi) ditentukan oleh
P(q) = 0,5

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Syarat Pencocokan
• Kecocokan di antara kemampuan responden
dengan taraf sukar butir menghasilkan akurasi
pengukuran tertinggi melalui ketentuan
P(q) = Pmin + 0,5 (Pmaks– Pmin)
• Karena Pmaks = 1 maka ketentuan ini menjadi
P(q) = Pmin + 0,5 (1 – Pmin)
• Pencocokan di antara kemampuan responden
dengan taraf sukar butir dapat dilakukan jika
mereka independen
• Jika b independen dari q maka kita dapat mencari b
yang cocok dengan q
• Jika b dependen (bergantung) terhadap q, maka
kita tidak dapat mencari b yang cocok dengan q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
B. Pencocokan Pada Teori Klasik dan Modern
1. Teori Pengukuran Klasik
• Pada ujian, teori pengukuran klasik dikenal juga
sebagai teori ujian klasik (classical test theory)
• Pada teori klasik, taraf sukar butir bergantung
(dependen) kepada kemampuan responden
Bagi responden berkemampuan tinggi,
butir menjadi tidak sukar (mudah)
Bagi responden berkempuan rendah, butir
menjadi sukar
Pada butir tidak sukar (mudah), tampak
kemampuan responden menjadi tinggi
Pada butir sukar, tampak kemampuan
responden menjadi rendah

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
• Taraf sukar butir bergantung kepada kemampuan
responden
Berat Ringan
• Butir yang sama akan terasa berat bagi mereka yang
berkemampuan rendah dan terasa ringan bagi mereka
yang berkemampuan tinggi

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
• Kemampuan responden bergantung kepada taraf sukar
butir
Kemampuan rendah Kemampuan tinggi
• Mereka yang mengerjakan butir sukar akan tampak
berkemampuan rendah sedangkan mereka yang
mengerjaka butir mudah akan tampak berkemampuan
tinggi
• Teori pengukuran klasik (teori ujian klasik) tidak dapat
digunakan untuk pencocokan kemampuan responden
dengan taraf sukar butir (karena mereka dependen)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Cara peungkapan hasil ukur pada teori klasik
• Pada teori klasik, terdapat interdependensi di
antara kemampuan responden dan taraf sukar butir
• Sebaiknya cara penyebutan hasil pengukuran
disandingi dengan nama alat ukur
Misal
450 TOEFL
630 SPMB
• Hasil ukur dapat dipahami melalui kaitannya
dengan alat ukur yang digunakan (TOEFL atau
SPMB)
• Sebaiknya nama alat ukur dikenal secara luas oleh
banyak orang

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Teori Pengukuran Modern
• Pada ujian, teori pengukuran modern dikenal juga
sebagai teori ujian modern (modern test theory)
• Pada pengukuran modern, taraf sukar butir tidak
dikaitkan langsung dengan kemampuan responden
• Pada pengukuran modern, taraf sukar butir
dikaitkan langsung dengan karakteristik butir
• Taraf sukar butir pada pengukuran modern terletak
pada
P(q) = Pmin + 0,5 (Pmaks – Pmin)
= Pmim + 0,5 (1 – Pmin)
dan di sini taraf sukar butir diberi notasi b

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Pada pengukuran modern, taraf sukar butir langsung
dikaitkan dengan karakteristik butir
·· · ·
P
q rendah
· · · ·
q tinggi
1,0
0,5
b
q
• Tampak bahwa q tinggi dan rendah memiliki taraf sukar
butir b yang sama
• Kemampuan responden dan taraf sukar butir menjadi
independen
• Pengukuran modern dapat digunakan untuk
pencocokan kemampuan responden dengan taraf
sukar butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Karakteristik butir ditentukan oleh responsi para
responden (baik kemampuan tinggi maupun
kemampuan rendah) sehingga dikenal sebagai teori
responsi butir (item response theory)
• Teori responsi butir dikenal juga dengan berbagai
nama
Item response theory (IRT)
Latent trait theory (LTT)
Item characteristic curve (ICC)
Item characteristic function (ICF)
• Nama yang paling banyak digunakan adalah Item
Response Theory atau Teori Responsi Butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
C. Teori Responsi Butir
1. Karakteristik Butir
• Teori responsi butir perlu menentukan model
karakteristik butir yang digunakan
• Model karakteristik butir dapat berbentuk satu
parameter (1P), dua parameter (2P), tiga
parameter (3P), atau model lain
• Di sini pembahasan dibatasi pada satu sampai
tiga parameter serta pada sekor dikotomi
1P : P(q) = f(b, q)
2P : P(q) = f(a, b, q)
3P : P(q) = (a, b, c, q)
• Satu, dua, dan tiga adalah banyaknya
parameter butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Parameter pada Teori Responsi Butir
• Parameter q adalah parameter kemampuan
responden
• Parameter b adalah parameter taraf sukar butir
Pada 1P dan 2P
b = q ketika P(q) = 0,5
Pada 3P
b = q ketika P(q) = 0,5 (1 + c)
• Parameter a adalah parameter daya beda butir
• Parameter c adalah parameter terkaan betul pada
jawaban butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Tujuan Teori Responsi Butir
• Teori responsi butir membebaskan responden dan
butir dari interdependensi, sehingga
Taraf sukar butir tidak lagi bergantung
(invarian) kepada kemampuan responden
Kemampuan responden tidak lagi bergantung
(invarian) kepada taraf sukar butir
• Melalui independensi di antara taraf sukar butir dan
kemampuan responden, pada pengukuran, kita
dapat memilih butir yang cocok dengan responden
• Dalam hal terjadi kecocokan di antara taraf sukar
butir dan kemampuan responden, maka
Kalau taraf sukar butir diketahui, kemampuan
responden dapat ditentukan
Kalau kemampuan responden diketahui, taraf
sukar butir dapat ditentukan

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Dasar Invariansi
• Taraf sukar butir tidak langsung dikaitkan dengan
kemampuan responden melainkan dikaitkan
dengan lengkungan karakteristik butir pada
P(q) = Pmin + (1 – Pmin)
• Misalkan suatu butir memiliki parameter butir a=
1 1,27 dan b= – 0,39
1
Butir ini diberikan kepada responden dengan
kemampuan agak rendah dan dari mereka
diperoleh lengkungan dengan a1 = 1,27 dan b =
– 0,39
Butir yang sama diberikan kepada responden
dengan kemampuan agak tinggi dan dari
mereka diperoleh lengkungan dengan a1 = 1,27
dan b1 = – 0,39
Dua hasil ini adalah sama

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Pada responden dengan kemampuan agak rendah
1,0
·
• Melalui perhitungan pada data diperoleh
lengkungan dengan b1 = – 0,39
q
P(q)
–3 –2 –1 0 1 2 3
0,5
· · ·
·
·
·
·
·
· · · ·
·
–0,39

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Pada responden dengan kemampuan agak tinggi
P(q)
·
·
· ·
·
·
· ·
·
·
·
·
·
·
–3 –2 –1 0 1 2 3
1,0
0,5
–0,39
• Melalui perhitungan pada data diperoleh
lengkungan dengan b1 = – 0,39
q
• Pada responden berkemampuan rendah dan tinggi,
taraf sukar butir tetap sama dengan – 0,39

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
D. Syarat Teori Responsi Butir
1. Tiga syarat
• Unidimensi
• Invariansi kelompok
• Independensi Lokal
2. Unidimensi
• Variabel yang diukur adalah unidimensi yakni
yang memiliki satu dimensi atribut dan dikenal
sebagai kemampuan q
• Diperlukan agar P(q) terus menaik ketika q
terus menaik (kenaikan monotonik)
• Dalam kenyataan tidak mudah memperoleh
atribut variabel yang unidimensi
• Dalam praktek, unidimensi dicapai melalui
adanya satu dimensi yang dominan

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Invariansi Kelompok
• Semua subkelompok memiliki karakteristik butir
yang sama
·· · ·
P
q rendah
· · · ·
q tinggi
1,0
0,5
b
q
subkelompok
• Dengan kata lain karakteristik butir adalah sama
(invarian) untuk semua subkelompok
• Subkelompok disebut homogen apabila semua
responden di dalam subkelompok itu memiliki
kemampuan yang sama

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Independensi Lokal
• Ada independensi lokal responden terhadap butir
dan ada independensi lokal butir terhadap
responden
• Independensi lokal responden terhadap butir
Pada responden q di lokal yang sama,
probabilitas menjawab betul P(q) untuk butir
berbeda adalah independen satu terhadap
lainnya
Misalkan responden yang memiliki
kemampuan yang sama mengerjakan butir X1,
X2, X3, …, XN, maka sesuai dengan rumus
independensi pada probabilitas
P X X X X P X P X P X P X
( ... ) =
( ) ( ) ( )... ( )
N N
atau
   
1 2 3 1 2 3
P X X X X P X
( ... ) ( )
   
( ) ( )
i i
i N
N i
i
Q X = -
P X
=
Õ=
=
1
1
1 2 3

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Indpendensi lokal butir terhadap responden
Pada butir di lokal yang sama, probabilitas
menjawab betul P(q) untuk responden berbeda
adalah independen satu terhadap lainnya
Responden
sama
Butir
sama
butir
butir butir
butir
independen
responden
responden
responden
independen

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Pengujian independensi lokal
Independensi lokal dapat diuji secara
• Eksak melalui rumus probabilitas
• Statistika melalui uji ketergantungan khi-kuadrat
(a) Pengujian melalui rumus probabilitas
• Independensi lokal tercapai apabila data
memenuhi rumus independensi pada
probabilitas
Contoh 1
Responden dengan kemampuan q
menjawab butir 1, 2, dan 3, dengan sekor
1, 1, dan 0

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Dalam hal ini
P(X1) = 1 P(X2) = 1 P(X3) = 0
Q(X3) = 1
Syarat untuk independesi lokal menjadi
P(X1∩X2∩X3) = P(X1)P(X2)P(X3)
= P1(1)P2(1)P3(0)
= P1(1)P2(1)Q3(1)
Contoh 2
Responden menjawab butir ke-i dan ke-j dengan
probabilitas sebagai berikut
Butir ke-j
1 0
Butir 1 P(11) P(10) Pi(1)
ke-i 0 P(01) P(00) Pi(0)
Pj(1) Pj(0)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Probabilitas dan syarat independensi lokal
P(11) = Pi(1)Pj(1)
P(10) = Pi(1)Pj(0) = Pi(1)Qj(1)
P(01) = Pi(0)Qj(1) = Qi(1)Pj(1)
P(00) = Pi(0)Pj(0) = Qi(1)Qj(1)
Contoh 3
Responden mengerjakan butir ke-1 dan ke-2
dengan probabilitas jawaban
Butir ke-2
1 0
Butir 1 0,086 0,420 0,506
ke-1 0 0,083 0,411 0,494
0,169 0,831 1
Apakah terdapat independensi lokal?

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Perhitungan probabilitas
P(11) = 0,086 P1(1)P2(1) = (0,506)(0,169) = 0,086
P(10) = 0,420 P1(1)P2(0) = (0,506)(0,831) = 0,420
P(01) = 0,083 P1(0)P2(1) = (0,494)(0,169) = 0,083
P(00) = 0,411 P1(0)P2(0) = (0,494)(0,831) = 0,411
Terdapat kecocokan sehingga mereka adalah
independen secara lokal
Contoh 4
Responden mengerjakan butir ke-1 dan ke-2
dengan probabilitas jawaban
Butir ke-2
1 0
Butir 1 0,30 0,10 0,40
ke-1 0 0,00 0,60 0,60
0,30 0,70 1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 5
Responsi dari 40 responden pada suatu q tertentu
menunjukkan
Butir Responsi Responden
1 00000 11000 00011 00010 00100 00000 11001 10101
2 01100 00011 10000 11111 11111 11100 00110 01111
Butir ke-2
1 0
Butir 1
ke-1 0

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
(b) Pengujian secara statistika
• Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi tertentu
melalui hipotesis
H0 : Terdapat independensi lokal
H1 : Tidak terdapat independensi lokal
• Distribusi probabilias pensampelan adalah distribusi
probabilias khi-kuadrat
• Statistik uji c2 adalah
Butir ke-2
1 0
Butir 1 A B A+B
ke-1 0 C D C+D
A+C B+D N

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Statistik uji adalah
( )2
N AD BC
c = -
A + B C + D A + C B +
D
( )( )( )( )
dengan derajat kebebasan
n = 1
2
N = banyaknya responden
A, B, C, D dapat dalam frekuensi atau dalam
proporsi
• Kriteria pengujian
Tolak H0 jika c2 > c2
(a)(n)
Terima H0 jika c2 £ c2
(a)(n)

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
• Dapat juga dihitung dengan cara sebagai berikut
Dengan koreksi Yates
Selanjutnya
A C A B
= + +
( )( )
A + B + C +
D
A B B D
= + +
( )( )
A + B + C +
D
A C C D
= + +
( )( )
A + B + C +
D
B D C D
= + +
( )( )
A B C D
f
A
f
B
f
C
D
+ + +
f
( ) 2 ( )
2
( ) ( )
= - - + - f
-
| | 0,5 | | 0,5
+ - - + - f
-
D
D
A B
C
c f
f
C
B
B
A
A
C D
f
f
f
f
2 2
2
| | 0,5 | | 0,5

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 6
Pada taraf signifikansi 0,05, uji independensi lokal
pada sampel data di contoh 3 jika N = 50
• Hipotesis
H0 : Terdapat independensi lokal
H1 : Tidak terdapat independensi lokal
• Sampel
Seperti data pada contoh 3
• Distribusi probabilitas pensampelan
Distribusi probabilitas khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan n = 1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Statistik uji
A = 0,086 B = 0,420 C = 0,083
D = 0,411 N = 50
A + B = 0,506 C + D = 0,494
A + C = 0,169 B + D = 0,831
[ ]
50 0 086 0 411 0 420 0 083 2
c = ( ) ( , )( , ) -
( , )( , )
0
( 0 , 506 )( 0 , 494 )( 0 , 169 )( 0 , 831
)
2
=
• Kriteria Pengujian
Taraf signifikansi 0,05
Nilai kritis c2
(0,95)(1) = 3,841
Tolak H0 jika c2 > 3,841
Terima H0 jika c2 £ 3,841
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 7
pada sampel data di contoh 4 jika N = 60
Contoh 8
pada sampel data di contoh 5
Contoh 9
Banyaknya jawaban betul dan salah pada dua butir
adalah
Butir ke-2
Salah Betul
Butir Salah 8 20
ke-1 Betul 8 4
Pada taraf signifikansi 0,05 uji independensi lokal

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
E. Model Logistik dan Cara Estimasi Parameter
1. Pemilihan Model Logistik
• Perlu memilih model, mencakup
Model Rasch
Model L1P
Model L2P
Model L3P
• Perlu memenuhi syarat unidimensi, invariansi
kelompok, dan independensi lokal
• Perlu ada kecocokan di antara data dan model
yang dipilih (dilakukan melalui pengujian
kecocokan model, dibahas kemudian)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Estimasi Parameter
Dari data yang terkumpul dilakukan estimasi
terhadap parameter, mencakup parameter
kemampuan dan parameter butir
Dapat dilakukan melalui
• Satu responden dengan sejumlah butir
(estimasi parameter kemampuan)
·
·
· ·
·
·
Responden
Butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Satu butir dengan sejumlah responden (estimasi
parameter butir)
·
·
· ·
·
·
Responden
Butir
• Sejumlah responden dan sejumlah butir (estimasi
paramter kemampuan dan atau parameter butir)
· ·
· ·
· ·
Responden Butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Estimasi Parameter dan Indeteminasi
• Parameter yang diestimasi
Parameter yang diestimasi mencakup q, a, b,
dan c. Tiga di antaranya terhubung dalam
a (q – b)
Hasil estimasi dapat berbentuk indeterminasi
yakni terdapat banyak hasil estimasi
Hasil estimasi ditambah konstanta juga
merupakan hasil estimasi
Hasil estimasi dikalikan dan dibagi konstanta
juga merupakan hasil estimasi

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Penambahan konstanta
Misalkan hasil estimasi adalah q1 dan b1 dalam
bentuk
a (q1 – b1)
Jika q1 dan b1 ditambah konstanta sama C
q2 = q1 + C dan b2 = b1 + C
maka
a(q2 – b2) = a(q1 + C – b1 – C)
= a(q1 – b1)
sehingga q2 dan b2 juga merupakan hasil
estimasi
Ini berarti bahwa hasil estimasi dapat digeser
(translasi) sehingga titik awal atau 0 dapat
ditentukan secara bebas

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Kali bagi konstanta
Misalkan hasil estimasi adalah q1, a1, dan b1
dalam bentuk
a1 (q1 – b1)
Jika q1 dan b1 dikalikan konstanta sama C serta
a1 dibagi dengan konstanta C juga
q2 = Cq1 b2 = Cb1 a2 = a1 / C
maka
a2(q2 – b2) = (a1 / C)(Cq1 – Cb1)
= a1(q1 – b1)
sehingga q2, a2, dan b2 juga merupakan hasil
estimasi
Ini berarti bahwsa hasil estimasi dapat
dipanjang-pendekkan sehingga satuan
parameter dapat ditentukan secara bebas

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Diterapkan pada L3P
• Misalkan q1, a1, b1, c1 adalah hasil estimasi
• Dengan q2 = Cq1 + k
b2 = Cb1 + k
a2 = a1 / C
c2 = c1
maka
1 1
( )
( ) ( )
Da b
( )
2 2 2
1
1 1
C k Cb k
D a
( )( )
æ
+
1
1 1
C
( )
2 2 2
( )
1 1
( )
1 1
( )
( )
1
1 1 1
1 1
1
1
q
q
q
q
q
P
e
c c
e
c c
e
P c c
Da b
=
+
= + -
ö
÷ ÷ø
ç çè
= + -
+
= + -
-
+ - -
-

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Metrik Parameter dan Kalibrasi
• Hasil estimasi parameter dapat saja indeterminasi
sehingga terdapat banyak hasil estimasi
• Dalam hal ini, dapat saja dipilih salah satu hasil
estimasi sebagai patokan yang dinamakan metrik
parameter
• Sering terjadi bahwa metrik parameter yang dipilih
adalah salah satu di antara
mq = 0 sq = 1
atau mb = 0 sb = 1
• Ini berarti bahwa titik awal atau 0 pada rerata serta
satuan parameter sebesar 1 menurut simpangan
baku
• Pencocokan parameter lain ke metrik parameter
dikenal sebagai kalibrasi

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Estimasi Terpisah dan Estimasi Serentak
• Estimasi Terpisah
Parameter butir diketahui dan parameter
kemampuan diestimasi (menggunakan metrik
butir)
Parameter kemampuan diketahui dan
parameter butir diestimasi (menggunakan
metrik kemampuan)
• Estimasi Serentak
Paramter kemampuan dan parameter butir
kedua-duanya tidak diketahui sehingga kedua-duanya
diestimasi
Perlu ditentukan metrik, biasanya dengan
rerata = 0 dan simpangan baku = 1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
F. Prosedur Estimasi Parameter
1. Beberapa Prosedur Estimasi
Ada sejumlah prosedur untuk secara serentak
mengestimasi parameter kemampuan dan butir,
mencakup
• Prosedur Kebolehjadian Maksimum Bersama (Joint
Maximum Likelihood Procedure)
Digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P. Estimasi
dilakukan serentak untuk paramter kemampuan
dan parameter butir
• Prosedur Kebolehjadian Maksimum Marjinal
(Marginal Maximum Likelihood Procedure)
Digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P. Intergrasi
parameter kemampuan dan estimasi parameter
butir. Integrasi parameter butir dan estimasi
parameter kemampuan

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Prosedur Kebolehjadian Maksimum Kondisional
(Conditional Maximum Likelihood Procedure)
Digunakan untuk L1P. Fungsi kebolehjadian
dikondisikan terhadap banyaknya sekor
jawaban betul
• Prosedur Bayes Bersama dan Marjinal (Joint and
Marginal Bayesian Estimation Procedure)
Digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P. Distribusi
terdahulu ditempatkan pada paramter
kemampuan dan butir kemudian dilakukan
estimasi
• Prosedur Heuristik
Digunakan terutama untuk L2P, dan L3P
• Prosedur Analisis Faktor Nonlinier
Digunakan untuk L2P serta untuk L3P dengan
kasus c tetap. Menggunakan kuadrat terkecil
pada analisis faktor

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Ciri Estimasi Kebolehjadian Maksimum
• Konsistensi
Jika responden ditambah, hasil estimasi
parameter tetap konsisten
• Normalitas Asimptotik
Jika responden terus ditambah maka distribusi
probabilitas pensampelan terus mendekat ke
distribusi probabilitas normal
• Efisiensi Asimptotik
Jika responden terus ditambah maka variansi
kekeliruan (pensampelan) terus mendekat ke
nilai minimum teoretik

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Kecepatan Konvergensi
Jika responden terus ditambah maka dengan
cepat sekali nilai parameter konvergen ke nilai
parameter sesungguhnya (lihat metoda
Newton-Raphson)
• Kendala Asimptotik
Pada probabilitas 0 dan 1 lengkungan
karakteristik butir secara asimptotik menuju ke
takhingga (minus takhingga dan plus takhingga)
Terjadi pada saat semua responsi salah atau
semua responsi betul
Selama melakukan estimasi semua responsi
salah atau betul dikeluarkan terlebih dahulu dari
perhitungan

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Jumlah Responden
Responden pada 2P perlu lebih banyak dari
responden pada 1P
Resposnen pada 3P perlu lebih banyak dari
responden pada 2P
Ada program estimasi pada 1P menggunakan
Lebih dari 25 butir
Lebih dari 500 responden
Ada program estimasi yang menggunakan
Lebih dari 1000 responden, dan ada yang
Lebih dari 2000 responden
• Alat Bantu
Kalkulator dan komputer

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Kebolehjadian
• Di sini dibahas prosedur kebolehjadian serentak
terutama kebolehjadian bersama
• M responden menanggapi N butir dengan hasil
untuk setiap responden
X1, X2, … , Xi , …, XN
• Pada skala dikotomi, jawaban betul X = 1 dan
jawaban salah X = 0
• Dengan ketentuan independensi lokal, untuk tiap
responden, kebolehjadian adalah
L(X1, X2, … Xi, …, XN)
= P(X1)Q(X1) P(X2)Q(X2) … P(XN)Q(XN)

------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------
• Pada skala dikotomi
Jika P(X = 1) = 1, Q(X = 1) =0
Jika P(X = 0) = 0, Q(X = 0) = 1
maka
=
= Õ
L ( X , X ,... X ,..., X ) = P ( X ) Q ( X )
1
-
1 2 i N i • Untuk M responden, kebolehjadian menjadi
=
=ÕÕ 1
( ) ( ) ( )
• Pada bentuk logaritma
i Xi
i
X
i N
i
1
gi X gi
gi
g M
g
i N
i
X
gi gi L X P X Q X -
=
=
=
1 1
M
åå( )
= =
gi gi gi gi gi L X X P X X Q X
ln ( ) = ( )ln ( ) + (1 -
)ln ( )
g
N
i
1 1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Kebolehjadian Maksimum
• Kebolehjadian maksimum pada tiap parameter
dapat diperoleh melalui
L
= ¶
L
= ¶
L = ¶
L
q
0 0 0 = 0
c
¶
b
¶
a
¶
¶
¶
• Dalam bentuk logaritma, kebolehjadian maksimum
pada tiap parameter dapat diperoleh melalui
= ¶
= ¶
L = ¶
L
q
L
L
ln 0 ln 0 ln 0 ln = 0
c
¶
b
¶
a
¶
¶
¶
• Perhitungan masing-masing menghasilkan estimasi
parameter kemampuan dan butir

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Estimasi Parameter Kemampuan
• Satu responden (ke-g) menjawab N butir
• Persamaan untuk estimasi parameter
kemampuan qg untuk responden ke-g
P
gi
q
g
0
P
¶
ln ln
q ¶
q
1
gi
g
-
1
L L
N
= ¶
å
P
g i =
1
gi
¶
N
å
gi
X
= -
gi
X
P
P
i =
1
gi
N
å
gi
X P
gi gi
P Q
i =
1
gi gi
¶
¶
=
P
¶
¶
ö
÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
æ -
ç ç
è
=
ö
÷ ÷
ø
-
¶
¶
gi
q
gi
• Dapat digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P
dengan memasukkan karateristik butir mereka
masing-masing

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Solusi pada model L3P
X P P c
ln L ( - )( -
)
D a
q
¶ N
å=
gi gi gi i
i
g P c
( )
1 1
=
¶
i gi i
• Solusi pada model L2P
-
Pada rumus L3P, masukkan ci = 0
L D a X P
ln ( ) 0
q
¶ N
= - =
¶
g
• Pada model L1P
0
=
å=
i
i gi gi
1
Pada rumus L3P, masukkan ai =1 dan ci = 0
L D X P
q
¶ å=
ln = ( - ) =
0
1
¶
N
i
gi gi
g

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
6. Estimasi Parameter Butir
• Satu butir (ke-i) dijawab oleh M responden
• Dengan jalan sama diperoleh parameter butir ke-i
yang ditanggapi oleh M responden
0
0
0
i
ln
a
ln
b
i
ln
c
L
L
L
1
M
å
X P
gi gi
P Q
g =
1
gi gi
M
å
X P
gi gi
P Q
g =
1
gi gi
M
å
X P
gi gi
P Q
g =
1
gi gi
=
=
=
P
¶
a
¶
P
¶
b
¶
P
¶
c
¶
ö
÷ ÷
ø
ö
÷ ÷
ø
ö
÷ ÷
ø
æ -
ç ç
è
æ -
ç ç
è
æ -
ç ç
è
=
=
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
gi
i
gi
i
gi
i
• Dapat digunakan untuk L1P, L2P, dan L3P
dengan memasukkan karateristik butir mereka
masing-masing

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Solusi pada L3P
¶
ln (q )( )( )
å
ln ( )( )
å
b P c X P
g i gi i gi gi
P c X P
gi i gi gi
X P
gi gi
L
D
Da
• Solusi pada L2P (ci = 0)
¶
ln ( )( )
i gi
• Solusi pada L1P (ai =1, ci = 0)
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
=
-
-
=
¶
¶
=
- -
-
= -
¶
¶
=
- - -
-
=
¶
å
=
=
=
M
g gi
i i
M
g gi
i
i
i
M
g gi
i i
P
c c
P
c
b
L
P
c
a
L
ln ( )
0
0
1
1
= - - =
¶
¶
= - - =
¶
å
å
=
=
ln ( )
gi
M
g
i
M
g
g i gi gi
i
Da X P
b
L
D b X P
a
L q
0
ln ( ) M
¶ å=
= - - =
1
¶
g
gi gi
i
D X P
b
L

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
G. Keterampilan Statistika
1. Dasar
P = probabilitas jawaban betul
Q = probabilitas jawaban salah
P + Q = 1 atau Q = 1 – P
Kebolehjadian terhadap probabilitas jawaban
betul adalah
L = PQ
2. Kebolehjadian maksimum
= 0
dL
dP

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Perhitungan
L = PQ
= P(1 – P)
= P – P2
sehingga
d P P
= - = -
0
1 2
2
P
dP
P P Q
, ,
( )
=
dL
dP
dL
dP
- = = =
1 2 0 0 5 0 5
( , )( , ) ,
= =
0 5 0 5 0 25
maks L
Contoh 10
Kebolehjadian maksimum untuk M responden
dengan M1 reponden sukses dan M – M1
responden gagal

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Perhitungan
M M M
P P
L P Q
-
1 1
M 1 M M
=
( )
= -
sehingga
-
1 1
d P
P M P d P
( )
( ) . ( )
( )
M M M M M M
- - - -
M P P P M M P
( ) ( )( ) .( )
= - + - - -
1 1 1
1 1 1 1
M M M M M M
- - - -
M P P M M P P
( ) ( ) ( )
= - - - -
1 1
1 1 1 1
[ ]
P P M P M M P
dL
= - - - -
• Kebolehjadian maksimum
P
dP
d P
dP
M M M
M M
M M M
-
-
-
= - + -
- -
-
- -
1
1 1
1
1
1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
( ) ( ) ( )
=
0
( ) ( )
P M M P MdP
1 1 1 0
P M
M
dL
1
=
- - - =

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 11
Jawaban 21 responden (dengan 1 = betul; 0 =
salah) adalah
11111 00111 01111 00110 1
Kebolehjadian
L = P15Q6
Kebolehjadian maksimum terjadi pada
P = 15 / 21 = 0,7143
Q = 1 – P = 1 – 0,7143 = 0,2857
Lmaks = (0,7143)15(0,2875)6
= 3,4968.10-6

Psikometri Bab a21

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

More from Universitas Negeri Makassar

More from Universitas Negeri Makassar (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Psikometri Bab a21