Лекц 8

1. Олон хувьсагчийн
функцийн
хязгаар ба
уламжлал

2. 1. ОХФ-ийн ойлголт, тодорхойлогдох муж
• Олон хувьсагчийн функц тодруулбал, хоёр хувьсагчийн функцийн
тухай авч үзье.
• Хувьсах хэмжигдэхүүн 𝑥 ба 𝑦-ийн хос утга бүрт тодорхой хууль,
дүрмээр 𝑧 гэсэн тодорхой утга харгалзаж байвал хувьсах
хэмжигдэхүүн 𝑧-ийг 𝑥, 𝑦-ээс хамаарсан хоёр хувьсагчийн функц гэнэ.
Тодорхойлолт:
• 𝐷 олонлогийн хос 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 утга бүрд 𝑧 ∈ 𝑍 гэсэн тодорхой утга
харгалзаж байвал хувьсах хэмжигдэхүүн 𝑧–йиг 𝑥, 𝑦–ээс хамаарсан
хоёр хувьсагчийн функц гэнэ.
• Функцэн хамаарлыг 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) гэх мэт дүрслэх бөгөөд 𝑥, 𝑦 -ийг үл
хамаарах хувьсагчид ба аргументууд гэнэ.

3. • 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийг тодорхой утгатай байлгаж чадах (𝑥, 𝑦)
хос утгын олонлог 𝐷 -г 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн тодорхойлогдох
муж гэнэ.
• Хоёр хувьсагчийн функцийн тодорхойлогдох муж нь хавтгайн
цэгүүдийн олонлогоос тогтоно.

4. Жишээ: 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 функцийн тодорхойлогдох мужийг
ол.
Бодолт: 4 − 𝑥2
− 𝑦2
≥ 0 тэнцэтгэл бишийг хангах бүх (𝑥, 𝑦)-
ийн хувьд 𝑧 функц тодорхой утгатай байна.
• Иймд 𝑧 функцийн тодорхойлогдох муж
𝐷 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
𝑥2
+ 𝑦2
≤ 4
дугуй байна.

5. • Хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаарын тухай
ойлголтыг оруулахдаа хавтгайн цэгийн орчин гэсэн
ойлголттой танилцах шаардлагатай.
Тодорхойлолт: 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийн хувьд
𝜌 𝑀, 𝑀0 = (𝑥 − 𝑥0)2+(𝑦 − 𝑦0)2< 𝑟
нөхцөлийг хангах бүх 𝑀(𝑥, 𝑦) цэгийн олонлогийг,
өөрөөр хэлбэл 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгт төвтэй 𝑟 радиустай
тойргийн дотор орших хавтгайн цэгүүдийн
олонлогийг 𝑴𝟎 цэгийн 𝒓 орчин гэдэг.
2. Хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаар,
тасралтгүй чанар

6. 2.А. Функцийн хязгаар
Тодорхойлолт: 𝑥, 𝑦 хэмжигдэхүүний утгууд нь 𝑥0, 𝑦0
тоонуудаас хүрэлцэхүйц бага ялгаатай байхад 𝑓(𝑥, 𝑦)
функцийн утга 𝐴 тооноос мөн л багаар ялгагдаж байвал
𝐴 тоог 𝑓 𝑥, 𝑦 функцийн 𝑥 → 𝑥0, 𝑦 → 𝑦0 байх үеийн
давхар хязгаар гэнэ.
• Давхар хязгаарыг ихэвчлэн дараалан хязгаарт
шилжүүлж боддог.
Санамж: Нэг хувьсагчийн функцийн хязгаарын
чанарууд олон хувьсагчийн функцийн хязгаарын
хувьд хүчин төгөлдөр байна.

7. Жишээ: lim
𝑥→1
𝑦→2
5𝑥2
+ 8𝑦𝑥 − 𝑦2
хязгаарыг бод.
Бодолт:
lim
𝑥→1
𝑦→2
5𝑥2
+ 8𝑦𝑥 − 𝑦2
= lim
𝑥→1
𝑦→2
5𝑥2
+ lim
𝑥→1
𝑦→2
8𝑥𝑦 − lim
𝑥→1
𝑦→2
𝑦2
=
= 5 ∙ 12
+ 8 ∙ 1 ∙ 2 − 22
= 17.

8. Жишээ: lim
𝑥→0
𝑦→3
sin 𝑥𝑦
𝑥
хязгаарыг бод.
Бодолт: Өгсөн хязгаарт шууд хязгаарын цэгийн координатуудыг
орлуулбал
0
0
тодорхойгүй хэлбэр үүснэ. Тиймээс хязгаарын доорх
илэрхийлэлд хувиргалт хийж бодно.
lim
𝑥→0
𝑦→3
sin 𝑥𝑦
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑦→3
𝑦 ∙
sin 𝑥𝑦
𝑥𝑦
= lim
𝑦→3
𝑦 ∙ lim
𝑥→0
𝑦→3
sin 𝑥𝑦
𝑥𝑦
= 3 ∙ lim
𝑥→0
sin 3𝑥
3𝑥
= 3 ∙ 1 = 3.

9. Жишээ: lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥𝑦+9−3
𝑥𝑦
хязгаарыг бод.
Бодолт: 𝑥𝑦 = 𝑡 гэж тэмдэглэвэл 𝑀(𝑥, 𝑦) → 𝑀0(0; 0) гэдгээс
𝑡 → 0 болно.
Иймд
lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥𝑦 + 9 − 3
𝑥𝑦
= lim
𝑡→0
𝑡 + 9 − 3
𝑡
∙
𝑡 + 9 + 3
𝑡 + 9 + 3
= lim
𝑡→0
𝑡 + 9 − 9
𝑡( 𝑡 + 9 + 3)
= lim
𝑡→0
1
𝑡 + 9 + 3
=
1
6
.

10. 2.Б. Функцийн тасралтгүй байх чанар
• Функцийн тасралтгүй чанарыг тогтоохын тулд 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн
тодорхойлогдох мужийн 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийг авч үзье.
Тодорхойлолт: Хэрэв 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 функц хавтгайн 𝐷 мужийн бүх цэгт
тасралтгүй бол уг функцийг 𝐷 мужид тасралтгүй функц гэнэ.
Тодруулбал:
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функц 𝐷 мужийн 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийн орчны бүх цэгүүд
дээр тодорхойлогдсон байна.
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн lim
𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥, 𝑦) хязгаар оршин байдаг.
• lim
𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) нөхцөлүүд биелэгдэж байвал 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
функцийг 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгт тасралтгүй функц гэнэ.

11. Тодорхойлолт: Хэрэв 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн хувьд
хавтгайн 𝐷 мужийн ямар нэг 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэг дээр
lim
𝑀→𝑀0
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
нөхцөл биелэгдэхгүй байвал 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийг 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн тасралтын цэг гэнэ.

12. • Функц дараах тохиолдлуудад тасралтын цэгүүдтэй байна.
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функц 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийн ямар нэг орчинд
тодорхойлогдсон боловч энэ цэг дээр тодорхойлогдоогүй
байна.
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функц 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийн орчны бүх цэгүүд дээр
тодорхойлогдсон боловч lim
𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥, 𝑦) хязгаар оршихгүй
байна.
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функц 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийн орчны бүх цэгүүд дээр
тодорхойлогдсон боловч lim
𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑓 𝑥, 𝑦 ≠ 𝑓(𝑥0, 𝑦0) байна.

13. Жишээ: 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
+ 4𝑦2
− 𝑥𝑦 функцийн
тасралтын цэгийг ол.
Бодолт: Энэ функц нь хавтгайн бүх цэгт тодорхойлогдох
тул хавтгай дээр тасралтгүй функц болно. Тиймээс
тасралтын цэг байхгүй.

14. Жишээ: 𝑧 =
5
𝑥2+𝑦2 функцийн тасралтын цэгийг ол.
• Бодолт: Өгсөн функцийн тодорхойлогдох муж
𝑥2
+ 𝑦2
≠ 0 болно. Тэгвэл функцийн тасралтын цэг нь
функц тодорхойлогдохгүй цэг тул 𝑀(0; 0) цэг буюу
координатын эх дээр функцийн тодорхой утга олдохгүй
байна.
Иймд 𝑧 =
5
𝑥2+𝑦2 функцийн тасралтын цэг 𝑀(0; 0)
байна.

15. Жишээ: 𝑧 =
25
4−𝑥2−4𝑦2 функцийн тасралтын цэгийг
ол.
Бодолт: Өгсөн функцийн тодорхойлогдох муж
4 − 𝑥2
− 4𝑦2
≠ 0 байна. Тэгвэл функцийн
тасралтын цэг нь функцийн тодорхой утга олдохгүй
цэгүүдийн олонлог болох тул
4 − 𝑥2
− 4𝑦2
= 0 буюу
𝑥2
4
+
𝑦2
1
= 1
эллипсийн бүх цэг нь 𝑧 =
25
4−𝑥2−4𝑦2 функцийн
тасралтын цэгийн олонлог болно.

16. 3. Хоёр хувьсагчийн функцийн
уламжлал ба дифференциал
Функцийн утгийн тухайн ба бүрэн өөрчлөлтийн ойлголтонд
тулгуурлан хоёр хувьсагчийн функцийн уламжлал болон
дифференциалыг тодорхойлдог.
• Эхлээд 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) хоёр хувьсагчийн функцийн тухайн ба
бүтэн өөрчлөлтийн ойлголтыг авч үзье.
• (𝑥0, 𝑦0) цэг 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн тодорхойлогдох мужийн
дурын цэг байг.

17. 3.А. Функцийн тухайн өөрчлөлт
• 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 гэсэн хоёр хувьсагчийн функцийн 𝑦 хувьсагчийн утгыг
бэхэлбэл, өөрөөр хэлбэл 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 гэж үзвэл тухайн функц зөвхөн
𝑥-ээс хамаарсан нэг хувьсагчийн функц болно.
• Хэрэв 𝑥 хувьсагчийн утгийг өөрчилбөл функцийн утга буюу 𝑧-ийн
утга өөрчлөгдөнө.
• 𝑥-ийг ∆𝑥-ээр өөрчилж, 𝑦-ийг 𝑦 = 𝑦0 гэсэн тодорхой утгатайгаар
бэхэлсэн нөхцөлд функцийн утга 𝑓(𝑥, 𝑦0)-ээс 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦0) болж
хувирах тул энэ тохиолдолд функцийн утгын өөрчлөлтийг ∆𝑧𝑥 гэж
тэмдэглэвэл
∆𝑧𝑥= 𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦0 − 𝑓(𝑥, 𝑦0)
болно. Үүнийг 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн 𝒙 хувьсагчийн тухайн
өөрчлөлт гэнэ.

18. Мөн функцийн 𝑥 хувьсагчийн утгыг бэхэлбэл, өөрөөр хэлбэл
𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 гэж үзвэл тухайн функц зөвхөн 𝑦-ээс хамаарсан нэг
хувьсагчийн функц болно.
• Хэрэв 𝑦 хувьсагчийн утгийг өөрчилбөл функцийн утга буюу 𝑧-ийн
утгын өөрчлөлтийг тодорхойлъё.
• 𝑦-ийг ∆𝑦-ээр өөрчилж, 𝑥-ийг 𝑥 = 𝑥0 гэсэн тодорхой утгатайгаар
бэхэлсэн нөхцөлд функцийн утга 𝑓(𝑥0, 𝑦)-ээс 𝑓(𝑥0, 𝑦 + ∆𝑦) болж
хувирна.
Иймд функцийн утгын өөрчлөлт ∆𝑧𝑥
∆𝒛𝒙= 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚 + ∆𝒚) − 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚)
болно. Үүнийг 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн 𝒚 хувьсагчийн тухайн
өөрчлөлт гэнэ.

19. 3.Б. Нэгдүгээр эрэмбийн тухайн уламжлал ба дифференциал
• Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд түүнээс зөвхөн аль нэг
хувьсагчаар авсан уламжлалуудыг дараах байдлаар тодорхойлдог.
Тодорхойлолт:
Хэрэв өгсөн 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн хувьд уг функцийн 𝑥 хувьсагчийн
тухайн өөрчлөлтийг 𝑥-ийн өөрчлөлт ∆𝑥-д харьцуулан, энэхүү
өөрчлөлтийн утгыг тэгрүү тэмүүлсэн хязгаарт шилжихэд уг хязгаар
оршин байвал түүнийг 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцээс
𝒙 хувьсагчаар авсан тухайн уламжлал гэнэ.
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
∆𝒛𝒙
∆𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙, 𝒚𝟎 − 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚𝟎)
∆𝒙

20. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцээс 𝑥 хувьсагчаар авсан тухайн уламжлал
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
∆𝒛𝒙
∆𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙, 𝒚𝟎 − 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚𝟎)
∆𝒙
хязгаар болно.
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцээс 𝑥 хувьсагчаар авсан тухайн
уламжлалыг
𝑧𝑥
′
, 𝑓𝑥
′
𝑥0, 𝑦0 ,
𝜕𝑧
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑥
гэж тэмдэглэнэ.

21. Тодорхойлолт:
Хэрэв өгсөн 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн хувьд уг функцийн 𝑦 хувьсагчийн
тухайн өөрчлөлтийг 𝑦-ийн өөрчлөлт ∆𝑦-д харьцуулан, энэхүү
өөрчлөлтийн утгыг тэгрүү тэмүүлсэн хязгаарт шилжихэд уг хязгаар
оршин байвал түүнийг 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 функцээс 𝒚 хувьсагчаар авсан
тухайн уламжлал гэнэ.
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒚→𝟎
∆𝒛𝒚
∆𝒚
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒚→𝟎
𝒇 𝒙𝟎,𝒚𝟎+∆𝒚 −𝒇(𝒙𝟎,𝒚𝟎)
∆𝒚
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцээс 𝑦 хувьсагчаар авсан тухайн уламжлалыг
𝑧𝑦
′ , 𝑓𝑦
′ 𝑥0, 𝑦0 ,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓(𝑥0,𝑦0)
𝜕𝑦
гэж тэмдэглэнэ.

22. Санамж:
• 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн 𝑀(𝑥; 𝑦) цэг дээрх тухайн уламжлалууд
𝑧𝑥
′
, 𝑧𝑦
′
нь 𝑀 цэгийн координатаас хамаарах тул мөн 2
хувьсагчийн функц болно.
• Олон хувьсагчийн функцээс аль нэг хувьсагчаар нь авсан
уламжлалыг олохдоо бусад хувьсагчдыг тогтмол гэж тооцоод
ердийн уламжлалын дүрэм болон томъёог ашиглана.

23. Жишээ: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3
𝑦2
− 3𝑥𝑦4
+ 5𝑥𝑦 − 6𝑦 функцийн тухайн
уламжлалуудыг ол.
Бодолт: Тухайн уламжлал 𝑓𝑥
′
𝑥, 𝑦 -г олохдоо 𝑦-хувьсагчийг тогтмол
гэж үзэж 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , 𝑓(𝑥, 𝑦) функцээс 𝑥- хувьсагчаар ердийн
уламжлал авна.
Иймд
𝑓𝑥
′
𝑥, 𝑦 = (𝑥3
𝑦2
− 3𝑥𝑦4
+ 5𝑥𝑦 − 6𝑦 )𝑥
′
= 3𝑥2
𝑦2
− 3 ∙ 1 ∙ 𝑦4
+ 5𝑦 − 0
= 3𝑥2
𝑦2
− 3𝑦4
+ 5𝑦.
• Үүнтэй төсөөтэйгээр 𝑓𝑥
′
(𝑥, 𝑦)- г олохдоо 𝑥-хувьсагчийг тогтмол гэж
үзэж 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , 𝑓(𝑥, 𝑦) функцээс 𝑦-хувьсагчаар ердийн уламжлал
авна.
𝑓𝑦
′
𝑥, 𝑦 = (𝑥3
𝑦2
− 3𝑥𝑦4
+ 5𝑥𝑦 − 6𝑦)𝑦
′
= 2𝑥3
𝑦 − 3 ∙ 4 ∙ 𝑥𝑦4
+ 5𝑥 − 6
= 2𝑥3
𝑦 − 12𝑥𝑦4
+ 5𝑥 − 6.

24. Жишээ: 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
функцийн тухайн
уламжлалуудыг ол.
Бодолт: ln 𝑥 =
1
𝑥
, (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)′
=
1
1+𝑥2 уламжлалын томъёонуудыг
ашиглана.
• 𝑓𝑥
′
𝑥, 𝑦 = ln 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
𝑥
′
= ln 𝑥2
+ 𝑦2
𝑥
′
+
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
𝑥
′
= ln 𝑥2
+ 𝑦2 ′
∙ 𝑥2
+ 𝑦2
𝑥
′
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
′
∙
𝑥
𝑦 𝑥
′
=
1
𝑥2+𝑦2 ∙ 2𝑥 +
1
1+
𝑥
𝑦
2
1
𝑦
=
2𝑥
𝑥2+𝑦2 +
𝑦2
𝑥2+𝑦2
1
𝑦
=
2𝑥+𝑦
𝑥2+𝑦2 .

25. • 𝑓𝑦
′
𝑥, 𝑦 = ln 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
𝑦
′
= ln 𝑥2
+ 𝑦2
𝑦
′
+
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
𝑦
′
= ln 𝑥2
+ 𝑦2 ′
∙ 𝑥2
+ 𝑦2
𝑦
′
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
′
∙
𝑥
𝑦 𝑦
′
=
1
𝑥2+𝑦2 ∙ 2𝑦 +
1
1+
𝑥
𝑦
2 −
𝑥
𝑦2 =
2𝑦
𝑥2+𝑦2 +
𝑦2
𝑥2+𝑦2 −
𝑥
𝑦2 =
2𝑦−𝑥
𝑥2+𝑦2 .

26. Тодорхойлолт:
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн нэгдүгээр эрэмбийн бүтэн дифференциал гэж
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙ 𝑑𝑦
илэрхийллийг хэлдэг.
• Тодорxойлолтыг өргөтгөвөл 𝑢 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) гэсэн
𝑛 xувьсагчийн функцийн бүтэн дифференциал
𝑑𝑢 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 +
𝜕𝑢
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2+. . . +
𝜕𝑢
𝜕𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛
xэлбэртэй болно.

27. Тодорхойлолт:
• Хэрэв хоёр хувьсагчийн функцийн өгсөн цэг дээрх бүтэн
өөрчлөлтийг нэгдүгээр эрэмбийн бүтэн дифференциал
хэлбэртэй бичиж болдог байвал уг функцийг
дифференциалчлагдах функц гэнэ.

28. Жишээ: 𝑧 = 3𝑥 − 7𝑦 функцийн нэгдүгээр эрэмбийн бүтэн
дифференциалыг ол.
Бодолт: Эхлээд 𝑧 = 3𝑥 − 7𝑦 функцийн нэгдүгээр эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг олъё.
𝑧𝑥
′
= 3, 𝑧𝑦
′
= −7
болох тул өгсөн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн бүтэн
дифференциал
𝑑𝑥 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙ 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 − 7𝑑𝑦.

29. Жишээ: 𝑧 = 𝑥2
∙ cos(𝑥𝑦) функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
Бодолт: Эхлээд 𝑧 = 𝑥2
cos(𝑥𝑦) функцийн нэгдүгээр эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг олъё.
𝑧𝑥
′
= 2𝑥 ∙ cos 𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑦 ∙ sin 𝑥𝑦 ,
𝑧𝑦
′
= −𝑥3
sin(𝑥𝑦)
тул
𝑑𝑧 = 2𝑥cos 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥2
sin 𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥3
sin 𝑥𝑦 𝑑𝑦.

30. Бие даан гүйцэтгэх даалгавар:
Хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаарыг ол.
• lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥2+𝑦2
𝑥2+𝑦2+1−1
• lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥𝑦
2− 𝑥𝑦+4
Дараах функцуудын тухайн уламжлалууд болон дифференциалыг
ол.
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 − 3𝑥𝑦2
+ 5𝑥
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥2 + 𝑦2

31. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан
танд баярлалаа.
Оюутан та
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл
хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
• Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.