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微分（人間科学のための基礎数学）
- 2. お品書き • 基礎・基本的な話題 – 関数の極限 – 平均変化率 – 微分係数 – 導関数 – 微分の計算 • 実用/応用/発展的な話題 – 関数の増減とグラフ – 変位、速度、加速度 – 最適化問題 2
- 3. 微分法とは • 関数の導関数を求めたり、それらを利用して関数の性質を調べたり する数学の分野。17世紀後半、ニュートン、ライプニッツによって 始められた。たとえば、ある瞬間の車の速さは、平均速度（ある時間に 車の動いた距離を時間で割った値）の、時間を0に近づけた極限の値 である。同じことを一般の関数について考えてみる。 • 微分法の一つの重要な効用は、それによって、関数の増加・減少の 状態を知ることができる点にある。すなわち、ある区間で、つねに f′(x)≧0であれば、関数はこの区間で単調に増加するし、 f′(x)≦0であれば単調に減少する。 "微分法", 日本大百科全書（ニッポニカ）, JapanKnowledge, https://japanknowledge.com , (参照 2021-9-25) 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 Δ𝑥 = 𝑏 − 𝑎 Δ𝑦 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑥) A B O
- 4. まとめ（先取り） • 微分 ＝ 関数の瞬間的な変化率を求める計算 – 「瞬間」を数学的に表すのに「極限」という概念を導入 – xが○○のとき，その関数の変化率（微分係数）はいくつ？ ＝ 変化率をxの関数で表したのが導関数 – 導関数を定義に従って求めるのは手間なので，暗記も割と重要 • 微分法の応用 – 微分係数の正負から，そのx周辺での増減がわかる ⇒ 導関数の振る舞いを調べればグラフの概形がわかる – 変位の微分 (＝変化率) が速度，速度の微分 (＝変化率) が加速度 – 微分は人工知能のパラメータを決める最適化計算でも活躍する 4
- 5. 使い道の例：力学 • 等加速度直線運動の有名な公式 – 初速度を𝑣0 𝑚/𝑠 、加速度（ずっと一定）を𝑎 𝑚/𝑠2 とするとき… – 微分との関係を理解すれば、真面目に覚える必要はなかった ということがわかる 5 𝑡 秒後の加速度 𝑎 𝑡 秒後の速度 𝑣 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑡 秒後の変位 𝑥 𝑥 = 𝑣0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2
- 6. 使い道の例 2 ：最適化問題 • 例：人工知能等のパラメータの設定 – もちろん「なんとなく」で設定するわけにはいかない – 当てはまりのよいパラメータ設定をどう探す？ または… 傾き・y切片の設定として この値が「最適」なことを どうやって示す？ 「関数」の回のスライド 6
- 7. 関数の極限 • 関数𝑓(𝑥)において，𝑥 が 𝑎 と異なる値を取りながら限りなく𝑎に 近づくとき， 𝑓(𝑥)の値が限りなく一定の値 𝑏 に近づくとする。 • このとき， 𝑏 を 𝑥 → 𝑎 のときの 𝑓(𝑥) の極限値 といい， • このことを， 𝑥 → 𝑎 のとき 𝑓 𝑥 は 𝑏 に 収束する という 𝑥 → 𝑎 のとき 𝑓 𝑥 → 𝑏 または lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑏 と書き表す 例２： lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 例１： lim 𝑥→2 𝑥2 7
- 8. 関数の極限 • 関数𝑓(𝑥)において，𝑥 が 𝑎 と異なる値を取りながら限りなく𝑎に 近づくとき， 𝑓(𝑥)の値が限りなく一定の値 𝑏 に近づくとする。 • このとき， 𝑏 を 𝑥 → 𝑎 のときの 𝑓(𝑥) の極限値 といい， • このことを， 𝑥 → 𝑎 のとき 𝑓 𝑥 は 𝑏 に 収束する という 𝑥 → 𝑎 のとき 𝑓 𝑥 → 𝑏 または lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑏 と書き表す 例２： lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 例１： lim 𝑥→2 𝑥2 = 4 = 0 8
- 9. 極限のちょっとややこしい話 • 関数𝑓(𝑥)に対して, 極限値 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 と 𝑓 𝑎 は 一致するとは限らない – 右左どちらから近づくかの区別が必要な場合もあり、 「右側極限」「左側極限」と言う（下図のように「+0」「-0」をつけて表す） 例： ൝ 𝑓 𝑥 = 1 (𝑥 = 0) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 ≠ 0 例：𝑓 𝑥 = [𝑥] （xを超えない最大の整数） lim 𝑥→−0 𝑓 𝑥 = 0 lim 𝑥→+0 𝑓 𝑥 = 0 だけどあくまで 𝑓 0 = 1 lim 𝑥→1−0 𝑓 𝑥 = 0 lim 𝑥→1+0 𝑓 𝑥 = 1
- 10. 極限値の性質 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝛼, lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝛽のとき 1. lim 𝑥→𝑎 𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘𝛼 ( 𝑘 は定数) 2. lim 𝑥→𝑎 {𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 } = 𝛼 ± 𝛽 (複合同順) 3. lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝛼𝛽 4. lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝛼 𝛽 （ただし 𝛽 ≠ 0） 機械的に lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) で済む場合も多いが， 𝑓 𝑎 が 0 0 , ∞ ∞ , ∞ − ∞, 0 × ∞ などの 不定形 になることもある。その場合は式変形が必要 10
- 11. 極限に関する記号と用語 • 「∞（無限大）」 – 限りなく大きくなるという関数の振る舞いを指す • 基本的に数量とはみなされない • 「－∞（マイナス無限大）」は「限りなく小さくなる」という振る舞い • 「無限小」は「限りなく0に近づく」という振る舞いで、「－∞」とは異なるので注意 • 極限の種類 – 収束：特定の値に近づいていく – 発散：＋∞または－∞に近づいていく（なお±∞は極限「値」とは言わない） – 振動：収束も発散もしない 11 𝑥 → ∞ で収束する例（𝑦 = 1/𝑥） (𝑥 → ±0では発散 ) 𝑥 → ∞ で発散する例（𝑦 = 𝑥2 ） 𝑥 → ∞ で振動する例（𝑦 = sin 𝑥）
- 12. 12 練習問題 2 lim 𝑥→1 𝑥 − 3 𝑥 + 1 4 lim 𝑥→−1 𝑥 + 10 − 3 𝑥 + 1 1 lim 𝑥→3 𝑥2 − 𝑥 − 6 3 lim 𝑥→2 𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑥 − 2
- 13. 練習問題 1 lim 𝑥→3 𝑥2 − 𝑥 − 6 2 lim 𝑥→1 𝑥 − 3 𝑥 + 1 3 lim 𝑥→2 𝑥2 + 2𝑥 − 8 𝑥 − 2 4 lim 𝑥→−1 𝑥 + 10 − 3 𝑥 + 1 = 32 − 3 − 6 = 0 = 1 − 3 1 + 1 = −1 = lim 𝑥→2 𝑥 − 2 𝑥 + 4 𝑥 − 2 = lim 𝑥→2 𝑥 + 4 = 6 = lim 𝑥→−1 𝑥 + 10 − 3 𝑥 + 10 + 3 𝑥 + 1 𝑥 + 10 + 3 = lim 𝑥→−1 𝑥 + 10 − 9 𝑥 + 1 𝑥 + 10 + 3 = lim 𝑥→−1 1 𝑥 + 10 + 3 = 1 6
- 14. 平均変化率 • 連続な関数 𝑓(𝑥) において， 𝑥 の値が 𝑎 から 𝑏 まで変化するとき、 それに応じて 𝑓(𝑥) の値は 𝑓(𝑎) から 𝑓 𝑏 まで変化する。 • このとき，𝑥 の値の変化に対する 𝑓(𝑥) の値の変化の割合 を， 𝑥 の値が 𝑎 から 𝑏 まで変化するときの 𝑦 = 𝑓 𝑥 の 平均変化率 という。 ← 2点 A 𝑎, 𝑓 𝑎 , B(𝑏, 𝑓(𝑏)) を考えると， 平均変化率は直線ABの 傾き（勾配） を表す。 𝑥 の変化量（増分） 𝑏 − 𝑎 を Δ𝑥 , 𝑦 の変化量（増分） 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) を Δ𝑦 と表すこともある（ Δ は「デルタ」と読む） （Δ…英語アルファベットでDにあたるギリシャ文字） （変化量＝差 differenceの頭文字のDと思っておくとよい） 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 Δ𝑥 = 𝑏 − 𝑎 Δ𝑦 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑥) A B O
- 15. 微分係数 • 𝑥 の値が 𝑎 から 𝑏 まで変化するときの関数𝑓 𝑥 の平均変化率 で， 𝑏 を限りなく𝑎 に近づけたときの極限値 を 𝑥 = 𝑎 の変化率または 微分係数 といい， 𝑓′(𝑎) で表す。 lim 𝑏→𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑥 の変化量 𝑏 − 𝑎を = ℎ とおいて， 𝑓′ 𝑎 = lim ℎ→0 𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎 ℎ と表すこともある。 𝑓′(𝑎)は 𝑥 = 𝑎 における接線の傾きを表す ※ 「′」は「ダッシュ」または「プライム」と読む https://ginsyblog.wordpress.com/2017/02/04/how-to- solve-the-problems-of-differential-calculus/ （Gifアニメ） 15
- 16. 補足：接線の方程式 • 微分係数𝑓′(𝑎)は 𝑥 = 𝑎 における接線の傾きを表す – つまり𝑥 = 𝑎 における接線は, 点 𝑎, 𝑓 𝑎 を通る傾き𝑓′(𝑎)の直線 したがってその方程式は 16 https://ginsyblog.wordpress.com/2017/02/04/how-to-solve- the-problems-of-differential-calculus/ （Gifアニメ：再掲） 補足：点 𝑥1, 𝑦1 を通る傾き𝑎の直線の方程式は 𝑦 − 𝑦1 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1) 直線 𝑦 = 𝑎𝑥 を平行移動したと考えると簡単 （原点が点 𝑥1, 𝑦1 にうつるような平行移動） 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′ 𝑎 (𝑥 − 𝑎)
- 17. 補足：微分可能・微分不可能 • 次のようなケースでは 𝑥 = 𝑎 における微分係数を 考えることができない （微分不可能 という） 1. 𝑥 = 𝑎 において関数が不連続 2. 𝑥 = 𝑎 において関数が滑らかでない折れ曲がり方をする 3. 𝑥 = 𝑎 において関数の接線が 𝑥 軸と垂直になる 下の3つの例はいずれも 𝑥 = 0 において微分不可能 （他の点では微分可能） 例1： ൝ 𝑓 𝑥 = 1 (𝑥 = 0) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 ≠ 0 例2： 𝑓 𝑥 = 𝑥 （ 𝑥 は 𝑥 の絶対値を表す） 例3： ൝ 𝑓 𝑥 = 𝑥 (𝑥 ≧ 0) 𝑓 𝑥 = − −𝑥 𝑥 < 0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 O O O
- 18. • 関数 𝑦 = 𝑓 𝑥 の 𝑥 = 𝑎 における微分係数 𝑓′ (𝑎) は 𝑎 の値に応じて1つに定まる ⇒ 𝑓′ (𝑎) は 𝑎 の関数 といえる • 𝑎 を変数と思って 𝑥 に書き換えると 𝑓′ (𝑥) という 𝑥 の関数になる • この 𝑓′(𝑥) を，元の関数 𝑓(𝑥) の 導関数 という。つまり 導関数 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ 𝑓′ 𝑥 のことは 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦′ などと書かれることもある （ ℎ は 𝑥 の変化量） 関数 𝑓 𝑥 の導関数 𝑓′ 𝑥 を求めることを 𝑓 𝑥 を 𝑥 で 微分する という。 ※ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 は「ディーワイ・ディーエックス」と読む ※ 「𝑑𝑥分の𝑑𝑦」という読み方はすごく嫌がる人がいて危険（?） https://twitter.com/masa_hiroo_kano/statu s/1441314399080226816 （GIFアニメ）
- 19. 微分の計算 • 複雑な関数の導関数を求めるときは公式を利用する – 定義に従って求めるのも一興だけどめんどくさい • 多項式関数の導関数の公式 1. 𝑓 𝑥 = 𝑐 (𝑐は定数) のとき 𝑓′ 𝑥 = 0 2. 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 のとき 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 (𝑛は実数) • 定数倍・和・差・積・商の微分法の公式 1. 𝑘𝑓 𝑥 ′ = 𝑘𝑓′ 𝑥 (𝑘は定数) 2. 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 ± 𝑔′ 𝑥 (複合同順) 3. 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 19
- 20. 次の関数において𝑥 = 1における微分係数 𝑓′ 1 を求めてみよう 20 練習問題 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 2 𝑓 𝑥 = 1 𝑥3 3 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2𝑥2 + 𝑥 + 1
- 21. 次の関数において𝑥 = 1における微分係数 𝑓′ 1 を求めてみよう 21 練習問題 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 2 𝑓 𝑥 = 1 𝑥3 3 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 ′ + 𝑥 ′ + 2 ′ = 2𝑥 + 1 より 𝑓′ 1 = 3 𝑓′ 𝑥 = 𝑥−3 ′ = −3𝑥−4 = − 3 𝑥4 より 𝑓′ 1 = −3 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 + 1 ′ 2𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 2𝑥2 + 𝑥 + 1 ′ = 1 2𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 4𝑥 + 1 = 5𝑥2 + 6𝑥 + 2 より 𝑓′ 1 = 13
- 22. 22 補足：定義に従って微分 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 2 3 は省略 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 ℎ = lim ℎ→0 𝑥 + ℎ 2 + 𝑥 + ℎ + 2 − (𝑥2 + 𝑥 + 2) ℎ = lim ℎ→0 2ℎ𝑥 + ℎ2 + ℎ ℎ = lim ℎ→0 2𝑥 + ℎ + 1 = 2𝑥 + 1
- 23. いろいろな関数の導関数 • 理系なら押さえておきたい導関数 元の関数 𝑓(𝑥) 導関数 𝑓′(𝑥) 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛−1 𝑥 1 2 𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑎𝑥 log𝑒 𝑎 log𝑒 𝑥 1 𝑥 log𝑎 𝑥 1 𝑥 log𝑒 𝑎 𝑥𝑥 (𝑥 > 0, 𝑥 ≠ 1 ) 𝑥𝑥 (1 + log𝑒 𝑥) sin 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 tan 𝑥 1 cos2 𝑥
- 24. 実用・応用・発展編
- 25. 関数の増減とグラフの概形 • 導関数の値 ＝ 各時点の微分係数 ＝ 各時点での変化率 – つまり「右に行ったら上がるか下がるか」を表している – そこで、導関数の符号を調べればグラフの概形がわかる – 導関数の符号変化から増減表を作成するとよい 1 𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 1 2 𝑦 = 3𝑥4 + 4𝑥3 − 12𝑥2 + 2 25
- 26. 関数の増減とグラフの概形 • 導関数の値 ＝ 各時点の微分係数 ＝ 各時点での変化率 – つまり「右に行ったら上がるか下がるか」を表している – そこで、導関数の符号を調べればグラフの概形がわかる – 導関数の符号変化から増減表を作成するとよい 1 𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 1 𝑦′ = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12 = 6 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 6 𝑥 + 1 𝑥 − 2 𝑥 … -1 … 2 … 𝑦′ ＋ 0 － 0 ＋ 𝑦 ↗ 8 ↘ -19 ↗ 26
- 27. 関数の増減とグラフの概形 • 導関数の値 ＝ 各時点の微分係数 ＝ 各時点での変化率 – つまり「右に行ったら上がるか下がるか」を表している – そこで、導関数の符号を調べればグラフの概形がわかる – 導関数の符号変化から増減表を作成するとよい 2 𝑦 = 3𝑥4 + 4𝑥3 − 12𝑥2 + 2 𝑦′ = 12𝑥3 + 12𝑥2 − 24𝑥 = 12𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 12 𝑥 + 2 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 … -2 … 0 … 1 𝑦′ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ 𝑦 ↘ -30 ↗ 2 ↘ -3 ↗ 27
- 28. グラフの概形に関する用語 • 極値 – 関数がなめらかに増加から減少へ, または減少から増加へ転じる点 – 微分係数が0かつその前後で符号が変わるとき、関数は極値をとる – 特に＋から－に変化なら極大値、－ から＋に変化なら極小値 • 変曲点 – グラフが上に凸から下に凸, または下に凸から上に凸に変化する場所 – 導関数の導関数（二階微分という）の符号の変わり目にある • さっきの問題で計算して具体的な数値を確かめてみよう 変曲点 1, −12 変曲点 𝑥 = −1 ± 7 3 , 𝑦 は略 極大値 −1, 8 極小値 2 − 19 極大値 0, 2 極小値 −2, −30 1, −3
- 29. 変位，速度，加速度 • それぞれ意味を考えてみると… • そこで変位 𝑥 を経過時間 𝑡 の関数 𝑥 𝑡 と考えると… – 速度は変位の微分 𝑑𝑥 𝑑𝑡 または ሶ 𝑥などと表す – 加速度は速度の微分 ＆ 変位の二階微分 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 または ሷ 𝑥 と表す （微分 ＝ 関数の変化率を求める計算） 29 変位 速度 加速度 元の位置から全部でどれだけ動いたか 単位時間あたりどれだけ動いたか ＝変位の変化率 単位時間あたりどれだけ速度が増えたか ＝速度の変化率
- 30. 思い出す：等加速度運動の公式 • こんな公式ありましたよね： – 等加速度運動の初速度を 𝑣0 m/s , 加速度を 𝑎 m/s2 とすると、 時刻 𝑡 s における速度𝑣 m/s と 変位 𝑥 m は 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑥 = 𝑣0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2 – それぞれ時間 𝑡 で微分してみよう 30
- 31. 使い道の例 2 ：最適化問題 • 例：人工知能等のパラメータの設定 – もちろん「なんとなく」で設定するわけにはいかない – 当てはまりのよいパラメータ設定をどう探す？ または… 傾き・y切片の設定として この値が「最適」なことを どうやって示す？ 「関数」の回のスライド 31
- 32. 人工知能等のパラメータの設定 • 「当てはまりのよさ」を表す指標を「最適化」するという問題 – 例： 残差平方和（各データとモデル値との誤差の2乗の合計値）を パラメータ（ここでは𝑎とする） の関数（𝑓(𝑎)）と見なし， 残差平方和が最小となる𝑎 を探す問題と考える（ここでは𝑎が変数 = いつもの 𝑥） – このとき極小値は最小値の有力候補なので，探しておきたい → 接線の傾きがゼロの 𝑎 を探す、つまり 方程式 𝑓′ 𝑎 = 0 を解けばよい • 普通 𝑓(𝑎) や 𝑓′ 𝑎 の式や全体像は未知なので、次のスライドで示すような アルゴリズム（一連の計算手順）を用いて近似的に解く ① 予測式を「点 ҧ 𝑥, ҧ 𝑦 を通る傾き𝑎の直線」と仮定 （ ҧ 𝑥, ത 𝑦 はそれぞれデータ 𝑥, 𝑦 の平均値 ） 残差平方和 𝑓(𝑎) 𝑎の設定値 ② 𝑎 を変化させ、残差平方和が 最小となる設定を探索 ※ 直線を当てはめる場合、 左に示したやり方は 実はよくないのですが、 イメージ優先で ※ ちゃんとしたやり方を 知りたい人は「数理統計」 などの教科書に チャレンジしましょう （その際「偏微分」も 必要になりますが…）
- 33. 勾配降下法 • 次のような手順で色々なパラメータ（𝑎とおく）での計算を繰り返し、 接線の勾配（傾き＝𝑓′(𝑎)）が0に十分近くなるパラメータ設定を探す 1. 初期値として適当に 𝑎 を定める 2. 𝑓(𝑎)と𝑓(𝑎 ± 𝜖)を求め、これらから𝑓′(𝑎)を求める （𝜖 は可能な限り小さな数：つまり𝑎からわずかに離れた場所での関数値） 3. 1. より少し大きな・小さな 𝑎 についても𝑓 𝑎 , 𝑓′(𝑎)を求める 4. 大きくした方が𝑓′(𝑎)が0に近づくなら𝑎をその大きな𝑎に、 小さくした方が0に近づくなら𝑎をその小さな𝑎に更新する 5. 2.～4.の計算を、 𝑓′(𝑎)が 0に十分近づく*まで繰り返す 残差平方和 𝑓(𝑎) 𝑎の設定値 * どの程度の誤差を許すかを あらかじめ決めておく。 なお、ここでの「十分近づく」ことを 「収束する」と表現することがある
- 34. 余談：ニュートン法 • 勾配降下法と並んで有名なアルゴリズムの1つ – 式変形で解けない複雑な方程式の近似解を強引に求めることができる – これを使って𝑓′ 𝑎 = 0 を解いても良い （勾配降下法と比べると使える状況が限られる一方、収束は早い） • 手順（方程式を 𝑓 𝑥 = 0とする） 1. 適当な初期値 𝑥1をとる 2. 曲線 𝑦 = 𝑓(𝑥)上の点 𝑥1, 𝑓 𝑥1 を通る接線と𝑥 軸との交点 𝑥2, 0 を求める 3. 曲線 𝑦 = 𝑓(𝑥)上の点 𝑥2, 𝑓 𝑥2 を通る接線と𝑥 軸との交点 𝑥3, 0 を求める 4. 以下同様に上記の手順を繰り返すと、 𝑥𝑛 が徐々に解の真値に近づく 34 ━━ 曲線𝑦 = 𝑓(𝑥) ━━ 接線 http://www.thothchildren.com/chapter/5c7a11ab4 1f88f2672516b8e （GIFアニメ）
- 35. まとめ • 微分 ＝ 関数の瞬間的な変化率を求める計算 – 「瞬間」を数学的に表すのに「極限」という概念を導入 – xが○○のとき，その関数の変化率（微分係数）はいくつ？ ＝ 変化率をxの関数で表したのが導関数 – 導関数を定義に従って求めるのは手間なので，暗記も割と重要 • 微分法の応用 – 微分係数の正負から，そのx周辺での増減がわかる ⇒ 導関数の振る舞いを調べればグラフの概形がわかる – 変位の微分 (＝変化率) が速度，速度の微分 (＝変化率) が加速度 – 微分は人工知能のパラメータを決める最適化計算でも活躍する 35
- 36. 役立ちそうな文献の紹介 • 大雑把なイメージをつかみたい人へ – Newton別冊「微分と積分」 ニュートンプレス – 神永正博「「超」入門 微分積分」 講談社ブルーバックス • 基本的な知識・考え方を学びたい人へ – 高専・大学の教科書・参考書（微分積分学） – 小島寛之「ゼロから学ぶ微分積分」 講談社 • 物理や統計・人工知能等での応用をもっと知りたい人へ – 深代千之, 柴山明 (2000) 「スポーツ基礎数理ハンドブック」 朝倉書店 – 谷口忠大 (2014) 「イラストで学ぶ人工知能概論」 講談社 – 斎藤康毅（2016） ゼロから作るDeepLearning. オライリー・ジャパン – 金丸隆志（2020） 高校数学からはじめるディープラーニング 講談社ブルーバックス 36