l

1. Лекц6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн
түүний тархалтын хуулиуд
6.1 Санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Туршилтын үр дүнд ямар нэг тоон утга авах боловч тэрхүү үр дүнг урьдчилан
хэлэх боломжгүй хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй гэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг
дискрет ба тасралтгүй гэж 2 ангилна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгуудийг
түүний боломжит утгууд гэнэ.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь төгсгөлөг, эсвэл төгсгөлгүй тоон
дарааллын хэлбэрээр бичигдэж байвал дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэнэ. Хэрэв
санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь тоон тэнхлэгийн ямар нэг завсраас
бүрдэж байвал түүнийг тасралтгүй гэнэ.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн £-ийн боломжит утгууд ба эдгээр
утгуудыг хүлээн авах магадлалууд -ийн хоорондох холбоог уг хэмжигдэхүүний
тархалтын хууль гэнэ.
Тэгвэл тодорхойлолт ѐсоор ( ) ( ) болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь таблиц, график, томьѐогоор өгөгдөх ба
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гол төлөв таблицаар өгөгдөнө.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн- £ туршилтын үр дүнд бий
боломжит утгуудын аль нэгийг авах үзэгдлийн магадлал нь
( ) ( ) ( ) болох бөгөөд энэ нь зайлшгүй үзэгдэл тул магадлал
нь 1 байна
6.2. Тархалтын функц түүний чанар
Тоон тэнхлэг дээр F(х) гэсэн нэг хувьсагчийн функц тодорхойлогдсон гэж үзье.
х-ийн хувьд “ξ нь х-ээс бага утгаа авах магадлал”-ыг илэрхийлсэн функцийг санамсаргүй
хэмжигдэхүүний тархалтын функц гэнэ.
Өөрөөр хэлбэл : ( ) ( ) байх F(х) функцийг ξ-санамсаргүй хэмжигдэхүүний
тархалтын функц гэнэ. Заримдаа тархалтын интеграл функц, интеграл хууль гэх нь бий.
Тархалтын функцийн чанаруудыг авч үзье.
1. F(х) бүх тоон тэнхлэг дээр тодорхойлогдох ба 0≤ F(х)≤1.
2. F(х) үл буурна, өөрөөр хэлбэл: x1≤ x2, үед F(x1)≤ F(х2)
3. Хэрэв ξ-ийн боломжит утгууд ] [ ( ) ( )
( ) ( ) биелэнэ.
: ... ...
P: ... ...

2. 4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах томьѐогоор
илэрхийлэгдэнэ
( ) ∑ ( )
Үүнд, хi<х байх бүх i-дугааруудын хувьд нийлбэр авагдана.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг сөрөг биш утгатай,хэсэг
хэсэг тасралтгүй функц ( )-ийн тусламжтай дараах байдлаар илэрхийлж болно.
( ) ∫ ( )
( )-ийг тархалтын нягтын функц буюу тархалтын дифференциал функц гэнэ. Нягтын
функцийн тодорхойлолтоос дараах чанарууд мөрдөн гарна
1. ( )
2. ( ) ∫ ( )
3. ∫ ( ) ( [ ] ∫ ( ) )
4. ( ) ( ).
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нягтын функцээрээ өгөгдсөн үед түүний ямар нэг завсраас
утгаа авах магадлал болон тархалтын функцийг байгуулж болно.
Жишээ-5.1 Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нягтын функцээрээ өгөгджээ.
( ) {
1.) ( )
2.) ( ) Функцыг ол
3.) ( ) , ( ) функцийн график байгуул.
Нягтын функцын чанар ѐсоор
1.) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ |
2.) ( ) функцийн дараах муж тус бүр дээр байгуулбал
х ( ) ( ) ( ) ∫ ∫( )
0 ( ) ∫ ∫ ( ) ∫

3. ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫
Одоо эмхэтгэж бичвэл ( ) дараах хэлбэртэй болно.
( ) {
3) Тархалтын F(x) болон нягтын f(x) функцийн графикийг байгуулъя.
6.3 Зарим тархалтууд
Түгээмэл хэрэглэгдэх зарим тархалтын хуулийг авч үзье.
1. Бином тархалт.
Туршилт бүрд А үзэгдэл тогтмол магадлалтай илэрдэг гэж нэрлэе. Тэгвэл n дараалсан
туршилтанд А үзэгдлийн явагдах тоо к- нь 0 , 1 , 2...,n гэсэн боломжит утгууд бүхий
дискерт санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох бөгөөд тархалтын хууль нь дараах хэлбэртэй
байна.
( ) , үүнд q=1-p , k=0,1…,n.
Пауссоны тархалт.
Туршилтын тоог хязгааргүй ихэсгэхэд q бол бином тархалт нь Пауссоны
тархалт болж хувирах бөгөөд дараах хуулиар илэрхийлэгдэнэ
( ) Үүнд =np , k=0,1,2…
Өөрөөр хэлбэл туршилтын тоог хүрэлцээтэй ихэсгэхэд А үзэгдлийн явагдах магадлал p
багасах боловч үзэгдэл явагдах дундаж тоо нь тогтмол байна. Эндээс үзэхэд Пауссоны

4. тархалт ганцхан параметрээр бүрэн тодорхойлогдож байна. Пауссоны тархалт нийтийн
үйлчилгээний онол болон үйлдвэрлэлийн технологийн тасралтгүй ажиллагааг
загварчилхад өргөн хэрэглэгдэнэ.
Жишээ6.2 Ээрмэлийн үйлдвэрт 1000 ээрүүлээс 1 минутанд утас тасарсан тоогоор
зохиогдсон дараах хүснэгтийг авч үзье.
0 600 0 606
1 320 320 303
2 70 140 76
3 10 30 13
4 0 0 2
Ʃ 1000 490 1000
Үүнд, - тасралтын тоо, -тасралттай ээрүүлийн тоо, -ээрүүлийн нийт тасралтын
тоо, - онолын хувьд тасралттай байж болох ээрүүлийн тоо.
Хүснэгтээс ажиглахад 1 минутанд тасрах ээрүүлийн тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн
бөгөөд ээрүүлийн тоо ихсэхэд тасралтын тоо багасаж байгаа нь харагдаж байна. Иймд
тасралтын тоог Пауссоны тархалттай гэж үзэх үндэстэй. Гэхдээ үүнийг дараах байдлаар
шалгая.
1000 ээрүүлийн дундаж тасралтын тоо λ-г олбол
0 тасралттай байх (огт тасралтгүй) үзэгдлийн магадлал нь :
( )
Тэгвэл 0-тасралттай байх нийт ээрүүлийн тоо нь ( )
Мөн 1 тасралттай байх үзэгдлийн магадлалыг олбол: ( )
Яг адилханаар онолын хувьд 1 тасралттай байх нийт ээрүүлийн тоо нь ( )
гэж олдоно.
Нийт тасралттай ээрүүлийн тоо ба онолын хувьд тасралттай байж болох ээрүүлийн тоог
Пауссоны тархалттай байна гэж үзэж болно.

5. 3. Жигд тархалт.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн -ийн бүх боломжит утгууд нь [ ] хэрчим
болдог.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц
( ) {
Өгөгдсөн бол түүнийг жигд тархалттай гэнэ. Тархалтын функцийг ашиглан нягтын
функцийг тодорхойлвол:
( ) {
4. Хэвийн тархалт. Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын
функц ( )
√
( )
хэлбэртэй бол түүнийг хэвийн тархалттай гэнэ.
Хэвийн тархалттай функц дараах хэлбэртэй байна.
( ) ∫ ( )
√
∫
( )
( )
Үүнд гэсэн орлуулга хэрэглэвэл x=a+t хувиргалтаар холбодог. Эндээс t
санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь
( )
√
∫ гэсэн Лапласын функц болно. Энэ томъѐог ашиглан х санамсаргүй
хэмжигдэхүүний [x1;x2] завсарт утгаа авах магадлалыг олбол:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Энэ үр дүнг ашиглан “гурван ийн дүрмийг” гаргая.
1. Нэг ийн дүрэм
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2. Хоѐр ийн дүрэм
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

6. 3. Гурван ийн дүрэм
( ) ( ) ( ) ( )
Эдгээр дүрмийн утга нь төсөөтэй, зөвхөн гурван -ийн дүрмийг тайлбарлавал: х-ийн а-аас
3 -аас ихээр хазайсан утга хэрэв х нь хэвийн тархалттай байвал 1000-д 3-аас илүүгүй
тохиолдохгүй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл Х хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн
бол түүний авах бүх боломжит утгын 99% нь[ ] завсарт багтана.
Жишээ 6.3 Нэгэн бүс нутгийн эрчүүдийн өндөр нь см ба см параметрүүдтэй
хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол 166-172 см өндөртэй хүмүүс нийт эрчүүдийн хэдэн
хувийг эзлэх вэ?
Бодолт: Бодлогын нөхцөл ѐсоор x2=172, x1=166 тул ( ) магадлалыг олох ѐстой.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) буюу
ойролцоогоор 40%. Эндээс 166-172 см өндөртэй эрчүүд нь дунджаар 40% -ийг эзэлж байна.