Лекц 11

1. Нэгдүгээр эрэмбийн
нэгэн төрлийн
дифференциал
тэгшитгэл

2. Агуулга
1. Нэгэн
төрлийн
дифференциал
тэгшитгэл
2

3. Тодорхойлолт:
• Хэрэв 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн хувьд
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝛼𝑓(𝑥, 𝑦)
тэнцэл биелж байвал 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийг
𝜶 -эрэмбийн нэгэн төрлийн функц гэнэ.
• Жишээ нь: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥3
𝑦 − 𝑥4
+ 𝑥2
𝑦2
функц
нь 4-р эрэмбийн нэгэн төрлийн функц байна.
Учир нь:
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 2 𝑡𝑥 3
𝑡𝑦 − 𝑡𝑥 4
+ 𝑡𝑥 2
𝑡𝑦 2
=
𝑡4 2𝑥3𝑦 − 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 = 𝑡4𝑓(𝑥, 𝑦)
3
1. Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

4. Тодорхойлолт:
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (1)
тэгшитгэлд 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦) функцууд нь 𝛼 -
эрэмбийн нэгэн төрлийн функцууд байвал (1)
тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн дифференциал
тэгшитгэл гэнэ.
(1) тэгшитгэлийг
𝑡𝛼 =
1
𝑥𝛼
-аар үржүүлбэл
1
𝑥𝛼
∙ 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 +
1
𝑥𝛼
∙ 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
4

5. 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦)-функцууд нь 𝛼 эрэмбийн нэгэн
төрлийн функцууд учир
•
1
𝑥𝛼 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑃
1
𝑥
∙ 𝑥,
1
𝑥
∙ 𝑦 = 𝑃 1,
𝑦
𝑥
=
𝑃1
𝑦
𝑥
•
1
𝑥𝛼 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑄
1
𝑥
∙ 𝑥,
1
𝑥
∙ 𝑦 = 𝑄 1,
𝑦
𝑥
=
𝑄1
𝑦
𝑥
болно.
5

6. 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэл нь
𝑃1
𝑦
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑄1
𝑦
𝑥
𝑑𝑦 = 0
буюу
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝜑
𝑦
𝑥
(2)
хэлбэртэй болно.
6

7. •
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝜑
𝑦
𝑥
тэгшитгэлд
𝑦
𝑥
= 𝑢 орлуулга хийж
хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэлд
шилжүүлж бодно. Тодруулбал:
𝑦
𝑥
= 𝑢 ⇒ 𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑢 + 𝑥𝑢′
тул (2) тэгшитгэл нь
𝑑𝑢
𝜑 𝑢 − 𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэлд
шилжинэ.
7

8. Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл
𝑑𝑢
𝜑 𝑢 −𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
интегралчилбал
𝑑𝑢
𝜑(𝑢) − 𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
+ 𝐶 .
Интегралчилсаны дараа 𝑢-ийн оронд
𝑦
𝑥
харьцааг
тавьж өгөгдсөн (1) тэгшитгэлийн ерөнхий
шийдийг олно.
8

9. Жишээ: 𝑥2
− 𝑦2
𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийг
бод.
Бодолт: 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑷 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ба 𝑸 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙𝒚
функцууд нь
𝑃 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = (𝑡𝑥)2− 𝑡𝑦 2 = 𝑡2 𝑥2 − 𝑦2
= 𝑡2 ∙ 𝑃(𝑥, 𝑦)
ба
𝑄 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 3 𝑡𝑥)(𝑡𝑦 = 𝑡2 ∙ 3𝑥𝑦 = 𝑡2 ∙ 𝑄(𝑥, 𝑦)
учир 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн функцууд
байна.
9

10. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийг
1
𝑥2 –аар үржүүлэн
хувиргалт хийж,
•
𝑦
𝑥
= 𝑢 𝑦′
= 𝑢 + 𝑥𝑢′
орлуулга хийе.
1
𝑥2
𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥 +
1
𝑥2
3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0,
3𝑦
𝑥
𝑦′ = − 1 −
𝑦2
𝑥2
,
• 3𝑢 𝑢 + 𝑥𝑢′ = − 1 − 𝑢2 ⇒
• 𝑢 + 𝑥𝑢′ =
𝑢2−1
3𝑢
⇒ 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−2𝑢2−1
3𝑢
.
10

11. • Энэхүү тэгшитгэлийн хувьсагчийг ялгаж,
интегралчилбал
−
3𝑢
2𝑢2 + 1
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
+ ln 𝐶 ,
−
3
4
ln 2𝑢2 + 1 = ln 𝑥 + ln 𝐶
шийд олдоно.
11

12. • Одоо анхны 𝑥 ба 𝑦 хувьсагчид
шилжвэл 𝑢 =
𝑦
𝑥
−
3
4
ln 2
𝑦
𝑥
2
+ 1 = ln 𝐶𝑥
болж өгөгдсөн тэгшитгэлийн
ерөнхий шийд олдож байна.
Шийдийн график дүрслэлийг зурагт
харуулав.
12

13. • Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг
Geogebra программ ашиглан бодох талаар
тайлбарлая.
13

14. Жишээ: 𝑥2
− 𝑦2
𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 дифференциал
тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг Geogebra
программ ашиглан олсон байдал.
14

15. 15
Агуулга
2. Нэгэн төрлийн
дифференциал
тэгшитгэлд
шилжих тэгшитгэл

16. 𝑦′ = 𝑓
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэл
• нэгэн төрөл эсвэл
• хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ.
16
2. Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлд
шилжих тэгшитгэл

17. А. Тэгшитгэлийн 𝑥, 𝑦 хувьсагчдын өмнөх
коэффициентүүдээр бичигдсэн хоёрдугаар
эрэмбийн тодорхойлогч
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
≠ 0
бол
𝑥 = 𝑥1 + 𝛼, 𝑦 = 𝑦1 + 𝛽
орлуулгаар анхны тэгшитгэл нэгэн төрлийн
тэгшитгэлд шилжинэ.
17

18. • Энд 𝛼, 𝛽 -нь
𝑎1𝛼 + 𝑏1𝛽 + 𝑐1 = 0
𝑎2𝛼 + 𝑏2𝛽 + 𝑐2 = 0
системийн шийд тогтмол тоо.
• Энэ тохиолдолд
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦1
𝑑𝑥1
.
Иймд анхны дифференциал тэгшитгэл
𝑑𝑦1
𝑑𝑥1
= 𝑓
𝑎1𝑥1 + 𝑏1𝑦1
𝑎2𝑥1 + 𝑏2𝑦1
нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ.
18

19. Б. Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
= 0
бол 𝑎2 = 𝜆𝑎1, 𝑏1 = 𝜆𝑏1 анхны тэгшитгэл
𝑧 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
орлуулгаар хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд
шилжинэ.
19

20. Жишээ А: 𝑦′ = −
𝑥−2𝑦+5
2𝑥−𝑦+4
тэгшитгэлийг бод.
• Бодолт: Юуны өмнө тэгшитгэлийн 𝑥, 𝑦
хувьсагчдын өмнөх коэффициентүүдээр
зохиосон хоёрдугаар эрэмбийн
тодорхойлогчийг бодвол
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
=
1 − 2
2 − 1
= −1 + 4 = 3 ≠ 0
байна.
Иймд 𝑥 = 𝑥1 + 𝛼, 𝑦 = 𝑦1 + 𝛽 орлуулга хийнэ.
20

21. 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦1
𝑑𝑥1
тул орлуулгын дүнд тэгшитгэл
𝑑𝑦1
𝑑𝑥1
= −
𝑥1 − 2𝑦1 + 𝛼 − 2𝛽 + 5
2𝑥1 − 𝑦1 + 2𝛼 − 𝛽 + 4
хэлбэртэй болох ба
2𝛼 − β + 4 = 0
α − 2β + 5 = 0
системээс 𝛼 = −1, 𝛽 = 2 гэж олдоно.
21

22. Иймд
𝑥 = 𝑥1 − 1, 𝑦 = 𝑦1 + 2
орлуулгаар өгсөн тэгшитгэл
𝑑𝑦1
𝑑𝑥1
= −
𝑥1 − 2𝑦1
2𝑥1 − 𝑦1
нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлд
шилжинэ. Энэ тэгшитгэлд
𝑦1
𝑥1
= 𝑢 ⇒ 𝑦1 = 𝑥1𝑢 ⇒ 𝑦1
′
= 𝑢 + 𝑥1𝑢′
орлуулга хийвэл
𝑢 + 𝑥1
𝑑𝑢
𝑑𝑥1
= −
1 − 2𝑢
2 − 𝑢
22

23. хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл
гарч, хувьсагчийг ялгаж, интегралчилбал
𝑥1 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥1
=
𝑢2 − 1
2 − 𝑢
⇒
2 − 𝑢
𝑢2 − 1
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥1
𝑥1
,
2 − 𝑢
𝑢2 − 1
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥1
𝑥1
2
1
𝑢2 − 1
𝑑𝑢 −
1
2
𝑢2
− 1 ′
𝑢2 − 1
𝑑𝑢 =
1
𝑥1
𝑑𝑥1
23
𝑑𝑥
𝑥2 − 𝑎2
=
𝟏
𝟐
ln
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
+ 𝐶

24. 2 ∙
1
2
ln
𝑢 − 1
𝑢 + 1
−
1
2
ln 𝑢2 − 1 = ln 𝑥1 + ln 𝐶 ,
ln
𝑢−1
𝑢+1
1
𝑢2−1
= ln 𝐶𝑥1 ,
•
𝒖−𝟏 𝟏/𝟐
𝒖+𝟏 𝟑/𝟐 = 𝑪𝒙𝟏
24

25. 𝒖−𝟏 𝟏/𝟐
𝒖+𝟏 𝟑/𝟐 = 𝑪𝒙𝟏 ⇒ 𝑢 − 1 = 𝐶𝑥1
2
𝑢 + 1 3
Одоо
𝑦1
𝑥1
= 𝑢 орлуулгаа тавибал
𝑦1 − 𝑥1 = 𝐶 2 𝑦1 + 𝑥1
3
болно.
• Эцэст нь 𝑥 = 𝑥1 − 1, 𝑦 = 𝑦1 + 2 буюу
𝑥1 = 𝑥 + 1, 𝑦1 = 𝑦 − 2
• тул анхны 𝑥 ба 𝑦 хувьсагчид шилжвэл
𝑦 − 𝑥 − 3 = 𝐶 𝑦 + 𝑥 − 1 3
• Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий
шийд болно.
25

26. Жишээ Б: 2𝑥 + 𝑦 − 1 𝑑𝑥 − 4𝑥 + 2𝑦 + 5 𝑑𝑦 = 0
тэгшитгэлийг бод.
• Бодолт: Тэгшитгэлийг 𝑦′ =
2𝑥+𝑦−1
4𝑥+2𝑦+5
хэлбэрт
шилжүүлэн 𝑥, 𝑦 хувьсагчдын өмнөх
коэффициентүүдээр зохиосон хоёрдугаар
эрэмбийн тодорхойлогчийг бодвол
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
=
2 1
4 2
= 0
байна.
26

27. Иймд тэгшитгэл
𝑧 = 2𝑥 + 𝑦
орлуулгаар хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд
шилжинэ.
Мөн 𝑧𝑥
′ = 2𝑥 + 𝑦 𝑥
′ ⇒ 𝑧′ = 2 + 𝑦′ болно.
Иймд
𝑧′
= 2 + 𝑦′
буюу 𝑦′
= 𝑧′
− 2 тул
𝑦′
=
2𝑥+𝑦−1
4𝑥+2𝑦+5
тэгшитгэл дараах хэлбэрт шилжинэ.
𝑧′
− 2 =
𝑧 − 1
2𝑧 + 5
.
27

28. Энэ тэгшитгэлийн хувьсагчийг ялгаж,
интегралчилбал
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
5𝑧 + 9
2𝑧 + 5
⇒
2𝑧 + 5
5𝑧 + 9
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
⇒
2
5
+
7
5
1
5𝑧 + 9
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥,
2
5
+
7
5
1
5𝑧 + 9
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 .
28

29. 2
5
𝑧 +
7
25
ln 5𝑧 + 9 = 𝑥 + 𝐶 .
Анхны 𝑥 ба 𝑦 хувьсагчид шилжвэл
10𝑦 − 5𝑥 + 7 ln 10𝑥 + 5𝑦 + 9 = 𝐶
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
олдоно.
29

30. 30
Бие даан гүйцэтгэх
бодлого
Нэгэн төрлийн
дифференциал
тэгшитгэлийг
бодоорой.
• 𝑥2 − 3𝑦2 𝑑𝑥 +
2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
• 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑦
• 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑑𝑥 +
2𝑥 + 2𝑦 − 1 𝑑𝑦 =
0

31. 31
Анхаарал хандуулан,
хичээлийн агуулгыг бүрэн
судалсан оюутан танд
баярлалаа.
Та бүхэн
Бие даан гүйцэтгэх
даалгавараа гүйцэтгэж,
гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр
явуулаарай.
Цахим сургалтандаа
идэвхтэй хамрагдсан
оюутан танд талархал
илэрхийлье.