SlideShare a Scribd company logo
1 of 12
Download to read offline
Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа


Лекц №1
                                Матриц түүн дээр хийгдэх үйлдлүүд


Тодорхойлолт1: Тоонуудаас тогтсон аливаа тэгш өнцөгт таблицыг матриц гэнэ.
Матриц нь m мөр,n баганатай бол m n хэмжээст матриц гэнэ. n  n хэмжээст матрицыг
квадрат матриц буюу n –р эрэмбийн матриц гэнэ. aij нь i-р мөр,j-р баганын огтолцолд байх

элемент.
 a11 a12   ... a1n 
a          ... a2 n 
 21 a22                    n-р эрэмбийн матриц
 ... ...   ... ... 
                    
an1 an 2   ... ann 

a11, a22 ,..., ann -г гол диагоналийн элементүүд, an1, an 12 ,..., a1n -г хажуугийн диагоналийн

элементүүд гэнэ.
Тодорхойлолт2. n  1 матрицыг баганан, 1  m матрицыг мөрөн матриц гэнэ.
Тодорхойлолт3. A, B  m  n хэмжээст матрицууд байг. aij  bij бол тэнцүү матрицууд

гэнэ.
Матрицыг нэмэх:             A, B  m  n                                        
                                            хэмжээст матрицууд байг . A  B  aij  bij   
Матрицыг тоогоор үржүүлэх:                 A, B  m  n    хэмжээст матрицууд байг A  aij   
Чанарууд:       1, 2  R
                                                     
                  1. A  B  B  A  aij  bij  bij  aij      
                  2.      A  B  C  A  B  C 
                  3.     12 A  1 2 A
                  4. 1 А=A
                  5. 1  A  B   1 A  1B

                  6.     1  2 A  1 A  2 A
Матрицуудыг үржүүлэх:
A нь m  k , B  k  n      хэмжээст матрицууд байг .AB нь m n хэмжээстэй байна. /А –гийн
баганын тоо,B-гийн мөрийн тоо тэнцүү байна./

1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
k        
AB   aibj 
       1    

      a11b11  a12b21  ...  a1k bk1     ... a11b1n  a12b2 n  ...  a1k bkn 
      a b  a b  ...  a b               ... a21b1n  a22b2 n  ...  a2 k bkn 
AB   21 11 22 21              2 k k1                                              /1/
                   ...                    ...              ...                  
                                                                                
     am1b11  am 2b21  ...  amk bk1     ... am1b1n  am 2b2 n  amk bkn 

Үржүүлэх үйлдэл коммутатив биш. AB  BA
Чанарууд:      1. ABC    AB C хэсэглэн нэгтгэх

               2. AB  C   AB  AC хаалт нээх
Матрицыг хөрвүүлэх:
A  m n       хэмжээст матриц байг .А матрицын хөрвөсөн матриц нь n  m хэмжээстэй
байна. AT гэж тэмдэглэнэ.
    a11 a21       ... am1 
   a    a22       ... a m 2 
A                          
 T    12
                                         /2/
    ... ...       ... ... 
                            
   a1n a2 n       ... amn 

    Чанарууд:

                  
             1. AT
                     T
                           A

              2.  A  B   AT  BT
                             T



              3.  AB   BT AT
                         T



              4. kA  kAT
                       T



Матриц нь дараах хэлбэрүүдтэй байна.
    1. Бүх элемент нь 0 байх тэг матрицийг тэг матриц гэнэ.
    2. Гол диагональ болон түүнээс доошхи элементүүд бүгд 0 байх матрицийг дээд
        гурвалжин матриц гэнэ.
    3. Гол диагональ болон түүнээс дээшхи элементүүд бүгд 0 байх доод гурвалжин
        матриц гэнэ.
    4. Зөвхөн гол диагоналийн дагуу элементүүдтэй матрицийг диагональ матриц гэнэ.
    5. Зөвхөн гол диагоналийн дагуу 1 гэсэн элементтэй матрицийг нэгж матриц гэнэ.
    6. тэгшхэмтэй матриц
    7. скаляр матриц гэх мэт.

2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
1           0 ... 0 
  0          1 ... 0 
E                       -нэгж матриц.   EA  AE  A
  ...        ... ... ...
                        
  0           0 ... 1 


                                            Тодорхойлогч
a11     a12
              -г II эрэмбийн матрицын тодорхойлогч гэнэ.
a21 a22

        a11       a12 ... a1n
det A  ...       ... ... ...              n-р эрэмбийн тодорхойлогч
          an1 an 2 ... ann

Чанарууд:
1. AT нь .         A -гийн хөрвүүлсэн матриц бол det A  det AT
2. n  n хэмжээст A матрицын дурын 2 мөр / багана / ижил бол det A =0
3. B- n  n хэмжээст А матрицын дурын 2 мөрийн /баганын / байрыг солиход гарсан
      матриц бол  det A  det B
4. n  n хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / бүх элементүүд 0
      байвал det A  0 .
5. B      нь n  n         хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг
      0-ээс ялгаатай к тоогоор үржихэд гарсан бол det B  k det A
6. Тодорхойлогчийн 2 мөрийн / баганын / элементүүд пропорциональ бол         det A =0
7.    B нь n  n       хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг 0-ээс
      ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө нэг мөрийн / баганын / харгалзах элементүд дээр
      нэмэхэд гарсан бол det B  det A


      МИНОР БА АЛГЕБРИЙН ГҮЙЦЭЭЛТ


i –р мөр,j-р баганыг дарахад огтолцолд нь aij элемент гарна.Үлдсэн тодорхойлогчийг aij

элементэд харгалзах минор гээд M ij гэж тэмдэглэнэ. 1 M ij -г aij элементийн алгебрийн
                                                             i j



гүйцээлт гэнэ. Aij  1 M ij
                             i j



Теорем1: Тодорхойлогч нь түүний аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг эдгээр
элементэд харгалзах алгебрийн гүйцээлтээр үржүүлж нэмсэнтэй тэнцүү.
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
Теорем2: Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг өөр нэг мөрийн /
баганын / элементүүдийн алгебрийн гүйцээлтүүдээр үржүүлж нэмэхэд гарна.
Теорем3: A  n  n хэмжээст гурвалжин матриц бол det A  a11a22...ann байна.

Теорем1: А ба B нь n  n хэмжээст матрицууд бол det  AB   det A det B
                                                УРВУУ МАТРИЦ


A  n  n хэмжээст матриц байг. AB  BA  E байх n  n хэмжээст B                    матриц оршин
байвал А матрицыг бөхөөгүй матриц буюу урвуутай матриц гэнэ. B-г А-гийн урвуу
матриц гэнэ. A1 гэж тэмдэглэнэ.
Урвуу матрицын чанарууд:

    1.   A 1 1
                     A

    2.    AB 1  B1 A1
    3.   A T 1
                       
                      A1
                             T



                                            УЯЛДСАН МАТРИЦ


A  n  n хэмжээст матриц байг.А-гийн элементүүдэд харгалзах алгебрийн гүйцээлтүүдээс
зохиосон матрицыг хөрвүүлэхэд гарсан матрицыг А-гийн уялдсан матриц гэнэ.
                                 T
     A11     A12      ... A1N      A11    A21    ... AN 1 
    A        A22               
                       ... A2 N    A       A22    ... AN 2 
     21                            12                       adjA
     ...      ...     ... ...      ...     ...   ... ... 
                                                          
     AN 1    AN 2     ... ANN      A1N    A2 N   ... ANN 

                                                                          1
Теорем5: A  n  n хэмжээст матриц байг. det A  0 бол A1                   adjA
                                                                        det A
Теорем6: n  n хэмжээст А матриц урвуутай байх  нь det A  0 байх явдал.
                                     Шугаман тэгшитгэлийн систем
a1x1  a2 x2  ...  an xn  b хэлбэрийн тэгшитгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.

 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1     22 2               2n n  2
                                           /1/ n хувьсагчтай m шуцгаман тэгшитгэлийн систем гэнэ.
           .................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm




4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
aij -г системийн коэффициентүүд, bi -г сул гишүүд гэнэ. /1/ -г m n систем гэе. x1 , x2 ,..., xn

гэсэн эрэмблэгдсэн n тоонуудыг /1/ системд орлуулахад бүх тэгшитгэлийг хангаж байвал
эдгээр тоонуудыг системийн шийд гэнэ.Систем ядаж нэг шийдтэй бол нийцтэй,шийдгүй
бол нийцгүй гэнэ. Нийцтэй систем цорын ганц шийдтэй бол тодорхой,нэгээс илүү
шийдтэй бол тодорхойгүй гэнэ./1/ системийн сул гишүүд бүгд 0 бол нэгэн төрлийн
систем,ядаж нэг bi  0 бол нэгэн төрлийн биш систем гэнэ.

2 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл нь шулуун тодорхойлно. 2 хувьсагчтай 2 тэгшитгэлийн
системийн хувьд
    1. Огтлолцсон бол 1 шийдтэй.
    2. Параллель бол систем нийцгүй.
    3. Давхцвал төгсгөлгүй олон шийдтэй.
Тодорхойлолт 1.                Ижил хувьсагчтай тэгшитгэлүүд бүхий 2 системийн шийдүүд нь
давхцаж байвал эквивалент системүүд гэнэ.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах элементар хувиргалтуудаар түүнтэй эквивалент
системд шилжүүлж бодно.
    1. Аль нэг тэгшитгэлийг 0- ээс ялгаатай тоогоор үржүүлэх
    2. Системд байгаа тэгшитгэлүүдийн байрыг солих
    3. Нэг тэгшитгэлийг 0-ээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө тэгшитгэл дээр нэмэх
Тодорхойлолт 2.                   Хэрэв системийн к-р тэгшитгэлийн к-1 хувьсагчийн өмнөх
коэффициентүүд 0, xk -ийн коэффициент 0 –ээс ялгаатай бол системийг гурвалжин

хэлбэрт бичигдсэн гэнэ.
 a11x1  a12 x2  ...a1n xn  b1
 ...a x  ...  a x  b
        22 2              2n n      2

               ..............
............................ann xn  bn

Гурвалжин хэлбэрт орсон системийг xn -р хувьсагчаас эхлэн дараалан олно. Үүнийг

буцаах орлуулгаар бодох гэнэ.
 a11 a12 ... a1n 
 .... ... ... ...  -г системийн коэффициентүүдийн матриц гэнэ. /2/
                  
am1 am 2 .. amn 
                  




5|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
 a11 a12    ... a1n      b1 
a                        b2 
 21 a22     ... a2 n          -г системийн өргөтгөсөн матриц гэнэ. /3/
 ... ...    ... ...      ... 
                             
am1 am 2    ... amn      bm 

Өргөтгөсөн матриц нь ШТС-ийг төлөөлж чадна.ШТС дээр хийгдэх элементар
хувиргалтууд энд мөн хийгдэнэ. Элементар мөрөн хувиргалтууд:
      1. Мөрийг 0-ээс ялгаатай тогтмолоор үржүүлэх
      2. Дурын 2 мөрийн байрыг солих
      3. 1 мөрийг 0-ээс ялгаатай тоогоор үржүүлж өөр мөр дээр нэмэх
Өргөтгөсөн матрицыг ашиглаж системийг бодохдоо Гаусс болон Гаусс-Жорданы
зайлуулах аргуудыг хэрэглэнэ. Эдгээр аргуудаар             өргөтгөсөн матрицыг шаталсан мөр
хэлбэрт шилжтэл элементар хувиргалтуудыг хийнэ.
Шаталсан мөр хэлбэрт матриц нь
   1. 0 биш мөрийн эхний 0 биш элемент 1 байна.
   2. Дараалсан 0 биш мөрүүдийн доод мөрийн эхний 1 нь дээд мөрийн 1-ийн баруун
        талд байна.
   3. Бүх элементүүд нь 0 байх мөрүүд матрицын сүүлийн мөрүүдэд байна.
Гаусс-Жорданы аргаар бодоход өргөтгөсөн матриц нь эмхэтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт
орно. Эмхэтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт матриц гэдэг нь :
            1. Матриц шаталсан мөр хэлбэрт байна.
            2. Мөр бүрт байгаа 0-ээс ялгаатай эхний элемент нь байгаа баганыхаа ганц 0-
               ээс ялгаатай элемент байна.
Өргөтгөсөн матриц дээр хувиргалт хийхдээ дараах тэмдэглэгээг хэрэглэе.
Rij  i, j -р мөрийн байрыг солих

cRi  i -р мөрийг с тоогоор үржүүлэх

cRi  R j i -р мөрийг с тоогоор үржүүлж j-р мөр дээр нэмэх

Жишээ-1
 x1  x2  x3  3

 2 x1  3x2  5 x3  7
 x  2 x  3x  11
 1      2     3


Гауссын аргаар:



6|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
1  1  1  3                        1  1  1  3    1  1  1  3
2 3    5   7   2 R  R ; R  R  0 5 7 13   R  0 1  4 8   5R  R
                      1   2    1   2                23                2   3

1  2 3  11
                                     0  1 4  8
                                                        0 5
                                                                7 13  
  1  1  1  3 
 0 1  4
               8 
                  
  0 0 27  27
                 


буцааж орлуулах аргаар x3  1; x2  4; x1  0 гэсэн шийд олдоно.

Гаусс-Жорданы аргаар:
                    1 0  5 5                      1 0 0 0 

  1                 0 1  4 8   4 R  R ;5R  R  0 1 0 4   шийд
     R3 ; R1  R2                                                              нь
  27                                 3   2   3   1           
                    0 0 1  1
                                                   0 0 1  1
                                                              
шууд олдоно. x3  1; x2  4; x1  0

n үл мэдэгчтэй m тэгшитгэлийн систем нийцгүй бол өргөтгөсөн матриц нь 0 0 ... 0 1
хэлбэрийн мөрийг агуулах болно.


                  НЭГЭН ТӨРЛИЙН ТЭГШИТГЭЛҮҮДИЙН СИСТЕМ
Нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлүүдийн систем нийцтэй эсвэл нийцгүй байж болно.Харин
нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүдийн систем ямагт нийцтэй. x1  x2  ...  xn  0    гэсэн

шийдтэй.Үүнийг илэрхий шийд гэнэ.Үүнээс гадна 0 биш шийдтэй байж болно.
Теорем1: Нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэгчийн тооноос бага
байвал систем 0-ээс ялгаатай шийдтэй байна.
Мөрөн хувиргалтаар урвуу матриц олох хувиргалтыг үзье.
Теорем2:       Хэрэв n  n хэмжээст А матриц мөрөн хувиргалтаар n  n хэмжээст нэгж
матрицад шилжиж байвал А матриц бөхөөгүй байна. А-г I –д шилжүүлсэн мөрөн
хувиргалтаар I нь A1 -д шилжинэ.
Урвуу матриц олох хувиргалтыг A I  гэсэн өргөтгөсөн матриц дээр хийнэ.

A   I  I    A1   
Жишээ




7|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
4    2 3 1 0 0              1 2 0 0 0  1
2    1 0 0 1 0   R ; R  2 1 0 0 1 0   2 R  R ;4 R  R 
                      3   13                    1   2     1   3

 1  2 0 0 0 1
                            4 2 3 1 0 0 
                                           
                                                            
1 2 0 0             0  1                 1 2 0 0   0  1
0  3 0 0                                                2
                     1 2    R2 ; R3  0 1 0 0 
                               1    1                   1
                                                           2 R2  R3 ;2 R2  R1 
0  6 3 1
                               3    3                  3  3
                    0 4                  0 2 1    0  
                                                     1     4
                                            
                                                    3     3
                     2    1 
1 0 0 0                   3 

                      3                 0    2  1 
                            2
                             A   0  1  2
                       1              1
0 1 0 0                        1

                      3    3        3            
        1            2                 1 2
                                                0
0 0 1  3
                     3
                           0 
                             


Хэрэв A I   B C  хэлбэрт шилжээд B нь 0-үүдээс тогтсон мөрийг агуулж байвал А
нь бөхсөн матриц байна.
                                    Урвуу матрицаар системийг бодох


     a11 a12       ... a1n              x1       b1 
    a    a22       ... a2 n            x         
A   21                          д X   2 ; B   b2 
     ... ...       ... ...              ...      ... 
                                                 
    am1 am 2       ... amn              xn      bm 
/1/ системийг AX=B гэж бичиж болно. m=n бол А нь n  n хэмжээст болно. А- бөхөөгүй
бол A1 AX  A1B  IX  A1B  X  A1B Нэгэн төрлийн системийг AX  0 гэж бичиж
болно.
Теорем3:        AX  0 тэгшитгэл илэрхий шийдтэй байх  нь А- бөхөөгүй матриц байх
явдал.
Теорем4:        AX  0 n  n систем илэрхий биш шийдтэй байх  нь А- бөхсөн матриц
байна.
Крамерийн дүрэм
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1     22 2               2n n  2
                                       /4/
            ................
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn


8|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
 a11 a12       ... a1k 1 b1    a1k 1 ... a1n 
     a    a         ... a2 k 1 b2   a2 k 1 ... a2 n 
AK   21 22                                            гэсэн тэмдэглэгээ оруулъя.
      ... ...       ... ...      ...  ... ... ... 
                                                      
     an1 an 2       ... ank 1   bn ank 1 ... ann 

                                    k-р багана
Теорем5: /4/ тэгшитгэлийн системийн detA  0 бол шийдүүд нь
                   det A1        det A2            det An
            x1           ; x2         ;...; xn           байна.
                   det A         det A             det A


                                      Матрицын ранг түүнийг олох
 a11 a12    ... a1n 
a           ... a2 n 
 21 a22                    матрицын t  min m, n         ширхэг мөр t ширхэг баганыг дарахад
 ... ...    ... ... 
                     
an1 an 2    ... ann 

дарагдсан мөр багануудын огтолцол дээр орших элементүүдээс зохиосон t эрэмбийн
тодорхойлогчийг А матрицаас үүсэх тодорхойлогч гэнэ.
Тодорхойлолт: Матрицаас үүсэх 0-ээс ялгаатай тодорхойлогчийн хамгийн их эрэмбийг
матрицын ранг гэнэ. r(A) гэж тэмдэглэнэ. m n хэмжээст                      матрицын             хувьд
0  r ( A)  min( m, n) Матриц дээр хийгдэх элементар хувиргалтаар ранг нь өөрчлөгдөхгүй.
Теорем6: Хэрэв матрицаас үүсэх ямар нэг r эрэмбийн тодорхойлогч 0-ээс ялгаатай ба
түүнийг энэ тодорхойлогчид ороогүй үлдсэн мөр баганаар хүрээлүүлэн үүсгэсэн бүх r+1
эрэмбийн тодорхойлогчид 0-тэй тэнцүү бол . r(A)  r байна.
                                  Матрицын хувийн утга хувийн вектор
        Өмнө нь 2 хэмжээст /хавтгай / ,3 хэмжээст /огторгуй / огторгуйд цэг векторуудыг
тодорхойлсон.Энэ ойлголтуудыг өргөтгөж үзье. a1, a2 , a3 , a4  - эрэмбэлэгдсэн               дөрөвт,

a1, a2 , a3 , a4 , a5  -эрэмбэлэгдсэн тавт гэх мэт a1, a2 ,..., an  -эрэмбэлэгдсэн n бодит тоонуудыг
векторууд гэж ойлгоѐ.Үүний хувьд хавтгай,огторгуйн вектортой адил чиглэл хэрчим гэсэн
ойлголт байхгүй. a1 , a2 ,..., an  гэсэн n эрэмбэлэгдсэн тоог n хэмжээст огторгуйн векторын

координат гэнэ.Векторыг a, b, c гэх мэт тэмдэглэнэ.Векторуудын олонлогийг R n гэж
тэмдэглэе. Энд векторуудыг нэмэх тоогоор үржүүлэх үйлдэл адил тодорхойлогдоно.

    a  b  a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn 


9|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
 a  a1, a2 ,..., an 

0,0,...,0-г   R n огторгуйн 0 вектор гэнэ.Векторын урт a  a12  a2  ...  an
                                                                    2          2




a  1 бол a -г n хэмжээст огторгуйн нэгж вектор гэнэ.

2 векторын скаляр үржвэр a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn

a, b гэсэн 2 вектор ортогональ байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a  b  0
Тодорхой шаардлагуудыг хангасан элементүүд дээр нь нэмэх,тоогоор үржүүлэх үйлдэл
тодорхойлогдсон олонлогийг огторгуй гэнэ
Тодорхойлолт: Элементүүд дээр нь векторыг нэмэх ,тоогоор үржүүлэх үйлдэл
тодорхойлогдсон дараах аксиомуудыг хангах V олонлогийг вектор огторгуй гэнэ.
Нэмэх үйлдлийн аксиомууд

    1. x, y  V  x  y  V

    2. x, y  V  x  y  y  x

    3. x, y, z  V  x  ( y  z )  ( x  y)  z

    4. x  V  x  0  0  x байх цор ганц 0 вектор оршин байна.

    5. x  V  x   x   x  x  0 байх  x V –д оршин байна.
Тогтмол тоогоор үржүүлэх

    1. k  const         бол x  V  k x  V

    2. k ( x  y)  k x  k y

    3.   k1  k2 x  k1 x  k2 x
            
    4. k1 k2 x  k1k2 x

    5. 1  x  x
Тодорхойлолт: А нь n  n хэмжээст матриц байг. Ax  x /1/              шугаман тэгшитгэлийн
систем 0-ээс ялгаатай х гэсэн вектор шийдтэй байвал  тоог А матрицын хувийн утга
гэнэ.  хувийн утгад харгалзах х вектор шийдийг хувийн вектор гэнэ.
    Жишээ –1




10 | Б о л о в с р у у л с а н б а г ш Г . Э р д э н э ч и м э г
1        5  1 0 
          1 нь A  0  5 9 матрицын хувийн вектор болохыг харуул.
       X                  
          1
                   5  1 0 
                             

            5  1 0 1 4      1
            0  5 9 1  4  41
       AX                                              хувийн утга 4
                              
            5  1 0 1 4
                             1
                                   
       /1/ тэгшитгэлийг  A  I x  0 хэлбэрт бичье.

  a11 a12          ... a1n       0 ...     0    x1  a11       a12   ...    a1n   x1 
                                                            
 a21 a22           ... a2 n   0    ...     0    x2   a21      a22   ...    a 2 n   x2 
                                                                                              
                                                  
  ... ...          ... ...  ...   ... ...   ...   ...   ...     ...     ...    ...   ... 
                                                                                     
 a                  ... ann   0              0    xn   an1               ... ann     xn 
  n1 an 2                           0 ...                             an 2

a11   x1  a12 x2  ..  a1n xn  0
a21x1  a22   x2  ...  a2 n xn  0
..................
an1 x1  an 2 x2  ...  (ann   ) xn  0

Энд x1  x2  ...  xn =0 гэсэн илэрхий шийд байгаа.Илэрхий биш шийдтэй байх нөхцөл

нь det( A  I )  0 /5/          байх явдал.
/5/ нь  -ын хувьд n зэргийн тэгшитгэл байна./5/-г А матрицын характеристик тэгшитгэл
гэнэ.А матрицын хувийн утгууд нь характеристик тэгшитгэлийн язгуурууд байна.
/4/ тэгшитгэлүүдийн системийг бодохдоо  хувийн утгад харгалзах хувийн векторыг
 A  I       0 өргөтгөсөн матриц дээр Гаусс-Жорданы зайлуулах аргыг хэрэглэнэ.
Жишээ-2
 1 2 2 
 2 1  2 матрицын хувийн утга,хувийн векторыг ол.
         
2
    2  1 
          
Характеристик тэгшитгэлийг нь бодьѐ.
1          2
                                                    
                        2
                               1    1     4  2 2  2  4  2 4  2  2   0
                                                2
  2       1         2
                                1;   1;   3
   2          2       1 

                           0  2 2 0 0 1  1 0 1 1 0 0           1
        1                2 0  2 0  1 0 1 0  1 0 1 0  X   1 
                      үед                                        
                          2
                              2  0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
                                                                 1
                                                                       

11 | Б о л о в с р у у л с а н б а г ш Г . Э р д э н э ч и м э г
 2  2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0              1
      1          2 2  2 0  1  1 1 0  0 1 0 0  X  0
               үед                                          
                   2
                       2  2 0  0 0 0 0  0 0 0 0 
                                                            1
                                                                  

                  2  2  2 0 1 1  1 0 1 1 0 0         1
                  2  2  2 0  1 1 1 0  0 0 1 0  X   1
         3 үед                                          
                 2
                      2  2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
                                                          0
                                                                




арга болно.




12 | Б о л о в с р у у л с а н б а г ш Г . Э р д э н э ч и м э г

More Related Content

What's hot

тойм статистик лекц 2
тойм статистик лекц 2тойм статистик лекц 2
тойм статистик лекц 2
zorigoo.sph
 
геометр прогресс
геометр прогрессгеометр прогресс
геометр прогресс
Tserendejid_od
 
хэрэглэгдэхүүн 3
хэрэглэгдэхүүн 3хэрэглэгдэхүүн 3
хэрэглэгдэхүүн 3
tsewegmed
 
Монголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншил
Монголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншилМонголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншил
Монголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншил
Batbaatar Everlastinghero
 
Shuud ba shuud bus tatwar
Shuud ba shuud bus tatwarShuud ba shuud bus tatwar
Shuud ba shuud bus tatwar
Buka King
 
Хүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргууд
Хүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргуудХүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргууд
Хүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргууд
Just Burnee
 
зах зээлийн тэнцвэр
зах зээлийн тэнцвэрзах зээлийн тэнцвэр
зах зээлийн тэнцвэр
Just Burnee
 
10angiin molekulqizik
10angiin molekulqizik10angiin molekulqizik
10angiin molekulqizik
NTsets
 
Эдийн засгийн өсөлт-1
Эдийн засгийн өсөлт-1 Эдийн засгийн өсөлт-1
Эдийн засгийн өсөлт-1
Adilbishiin Gelegjamts
 

What's hot (20)

3. урвуу матриц
3. урвуу матриц3. урвуу матриц
3. урвуу матриц
 
Lecture 12
Lecture 12Lecture 12
Lecture 12
 
шулуун замын жигд ба жигд биш хөдөлгөөн
шулуун замын жигд ба жигд биш хөдөлгөөншулуун замын жигд ба жигд биш хөдөлгөөн
шулуун замын жигд ба жигд биш хөдөлгөөн
 
тойм статистик лекц 2
тойм статистик лекц 2тойм статистик лекц 2
тойм статистик лекц 2
 
Undrah
UndrahUndrah
Undrah
 
Correlation
CorrelationCorrelation
Correlation
 
ажилгүйдэл
ажилгүйдэл ажилгүйдэл
ажилгүйдэл
 
геометр прогресс
геометр прогрессгеометр прогресс
геометр прогресс
 
Нийгэмшилт
НийгэмшилтНийгэмшилт
Нийгэмшилт
 
хэрэглэгдэхүүн 3
хэрэглэгдэхүүн 3хэрэглэгдэхүүн 3
хэрэглэгдэхүүн 3
 
Монголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншил
Монголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншилМонголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншил
Монголчуудын байгаль хамгаалах уламжлалт ёс заншил
 
Shuud ba shuud bus tatwar
Shuud ba shuud bus tatwarShuud ba shuud bus tatwar
Shuud ba shuud bus tatwar
 
Хүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргууд
Хүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргуудХүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргууд
Хүнийн хөгжлийн индексийг тооцох аргууд
 
зах зээлийн тэнцвэр
зах зээлийн тэнцвэрзах зээлийн тэнцвэр
зах зээлийн тэнцвэр
 
7 р анги харьцаа пропорц
7 р анги харьцаа пропорц7 р анги харьцаа пропорц
7 р анги харьцаа пропорц
 
нийгмийн институт
нийгмийн институт нийгмийн институт
нийгмийн институт
 
10angiin molekulqizik
10angiin molekulqizik10angiin molekulqizik
10angiin molekulqizik
 
Lection 5
Lection 5Lection 5
Lection 5
 
Эдийн засгийн өсөлт-1
Эдийн засгийн өсөлт-1 Эдийн засгийн өсөлт-1
Эдийн засгийн өсөлт-1
 
Мөнгөний бодлого
Мөнгөний бодлого Мөнгөний бодлого
Мөнгөний бодлого
 

Similar to Lection 1 (7)

Лекц №4
Лекц №4Лекц №4
Лекц №4
 
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lektsEdiin zasgiin matematic hicheeliin lekts
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
 
Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon
Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odonAnalitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon
Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon
 
Lection 2
Lection 2Lection 2
Lection 2
 
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогуудMath 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
 
Lection 3
Lection 3Lection 3
Lection 3
 
Lection 3
Lection 3Lection 3
Lection 3
 

More from Sukhee Bilgee (17)

Mt102 lekts15
Mt102 lekts15Mt102 lekts15
Mt102 lekts15
 
Mt102 lekts14
Mt102 lekts14Mt102 lekts14
Mt102 lekts14
 
Mt102 lekts13
Mt102 lekts13Mt102 lekts13
Mt102 lekts13
 
Mt102 lekts12
Mt102 lekts12Mt102 lekts12
Mt102 lekts12
 
Mt102 lekts11
Mt102 lekts11Mt102 lekts11
Mt102 lekts11
 
Mt102 lekts10
Mt102 lekts10Mt102 lekts10
Mt102 lekts10
 
Mt102 lekts9
Mt102 lekts9Mt102 lekts9
Mt102 lekts9
 
Mt102 lekts7
Mt102 lekts7Mt102 lekts7
Mt102 lekts7
 
Mt102 lekts8
Mt102 lekts8Mt102 lekts8
Mt102 lekts8
 
Mt102 lekts6
Mt102 lekts6Mt102 lekts6
Mt102 lekts6
 
Mt102 lekts5
Mt102 lekts5Mt102 lekts5
Mt102 lekts5
 
Mt102 lekts4
Mt102 lekts4Mt102 lekts4
Mt102 lekts4
 
Mt102 lekts3
Mt102 lekts3Mt102 lekts3
Mt102 lekts3
 
Mt102 lekts2
Mt102 lekts2Mt102 lekts2
Mt102 lekts2
 
Mt102 lekts1
Mt102 lekts1Mt102 lekts1
Mt102 lekts1
 
Lection 7
Lection 7Lection 7
Lection 7
 
Lection 6
Lection 6Lection 6
Lection 6
 

Lection 1

  • 1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа Лекц №1 Матриц түүн дээр хийгдэх үйлдлүүд Тодорхойлолт1: Тоонуудаас тогтсон аливаа тэгш өнцөгт таблицыг матриц гэнэ. Матриц нь m мөр,n баганатай бол m n хэмжээст матриц гэнэ. n  n хэмжээст матрицыг квадрат матриц буюу n –р эрэмбийн матриц гэнэ. aij нь i-р мөр,j-р баганын огтолцолд байх элемент.  a11 a12 ... a1n  a ... a2 n   21 a22  n-р эрэмбийн матриц  ... ... ... ...    an1 an 2 ... ann  a11, a22 ,..., ann -г гол диагоналийн элементүүд, an1, an 12 ,..., a1n -г хажуугийн диагоналийн элементүүд гэнэ. Тодорхойлолт2. n  1 матрицыг баганан, 1  m матрицыг мөрөн матриц гэнэ. Тодорхойлолт3. A, B  m  n хэмжээст матрицууд байг. aij  bij бол тэнцүү матрицууд гэнэ. Матрицыг нэмэх: A, B  m  n  хэмжээст матрицууд байг . A  B  aij  bij  Матрицыг тоогоор үржүүлэх: A, B  m  n хэмжээст матрицууд байг A  aij   Чанарууд: 1, 2  R    1. A  B  B  A  aij  bij  bij  aij  2.  A  B  C  A  B  C  3. 12 A  1 2 A 4. 1 А=A 5. 1  A  B   1 A  1B 6. 1  2 A  1 A  2 A Матрицуудыг үржүүлэх: A нь m  k , B  k  n хэмжээст матрицууд байг .AB нь m n хэмжээстэй байна. /А –гийн баганын тоо,B-гийн мөрийн тоо тэнцүү байна./ 1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 2. k  AB   aibj    1   a11b11  a12b21  ...  a1k bk1 ... a11b1n  a12b2 n  ...  a1k bkn   a b  a b  ...  a b ... a21b1n  a22b2 n  ...  a2 k bkn  AB   21 11 22 21 2 k k1  /1/  ... ... ...    am1b11  am 2b21  ...  amk bk1 ... am1b1n  am 2b2 n  amk bkn  Үржүүлэх үйлдэл коммутатив биш. AB  BA Чанарууд: 1. ABC    AB C хэсэглэн нэгтгэх 2. AB  C   AB  AC хаалт нээх Матрицыг хөрвүүлэх: A  m n хэмжээст матриц байг .А матрицын хөрвөсөн матриц нь n  m хэмжээстэй байна. AT гэж тэмдэглэнэ.  a11 a21 ... am1  a a22 ... a m 2  A   T 12 /2/  ... ... ... ...    a1n a2 n ... amn  Чанарууд:   1. AT T A 2.  A  B   AT  BT T 3.  AB   BT AT T 4. kA  kAT T Матриц нь дараах хэлбэрүүдтэй байна. 1. Бүх элемент нь 0 байх тэг матрицийг тэг матриц гэнэ. 2. Гол диагональ болон түүнээс доошхи элементүүд бүгд 0 байх матрицийг дээд гурвалжин матриц гэнэ. 3. Гол диагональ болон түүнээс дээшхи элементүүд бүгд 0 байх доод гурвалжин матриц гэнэ. 4. Зөвхөн гол диагоналийн дагуу элементүүдтэй матрицийг диагональ матриц гэнэ. 5. Зөвхөн гол диагоналийн дагуу 1 гэсэн элементтэй матрицийг нэгж матриц гэнэ. 6. тэгшхэмтэй матриц 7. скаляр матриц гэх мэт. 2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 3. 1 0 ... 0  0 1 ... 0  E  -нэгж матриц. EA  AE  A ... ... ... ...   0 0 ... 1  Тодорхойлогч a11 a12 -г II эрэмбийн матрицын тодорхойлогч гэнэ. a21 a22 a11 a12 ... a1n det A  ... ... ... ... n-р эрэмбийн тодорхойлогч an1 an 2 ... ann Чанарууд: 1. AT нь . A -гийн хөрвүүлсэн матриц бол det A  det AT 2. n  n хэмжээст A матрицын дурын 2 мөр / багана / ижил бол det A =0 3. B- n  n хэмжээст А матрицын дурын 2 мөрийн /баганын / байрыг солиход гарсан матриц бол  det A  det B 4. n  n хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / бүх элементүүд 0 байвал det A  0 . 5. B нь n  n хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг 0-ээс ялгаатай к тоогоор үржихэд гарсан бол det B  k det A 6. Тодорхойлогчийн 2 мөрийн / баганын / элементүүд пропорциональ бол det A =0 7. B нь n  n хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг 0-ээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө нэг мөрийн / баганын / харгалзах элементүд дээр нэмэхэд гарсан бол det B  det A МИНОР БА АЛГЕБРИЙН ГҮЙЦЭЭЛТ i –р мөр,j-р баганыг дарахад огтолцолд нь aij элемент гарна.Үлдсэн тодорхойлогчийг aij элементэд харгалзах минор гээд M ij гэж тэмдэглэнэ. 1 M ij -г aij элементийн алгебрийн i j гүйцээлт гэнэ. Aij  1 M ij i j Теорем1: Тодорхойлогч нь түүний аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг эдгээр элементэд харгалзах алгебрийн гүйцээлтээр үржүүлж нэмсэнтэй тэнцүү. 3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 4. Теорем2: Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг өөр нэг мөрийн / баганын / элементүүдийн алгебрийн гүйцээлтүүдээр үржүүлж нэмэхэд гарна. Теорем3: A  n  n хэмжээст гурвалжин матриц бол det A  a11a22...ann байна. Теорем1: А ба B нь n  n хэмжээст матрицууд бол det  AB   det A det B УРВУУ МАТРИЦ A  n  n хэмжээст матриц байг. AB  BA  E байх n  n хэмжээст B матриц оршин байвал А матрицыг бөхөөгүй матриц буюу урвуутай матриц гэнэ. B-г А-гийн урвуу матриц гэнэ. A1 гэж тэмдэглэнэ. Урвуу матрицын чанарууд: 1. A 1 1 A 2.  AB 1  B1 A1 3. A T 1    A1 T УЯЛДСАН МАТРИЦ A  n  n хэмжээст матриц байг.А-гийн элементүүдэд харгалзах алгебрийн гүйцээлтүүдээс зохиосон матрицыг хөрвүүлэхэд гарсан матрицыг А-гийн уялдсан матриц гэнэ. T  A11 A12 ... A1N   A11 A21 ... AN 1  A A22  ... A2 N  A A22 ... AN 2   21   12   adjA  ... ... ... ...   ... ... ... ...       AN 1 AN 2 ... ANN   A1N A2 N ... ANN  1 Теорем5: A  n  n хэмжээст матриц байг. det A  0 бол A1  adjA det A Теорем6: n  n хэмжээст А матриц урвуутай байх  нь det A  0 байх явдал. Шугаман тэгшитгэлийн систем a1x1  a2 x2  ...  an xn  b хэлбэрийн тэгшитгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  /1/ n хувьсагчтай m шуцгаман тэгшитгэлийн систем гэнэ.  ................. am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm  4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 5. aij -г системийн коэффициентүүд, bi -г сул гишүүд гэнэ. /1/ -г m n систем гэе. x1 , x2 ,..., xn гэсэн эрэмблэгдсэн n тоонуудыг /1/ системд орлуулахад бүх тэгшитгэлийг хангаж байвал эдгээр тоонуудыг системийн шийд гэнэ.Систем ядаж нэг шийдтэй бол нийцтэй,шийдгүй бол нийцгүй гэнэ. Нийцтэй систем цорын ганц шийдтэй бол тодорхой,нэгээс илүү шийдтэй бол тодорхойгүй гэнэ./1/ системийн сул гишүүд бүгд 0 бол нэгэн төрлийн систем,ядаж нэг bi  0 бол нэгэн төрлийн биш систем гэнэ. 2 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл нь шулуун тодорхойлно. 2 хувьсагчтай 2 тэгшитгэлийн системийн хувьд 1. Огтлолцсон бол 1 шийдтэй. 2. Параллель бол систем нийцгүй. 3. Давхцвал төгсгөлгүй олон шийдтэй. Тодорхойлолт 1. Ижил хувьсагчтай тэгшитгэлүүд бүхий 2 системийн шийдүүд нь давхцаж байвал эквивалент системүүд гэнэ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах элементар хувиргалтуудаар түүнтэй эквивалент системд шилжүүлж бодно. 1. Аль нэг тэгшитгэлийг 0- ээс ялгаатай тоогоор үржүүлэх 2. Системд байгаа тэгшитгэлүүдийн байрыг солих 3. Нэг тэгшитгэлийг 0-ээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө тэгшитгэл дээр нэмэх Тодорхойлолт 2. Хэрэв системийн к-р тэгшитгэлийн к-1 хувьсагчийн өмнөх коэффициентүүд 0, xk -ийн коэффициент 0 –ээс ялгаатай бол системийг гурвалжин хэлбэрт бичигдсэн гэнэ.  a11x1  a12 x2  ...a1n xn  b1  ...a x  ...  a x  b  22 2 2n n 2   .............. ............................ann xn  bn  Гурвалжин хэлбэрт орсон системийг xn -р хувьсагчаас эхлэн дараалан олно. Үүнийг буцаах орлуулгаар бодох гэнэ.  a11 a12 ... a1n   .... ... ... ...  -г системийн коэффициентүүдийн матриц гэнэ. /2/   am1 am 2 .. amn    5|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 6.  a11 a12 ... a1n b1  a b2   21 a22 ... a2 n  -г системийн өргөтгөсөн матриц гэнэ. /3/  ... ... ... ... ...    am1 am 2 ... amn bm  Өргөтгөсөн матриц нь ШТС-ийг төлөөлж чадна.ШТС дээр хийгдэх элементар хувиргалтууд энд мөн хийгдэнэ. Элементар мөрөн хувиргалтууд: 1. Мөрийг 0-ээс ялгаатай тогтмолоор үржүүлэх 2. Дурын 2 мөрийн байрыг солих 3. 1 мөрийг 0-ээс ялгаатай тоогоор үржүүлж өөр мөр дээр нэмэх Өргөтгөсөн матрицыг ашиглаж системийг бодохдоо Гаусс болон Гаусс-Жорданы зайлуулах аргуудыг хэрэглэнэ. Эдгээр аргуудаар өргөтгөсөн матрицыг шаталсан мөр хэлбэрт шилжтэл элементар хувиргалтуудыг хийнэ. Шаталсан мөр хэлбэрт матриц нь 1. 0 биш мөрийн эхний 0 биш элемент 1 байна. 2. Дараалсан 0 биш мөрүүдийн доод мөрийн эхний 1 нь дээд мөрийн 1-ийн баруун талд байна. 3. Бүх элементүүд нь 0 байх мөрүүд матрицын сүүлийн мөрүүдэд байна. Гаусс-Жорданы аргаар бодоход өргөтгөсөн матриц нь эмхэтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт орно. Эмхэтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт матриц гэдэг нь : 1. Матриц шаталсан мөр хэлбэрт байна. 2. Мөр бүрт байгаа 0-ээс ялгаатай эхний элемент нь байгаа баганыхаа ганц 0- ээс ялгаатай элемент байна. Өргөтгөсөн матриц дээр хувиргалт хийхдээ дараах тэмдэглэгээг хэрэглэе. Rij  i, j -р мөрийн байрыг солих cRi  i -р мөрийг с тоогоор үржүүлэх cRi  R j i -р мөрийг с тоогоор үржүүлж j-р мөр дээр нэмэх Жишээ-1  x1  x2  x3  3   2 x1  3x2  5 x3  7  x  2 x  3x  11  1 2 3 Гауссын аргаар: 6|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 7. 1  1  1  3  1  1  1  3 1  1  1  3 2 3 5 7   2 R  R ; R  R  0 5 7 13   R  0 1  4 8   5R  R  1 2 1 2   23   2 3 1  2 3  11   0  1 4  8   0 5  7 13   1  1  1  3   0 1  4  8   0 0 27  27   буцааж орлуулах аргаар x3  1; x2  4; x1  0 гэсэн шийд олдоно. Гаусс-Жорданы аргаар: 1 0  5 5  1 0 0 0   1 0 1  4 8   4 R  R ;5R  R  0 1 0 4   шийд R3 ; R1  R2   нь 27  3 2 3 1   0 0 1  1   0 0 1  1   шууд олдоно. x3  1; x2  4; x1  0 n үл мэдэгчтэй m тэгшитгэлийн систем нийцгүй бол өргөтгөсөн матриц нь 0 0 ... 0 1 хэлбэрийн мөрийг агуулах болно. НЭГЭН ТӨРЛИЙН ТЭГШИТГЭЛҮҮДИЙН СИСТЕМ Нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлүүдийн систем нийцтэй эсвэл нийцгүй байж болно.Харин нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүдийн систем ямагт нийцтэй. x1  x2  ...  xn  0 гэсэн шийдтэй.Үүнийг илэрхий шийд гэнэ.Үүнээс гадна 0 биш шийдтэй байж болно. Теорем1: Нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэгчийн тооноос бага байвал систем 0-ээс ялгаатай шийдтэй байна. Мөрөн хувиргалтаар урвуу матриц олох хувиргалтыг үзье. Теорем2: Хэрэв n  n хэмжээст А матриц мөрөн хувиргалтаар n  n хэмжээст нэгж матрицад шилжиж байвал А матриц бөхөөгүй байна. А-г I –д шилжүүлсэн мөрөн хувиргалтаар I нь A1 -д шилжинэ. Урвуу матриц олох хувиргалтыг A I  гэсэн өргөтгөсөн матриц дээр хийнэ. A I  I A1  Жишээ 7|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 8. 4 2 3 1 0 0 1 2 0 0 0  1 2 1 0 0 1 0   R ; R  2 1 0 0 1 0   2 R  R ;4 R  R   3 13   1 2 1 3  1  2 0 0 0 1   4 2 3 1 0 0      1 2 0 0 0  1 1 2 0 0 0 1 0  3 0 0  2 1 2    R2 ; R3  0 1 0 0  1 1 1      2 R2  R3 ;2 R2  R1  0  6 3 1 3 3  3 3  0 4  0 2 1  0   1 4   3 3  2 1  1 0 0 0 3   3 0 2 1  2    A   0  1  2 1 1 0 1 0 0  1  3 3 3   1 2   1 2  0 0 0 1  3  3 0   Хэрэв A I   B C  хэлбэрт шилжээд B нь 0-үүдээс тогтсон мөрийг агуулж байвал А нь бөхсөн матриц байна. Урвуу матрицаар системийг бодох  a11 a12 ... a1n   x1   b1  a a22 ... a2 n  x    A   21  д X   2 ; B   b2   ... ... ... ...   ...   ...        am1 am 2 ... amn   xn  bm  /1/ системийг AX=B гэж бичиж болно. m=n бол А нь n  n хэмжээст болно. А- бөхөөгүй бол A1 AX  A1B  IX  A1B  X  A1B Нэгэн төрлийн системийг AX  0 гэж бичиж болно. Теорем3: AX  0 тэгшитгэл илэрхий шийдтэй байх  нь А- бөхөөгүй матриц байх явдал. Теорем4: AX  0 n  n систем илэрхий биш шийдтэй байх  нь А- бөхсөн матриц байна. Крамерийн дүрэм  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  /4/  ................ an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn  8|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 9.  a11 a12 ... a1k 1 b1 a1k 1 ... a1n  a a ... a2 k 1 b2 a2 k 1 ... a2 n  AK   21 22  гэсэн тэмдэглэгээ оруулъя.  ... ... ... ... ... ... ... ...    an1 an 2 ... ank 1 bn ank 1 ... ann  k-р багана Теорем5: /4/ тэгшитгэлийн системийн detA  0 бол шийдүүд нь det A1 det A2 det An x1  ; x2  ;...; xn  байна. det A det A det A Матрицын ранг түүнийг олох  a11 a12 ... a1n  a ... a2 n   21 a22  матрицын t  min m, n ширхэг мөр t ширхэг баганыг дарахад  ... ... ... ...    an1 an 2 ... ann  дарагдсан мөр багануудын огтолцол дээр орших элементүүдээс зохиосон t эрэмбийн тодорхойлогчийг А матрицаас үүсэх тодорхойлогч гэнэ. Тодорхойлолт: Матрицаас үүсэх 0-ээс ялгаатай тодорхойлогчийн хамгийн их эрэмбийг матрицын ранг гэнэ. r(A) гэж тэмдэглэнэ. m n хэмжээст матрицын хувьд 0  r ( A)  min( m, n) Матриц дээр хийгдэх элементар хувиргалтаар ранг нь өөрчлөгдөхгүй. Теорем6: Хэрэв матрицаас үүсэх ямар нэг r эрэмбийн тодорхойлогч 0-ээс ялгаатай ба түүнийг энэ тодорхойлогчид ороогүй үлдсэн мөр баганаар хүрээлүүлэн үүсгэсэн бүх r+1 эрэмбийн тодорхойлогчид 0-тэй тэнцүү бол . r(A)  r байна. Матрицын хувийн утга хувийн вектор Өмнө нь 2 хэмжээст /хавтгай / ,3 хэмжээст /огторгуй / огторгуйд цэг векторуудыг тодорхойлсон.Энэ ойлголтуудыг өргөтгөж үзье. a1, a2 , a3 , a4  - эрэмбэлэгдсэн дөрөвт, a1, a2 , a3 , a4 , a5  -эрэмбэлэгдсэн тавт гэх мэт a1, a2 ,..., an  -эрэмбэлэгдсэн n бодит тоонуудыг векторууд гэж ойлгоѐ.Үүний хувьд хавтгай,огторгуйн вектортой адил чиглэл хэрчим гэсэн ойлголт байхгүй. a1 , a2 ,..., an  гэсэн n эрэмбэлэгдсэн тоог n хэмжээст огторгуйн векторын координат гэнэ.Векторыг a, b, c гэх мэт тэмдэглэнэ.Векторуудын олонлогийг R n гэж тэмдэглэе. Энд векторуудыг нэмэх тоогоор үржүүлэх үйлдэл адил тодорхойлогдоно. a  b  a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn  9|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 10.  a  a1, a2 ,..., an  0,0,...,0-г R n огторгуйн 0 вектор гэнэ.Векторын урт a  a12  a2  ...  an 2 2 a  1 бол a -г n хэмжээст огторгуйн нэгж вектор гэнэ. 2 векторын скаляр үржвэр a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn a, b гэсэн 2 вектор ортогональ байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a  b  0 Тодорхой шаардлагуудыг хангасан элементүүд дээр нь нэмэх,тоогоор үржүүлэх үйлдэл тодорхойлогдсон олонлогийг огторгуй гэнэ Тодорхойлолт: Элементүүд дээр нь векторыг нэмэх ,тоогоор үржүүлэх үйлдэл тодорхойлогдсон дараах аксиомуудыг хангах V олонлогийг вектор огторгуй гэнэ. Нэмэх үйлдлийн аксиомууд 1. x, y  V  x  y  V 2. x, y  V  x  y  y  x 3. x, y, z  V  x  ( y  z )  ( x  y)  z 4. x  V  x  0  0  x байх цор ганц 0 вектор оршин байна. 5. x  V  x   x   x  x  0 байх  x V –д оршин байна. Тогтмол тоогоор үржүүлэх 1. k  const бол x  V  k x  V 2. k ( x  y)  k x  k y 3. k1  k2 x  k1 x  k2 x   4. k1 k2 x  k1k2 x 5. 1  x  x Тодорхойлолт: А нь n  n хэмжээст матриц байг. Ax  x /1/ шугаман тэгшитгэлийн систем 0-ээс ялгаатай х гэсэн вектор шийдтэй байвал  тоог А матрицын хувийн утга гэнэ.  хувийн утгад харгалзах х вектор шийдийг хувийн вектор гэнэ. Жишээ –1 10 | Б о л о в с р у у л с а н б а г ш Г . Э р д э н э ч и м э г
  • 11. 1 5  1 0  1 нь A  0  5 9 матрицын хувийн вектор болохыг харуул. X    1  5  1 0    5  1 0 1 4 1 0  5 9 1  4  41 AX   хувийн утга 4      5  1 0 1 4      1  /1/ тэгшитгэлийг  A  I x  0 хэлбэрт бичье.   a11 a12 ... a1n   0 ... 0    x1  a11   a12 ... a1n   x1      a21 a22 ... a2 n   0  ... 0    x2   a21 a22   ... a 2 n   x2          ... ... ... ...  ... ... ... ...   ...   ... ... ... ...   ...            a ... ann   0 0    xn   an1 ... ann     xn    n1 an 2 0 ...  an 2 a11   x1  a12 x2  ..  a1n xn  0 a21x1  a22   x2  ...  a2 n xn  0 .................. an1 x1  an 2 x2  ...  (ann   ) xn  0 Энд x1  x2  ...  xn =0 гэсэн илэрхий шийд байгаа.Илэрхий биш шийдтэй байх нөхцөл нь det( A  I )  0 /5/ байх явдал. /5/ нь  -ын хувьд n зэргийн тэгшитгэл байна./5/-г А матрицын характеристик тэгшитгэл гэнэ.А матрицын хувийн утгууд нь характеристик тэгшитгэлийн язгуурууд байна. /4/ тэгшитгэлүүдийн системийг бодохдоо  хувийн утгад харгалзах хувийн векторыг  A  I 0 өргөтгөсөн матриц дээр Гаусс-Жорданы зайлуулах аргыг хэрэглэнэ. Жишээ-2  1 2 2   2 1  2 матрицын хувийн утга,хувийн векторыг ол.   2  2 1   Характеристик тэгшитгэлийг нь бодьѐ. 1  2   2  1    1     4  2 2  2  4  2 4  2  2   0 2 2 1  2    1;   1;   3 2 2 1   0  2 2 0 0 1  1 0 1 1 0 0  1  1  2 0  2 0  1 0 1 0  1 0 1 0  X   1  үед         2  2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0      1   11 | Б о л о в с р у у л с а н б а г ш Г . Э р д э н э ч и м э г
  • 12.  2  2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1   1  2 2  2 0  1  1 1 0  0 1 0 0  X  0 үед         2  2 2 0  0 0 0 0  0 0 0 0       1    2  2  2 0 1 1  1 0 1 1 0 0 1  2  2  2 0  1 1 1 0  0 0 1 0  X   1   3 үед         2  2  2 0 0 0 0 0 0 0 0 0      0   арга болно. 12 | Б о л о в с р у у л с а н б а г ш Г . Э р д э н э ч и м э г