2. ОЛОНЛОГ БА ТҮҮНИЙ ЭЛЕМЕНТҮҮД
Олонлог гэдэг нь нэгэн ижил шинж тэмдэгтэй юмны
бөөгнөрөл ба олон байхыг шаарддаггүй, ганц обьекттой
олонлог бас нэг ч обьектгүй олонлог байж болдог.
Нэг ч элемент агуулаагүй олонлогийг хоосон олонлог гэж
нэрлээд Ǿ гэж тэмдэглэдэг.
Олонлогийг бүрдүүлж байгаа обьектийг түүний элемент
гэж нэрлээд латин цагаан толгойн жижиг үсгээр
тэмдэглэнэ. Жишээ нь:a,b,c,d…z
Мөн олонлогт ямар нэгэн юм харьяалагдана эсвэл
харьяалагдахгүй гэдгийг тэмдэглэдэг.
Бодлого: 24 гэсэн тоо натурал тоонд харьяалагдах уу?
Бодолт: 24€N
Бодолт: Таван хошуу малын олонлогийн элементүүдийг
нэрлэн бич.
Бодолт: A={таван хошуу малын олонлог}
A={хонь,ямаа,үхэр,адуу,тэмээ}
3. ОЛОНЛОГИЙГ ӨГӨХ АРГУУД
Олонлогийн элемент бүрийн хувьд биелдэг, түүнд
харьяалагдахгүй нэг ч элементийн хувьд биелдэггүй
чанарыг олонлогийн элементийг тодорхойлох шинж чанар
гэнэ. Тухайн олонлогийг элементүүдийнх нь шинж
чанараар өгсөн үед тэмдэглэгээ ашиглан бичдэг. Жишээ
нь:K нь 24 өөс бага натурал тоон олонлог бол K={x/xN ба
x‹24 } гэж бичнэ.
Бодлого: Дараах бичлэгийг уншиж,олонлогийн
элементүүдийг бич.
Бодолт:K={x|2x=x+3} x=3 K={3}
Бодлого: “X олонлог нь нэг оронтой натурал тооны
олонлог” гэсэн шинж чанараар өгсөн олонлогийн
элементийг бич.
Бодолт: X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
4. ОЛОНЛОГ ХООРОНДЫН ХАРЬЦАА
Хэрэв B олонлогийн бүх элемент A олонлогийн
элемент болж байвал B-г A олонлогийн дэд олонлог
гэнэ. Хоосон олонлогийг дурын олонлогийн дэд
олонлог гэж үзнэ. Дурын олонлог өөрийнхөө дэд
олонлог болно.
A€B ба B€A бол A,B олонлогуудыг тэнцүү
олонлогууд гээд A=B гэж тэмдэглэнэ.
Хэрэв A олонлог n ширхэг элементтэй бол 2n ширхэг
ялгаатай дэд олонлогтойг баталдаг.
Бодлого:X={89,67,12,9,79,51}, Y={12,79,9} хоѐр
олонлог өгөгдөв.X,Y олонлогийн огтлолцлыг ол.
Олонлогууд ямар харьцаанд байна вэ?
Бодолт: X∩Y={12,9} Y€X
5. ОЛОНЛОГУУДЫН ОГТЛОЛЦОЛ
A олонлогт ч B олонлогт ч харьяалагдах элементүүдээс бүрдэх
олонлогийг A ба B олонлогийн огтлолцол гэнэ.A ба B олонлогуудын
огтлолцлыг A∩B гэж тэмдэглэдэг.
A ба B олонлогууд ерөнхий элементгүй үед тэдгээрийн огтлолцлыг
хоосон гээд A∩B=Ǿ
A ба B олонлогийг Эйлерийн дугуйгаар дүрсэлбэл:
6. K={16,20,51,62} L={44,88,22,20,16} F={16,44,89,88}
олонлогууд өгөв.Тэдгээрийн хос бүрийн огтлолцлыг
олж, Эйлерийн дугуй ашиглан дүсэл.
Бодолт: K∩L={16,20} K∩F={16}
L∩F={16,44,88}
K
F
L
7. ОЛОНЛОГУУДЫН НЭГДЭЛ
Зөвхөн A, эсвэл B олонлогт харьяалагдах
элементүүдээс бүрдэх олонлогийг A ба B
олонлогийн нэгдэл гэнэ. A ба B олонлогийн
нэгдлийг AυB гэж тэмдэглэнэ. A ба B олонлогийг
Эйлерийн дугуйгаар дүрсэлбэл:
C
P
8. Бодлого: P,C олонлогуудын нэгдэл M олонлог байг.
M={11,22,33,44,55,66,77,88,99} P={11,33,55,77,99} C
олонлогийн элементүүдийг тоочин бич.
Бодолт: P∩C=M C={22,44,66,88}
Олонлогийн нэгдэл ба огтлолцлын чанарууд
Дурын A ба B олонлогуудын хувьд: AυB=BυA,
A∩B=B∩A биелнэ. Үүнийг “байр солих’’ чанар
гэнэ.Эдгээр чанарыг Эйлерийн дугуйгаар дүрсэлье.
A,B,C олонлогууд хос хосоороо огтлолцсон
A
9.
(A∩B)∩C илэрхийлэлд хаалт нь эхлээд A,B олонлогийн
огтлолцол гүйцэтгэхийг илэрхийлнэ.
A,B,C олонлогийн хувьд (AυB)υC=Aυ(BυC) батлагдана.
Олонлогуудын огтлолцол, нэгдлийн хоорондын хамаарлыг
хаалт нээх буюу дистрибутив чанар илэрхийлдэг.Дараах 2
чанарыг авч үзье. Үүнд:
1.Олонлогуудын нэгдлийг олонлогтой огтлолцуулахад хаалт
нээх хууль буюу дистрибутив чанар биелнэ. Өөрөөр хэлбэл
A,B,C дурын олонлогын хувьд (AυB)∩C=(A∩C)υ(B∩C) биелнэ.
2.Олонлогуудын огтлолцлыг олонлогтой нэгтгэхэд хаалт нээх
хууль буюу дистрибутив чанар биелнэ. Өөрөөр хэлбэл A,B,C
дурын олонлогын хувьд (A∩B)υC=(AυC)∩(BυC) биелнэ.
Бодлого:A={а,э,г,л,т,м} B={а,т,з,г,д,ө,ч}
C={т,д,э,х,ц,о,м}
олонлогууд өгөв.Дараах олонлогийн элементүүдийг бич. 1.AυB
2.BυC 3.AυC 4.(AυB)∩C 5.AυBυC 6.(B∩C)υA
Бодолт:1.AυB={а,э,г,л,т,м,з,д,ө,ч}
2.BυC={а,т,з,г,д,ө,ч,э,х,ц,о,м}
3.AυC={а,э,г,л,т,м,д,х,ц,о,}
4.(AυB)∩C={т,д,э,м}
5.AυBυC.={а,э,г,л,т,м,з,д,ө,ч,х,ц,о}
6.(B∩C)υA={т,д,а,э,г,л,т,м}
10. ОЛОНЛОГУУДЫН ЯЛГАВАР, ГҮЙЦЭЭЛТ
олонлогт харьяалагддаг боловч, B олонлогт
харьяалагдаггүй элементүүдээс зөвхөн бүрдэх
олонлогийг A ба B олонлогуудын ялгавар
гэнэ. Үүнийг AB гэж тэмдэглэнэ. B£A байг.
A-д харьяалагддаг ба B-д харьяалагддаггүй
элементүүдээс зөвхөн бүрдэх олонлогийг B
олонлогийн A олонлог хүртэлх гүйцээлт гэнэ.
B олонлогийн A олонлог хүртэлх гүйцээлт
гэдгийг BA Эйлерийн дугуйгаар дүрсэлбэл
A
11. A
B
Бодлого: A={м,ч,н,г,т,ш,л,б,в,х,р} B={,б,в,д,т,ш,р,}
олонлогуудын хувьд AB олонлогийн элементийг
бич.
Бодолт: AB={м,ч,н,г,л,х,}
12. ОЛОНЛОГИЙГ АНГИУДАД ХУВААХ НЬ
Олонлогийн ямарч хуваалт нь тухайн олонлогийн
элементүүдийг дэд олонлогуудад хуваах замаар үүсэж бий
болно. Энэ үед дараах нөхцөлийг хангаж байвал X
олонлогийг X1, X2, X3….Xn ангиудад хуваасан хуваалт
гэнэ. Үүнд:
1.X1,X2,X3….Xn олонлогууд хоорондоо үл огтлолцоно.
2.X1,X2,X3…Xn дэд олонлогуудын нэгдэл X олонлог
байна.
Бодлого: X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} олонлогоос
дараах дэд олонлогуудад ялга.1.K нь тэгш тоонууд, L нь
сондгой тоонууд
2.A нь нэг оронтой тоонууд B нь хоѐр оронтой
тоонууд
Бодолт: 1. K={2,4,6,8,10,12} L={1,3,5,7,9,11,13}
2.A={1,2,3,3,4,5,6,7,8,9} B={10,11,12,13}
13. ОЛОНЛОГУУДЫН ДЕКАРТ ҮРЖВЭР
A ба B олонлогуудын декарт үржвэр гэж эхний
координат нь A олонлогт харьяалагдах, хоѐр дахь
координат нь B олонлогт харьяалагдах бүх хосоос
бүрдэх олонлогийг хэлнэ. Үүнийг AxB гэж
тэмдэглэнэ.
1.(AυB)xC=(AxC)υ(BxC)
2.(AB)xC=(AxB)(BxC)
Бодлого:A={2,4,7} B={1,3} C={9} олонлогуудын
хувьд 1.A ба B 2.B ба C 3.A ба C олонлогуудын
декарт үржвэрийг ол.
Бодолт:1.AxB={(2,1);(4,1);(7,1);(2,3);(4,3);(7,3)}
2.BxC={(1,9);(3,9)}
3.AxC={(2,9);(4,9);(7,9)}
14. ТӨГСГӨЛӨГ ОЛОНЛОГИЙН НЭГДЭЛ БА
ОГТЛОЛЦЛЫН ЭЛЕМЕНТИЙН ТОО
A олонлог a ширхэг элементтэй, B олонлог b ширхэг элементтэй ба
A,B олонлогууд огтлолцохгүй байвал A ба B олонлогуудын нэгдэл
олонлогийн элементийн тоо a+b байхыг баталдаг. Томьѐолбол:
n(AυB)=n(A)+n(B)=a+b
Харин A ба B олонлог огтлолцож байвал n(AυB)=n(A)+n(B)n(A∩B)
3н элементтэй үед n(AυBυC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)n(A∩C)
Бодлого:Ангийн 38н оюутнаас 15 нь англи хэл, 13 нь математикийн
сонгонд явдаг. Хоѐр дугуйланд зэрэг явдаг оюутны тоо, болон
зөвхөн нэг дугуйланд явдаг оюутны тоо хэд байж болох вэ?
Бодолт: A-{англи хэлний сонгонд явдаг оюутан}
B-{математикийн сонгонд явдаг оюутан}
n(AυB)=38 n(A)=15 n(B)=13 n(AυB)= n(A)+ n(B)-n(A∩B)
n(A∩B)=10 (хоѐр дугуйланд зэрэг явдаг оюутан)
Зөвхөн англи хэлний дугуйланд явдаг оюутан: 15-10=5 оюутан
Зөвхөн математикийн дугуйланд явдаг оюутан: 13-10=3 оюутан
15. ТӨГСГӨЛӨГ ОЛОНЛОГУУДЫН ДЕКАРТ
ҮРЖВЭРИЙН ЭЛЕМЕНТИЙН ТОО
A олонлогийн элементийн тоо-а, B олонлогийн
элементийн тоо-b, байвал A ба B олонлогуудын
декарт үржвэрийн элементийн тоо axb болно.
n(AxB)=n(A).n(B)=axb
16. УХАГДАХУУНЫ АГУУЛГА БА БАГТААМЖ
,УХАГДАХУУН ХООРОНДЫН ХАРЬЦАА
Нэг нэр томьѐогоор тэмдэглэгдэх обьектуудын
олонлогийг ухагдахууны багтаамж гэнэ. Тухайн
ухагдахуунд хамаарагдах обьектын бодит бүх шинж
чанарын олонлогийг ухагдахууны агуулга гэнэ. Хэрэв
A‹B (A≠B) байвал а ухагдахууныг b ухагдахуунтай
хэлбэрийн харьцаанд, харин b-ухагдахууныг аухагдахуунтай төрлийн харьцаанд оршиж байна гэнэ.
Бодлого:Эйлерийн дугуйгаар дүрсэлсэн ухагдахууны
жишээ гарга.
Бодолт: A={Багшийн сургуулийн оюутны олонлог}
B={1-4 ангийн оюутны олонлог}
17. УХАГДАХУУНЫ ТОДОРХОЙЛОЛТ
Шинэ нэр томьѐо (эсвэл тэмдэглэгээ)-ний мөн
чанарыг тайлбарласан өгүүлбэрийг тодорхойлолт
гэнэ.
Тодорхойлогдогч ухагдахуун=Төрөл
ухагдахуун+Хэлбэрийн ялгаа
18. ХЭЛЛЭГ БА ХЭЛЛЭГЖИХ ХЭЛБЭР
Математикт үнэн эсвэл худал утга санааг
илэрхийлсэн хүүрнэх өгүүлбэрийг хэллэг гэнэ.
Хэллэгийг латин цагаан толгойн том үсгээр
тэмдэглэдэг. Үүнд:A,B,C…Z
Үнэн ба худал байх боломжийг хэллэгийн үнэний
утга гэдэг. Хэллэг бүр эсвэл үнэн, эсвэл худал байх ба
нэгэн зэрэг үнэн, худал байж болохгүй.
Хувьсагч нь X олонлогоос утгаа авахад хэллэг болох
хувьсагчтай өгүүлбэрийг X олонлогт өгөгдсөн нэг
байрт хэллэгжих хэлбэр гэнэ.
Логикд <ба>,<эсвэл>,<үг болон ..гүй>,<...гэдэг нь
худал> холбоо үгийг логикийн холбоос гэнэ
20. ХЭЛЛЭГИЙН КОНЪЮНКЦ БА ДИЗЪЮНКЦ
A ба B хэллэг нэгэн зэрэг үнэн үед үнэн, ядаж нэг нь
худал байхад худал байдаг хэллэгийг A ба B
хэллэгийн конъюнкц гээд AB гэж тэмдэглэдэг. Ба,
бөгөөд гэсэн холбоосоор холбогдоно.
A ба B хэллэгүүдийн ядаж нэг нь үнэн байхад үнэн,
хоѐулаа нэгэн зэрэг худал үед худал байдаг хэллэгийг
A ба B хэллэгийн дизъюнкц гээд AB гэж тэмдэглэдэг.
Эсвэл гэсэн холбоосоор холбогдоно
21. Бодлого: x=3 ба x нь натурал тоо гэсэн
өгүүлбэрийн конъюнкцийн утгыг ол.
Бодолт: Хоѐр өгүүлбэр 2-уулаа үнэн утгыг
илэрхийлж байгаа учир конъюнкцийн утга үнэн.
