2-р эрэмбийн муруйнууд

1. ЛЕКЦ –4
СЭДЭВ : Хоёрдугаар эрэмбийн муруйнууд
ЗОРИЛГО: Ýíý õè÷ээлээр хоёрдугаар эрэмбийн муруйнуудын тухай ойлголт
өгч,бодлого бодох чадвартай болгох.
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ :
Эллипс
Дунд сургуульд үздэг муруй шугамнуудаас нэрлүүлэж тойрог,гипербол,параболийн
талаар асууж ярилцахаас гадна конусыг хавтгайнуудаар огтлоход огтлолд нь
ямар муруйнууд үүсэх талаар ярилцах. Эдгээр муруйнуудыг хоёрдугаар эрэмбийн
муруйнууд гэдгийг хэлээд эдгээр муруйнуудын тэгшитгэл ба графикийг хэрхэн
байгуулах талаар энэ хичээлээр үзнэ.
Тодорхойлолт : Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн хоёр цэг хүртлэх зайн нийлбэр
нь тогтмол тоо байх хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг эллипс гэнэ.
Бэхлэгдсэн хоёр цэгээ фокус гэж нэрлээд 𝐹𝐹1 ; 𝐹𝐹2 гэж тэмдэглэе.
Тодорхойлолт ашиглан эллипсийн тэгшитгэл зохиохын тулд координатын
системийг 𝐹𝐹1 ; 𝐹𝐹2 цэгүүдийг ох тэнхлэг дайрахаар, координатын эхлэл фокусын
цэгүүдийн дундуж байхаар сонгож авъя.
𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 = 2𝑐𝑐 гэвэл 𝐹𝐹1(−𝑐𝑐; 0) 𝐹𝐹2(𝑐𝑐; 0) эллипсийн фокусын цэгүүд болно. 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦)
эллипсийн дурын цэг.
𝐹𝐹1 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟1 𝐹𝐹2 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟2 гээд үүнийг эллепсийн фокусын радиус гэнэ. Эндээс фокусын
радиусууд нь хоёр цэгийн хоорондох зай олох томъёо ёсоор
𝑟𝑟1 = �(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 𝑟𝑟2 = �(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 байна.
Тодорхойлолтоос 𝑟𝑟1 + 𝑟𝑟2 = 2𝑎𝑎 тогтмол хэмжигдэхүүн гэж тэмдэглэвэл
�(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 + �(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 = 2𝑎𝑎 энэ нь сонгож авсан координатын систем
дахь эллипсийн тэгшитгэл болно.
Энэ тэгшитгэлийг хялбар хэлбэрт шилжүүлбэл �(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 = 2𝑎𝑎 −
�(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 ийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж хувиргалт хийсний дараа
тэгшитгэл
𝑥𝑥2
𝑎𝑎2 +
𝑦𝑦2
𝑏𝑏2 = 1 болж үүнийг эллипсийн хялбар тэгшитгэл буюу канонок тэгшитгэл
гэнэ.
Хувиргалт хийх явцад 𝑏𝑏2
= 𝑎𝑎2
− 𝑐𝑐2
гэж тэмдэглээд a ; b нь эерэг тоонууд
бөгөөд эллипсийн их ба бага хагас тэнхлэгүүд гэнэ. 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 байна.
Дээрх тэгшитгэлээс 𝑦𝑦 = 0 үед 𝑥𝑥 = ±𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 0 үед 𝑦𝑦 = ±𝑏𝑏 болж эллипсийн ох ба оу
тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд 𝐴𝐴1(−𝑎𝑎; 0) 𝐴𝐴2(𝑎𝑎; 0) 𝐵𝐵1(0; −𝑏𝑏) 𝐵𝐵2(0; 𝑏𝑏) болж
эллипсийн эллипсийн оройн цэгүүд болно.
𝑂𝑂(0; 0) координатын эх буюу эллипсийн төв гэвэл 𝐴𝐴1 𝑂𝑂 = 𝑎𝑎 их хагас тэнхлэг
𝐵𝐵1 𝑂𝑂 = 𝑏𝑏 бага хагас тэнхлэг гэнэ. фокусуудын хоорондох зайн хагас 𝑐𝑐2
= 𝑎𝑎2
− 𝑏𝑏2
Одоо графикийг нь байгуулъя.
x ; y нь квадрат зэрэгтэй учираас эллипсийн хувьд график нь координатын
тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Эллипсийн хялбар тэгшитгэлээс
𝑦𝑦 = ±
𝑏𝑏
𝑎𝑎
√𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2 болно. 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑎𝑎 байхад y-нь b-ээс 0-хүртэл буурна.

2. Графикийг нэгдүгээр мөчид байгуулаад тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмээр
хувиргаж болно.
Эллипсийн фокусуудын хоорондох зайг их тэнхлэгт харьцуулсан харьцааг
эллипсийн эксцентриситет гэнэ .
Эксцентриситетийг 𝜀𝜀 үсгээр тэмдэглэнэ. 𝜀𝜀 =
2𝑐𝑐
2𝑎𝑎
=
𝑐𝑐
𝑎𝑎
гурвалжны хоёр талын
нийлбэр гуравдахь талаасаа их байдаг учираас 𝑎𝑎 > 𝑐𝑐 тул ямарч эллипсийн
эксцентриситет 𝜀𝜀 < 1 байна. 𝜀𝜀 нь эллписийн хэлбэрийг тодорхойлдог гол
хэмжигдэхүүн.
Хэрвээ 𝜀𝜀 → 0 үед эллипс хэлбэрээрээ тойрогт дөхнө. 𝜀𝜀 → 1 үед эллипс
хэлбэрээрээ улам зуйван болно.
Жишээлбэл
𝑥𝑥2
36
+
𝑦𝑦2
25
= 1 эллипсийг дүрсэлж фокусыг ол.
Бодолт 𝑎𝑎2
= 36 → 𝑎𝑎 = 5 𝑏𝑏2
= 25 → 𝑏𝑏 = 6 𝑐𝑐2
= 𝑎𝑎2
− 𝑏𝑏2
= 36 − 25 = 11 → 𝑐𝑐 =
±√11
Хэрэв 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) цэг эллипс дээр байх дурын цэг 𝑟𝑟1 ; 𝑟𝑟2 нь түүнээс 𝐹𝐹1 ; 𝐹𝐹2
фокуусууд хүрэх зайнууд бол �
𝑟𝑟1 = 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀 ∙ 𝑥𝑥
𝑟𝑟2 = 𝑎𝑎 − 𝜀𝜀 ∙ 𝑥𝑥
байна. Энэ нь М цэгийн фокусын
радиус
1. Эллипсийн төвийн хувьд тэгш хэмтэй , их тэнхлэгт нь пелпендикуляр ,
эллипсийн төвөөс
𝑎𝑎
𝜖𝜖
зайд орших хоёр шулууныг эллипсийн директрис гэнэ.
Теорем Хэрэв 𝑟𝑟-нь эллипсийн дурын цэгээс аль нэг фокус хүрэх зай,d-нь
мөн цэгээс энэ фокуст харгалзах директрис хүрэх зай бол 𝜀𝜀 =
𝑟𝑟
𝑑𝑑
байна.
d- нь директрис
Жишээлбэл 9𝑥𝑥2
+ 25𝑦𝑦2
= 225 эллипс өгсөн бол
1. Хагас тэнхлэгүүдийг ол.
2. Фокусуудыг ол. Эксцентриситетийг ол.
3. Директрисийг ол.
Өгсөн тэгшитгэлийн хоёр талыг 225 д хувааж
𝑥𝑥2
25
+
𝑦𝑦2
9
= 1 болгох
1. 𝑎𝑎 = 5 ; 𝑏𝑏 = 3
2. 𝑐𝑐2
= 𝑎𝑎2
− 𝑏𝑏2
= 25 − 9 = 4 𝑏𝑏 = 4 𝐹𝐹1(−4; 0) 𝐹𝐹2(4; 0) 3. 𝜀𝜀 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
=
4
5
Тойрог
Хэрвээ эллипсийн их ба бага тэнхлэгүүд тэнцүү бол тойрог болно. Иймд тойрог
нь эллипсийн тухайн тохиолдол . 𝑀𝑀( 𝛼𝛼; 𝛽𝛽) тойргийн төв.
Тойрогийн тэгшитгэл нь (𝑥𝑥 − 𝛼𝛼)2
+ (𝑦𝑦 − 𝛽𝛽)2
= 𝑅𝑅2
байна.
(𝑥𝑥)2
+ (𝑦𝑦)2
= 𝑅𝑅2
нь координатын эх дээр тойргийн тэгшитгэл.
Жишээлбэл 𝑀𝑀(2; −3) цэгт төвтэй 5 гэсэн радиустай тойргийн тэгшитгэл бич.
Бодолт
(𝑥𝑥 − 2)2
+ (𝑦𝑦 + 3)2
= 25
Гипербол

3. Тодорхойлолт : Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн хоёр цэг хүртэлх зайнуудын
ялгавар нь абсолют хэмжигдэхүүнээрээ тогтмол тоо байх хавтгайн бүх цэгийн
олонлогийг гипербол гэнэ.
Гиперболын тэгшитгэлийг бичихийн тулд координатын системийг өмнөх эллипсийн
тэгшитгэлийг зохиоход сонгсон шиг авна.
Бэхлэгдсэн хоёр цэгээ фокус гэж нэрлээд 𝐹𝐹1 ; 𝐹𝐹2 гэж тэмдэглэе
𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 = 2𝑐𝑐 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟2 = 2𝑎𝑎 гэж тэмдэглэе. �(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 − �(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦2 = ±2𝑎𝑎
гиперболын тэгшитгэл болно. Абсолют хэмжигдэхүүнээрээ гэсэн учираас ±2𝑎𝑎 тай
тэнцүү байна. Хэрвээ хялбар хэлбэрт шилжүүлбэл эллипсийнхтай адил
хувиргалт хийж
𝑥𝑥2
𝑎𝑎2 −
𝑦𝑦2
𝑏𝑏2 = 1 хэлбэрт шилжих ба үүнийг гиперболын хялбар тэгшитгэл буюу
каноник тэгшитгэл гэнэ.
𝑦𝑦 = 0 үед 𝑥𝑥 = ±𝑎𝑎 тул ох тэнхлэгийг 𝐴𝐴1(−𝑎𝑎; 0) 𝐴𝐴2(𝑎𝑎; 0) цэгүүдээр огтлоно.
𝑥𝑥 = 0 үед −
𝑦𝑦2
𝑏𝑏2 = 1 тул оу тэнхлэгийг огтлохгүй. a ; b нь эерэг тоонууд бөгөөд
a – ийг бодит хагас тэнхлэг , b –ийг хуурмаг хагас тэнхлэг гэнэ.
Тодорхойлолт Õàâòãàé äýýð L øóëóóí ìóðóé àâúÿ.
Ìóðóé äýýð õóâüñàõ öýã àâ÷ Ìóðóéí äàãóó òºãñãºëã¿é õîëäóóëàõàä Â
öýãýýñ L øóëóóí õ¿ðòëýõ çàé òýã ð¿¿ òýì¿¿ëæ áàéâàë ººðººð õýëâýë øóëóóí
ìóðóéã øàõàæ áàéâàë L øóëóóíûã ìóðóéí àñìïòîò ãýíý.
𝑦𝑦 = ±
𝑏𝑏
𝑎𝑎
∙ 𝑥𝑥 энэ хоёр координатын эхийг дайрсан шулуунуудыг гиперболын
асимптотууд гэнэ.
x ; y нь квадрат зэрэгтэй учираас гиперболын хувьд график нь координатын
тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
𝑥𝑥2
≥ 𝑎𝑎2 |𝑥𝑥| ≥ 𝑎𝑎 тул гиперболын бүх цэгүүд 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
Шулуунаас баруун тийш 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎 шулуунаас зүүн тийш оршино. Гиперболын
хялбар тэгшитгэлээс 𝑦𝑦 = ±
𝑏𝑏
𝑎𝑎
√𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2 эндээс 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 0 x-ийн өсөхөд 𝑦𝑦-мөн
өснө. Графикийг нэгдүгээр мөчид байгуулаад тэгш хэмтэй хувиргана.
- гиперболын фокусуудын хоорондох зайн хагас 𝑐𝑐2
= 𝑎𝑎2
+ 𝑏𝑏2
−
𝑥𝑥2
𝑎𝑎2 +
𝑦𝑦2
𝑏𝑏2 = 1 ийг хосмог гидербол гэнэ.
Жишээлбэл
𝑥𝑥2
16
−
𝑦𝑦2
9
= 1 гиперболыг дүрсэлж фокусуудыг ол.
Бодолт 𝑎𝑎 = 4 𝑏𝑏 = 3 𝑐𝑐2
= 𝑎𝑎2
+ 𝑏𝑏2
= 16 + 9 = 25
1. 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 бол адил талт гипербол гэнэ.
2. Гиперболын фокусуудыг хоорондох зайг бодит тэнхлэгт харьцуулсан
харьцааг түүний эксцентриситет гэнэ.
Эксцентриситетийг 𝜀𝜀 үсгээр тэмдэглэнэ. 𝜀𝜀 =
2𝑐𝑐
2𝑎𝑎
=
𝑐𝑐
𝑎𝑎
гурвалжны хоёр
талын ялгавар нь гуравдахь талаасаа бага байдаг учираас 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐 байна
иймд гиперболын эксцентриситет 𝜀𝜀 > 1 байна.
( )xfy =
( )yxB ;
( )xfy =

4. 3. Хэрэв 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) цэг гипербол дээр байх дурын цэг 𝑟𝑟1 ; 𝑟𝑟2 нь түүнээс
𝐹𝐹1 ; 𝐹𝐹2 фокуусууд хүрэх зайнууд бол 𝑥𝑥 > 0 бол �
𝑟𝑟1 = 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀 ∙ 𝑥𝑥
𝑟𝑟2 = −𝑎𝑎 + 𝜀𝜀 ∙ 𝑥𝑥
байна.
𝑥𝑥 < 0 бол �
𝑟𝑟1 = −𝑎𝑎 − 𝜀𝜀 ∙ 𝑥𝑥
𝑟𝑟2 = 𝑎𝑎 − 𝜀𝜀 ∙ 𝑥𝑥 байна Энэ нь М цэгийн фокусын радиус
4. Гиперболын төвийн хувьд тэгш хэмтэй , бодит тэнхлэгт нь пелпендикуляр
, гиперболын төвөөс
𝑎𝑎
𝜀𝜀
зайд орших хоёр шулууныг гиперболын директрис
гэнэ.
𝑥𝑥 = ±
𝑎𝑎
𝜀𝜀
директрисийн тэгшитгэл.
Теорем Хэрвээ гиперболын дурын цэгээс фокус хүрэх зай r , цэгээс директрис
хүрэх зай d , бол 𝜀𝜀 =
𝑟𝑟
𝑑𝑑
байна.
Жишээлбэл 25𝑥𝑥2
− 16𝑦𝑦2
= 400 гипербол өгсөн бол
1. Хагас тэнхлэгүүдийг ол.
2. Фокусуудыг ол.
3. Эксцентриситетийг ол.
Бодолт
Тэгшитгэлийг
𝑥𝑥2
16
−
𝑦𝑦2
25
= 1 𝑎𝑎 = 4 𝑏𝑏 = 5 𝑐𝑐2
= 𝑎𝑎2
+ 𝑏𝑏2
= 16 + 25 = √41
𝐹𝐹1�√41; 0� 𝐹𝐹2�−√41; 0� 𝜀𝜀 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
=
√41
4
Парабол
Тодорхойлолт : Фокус гэж нэрлэгдэх өгөгдсөн цэг болон директрис хэмээх
өгөгдсөн шулуунаас ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг парабол
гэнэ.
Фокусаас директрис хүрэх зайг 𝑃𝑃 үүнийг параболын параметр гэнэ.
Параболын тэгшитгэлийг гаргахын тулд координатын тэнхлэгүүдийг дараах
байдлаар сонгоё.
𝑥𝑥 = −
𝑝𝑝
2
нь параболын директрис учир 𝐹𝐹 �−
𝑝𝑝
2
; 0� 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑥𝑥 +
𝑝𝑝
2
𝑀𝑀𝑀𝑀 =
��𝑥𝑥 −
𝑝𝑝
2
�
2
+ 𝑦𝑦2
𝑀𝑀𝑀𝑀 нь цэгээс директрист хүрэх зай. 𝑀𝑀𝑀𝑀 нь цэгээс фокус хүрэх зай.
𝑥𝑥 +
𝑝𝑝
2
= ��𝑥𝑥 −
𝑝𝑝
2
�
2
+ 𝑦𝑦2 байхад л цэг өгөгдсөн парабол дээр оршино. үүнийг
параболын тэгшитгэл гэнэ.
Хялбарчилбал хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлэнэ. 𝑦𝑦2
= 2𝑝𝑝𝑝𝑝 параболын
хялбар тэгшитгэл гэнэ. Энэ нь ох тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй
Параболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг фокусын тэнхлэг гэнэ. 𝑥𝑥2
= 2𝑝𝑝𝑝𝑝 нь оу
тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
Параболын дурын цэгээс фокус хүрэх зайг директрис хүрэх зайд харьцуулсан
харьцааг параболын эксцентриситет гэх ба тэр нь ямагт 𝜀𝜀 = 1 байдаг.
Жишээлбэл 𝐹𝐹(−3; 0) фокустай директрисийн тэгшитгэл нь 𝑥𝑥 − 3 = 0 байх
параболын тэгшитгэл бич.
Бодолт 𝐹𝐹 �−
𝑝𝑝
2
; 0� → −
𝑝𝑝
2
= −3 → 𝑝𝑝 = 6 𝑦𝑦2
= 2𝑝𝑝𝑝𝑝 = 12