More Related Content
Similar to MT102 Лекц 12 (20)
MT102 Лекц 12
- 3. Тодорхойлолт:
• Үл мэдэгдэх функц 𝑦 болон түүний 𝑦′
уламжлалын хувьд шугаман
𝑦′
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (1)
хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн
шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж
нэрлэдэг.
3
1. Шугаман дифференциал тэгшитгэл
- 4. 𝑦′
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥
нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн
• 𝑓 𝑥 ≡ 0 бол 𝒚′
+ 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝟎 нэгэн төрлийн
шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
• 𝑓 𝑥 ≢ 0 бол нэгэн төрлийн биш шугаман
тэгшитгэл гэнэ.
4
- 5. Нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь харгалзах
• нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд болон
• нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн тухайн шийд-
үүдийн нийлбэртэй тэнцэнэ.
5
- 6. • Нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн
хувьсагч нь ялгагддаг.
Тодруулбал:
• 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0
тэгшитгэлийн шийд
𝒚 = 𝑪𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
, 𝐶 ≠ 0
томъёогоор олдоно.
6
- 7. 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн шийд
𝒚 = 𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝒇(𝒙)𝒆 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙 + 𝑪
томъёогоор олдоно.
7
- 8. Жишээ: 𝑦′ −
𝑦
𝑥
= 𝑥2 тэгшитгэлийн ерөнхий
шийдийг ол.
Бодолт:
𝑦′
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
шугаман тэгшитгэлийн шийдийг олох
𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶
томъёог шууд ашиглаж шийдийг олъё.
8
- 9. 𝑦′
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) шугаман тэгшитгэлийн
шийдийн томъёо
𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶
Өгөгдсөн
𝑦′ −
1
𝑥
𝑦 = 𝑥2
тэгшитгэлээс
𝑝 𝑥 = −
1
𝑥
, 𝑓 𝑥 = 𝑥2
тул
9
- 10. 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶
= 𝑒− −
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑥2
𝑒 −
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 =
𝑒ln 𝑥
𝑥2
𝑒− ln 𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 =
10
- 11. = 𝑥 𝑥2
1
𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 =
= 𝑥
𝑥2
2
+ 𝐶 =
𝑥3
2
+ 𝐶𝑥.
𝑦′ −
𝑦
𝑥
= 𝑥2 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
𝑦 =
𝑥3
2
+ 𝐶𝑥.
Шийдийн графикийг зурагт харуулав.
11
- 12. • Одоо 𝑦 𝑥0=2 = 1 анхны нөхцөлийг хангах
шийдийг олъё.
Өгсөн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий
шийд
𝑦 =
𝑥3
2
+ 𝐶𝑥
гэж олдсон тул анхны нөхцөлөөс
𝑦 𝑥0=2 =
𝑥3
2
+ 𝐶𝑥
𝑥0=2
=
23
2
+ 2𝐶 = 4 + 2𝐶 =
1 ⇒ 𝐶 = −
3
2
болно.
12
- 13. • Одоо 𝑦 𝑥0=2 = 1 анхны нөхцөлийг хангах
шийдийг бичье.
Ерөнхий шийд 𝑦 =
𝑥3
2
+ 𝐶𝑥 ба 𝐶 = −
3
2
тул
анхны нөхцөлийг хангах тухайн шийд
𝑦 =
𝑥3
2
−
3
2
𝑥 болно.
Энэ бодлогын бодолт болон
график дүрслэлийг
Geogebra програм
ашиглан гаргасан
үр дүнг харуулав.
13
- 15. Олон тооны дифференциал тэгшитгэлүүд нь
хувьсагчийг солих замаар шугаман тэгшитгэлд
шилждэг.
Жишээлбэл:
Бернуллийн тэгшитгэл.
𝒚′ + 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒚𝒏, 𝑛 ≠ 1
хэлбэртэй тэгшитгэлийг Бернуллийн
тэгшитгэл гэнэ.
15
- 16. 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛, 𝑛 ≠ 1
Бернуллийн тэгшитгэлийг 𝑦𝑛
-д хуваавал
𝑦−𝑛𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦1−𝑛 = 𝑓(𝑥)
гэсэн хэлбэртэй болох бөгөөд
𝒚𝟏−𝒏 = 𝒛
гэсэн орлуулгаар шугаман тэгшитгэл рүү
шилжүүлдэг.
16
- 17. Жишээ: 𝑦′ −
3
𝑥
𝑦 = −𝑥3𝑦2 Бернуллийн
тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Бодолт:
Тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝑦2-д хуваавал
1
𝑦2
𝑦′ −
3
𝑥
1
𝑦
= −𝑥3
⇒
1
𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
3
𝑥
1
𝑦
= −𝑥3
болох ба 𝑛 = 2 тул
𝑦1−𝑛 = 𝑦1−2 = 𝑦−1 =
1
𝑦
= 𝑧
гэсэн орлуулга хийнэ.
17
- 18. 1
𝑦
= 𝑧
гэсэн орлуулгын уламжлал нь
1
𝑦
′
= 𝑧 ′ ⇒
1
𝑦2 𝑦𝑥
′ = 𝑧𝑥
′
−
1
𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
⇒
1
𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑑𝑧
𝑑𝑥
болно.
18
- 19. 𝑦′ −
3
𝑥
𝑦 = −𝑥3𝑦2 тэгшитгэл хувиргалтаар
1
𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
3
𝑥
1
𝑦
= −𝑥3
хэлбэрт шилжсэн ба
1
𝑦
= 𝑧 гэсэн орлуулгын дүнд
1
𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑑𝑧
𝑑𝑥
тул
−
𝑑𝑧
𝑑𝑥
−
3
𝑥
𝑧 = −𝑥3 ⇒ 𝒛′ +
𝟑
𝒙
𝒛 = 𝒙𝟑
гэсэн 𝑥-ээс хамаарсан 𝑧(𝑥) функц бүхий
шугаман тэгшитгэлд шилжинэ.
19
- 20. 𝑦′ −
3
𝑥
𝑦 = −𝑥3𝑦2 Бернуллийн тэгшитгэлийг
бодох нь
𝒛′ +
𝟑
𝒙
𝒛 = 𝒙𝟑
гэсэн 𝑥-ээс хамаарсан 𝑧(𝑥) функц бүхий
шугаман тэгшитгэлийн шийдийг олох бодлогод
шилжлээ.
• 𝑧′
+
3
𝑥
𝑧 = 𝑥3
тэгшитгэлээс
𝑝 𝑥 =
3
𝑥
, 𝑓 𝑥 = 𝑥3
тул
20
- 21. 𝑧 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 =
= 𝑒−
3
𝑥
𝑑𝑥
𝑥3
𝑒
3
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 =
= 𝑒−3 ln 𝑥
𝑥3
𝑒3 ln 𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 =
= 𝑥−3
𝑥3
𝑥3
𝑑𝑥 + 𝐶 =
= 𝑥−3 𝑥6 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝒙−𝟑 𝒙𝟕
𝟕
+ 𝑪 .
21
- 22. болох ба орлуулгыг буцааж орлуулбал анхны
𝑦′
−
3
𝑥
𝑦 = −𝑥3
𝑦2
Бернуллийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
1
𝑦
= 𝑥−3 𝑥7
7
+ 𝐶 ⇒
𝒙𝟑 = 𝒚
𝒙𝟕
𝟕
+ 𝑪
болно.
Энэ шийдийн график
дүрслэлийг зурагт
харуулав.
22
- 24. 24
Анхаарал хандуулан,
хичээлийн агуулгыг бүрэн
судалсан оюутан танд
баярлалаа.
Та бүхэн
Бие даан гүйцэтгэх
даалгавараа гүйцэтгэж,
гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр
явуулаарай.
Цахим сургалтандаа
идэвхтэй хамрагдсан
оюутан танд талархал
илэрхийлье.
