Лекц 13

1. “Математик II” хичээл
Лекцийн сэдэв:
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл

2. Тодорхойлолт:
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (1)
дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал ямар нэг 𝑢(𝑥, 𝑦)
функцийн бүтэн дифференциал өөрөөр хэлбэл,
𝑑𝑢 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
байвал (1)-ийг бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.

3. 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 илэрхийлэл ямар нэгэн 𝑢 функцийн бүтэн
дифференциал
𝑑𝑢 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
(2)
тэнцэл биелэх явдал юм.

4. 1. Хэрэв (2) нөхцөл биелж байвал (1) тэгшитгэл
𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 0
хэлбэртэй болох ба ерөнхий интеграл нь
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝐶
байна.
• Бүтэн дифференциалт тэгшитгэлийн 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийг хэрхэн
олохыг жишээгээр тайлбарлая.

5. Жишээ: 2 − 9𝑥𝑦2
𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦2
− 6𝑥3
𝑦𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийг бод.
Бодолт: Энд
𝑃 𝑥, 𝑦 = 2 − 9𝑥𝑦2
𝑥, 𝑄 𝑥, 𝑦 = 4𝑦2
− 6𝑥3
𝑦
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= −18𝑥2
𝑦,
𝜕𝑄
𝜕𝑦
= −18𝑥2
𝑦
буюу
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= −18𝑥2
𝑦
(2) нөхцөл биелж байгаа тул өгөгдсөн тэгшитгэл нь бүтэн
дифференциалт тэгшитгэл юм.

6. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн зүүн тал ямар нэг 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийн
бүтэн дифференциал болох ёстой.
Өөрөөр хэлбэл,
𝑑𝑢 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑦 = 2 − 9𝑥𝑦2
𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦2
− 6𝑥3
𝑦𝑑𝑦
буюу
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2 − 9𝑥𝑦2
𝑥,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 4𝑦2
− 6𝑥3
𝑦
байх 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийг олъё.

7. Үүний тулд 𝑦 хувьсагчийг тогтмол гэж үзээд эхний харьцааг
𝑥 хувьсагчаар интегралчлан 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийг олбол
𝑢 = 2𝑥 − 9𝑥2
𝑦2
𝑑𝑥 + 𝜑 𝑦 = 𝑥2
− 3𝑥3
𝑦2
+ 𝜑 𝑦 .
(𝑥 хувьсагчаар дифференциалчлахдаа 𝑦-ийг тогтмол гэж тооцох
тул интегралын дурын тогтмол нь 𝑦 -ээс хамаарсан 𝜑(𝑦) функц
байх болно.)

8. 𝑢(𝑥, 𝑦) функцийн энэхүү илэрхийллийг хоёрдахь харьцаанд
орлуулан 𝜑(𝑦) функцийг олъё.
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑥2
− 3𝑥3
𝑦2
+ 𝜑 𝑦 𝑦
′
= −6𝑥3
𝑦 + 𝜑 𝑦 ′
тул
−6𝑥3
𝑦 + 𝜑 𝑦 ′
= 4𝑦3
− 6𝑥3
𝑦 ⇒ 𝜑′
𝑦 = 4𝑦3
.
Эндээс
𝜑′
𝑦 𝑑𝑦 = 4𝑦3
𝑑𝑦 ⇒ 𝜑 𝑦 = 𝑦4
+ 𝐶1
болно.

9. altansuvd.b@iet.edu.mn
Иймд
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
− 3𝑥3
𝑦2
+ 𝜑 𝑦 = 𝑥2
− 3𝑥3
𝑦2
+ 𝑦4
+ 𝐶1.
Иймд бүтэн дифференциалт тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
𝒙𝟐
− 𝟑𝒙𝟑
𝒚𝟐
+ 𝒚𝟒
= 𝑪
болно.

10. 2. 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал нь ямар нэг
функцийн бүтэн дифференциал биш байвал зарим хялбар
тохиолдолд 𝜇 = 𝜇(𝑥, 𝑦) гэсэн интегралчлагч үржигдэхүүнийг
ашиглан түүнийг бүтэн дифференциалт тэгшитгэлд шилжүүлдэг.
Өөрөөр хэлбэл
𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜇𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл болох ба
𝜕𝜇𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕𝜇𝑄
𝜕𝑥
нөхцөл биелэх ёстой.

11. Сүүлийн тэнцлээс үзвэл интегралчлагч үржигдэхүүний хувьд
тухайн уламжлалт тэгшитгэл
𝜕𝜇
𝜕𝑦
𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜇 =
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝑄 +
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜇
болох ба хялбар хувиргалт хийвэл
1
𝜇
𝜕𝜇
𝜕𝑦
𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
1
𝜇
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝑄 +
𝜕𝑄
𝜕𝑥
буюу
𝜕(ln 𝜇)
𝜕𝑦
𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕(ln 𝜇)
𝜕𝑥
𝑄 +
𝜕𝑄
𝜕𝑥
тэнцэл биелэгдэнэ.

12. Хялбар тохиолдолд интегралчлагч үржигдэхүүнийг хэрхэн олох
аргын талаар авч үзье.
А.
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑥
1
𝑄
илэрхийлэл 𝑦 -ээс хамаарахгүй байвал
интегралчлагч үржигдэхүүн 𝜇 = 𝜇(𝑥) зөвхөн 𝑥 -ээс хамаарсан
функц байна.
Тэгвэл 𝜇 -ийн хувьд
𝑑 ln 𝜇
𝑑𝑥
=
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝑄
гэсэн дифференциал тэгшитгэл үүсэх бөгөөд эндээс
𝝁 𝒙 = 𝒆
𝝏𝑷
𝝏𝒚
−
𝝏𝑸
𝝏𝒙
𝟏
𝑸
𝒅𝒙
гэж олдоно.

13. Б.
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
1
𝑃
илэрхийлэл 𝑥-ээс хамаарахгүй байвал
интегралчлагч үржигдэхүүн зөвхөн 𝑦-ээс хамаарсан
𝝁 𝒚 = 𝒆
𝝏𝑸
𝝏𝒙
−
𝝏𝑷
𝝏𝒚
𝟏
𝑷
𝒅𝒙
хэлбэртэй олдоно.

14. В. Эцэст нь нэгэн төрлийн ба шугаман тэгшитгэлүүд харгалзан
𝜇 𝑥, 𝑦 =
1
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑦
ба
𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
интегралчлагч үржигдэхүүнтэй болно.

15. Жишээ: 𝑦2
− 3𝑥𝑦 − 2𝑥2
𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийн
ерөнхий шийдийг ол.
Бодолт:
𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑦2
− 3𝑥𝑦 − 2𝑥2
, 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑥2
.
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 3𝑥,
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 𝑦 − 2𝑥 ⇒
𝜕𝑃
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑄
𝜕𝑥
учраас өгөгдсөн тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл биш
байна.
Тэгвэл уг тэгшитгэлд интегралчлагч үржигдэхүүн олдох эсэхийг
шалгая.

16. А.
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝑄
=
𝑦 − 𝑥
𝑥 𝑦 − 𝑥
=
1
𝑥
.
Иймд тэгшитгэл зөвхөн 𝑥 хувьсагчаас хамаарсан 𝜇 = 𝜇(𝑥)
интегралчлагч үржигдэхүүнтэй болох нь тодорхойлогдсон тул
энэ интегралчлагч үржигдэхүүн
𝜇 𝑥 = 𝑒
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑥
1
𝑄
𝑑𝑥
= 𝑒
1
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒ln 𝑥
= 𝑥
гэж олдоно.

17. Одоо анхны 𝑦2
− 3𝑥𝑦 − 2𝑥2
𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑑𝑦 = 0
дифференциал тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝜇 𝑥 = 𝑥 интегралчлагч
үржигдэхүүнээр үржүүлбэл
𝑦2
𝑥 − 3𝑥2
𝑦 − 2𝑥3
𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑦 − 𝑥3
𝑑𝑦 = 0
бүтэн дифференциалт тэгшитгэлд шилжинэ.
Энэ тэгшитгэлийн хувьд
𝑃1 𝑥, 𝑦 = 𝑦2
𝑥 − 3𝑥2
𝑦 − 2𝑥3
, 𝑄1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 − 𝑥3
учир

18. 𝜕𝑃1
𝜕𝑦
= 2𝑦𝑥 − 3𝑥2
,
𝜕𝑄1
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 − 3𝑥2
⇒
𝜕𝑃1
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄1
𝜕𝑥
нөхцөл биелж байна. Иймд
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑦2
𝑥 − 3𝑥2
𝑦 − 2𝑥3
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑥2
𝑦 − 𝑥3
.
Эндээс
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = 𝑦2
𝑥 − 3𝑥2
𝑦 − 2𝑥3
𝑑𝑥 ⇒
𝑢 =
1
2
𝑦2
𝑥2
− 𝑥3
𝑦 −
1
2
𝑥4
+ 𝜑 𝑦
ба

19. 𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
1
2
𝑦2
𝑥2
− 𝑥3
𝑦 −
1
2
𝑥4
+ 𝜑 𝑦
𝑦
′
=
𝑦𝑥2
− 𝑥3
+ 𝜑′ 𝑦 = 𝑥2
𝑦 − 𝑥3
,
𝜑′
𝑦 = 0 ⇒ 𝜑 𝑦 = 𝐶.
Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
1
2
𝑦2
𝑥2
− 𝑥3
𝑦 −
1
2
𝑥4
+ 𝐶 = 0 ⇒
𝟏
𝟐
𝒚𝟐
𝒙𝟐
− 𝒙𝟑
𝒚 −
𝟏
𝟐
𝒙𝟒
= 𝑪
болно.

20. хр

21. Жишээ: 2𝑥𝑦2
− 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦2
+ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэл бод.
Бодолт:
𝑃 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦2
− 𝑦, 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑦2
+ 𝑥 + 𝑦.
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 4𝑥𝑦 − 1,
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 1 ⇒
𝜕𝑃
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑄
𝜕𝑥
учраас өгөгдсөн тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
биш байна.

22. А. Тэгвэл уг тэгшитгэлд интегралчлагч үржигдэхүүн олдох
эсэхийг шалгая.
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝑄
=
4𝑥𝑦 − 2
𝑦2 + 𝑥 + 𝑦
.
илэрхийлэл 𝑦 хувьсагчаас хамаарч байна.
Иймд уг тэгшитгэлийн хувьд зөвхөн 𝑥 -ээс хамаарсан
𝜇 = 𝜇(𝑥) интегралчлагч үржигдэхүүн олдохгүй.

23. Б.
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑃
=
1 − 4𝑥𝑦 + 1
2𝑥𝑦2 − 𝑦
=
−2(2𝑥𝑦 − 1)
𝑦(2𝑥𝑦 − 1)
= −
2
𝑦
.
Иймд тэгшитгэл зөвхөн 𝑦 хувьсагчаас хамаарсан 𝜇 = 𝜇(𝑦)
интегралчлагч үржигдэхүүнтэй болох нь тодорхойлогдсон тул энэ
интегралчлагч үржигдэхүүн
𝜇 𝑦 = 𝑒
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
1
𝑃
𝑑𝑦
= 𝑒
−
2
𝑦
𝑑𝑦
= 𝑒−2 ln 𝑦
=
1
𝑦2
гэж олдоно.

24. Одоо анхны 2𝑥𝑦2
− 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦2
+ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0 дифференциал
тэгшитгэлийн хоёр талыг
𝜇 𝑦 =
1
𝑦2 интегралчлагч үржигдэхүүнээр үржүүлбэл
2𝑥 −
1
𝑦
𝑑𝑥 + 1 +
𝑥
𝑦2
+
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0
бүтэн дифференциалт тэгшитгэлд шилжинэ.
Энэ тэгшитгэлийн хувьд
𝑃1 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 −
1
𝑦
, 𝑄1 𝑥, 𝑦 = 1 +
𝑥
𝑦2
+
1
𝑦
учир

25. 𝜕𝑃1
𝜕𝑦
=
1
𝑦2
,
𝜕𝑄1
𝜕𝑥
=
1
𝑦2
⇒
𝜕𝑃1
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄1
𝜕𝑥
нөхцөл биелж байна. Иймд
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 2𝑥 −
1
𝑦
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 1 +
𝑥
𝑦2
+
1
𝑦
.
Эндээс
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑥 −
1
𝑦
𝑑𝑥 ⇒
𝑢 = 𝑥2
−
1
𝑦
𝑥 + 𝜑 𝑦
ба

26. 𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑥2
−
1
𝑦
𝑥 + 𝜑 𝑦
𝑦
′
=
𝑥
𝑦2
+ 𝜑′ 𝑦 = 1 +
𝑥
𝑦2
+
1
𝑦
,
𝜑′
𝑦 = 1 +
1
𝑦
⇒
𝜑 𝑦 = 𝑦 + ln 𝑦 + 𝐶.
Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
𝑢 = 𝑥2
−
1
𝑦
𝑥 + 𝜑 𝑦
𝑥2
−
𝑥
𝑦
+ 𝑦 + ln 𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒
𝒙𝟐
−
𝒙
𝒚
+ 𝒚 + 𝒍𝒏 𝒚 = 𝑪
болно.

27. хр

28. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан
танд баярлалаа.
Оюутан та
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл
хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
• Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.