Лекц 5

1. Тодорхой интеграл
ашиглан
хавтгайн дүрсийн
талбай олох

2. Тодорхой
интегралын
геометр хэрэглээ
Хавтгайн
дүрсийн талбай
олох
Огторгуйн
биеийн эзэлхүүн
олох
Биеийн
гадаргуугийн
талбай олох
Нумын уртыг
олох

3. 1. Хавтгайн дүрсийн талбай олох
1.А. Тэгш өнцөгт координатын системд хавтгайн
дүрсийн талбай олох
• Тодорхой интегралын геометр утгыг үндэслэн тэгш
өнцөгт координатын системд хавтгайн дүрсийн
талбай олж болно.

4. 1.А-1. 𝑦 = 𝑓(𝑥) функц [𝑎, 𝑏] завсарт тасралтгүй
бөгөөд
𝑓(𝑥) ≥ 0 бол
• Доороосоо 𝑂𝑥 тэнхлэг буюу 𝑦 = 0 шулуун,
• Зүүн талаасаа 𝑥 = 𝑎 шулуун,
• Баруун талаасаа 𝑥 = 𝑏 шулуун,
• Дээрээсээ 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн графикаар
хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапецын талбай
𝑺 =
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
тодорхой интегралаар тодорхойлогдоно.

5. 1.А-2. 𝑦 = 𝑓(𝑥) функц [𝑎, 𝑏] завсарт тасралтгүй
бөгөөд 𝑓 𝑥 < 0 бол
• Доороосоо 𝑂𝑥 тэнхлэг буюу 𝑦 = 0 шулуун,
• Зүүн талаасаа 𝑥 = 𝑎 шулуун,
• Баруун талаасаа 𝑥 = 𝑏 шулуун,
• Дээрээсээ 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн графикаар
хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапецын талбай
𝑆 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
тодорхой интегралаар тодорхойлогдоно.

6. 1.А-3. Муруй шугаман трапец нь
• 𝑦 = 𝑓1 𝑥 < 0,
• 𝑦 = 𝑓2 𝑥 ≥ 0 муруйнууд ба
• 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн бол уг дүрсийн талбай
𝑆 =
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥
=
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑥 − 𝑓1 𝑥 𝑑𝑥
𝑺 =
𝒂
𝒃
𝒇𝟐 𝒙 − 𝒇𝟏 𝒙 𝒅𝒙 (3)
тодорхой интегралаар тодорхойлогдоно.

7. 1.А-4. Муруй шугаман трапец нь
• 𝑦 = 𝑓1 𝑥 ≥ 0,
• 𝑦 = 𝑓2 𝑥 > 0, 𝑓1 𝑥 < 𝑓2 𝑥 муруйнууд ба
• 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн бол
дүрсийн талбай
𝑺 =
𝒂
𝒃
𝒇𝟐 𝒙 − 𝒇𝟏 𝒙 𝒅𝒙
тодорхой интегралаар тодорхойлогдоно.

8. 1.А-5. Xэрэв муруйн тэгшитгэл
𝑥 хувьсагч нь 𝑦 хувьсагчаас хамаарсан 𝑥 = 𝜑(𝑦)
хэлбэртэй өгөгдсөн бол
• 𝑥 = 𝜑1 𝑦 ,
• 𝑥 = 𝜑2 𝑦 , 𝜑1(𝑦) ≤ 𝜑2(𝑦) шугамууд болон
• 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн
талбай
𝑺 =
𝒄
𝒅
𝝋𝟐(𝒚) − 𝝋𝟏(𝒚) 𝒅𝒚
томъёогоор тодорхойлогдоно.

9. 1.А-6. Муруй шугаман трапецийг хүрээлж байгаа шугамын тэгшитгэл
𝑥 = 𝜑 𝑡
𝑦 = 𝜓 𝑡
𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2
параметрт тэгшитгэлээр өгөгдвөл 𝑆 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 томъёонд
𝑥 = 𝜑 𝑡 , 𝑑𝑥 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡
𝑦 = 𝜓 𝑡 , 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝜓 𝑡
орлуулга хийвэл муруй шугаман трапецийн талбай
𝑺 =
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒕𝟏
𝒕𝟐
𝝍 𝒕 ∙ 𝝋′ 𝒕 𝒅𝒕
томъёогоор тодорхойлогдоно.

10. Жишээ: 𝑦 = 𝑥2 + 2 муруй болон 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 1 шулуунуудаар
хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
Бодолт: Муруй ба шулуунуудыг тэгш өнцөгт координатын хавтгайд
дүрсэлбэл
зүүн талаасаа 𝑥 = −2,
баруун талаасаа 𝑥 = 1 шулуун,
доороосоо 𝑦 = 0 шулуунаар,
дээрээсээ 𝑦 = 𝑥2 + 2 муруйгаар хүрээлэгдсэн тул муруй
шугаман трапецын талбай
𝑆 =
−2
1
𝑥2 + 2 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 2𝑥
−2
1
=
1
3
+ 2 − −
8
3
− 4 = 9 нэгж2

11. Жишээ: 𝑦 = 2 𝑥 + 1 муруй болон 𝑦 = 𝑥 + 1 шулуунаар хүрээлэгдсэн
дүрсийн талбайг ол.
Бодолт: Муруй ба шулууны огтлолын цэгийн 𝑥 координат
2 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1
тэгшитгэлийн шийд 𝑥 = −1, 𝑥 = 3 болно.
• −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 завсарт 𝑥 + 1 ≤ 2 𝑥 + 1 учир 𝑦 = 2 𝑥 + 1 муруй болон
𝑦 = 𝑥 + 1 шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай
𝑆 =
−1
3
2 𝑥 + 1 − (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
2
2
3
𝑥 + 1
3
2 −
1
2
𝑥 + 1 2
−1
3
=
8
3
.

12. Жишээ: 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 = cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 муруйнууд болон 𝑥 = 0, 𝑥 =
𝜋 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
Бодолт: 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 = cos 𝑥 муруйнууд 𝑥 =
𝜋
4
цэгт огтлолцох ба
• 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
4
үед sin 𝑥 ≤ cos 𝑥
•
𝜋
4
≤ 𝑥 ≤ 𝜋 үед sin 𝑥 ≥ cos 𝑥 байна. Иймд дүрсийн талбай
𝑆 =
0
𝜋
4
cos 𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 +
𝜋
4
𝜋
sin 𝑥 − cos 𝑥 𝑑𝑥 =
sin 𝑥 + cos 𝑥
0
𝜋
4
+
− cos 𝑥 − sin 𝑥 𝜋
4
𝜋
= 2 2.

13. 1.Б. Туйлын координатын системд
хавтгайн дүрсийн талбай олох
Туйлын координатын системд 𝜌 = 𝑓(𝜑)
тасралтгүй муруй ба 𝜑 = 𝛼, 𝜑 = 𝛽
цацрагуудаар xүрээлэгдсэн 𝑂𝐴𝐵 секторын
талбай
𝑆 =
1
2
𝛼
𝛽
𝜌2
𝜑 𝑑𝜑
томъёогоор тодорхойлогдоно.

14. Жишээ: Бернуллийн лемнискатаар xүрээлэгдсэн талбайг ол.
Бодолт: Туйлын координатын системд Бернуллийн лемнискатын
тэгшитгэл
𝜌 = 𝑎 2 cos 2𝜑 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋.
Туйлын координатын системд Бернуллийн лемнискатаар xүрээлэгдсэн
дүрсийн талбай
𝑆1 =
1
2
0
𝜋
4
𝑎2
2 cos 2𝜑 𝑑𝜑 =
𝑎2 sin2𝜑
2 0
𝜋
4
=
𝑎2
2
1 =
𝑎2
2
.
𝑆 = 4𝑆1 = 4
𝑎2
2
= 2𝑎2
.

15. Бие даан гүйцэтгэх даалгавар:
• 𝑦 = 𝑥2
муруй болон 𝑦 = −𝑥 + 2 шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн
талбайг ол.
• 𝑦 = 𝑥3 муруй болон 𝑦 = 𝑥 шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
• Зурагт дүрслэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

16. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан
танд баярлалаа.
Оюутан та
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл
хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
• Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.