1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа
Лекц №1
Матриц түүн дээр хийгдэх үйлдлүүд
Тодорхойлолт1: Тоонуудаас тогтсон аливаа тэгш өнцөгт таблицыг матриц гэнэ.
Матриц нь m мөр,n баганатай бол m n хэмжээст матриц гэнэ. n n хэмжээст матрицыг
квадрат матриц буюу n –р эрэмбийн матриц гэнэ. aij нь i-р мөр,j-р баганын огтолцолд байх
элемент.
a11 a12 ... a1n
a ... a2 n
21 a22 n-р эрэмбийн матриц
... ... ... ...
an1 an 2 ... ann
a11, a22 ,..., ann -г гол диагоналийн элементүүд, an1, an 12 ,..., a1n -г хажуугийн диагоналийн
элементүүд гэнэ.
Тодорхойлолт2. n 1 матрицыг баганан, 1 m матрицыг мөрөн матриц гэнэ.
Тодорхойлолт3. A, B m n хэмжээст матрицууд байг. aij bij бол тэнцүү матрицууд
гэнэ.
Матрицыг нэмэх: A, B m n
хэмжээст матрицууд байг . A B aij bij
Матрицыг тоогоор үржүүлэх: A, B m n хэмжээст матрицууд байг A aij
Чанарууд: 1, 2 R
1. A B B A aij bij bij aij
2. A B C A B C
3. 12 A 1 2 A
4. 1 А=A
5. 1 A B 1 A 1B
6. 1 2 A 1 A 2 A
Матрицуудыг үржүүлэх:
A нь m k , B k n хэмжээст матрицууд байг .AB нь m n хэмжээстэй байна. /А –гийн
баганын тоо,B-гийн мөрийн тоо тэнцүү байна./
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
2. k
AB aibj
1
a11b11 a12b21 ... a1k bk1 ... a11b1n a12b2 n ... a1k bkn
a b a b ... a b ... a21b1n a22b2 n ... a2 k bkn
AB 21 11 22 21 2 k k1 /1/
... ... ...
am1b11 am 2b21 ... amk bk1 ... am1b1n am 2b2 n amk bkn
Үржүүлэх үйлдэл коммутатив биш. AB BA
Чанарууд: 1. ABC AB C хэсэглэн нэгтгэх
2. AB C AB AC хаалт нээх
Матрицыг хөрвүүлэх:
A m n хэмжээст матриц байг .А матрицын хөрвөсөн матриц нь n m хэмжээстэй
байна. AT гэж тэмдэглэнэ.
a11 a21 ... am1
a a22 ... a m 2
A
T 12
/2/
... ... ... ...
a1n a2 n ... amn
Чанарууд:
1. AT
T
A
2. A B AT BT
T
3. AB BT AT
T
4. kA kAT
T
Матриц нь дараах хэлбэрүүдтэй байна.
1. Бүх элемент нь 0 байх тэг матрицийг тэг матриц гэнэ.
2. Гол диагональ болон түүнээс доошхи элементүүд бүгд 0 байх матрицийг дээд
гурвалжин матриц гэнэ.
3. Гол диагональ болон түүнээс дээшхи элементүүд бүгд 0 байх доод гурвалжин
матриц гэнэ.
4. Зөвхөн гол диагоналийн дагуу элементүүдтэй матрицийг диагональ матриц гэнэ.
5. Зөвхөн гол диагоналийн дагуу 1 гэсэн элементтэй матрицийг нэгж матриц гэнэ.
6. тэгшхэмтэй матриц
7. скаляр матриц гэх мэт.
2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
3. 1 0 ... 0
0 1 ... 0
E -нэгж матриц. EA AE A
... ... ... ...
0 0 ... 1
Тодорхойлогч
a11 a12
-г II эрэмбийн матрицын тодорхойлогч гэнэ.
a21 a22
a11 a12 ... a1n
det A ... ... ... ... n-р эрэмбийн тодорхойлогч
an1 an 2 ... ann
Чанарууд:
1. AT нь . A -гийн хөрвүүлсэн матриц бол det A det AT
2. n n хэмжээст A матрицын дурын 2 мөр / багана / ижил бол det A =0
3. B- n n хэмжээст А матрицын дурын 2 мөрийн /баганын / байрыг солиход гарсан
матриц бол det A det B
4. n n хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / бүх элементүүд 0
байвал det A 0 .
5. B нь n n хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг
0-ээс ялгаатай к тоогоор үржихэд гарсан бол det B k det A
6. Тодорхойлогчийн 2 мөрийн / баганын / элементүүд пропорциональ бол det A =0
7. B нь n n хэмжээст А матрицын аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг 0-ээс
ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө нэг мөрийн / баганын / харгалзах элементүд дээр
нэмэхэд гарсан бол det B det A
МИНОР БА АЛГЕБРИЙН ГҮЙЦЭЭЛТ
i –р мөр,j-р баганыг дарахад огтолцолд нь aij элемент гарна.Үлдсэн тодорхойлогчийг aij
элементэд харгалзах минор гээд M ij гэж тэмдэглэнэ. 1 M ij -г aij элементийн алгебрийн
i j
гүйцээлт гэнэ. Aij 1 M ij
i j
Теорем1: Тодорхойлогч нь түүний аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг эдгээр
элементэд харгалзах алгебрийн гүйцээлтээр үржүүлж нэмсэнтэй тэнцүү.
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
4. Теорем2: Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн / баганын / элементүүдийг өөр нэг мөрийн /
баганын / элементүүдийн алгебрийн гүйцээлтүүдээр үржүүлж нэмэхэд гарна.
Теорем3: A n n хэмжээст гурвалжин матриц бол det A a11a22...ann байна.
Теорем1: А ба B нь n n хэмжээст матрицууд бол det AB det A det B
УРВУУ МАТРИЦ
A n n хэмжээст матриц байг. AB BA E байх n n хэмжээст B матриц оршин
байвал А матрицыг бөхөөгүй матриц буюу урвуутай матриц гэнэ. B-г А-гийн урвуу
матриц гэнэ. A1 гэж тэмдэглэнэ.
Урвуу матрицын чанарууд:
1. A 1 1
A
2. AB 1 B1 A1
3. A T 1
A1
T
УЯЛДСАН МАТРИЦ
A n n хэмжээст матриц байг.А-гийн элементүүдэд харгалзах алгебрийн гүйцээлтүүдээс
зохиосон матрицыг хөрвүүлэхэд гарсан матрицыг А-гийн уялдсан матриц гэнэ.
T
A11 A12 ... A1N A11 A21 ... AN 1
A A22
... A2 N A A22 ... AN 2
21 12 adjA
... ... ... ... ... ... ... ...
AN 1 AN 2 ... ANN A1N A2 N ... ANN
1
Теорем5: A n n хэмжээст матриц байг. det A 0 бол A1 adjA
det A
Теорем6: n n хэмжээст А матриц урвуутай байх нь det A 0 байх явдал.
Шугаман тэгшитгэлийн систем
a1x1 a2 x2 ... an xn b хэлбэрийн тэгшитгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2 2n n 2
/1/ n хувьсагчтай m шуцгаман тэгшитгэлийн систем гэнэ.
.................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
9. a11 a12 ... a1k 1 b1 a1k 1 ... a1n
a a ... a2 k 1 b2 a2 k 1 ... a2 n
AK 21 22 гэсэн тэмдэглэгээ оруулъя.
... ... ... ... ... ... ... ...
an1 an 2 ... ank 1 bn ank 1 ... ann
k-р багана
Теорем5: /4/ тэгшитгэлийн системийн detA 0 бол шийдүүд нь
det A1 det A2 det An
x1 ; x2 ;...; xn байна.
det A det A det A
Матрицын ранг түүнийг олох
a11 a12 ... a1n
a ... a2 n
21 a22 матрицын t min m, n ширхэг мөр t ширхэг баганыг дарахад
... ... ... ...
an1 an 2 ... ann
дарагдсан мөр багануудын огтолцол дээр орших элементүүдээс зохиосон t эрэмбийн
тодорхойлогчийг А матрицаас үүсэх тодорхойлогч гэнэ.
Тодорхойлолт: Матрицаас үүсэх 0-ээс ялгаатай тодорхойлогчийн хамгийн их эрэмбийг
матрицын ранг гэнэ. r(A) гэж тэмдэглэнэ. m n хэмжээст матрицын хувьд
0 r ( A) min( m, n) Матриц дээр хийгдэх элементар хувиргалтаар ранг нь өөрчлөгдөхгүй.
Теорем6: Хэрэв матрицаас үүсэх ямар нэг r эрэмбийн тодорхойлогч 0-ээс ялгаатай ба
түүнийг энэ тодорхойлогчид ороогүй үлдсэн мөр баганаар хүрээлүүлэн үүсгэсэн бүх r+1
эрэмбийн тодорхойлогчид 0-тэй тэнцүү бол . r(A) r байна.
Матрицын хувийн утга хувийн вектор
Өмнө нь 2 хэмжээст /хавтгай / ,3 хэмжээст /огторгуй / огторгуйд цэг векторуудыг
тодорхойлсон.Энэ ойлголтуудыг өргөтгөж үзье. a1, a2 , a3 , a4 - эрэмбэлэгдсэн дөрөвт,
a1, a2 , a3 , a4 , a5 -эрэмбэлэгдсэн тавт гэх мэт a1, a2 ,..., an -эрэмбэлэгдсэн n бодит тоонуудыг
векторууд гэж ойлгоѐ.Үүний хувьд хавтгай,огторгуйн вектортой адил чиглэл хэрчим гэсэн
ойлголт байхгүй. a1 , a2 ,..., an гэсэн n эрэмбэлэгдсэн тоог n хэмжээст огторгуйн векторын
координат гэнэ.Векторыг a, b, c гэх мэт тэмдэглэнэ.Векторуудын олонлогийг R n гэж
тэмдэглэе. Энд векторуудыг нэмэх тоогоор үржүүлэх үйлдэл адил тодорхойлогдоно.
a b a1 b1 , a2 b2 ,..., an bn
9|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
10. a a1, a2 ,..., an
0,0,...,0-г R n огторгуйн 0 вектор гэнэ.Векторын урт a a12 a2 ... an
2 2
a 1 бол a -г n хэмжээст огторгуйн нэгж вектор гэнэ.
2 векторын скаляр үржвэр a b a1b1 a2b2 ... anbn
a, b гэсэн 2 вектор ортогональ байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a b 0
Тодорхой шаардлагуудыг хангасан элементүүд дээр нь нэмэх,тоогоор үржүүлэх үйлдэл
тодорхойлогдсон олонлогийг огторгуй гэнэ
Тодорхойлолт: Элементүүд дээр нь векторыг нэмэх ,тоогоор үржүүлэх үйлдэл
тодорхойлогдсон дараах аксиомуудыг хангах V олонлогийг вектор огторгуй гэнэ.
Нэмэх үйлдлийн аксиомууд
1. x, y V x y V
2. x, y V x y y x
3. x, y, z V x ( y z ) ( x y) z
4. x V x 0 0 x байх цор ганц 0 вектор оршин байна.
5. x V x x x x 0 байх x V –д оршин байна.
Тогтмол тоогоор үржүүлэх
1. k const бол x V k x V
2. k ( x y) k x k y
3. k1 k2 x k1 x k2 x
4. k1 k2 x k1k2 x
5. 1 x x
Тодорхойлолт: А нь n n хэмжээст матриц байг. Ax x /1/ шугаман тэгшитгэлийн
систем 0-ээс ялгаатай х гэсэн вектор шийдтэй байвал тоог А матрицын хувийн утга
гэнэ. хувийн утгад харгалзах х вектор шийдийг хувийн вектор гэнэ.
Жишээ –1
10 | Б о л о в с р у у л с а н б а г ш Г . Э р д э н э ч и м э г