Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to MT102 Лекц 2
Similar to MT102 Лекц 2 (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
MT102 Лекц 2
- 1. “Математик II” хичээл Лекцийн сэдэв: Тодорхой биш интеграл бодох орлуулга болон хэсэгчлэн интегралчлах арга
- 2. Тодорхой биш интеграл бодох аргууд • Функцийг тодорхой дүрмээр дифференциалчилдагийн адилаар интегралчлах үйлдлийг гүйцэтгэх ерөнхий дүрмийг томъёолох боломжгүй. Гэхдээ интегралчлах үйлдлийг хялбарчлахын тулд • орлуулга хийх буюу хувьсагч солих, • хэсэгчлэн интегралчлах зэрэг аргыг хэрэглэнэ.
- 3. 1. Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга Тодорхойлолт: • Интегралд шинэ хувьсагч оруулан өгсөн интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэх аргыг орлуулах буюу хувьсагч солих арга гэнэ.
- 4. Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга нь дараах томъёонуудад үндэслэнэ. 1А. 𝑓(𝑡)- тасралтгүй функц, 𝑡 = 𝜑(𝑥) тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд утгын муж нь 𝑓(𝑡) функцийн тодорхойлогдох мужид харъяалагддаг байг. Тэгвэл 𝑓 𝜑 𝑥 𝜑′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 томъёо хүчинтэй. • 𝒕 = 𝝋 𝒙 орлуулга хийвэл • түүний дифференциал 𝒅𝒕 = 𝝋′(𝒙)𝒅𝒙 болох тул • 𝑓 𝜑 𝑥 𝑡 𝜑′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 интегралыг бодож, • гарсан үр дүнд анхны 𝒕 = 𝝋 𝒙 орлуулгаа буцаан орлуулбал, интегралын анхны 𝑥 хувьсагчтай үр дүн гарна.
- 5. 1Б. 𝑥 = 𝜑(𝑡) ба 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝜑(𝑡))- тасралтгүй дифференциалчлагдах функц байг. Тэгвэл 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝜑 𝑡 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 томъёо хүчинтэй. Иймд 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 интегралыг орлуулгын аргаар бодохдоо • 𝑥 = 𝜑 𝑡 орлуулга хийвэл • түүний дифференциал 𝑑𝑥 = 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 болох тул • 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 интегралыг бодож, • гарсан үр дүнд анхны хувьсагч 𝑥 -рүү 𝑡 = 𝜑−1 (𝑥) томъёогоор шилжинэ.
- 6. Дээрх 2 томъёог тодорхой биш интегралд орлуулга хийх томъёо гэнэ. Жишээ: sin 3𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: Энд 𝑡 = 3𝑥 орлуулга хийвэл дифференциал нь 𝑑𝑡 = 𝜑 𝑥 ′ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 3𝑥 ′ 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 = 3 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 1 3 𝑑𝑡 буюу 𝑡 = 3𝑥, 𝑑𝑥 = 1 3 𝑑𝑡 орлуулгаар анхны интегралд хувиргалт хийж,
- 7. sin𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑡 + 𝐶 томъёогоор бодолтыг гүйцэтгэвэл sin 3𝑥 𝑑𝑥 = sin𝑡 ∙ 1 3 𝑑𝑡 = 1 3 sin𝑡 𝑑𝑡 = − 1 3 cos𝑡 + 𝐶 болно. Одоо 𝑡 хувьсагчийн оронд 𝑡 = 3𝑥 орлуулгаа буцаан орлуулж, анхны 𝑥 хувьсагчид шилжвэл интеграл sin 3𝑥 𝑑𝑥 = − 1 3 cos𝑡 + 𝐶 = − 1 3 cos3𝑥 + 𝐶.
- 8. 2. Хэсэгчлэн интегралчлах арга 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) функцүүд ямар нэг завсарт тасралтгүй дифференциалчлагдах функцүүд байг. • Тэгвэл 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣(𝑥) үржвэр функцийн уламжлал 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ = 𝑢 𝑥 ′ ⋅ 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ байна. Одоо хоёр талаас нь интеграл авбал 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 ′ ⋅ 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ 𝑑𝑥 буюу энэ тэнцэтгэлийн зүүн гар тал
- 9. 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 ′ 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 ⋅ 𝑣 𝑥 болно. Эндээс 𝑢 𝑥 𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑥 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 томъёо хүчинтэй байна. Товчоор бичвэл 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо хүчинтэй байна. Энэ томъёог хэсэгчлэн интегралчлах томъёо гэж нэрлэдэг.
- 10. Санамж: Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг xэрэглэxдээ • 𝑑𝑣-ээс интеграл аваx учир аль болоx xялбар интегралчлагдаx xэсгийг, • 𝑢-ээс дифференциал (уламжлал) аваx тул ямар ч xэсгийг сонгон авч болоx юм. • 𝑣𝑑𝑢 интеграл анхны интегралаас хялбарчлагдсан байхыг бодолцох хэрэгтэй.
- 11. 2А. Хэсэгчлэн интегралчлах арга Дараах хэлбэрийн үржвэр функцийн 𝑝 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑝 𝑥 cos𝑥𝑑𝑥, 𝑝(𝑥)sin𝑥𝑑𝑥 интегралууд 𝑝(𝑥) нь олон гишүүнт үед xэсэгчлэн интегралчлаx аргаар бодогдоно.
- 12. Жишээ: 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: • 𝑑𝑣-ээс интеграл аваx учир аль болоx xялбар интегралчлагдаx xэсгийг, • 𝑢-ээс дифференциал аваx тул уламжлал авсаны дараа зэрэг нь буурах xэсгийг сонгон авъя. Иймд интеграл доорх илэрхийллийг 𝑢 𝑥 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 гэж сонговол 𝒖 𝒙 = 𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 болох тул
- 13. • хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон • 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 томъёо ёсоор 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 буюу 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 болно.
- 14. Логарифм ба тригонометрийн урвуу функцийн тодорхой биш интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах арга ашиглан бодох тохиолдол байдаг. Санамж: Интеграл доорх илэрхийлэл • ln𝑥, log 𝑥 , arccos𝑥, arcsin𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥, (arcsin𝑥)2 , (arccos𝑥)2 , (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)2 гэх мэтийн функцүүдийн аль нэгийг агуулсан бол хэсэгчлэн интегралчлах томъёог хэрэглэхдээ уг функцийг 𝒖(𝒙)- ээр орлуулах нь тохиромжтой. 2Б. Логарифм ба тригонометрийн урвуу функцийн тодорхой биш интеграл бодох
- 15. Жишээ: ln𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: Интеграл доорх илэрхийлэл ln𝑥 логарифм функц агуулсан тул санамж ёсоор 𝑢 𝑥 = ln𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 гэж сонговол 𝒖 𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = ln 𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒙 болох тул • хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон • 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 1 𝑛+1 𝑥𝑛+1 + 𝐶 томъёо ёсоор
- 16. 𝑥 ⋅ ln𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 ⋅ 1 𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 + 𝐶 буюу ln𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln𝑥 − 𝑥 + 𝐶 байна.
- 17. Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэх тохиолдол байдаг. • 𝑥𝑛 -ийг дифференциалчлан зэргийг бууруулах эсвэл • Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэн анхны хэлбэрт шилжүүлэн үр дүнгээ хувирган хялбарчлах арга өргөн хэрэглэгддэг. 2В. Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэх
- 18. • Хэсэгчлэн интегралчлах (Зэрэг бууруулах) арга • Интегралын доорх функц 𝑥𝑛 хэлбэрийн функц агуулсан байвал 𝑥𝑛 -ийг дифференциалчлан зэргийг бууруулах замаар хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан хэрэглэж интегралыг боддог.
- 19. Жишээ: 𝑥2 ⋅ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: • 𝑢-ээс дифференциал аваx тул уламжлал авсны дараа зэрэг нь буурах xэсгийг сонгон авъя. Иймд интеграл доорх илэрхийллийг 𝑢 𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 гэж сонговол 𝒖 𝒙 = 𝒙𝟐 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥2 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝟏 𝟓 𝒆𝟓𝒙 болох тул
- 20. • хэсэгчлэн интегралчлах 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 томъёо болон • 𝑒𝑎𝑥+𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑒𝑒𝑎𝑥+𝑏 + 𝐶 томъёо ёсоор 𝑥2 ⋅ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 ⋅ 1 5 𝑒5𝑥 − 1 5 𝑒5𝑥 ⋅ 2𝑥𝑑𝑥 = = 1 5 𝑥2 𝑒5𝑥 − 2 5 𝑥𝑒5𝑥 𝑑𝑥 болно. Сүүлийн интегралыг дахин хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодъё.
- 21. • 𝑥𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 𝒖 𝒙 = 𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟏𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝟏 𝟓 𝒆𝟓𝒙 = = 𝑥 ⋅ 1 5 𝑒5𝑥 − 1 5 𝑒5𝑥 ⋅ 1𝑑𝑥 = 1 5 𝑥𝑒5𝑥 − 1 5 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = = 1 5 𝑥𝑒5𝑥 − 1 5 ⋅ 1 5 𝑒5𝑥 + 𝐶. Иймд анхны өгөгдсөн интеграл • 𝑥2 ⋅ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 1 5 𝑥2 𝑒5𝑥 − 2 5 𝑥𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 1 5 𝑥2 𝑒5𝑥 − 2 5 1 5 𝑥𝑒𝑥 − 1 5 ⋅
- 22. • Хэсэгчлэн интегралчлах (Анхны хэлбэрт оруулах) арга Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэн үр дүнгээ хувирган хялбарчилж, интегралыг анхны хэлбэрт шилжүүлэх аргаар интегралыг боддог.
- 23. Жишээ: 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бод. Бодолт: 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 гэж тэмдэглэн хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2 удаа хэрэглэвэл 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 𝑑𝑥 = = 𝒖 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 3𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = −𝟑𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 = = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 − 𝑒𝑥 −3 sin 3𝑥 𝑑𝑥 =
- 24. • 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝒖 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 ⇒ 𝑑𝑢 = sin 3𝑥 ′𝑑𝑥 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝒗 = 𝒆𝒙 = • = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3 𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 𝑒𝑥 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 3 𝑒𝑥 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9 𝑒𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9𝐽 болж интегралын бодолтын үр дүн анхны 𝐽 интегралыг агуулж байна. 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9𝐽 илэрхийллээс 𝐽 интегралыг олъё.
- 25. • 𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 − 9𝐽 • 10𝐽 = 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 • 𝐽 = 1 10 𝑒𝑥 ⋅ cos 3𝑥 + 3𝑒𝑥 sin 3𝑥 • 𝐽 = 1 10 𝑒𝑥 cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 + 𝐶. Иймд анхны интегралыг бодоход 𝐽 = 1 10 𝑒𝑥 cos 3𝑥 + 3 sin 3𝑥 + 𝐶 үр дүн гарлаа.
- 26. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Та бүхэн • Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.