Лекц 10

1. Нэгдүгээр эрэмбийн
Хувьсагч нь ялгагдах
дифференциал
тэгшитгэл

2. 1. Үндсэн ойлголт ба тодорхойлолт
Тодорхойлолт:
• Үл хамаарах хувьсагчид, тэдгээрээс хамаарсан үл мэдэгдэх
функц болон түүний уламжлалуудын хоорондын холбоог
илэрхийлж буй тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
• Байгаль шинжлэл, физик, техникийн олон бодлогуудад:
авч үзэж буй үзэгдэл, процессийг илэрхийлэх үл мэдэгдэх
функцийг, түүний уламжлал болоод үл хамаарах хувьсагчтайгаа
холбоотой харьцаанаас тодорхойлох асуудал нь дифференциал
тэгшитгэлд шилждэг.

3. Тодорхойлолт:
• Хэрэв эрж буй үл мэдэгдэх 𝑦 функц нь ганцхан 𝑥 үл хамаарах
хувьсагчаас хамаарсан 𝑦 = 𝑦(𝑥) байвал 𝑥, 𝑦(𝑥) ба
𝑦′
𝑥 , 𝑦′′
(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)
(𝑥)
уламжлалуудыг агуулсан
𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛)
(𝑥)) = 0
тэгшитгэлийг ердийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь:
• 𝑦′
+ 𝑥𝑦 = 0
• 𝑦′′
+ 𝑦 + 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
• (𝑥2
− 𝑦2
)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0

4. Тодорхойлолт:
• Хэрэв үл мэдэгдэх функц нь хоёр эсвэл хоёроос олон тооны
хувьсагчаас хамаарч байвал өөрөөр хэлбэл 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑡) байвал
𝐹 𝑥, 𝑡, 𝑦,
𝜕𝑦
𝜕𝑥
,
𝜕𝑦
𝜕𝑡
, . . . ,
𝜕𝑚
𝑦
𝜕𝑥𝑘𝜕𝑡𝑙
= 0
хэлбэрийн тэгшитгэлийг тухайн уламжлалт дифференциал
тэгшитгэл гэж нэрлэнэ.
Энд 𝑘, 𝑙 нь 𝑘 + 𝑙 = 𝑚 нөхцлийг хангах сөрөг биш бүхэл
тоонууд.
Жишээ нь:
•
𝜕𝑦
𝜕𝑡
−
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 0,
𝜕𝑦
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2

5. Тодорхойлолт:
• Тэгшитгэлд орж буй уламжлалын хамгийн их (дээд) эрэмбийг
дифференциал тэгшитгэлийн эрэмбэ гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь: 𝑦(9)
− 4𝑦′′
= 𝑥2
тэгшитгэл 9-р эрэмбийн
дифференциал тэгшитгэл байна.
Тодорхойлолт:
• (𝑎, 𝑏) завсар дээр 𝑛 эрэмбийн уламжлалуудынхаа хамт
тодорхойлогдож (𝑥-ийн хувьд), дифференциал тэгшитгэлийг
адилтгал болгон хувиргаж байдаг 𝑦 = 𝜑(𝑥) хэлбэрийн функцийг 𝑛
эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн (𝑎, 𝑏) завсар дээрх шийд
гэж нэрлэдэг.

6. Жишээ нь:
𝑦1 = sin 𝑥 + cos 𝑥 функц
𝑦′′ + 𝑦 = 0
тэгшитгэлийн (−∞, +∞) завсар дээрх шийд болно гэдгийг харуулъя.
Эхлээд нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалуудыг олбол
𝑦1
′
= cos 𝑥 − sin 𝑥 , 𝑦1
′′
= − sin 𝑥 − cos 𝑥 ,
болох тул
𝑦′′
+ 𝑦 = 0 тэгшитгэл
−𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≡ 0
гэсэн үнэн адилтгалд хүрэх учир 𝑦1 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 нь шийд болно.

7. Мөн 𝑦2 = 𝐶1 ∙ sin 𝑥 , 𝑦3 = 𝐶2 ∙ cos 𝑥 функцууд нь
𝑦′′
+ 𝑦 = 0
тэгшитгэлийн (−∞, +∞) завсар дээрх шийд болно гэдгийг харуулъя.
• 𝑦2
′
= 𝐶1 ∙ cos 𝑥 , 𝑦3
′
= −𝐶2 ∙ sin 𝑥 ба
• 𝑦2
′′
= −𝐶1 ∙ sin 𝑥 , 𝑦3
′′
= −𝐶2 ∙ cos 𝑥
болох тул
𝑦′′ + 𝑦 = 0 тэгшитгэл
• 𝑦2 = 𝐶1 ∙ sin 𝑥 функцийн хувьд −𝐶1 sin 𝑥 + 𝐶1 sin 𝑥 ≡ 0
• 𝑦3 = 𝐶2 ∙ cos 𝑥 функцийн хувьд −𝐶2 cos 𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 ≡ 0
гэсэн үнэн адилтгалд хүрэх учир
𝑦2 = 𝐶1 ∙ sin 𝑥 , 𝑦3 = 𝐶2 ∙ cos 𝑥 функцууд нь мөн шийд болно.

8. Энэ жишээнээс харахад дифференциал тэгшитгэл төгсгөлгүй
олон шийдтэй байна.
Тодорхойлолт:
• Дифференциал тэгшитгэлийн шийдүүдийн графикийг, ө.х шийд
𝑦 = 𝜑(𝑥) функцээр тодорхойлогдох муруйг уг дифференциал
тэгшитгэлийн интеграл муруй гэж нэрлэдэг.
• Жишээ нь: 𝑦′
+
1
𝑥
𝑦 − 6𝑥 − 1 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн
шийд 𝑦 =
4𝑥3+𝑥2+2𝐶
2𝑥
ба шийдийн график буюу интеграл муруйг
дараах зурагт харууллаа.

9. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь ерөнхий
хэлбэрээрээ
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′
= 0
гэж өгөгдөнө.
• Хэрэв 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′
= 0 тэгшитгэлийг 𝑦′ уламжлалаар нь ил
хэлбэрт шилжүүлж болж байвал
𝑦′
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
тэгшитгэлийг уламжлалын хувьд зөвшөөрөгдсөн 1-р эрэмбийн
тэгшитгэл гэнэ.

10. • 𝑦′
= 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийн анхны 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 нөхцлийг
хангадаг 𝑦 = 𝑦(𝑥) шийдийг хайх бодлогыг Кошийн бодлого
гэж нэрлэдэг.
• Геометрийн хувьд энэ бодлого нь 𝑂𝑥𝑦 хавтгайн өгөгдсөн
𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийг дайран өнгөрөх интеграл муруйг олох
бодлого болно.

11. • 𝐶 тогмолын дурын боломжит утганд 𝑦′
= 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийг
ханган, түүний тодорхой утганд нь анхны
𝑦
𝑥=𝑥0
= 𝑦0
нөхцлийг хангадаг
𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶)
хэлбэрийн функцийг 𝑦′
= 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
гэж нэрлэдэг.
• 𝐶-ийн тодорхой утганд ерөнхий 𝑦 = 𝜑 𝑥, 𝐶 шийдээс олдох
шийдийг 𝑦′
= 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийн тухайн шийд гэж нэрлэнэ.

12. • gg
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг бодох
ерөнхий арга байдаггүй боловч тэдгээрийг тодорхой
бүлгүүдэд төрөлжүүлэн хувааж, бүлэг тус бүрт тохирсон
бодох арга боловсруулсныг авч үзэх болно.

13. 2. Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал
тэгшитгэл
Тодорхойлолт:
𝑓1 𝑥 𝜑1 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑓2 𝑥 𝜑2 𝑦 𝑑𝑥 = 0
хэлбэрийн тэгшитгэлийг 1-р эрэмбийн хувьсагч нь ялгагдах
дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Ийм хэлбэрийн тэгшитгэлийг
𝜑1(𝑦)
𝜑2(𝑦)
𝑑𝑦 = −
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑑𝑥
хувьсагч нь ялгагдсан хэлбэрт шилжүүлэн гишүүнчлэн,
интегралчилбал ерөнхий шийд нь
𝜑1(𝑦)
𝜑2(𝑦)
𝑑𝑦 = −
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑑𝑥 + 𝐶
гэж олдоно.

14. Жишээ: 𝑦2
𝑦′ −
1
𝑥
= 0 дифференциал тэгшитгэлийг бод.
Бодолт: 𝑦2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
1
𝑥
= 0 тэгшитгэлд хувиргалт хийж, хувьсагчийг
ялгавал 𝑦2
𝑑𝑦 =
1
𝑥
𝑑𝑥 хэлбэрт шилжих ба интегралчилбал
𝑦2
𝑑𝑦 =
1
𝑥
𝑑𝑥 .
Интегралыг бодвол шийд
𝑦3
3
= ln 𝑥 + ln 𝐶
буюу 𝑦3
= 3 ln 𝐶𝑥 болно.
𝑦2
𝑦′ −
1
𝑥
= 0 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
𝑦3
= 3 ln 𝐶𝑥 байна.

15. Жишээ: 9𝑦𝑦′
+ 4𝑥 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн
А. ерөнхий шийдийг олж,
Б. 𝑦 𝑥=0 = 1 анхны нөхцөл хангах шийдийг ол.
Бодолт:
• Тэгшитгэлд хувиргалт хийж, хувьсагчийг ялгавал
9𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑥 = 0 ⟹ 9𝑦𝑑𝑦 = −4𝑥𝑑𝑥
болох ба тэгшитгэлийг интегралчилбал
9𝑦𝑑𝑦 = − 4𝑥𝑑𝑥

16. 9
2
𝑦2
= −2𝑥2
+ 𝐶 ⟹ 9𝑦2
= −4𝑥2
+ 2𝐶 ⟹
9𝑦2
+ 4𝑥2
= 2𝐶
болох ба
2𝐶 = 𝐶1 гэж орлуулбал
А. дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
9𝑦2
+ 4𝑥2
= 𝐶1
болно.

17. Б. 𝑦 𝑥=0 = 1 анхны нөхцлийг хангах шийдийг олъё.
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
9𝑦2
+ 4𝑥2
= 𝐶1
буюу 𝑦 =
1
3
𝐶1 − 4𝑥2 тул
𝑦 𝑥=0 =
1
3
𝐶1 − 4 ∙ 02 =
1
3
𝐶1 =
1
3
𝐶1 = 1
болно. Энд 𝐶1 ≥ 0.
Эндээс 𝐶1 = 9 гэж олдох ба шийд
• 9𝑦2 + 4𝑥2 = 9 ⇒
𝑥2
3/2 2 + 𝑦2 = 1
болох 𝑎 =
3
2
, 𝑏 = 1 хагас тэнхлэгүүдтэй
эллипс хэлбэрийн муруй байна.

18. Жишээ: 2м/сек хурдтай явж байгаа завь өөрийн хурдтай
пропорционал эсэргүүцлийн хүчний нөлөөгөөр хөдөлгөөнөө
удаашруулж 4 секундын дараа хурд нь 1м/сек болов.
• Хэдэн секундын дараа завины хурд 0,25м/сек болох вэ?
• Завь зогсох хүртлээ ямар зам туулах вэ?
Бодолт: Хугацааны 𝑡 агшинд завины хурд 𝑣 = 𝑣(𝑡) байг.
Тэгвэл 𝑣 0 = 2 ба Ньютоны хоёрдугаар хуулиар
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝐹(𝑡)
болно. Энд 𝐹(𝑡) завинд үйлчлэх хүч, 𝑚 завины масс.
3. Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал
тэгшитгэлийн хэрэглээ

19. • Бодлогын нөхцлөөс 𝐹 𝑡 = −𝑘𝑣(𝑡), энд 𝑘 > 0 пропорционалийн
коэффициент.
• Хүч хөдөлгөөний эсрэг үйлчлэх учраас хасах тэмдэгтэй авч байна.
Иймд завины хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑘𝑣(𝑡) гэж гарна.
• Эндээс 𝑚
𝑑𝑣
𝑣
= −𝑘𝑑𝑡 болох ба интегралчилбал 𝑚
𝑑𝑣
𝑣
= −𝑘 𝑑𝑡.
• Интегралыг бодвол 𝑚 ∙ ln 𝑣 = −𝑘𝑡 + 𝐶 тул дифференциал
тэгшитгэлийн шийд
• ln 𝑣(𝑡) = −
𝑘𝑡
𝑚
+
𝐶
𝑚
⟹ 𝑒ln 𝑣 𝑡
= 𝑒−
𝑘𝑡
𝑚
+
𝐶
𝑚 = 𝑒−
𝑘
𝑚
𝑡
∙ 𝑒
𝐶
𝑚 ⟹
𝑣 𝑡 = 𝐶1 ∙ 𝑒−
𝑘
𝑚
𝑡
гэж олдоно. Энд 𝐶1 = 𝑒
𝐶
𝑚.

20. Бодлогын анхны нөхцлөөс 𝑣 𝑡 = 0 = 𝐶1 ∙ 𝑒−
𝑘
𝑚
∙0
= 𝐶1 = 2.
• Мөн 𝑣(𝑡) 𝑡=4 = 1 = 2𝑒−
𝑘
𝑚
∙4
болно.
Эндээс
𝑘
𝑚
=
ln 2
4
гэж олдох ба 𝑣 𝑡 = 21−
𝑡
4 болно.
• 𝑇 хугацааны дараа завины хурд 0.25м/сек болсон гэвэл
тэгшитгэлээс 0.25 = 21−
𝑇
4 болох ба эндээс
2−2
= 21−
𝑇
4 ⟹ −2 = 1 −
𝑇
4
, ⟹ 𝑇 = 12сек
гэж гарна.

21. • Завины зогсох хүртлээ явсан замыг
𝑆 𝑡 =
0
𝑡
𝑣 𝑥 𝑑𝑥 =
0
𝑡
21−
𝑥
4 𝑑𝑥 =
8
𝑙𝑛2
1 − 2−
𝑡
4
томъёогоор бодно.
Эндээс завь
8
𝑙𝑛2
≈ 11.5 метр хүрэхгүй зам туулаад зогсоно.

22. Бие даан гүйцэтгэх даалгавар:
• Дифференциал тэгшитгэлийг бодоорой.
• 𝑥𝑦2
+ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 − 𝑥2
𝑦 𝑑𝑦 = 0
• 𝑦′
= 𝑒𝑥+𝑦
• 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛2
𝑦𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 ∙ 𝐶𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦 = 0

23. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан
танд баярлалаа.
Оюутан та
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл
хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
• Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.