สรุปและแบบฝึกหัด ตรีโกณมิติ ชั้นม5

1. 1
อัตราสวนตรีโกณมิติฟงกชันตรีโกณมิติ
วงกลม1หนวย
สูตรที่ควรจําของ
ฟงกชันตรีโกณมิติ
•เอกลักษณของ
ฟงกชันตรีโกณมิติ
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
•sinθ
•cosθ
•tanθ
•cotθ
•secθ
•cosecθ
ฟงกชันผลบวกหรือ
ผลตางของมุม
การเปลี่ยนผลคูณของฟงกชันใหอยู
ในรูปผลบวกหรือผลตาง
การเปลี่ยนผลบวกหรือผลตางของ
ฟงกชันใหอยูในรูปผลคูณ
ฟงกชันตรีโกณมิติของมุม2A,3Aกฎของsine,
cosine
การประยุกตของฟงกชันตรีโกณมิติตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ
•arcsinx
•arccosx
•arctanx
•arccotx
•arcsecx
•arccosecx
การแกสมการตรีโกณมิติ
โจทยปญหา
สามเหลี่มมุมฉาก

2. 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ
1.อัตราสวนตรีโกณมิติ
เราสามารถอธิบายอัตราสวนตรีโกณมิติ โดยใชสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราสวนตรีโกณมิติมีอยู 6
อัตราสวน มีสัญลักษณเขียนแทนอัตราสวนทั้ง 6 ดังนี้คือ sin ,cos ,tan ,cot ,θ θ θ θ
secθ และ cosecθ โดยอัตราสวนตางๆ มีความหมายดังนี้
sinθ =
a
c
=
1
cos
sin
c
ec
a
θ
θ
= =
cosθ =
b
c
=
1
s
cos
c
ec
b
θ
θ
= =
tanθ =
a
b
=
1
cot
tan
b
a
θ
θ
= =
a
b
c
θ
2 2 2
c a b= +
ขาม
ฉาก
ชิด
ฉาก
ขาม
ชิด

3. 3
ตัวอยาง เชน
1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีความยาวแตละดานดังนี้ จงหาอัตราสวน
ตรีโกณมิติทั้ง 6 อัตราสวน
วิธีทํา
1) มุม θ
sinθ =
4
5
=
1 5
cos
sin 4
ecθ
θ
= =
cosθ =
3
5
=
1 5
s
cos 3
ecθ
θ
= =
tanθ =
4
3
=
1 3
cot
tan 4
θ
θ
= =
2) มุม ∝
3
sin
5
∝=
5
cos
3
ec ∝=
4
cos
5
∝=
5
s
4
ec ∝=
3
tan
4
∝=
4
cot
3
∝=
3
4
5
θ
∝
ขาม
ฉาก
ชิด
ฉาก
ขาม
ชิด

4. 4
ขอสังเกต
sin cos
cos sin
tan cot
sec cos
cos sec
ec
ec
θ
θ
θ
θ
θ
= ∝
= ∝
= ∝
= ∝
= ∝
2.ฟงกชันตรีโกณมิติ
จากการใชสามเหลี่ยมมุมฉากมาหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติทั้ง 6 อัตราสวน มีขอจํากัดคือ มุม
θ ตองมีคาอยูระหวาง 0 90θ° < < ° คือเปนมุมแหลม แตถาเราใชวงกลม 1 หนวย มาหา
คาอัตราสวนตรีโกณมิติ ขอจํากัดนี้จะหมดไป โดยมีหลักในการหาคาอัตราสวน cosθ และ
sinθ บนวงกลม 1 หนวย ดังนี้
หมายเหตุ วงกลม 1 หนวยคือ วงกลมที่มีจุดศูนยกลางในระบบพิกัดฉาก xy ที่จุด (0,0) และมี
รัศมีเทากับ 1 หนวย
1) ถาเราตองการหาคา cos หรือ sin ของมุมใดๆ ใหลากเสนตรงจากจุด (0,0) ทํามุมกับ
แกน +x เปนมุมเทากับมุมนั้น เชน θ ไปตัดวงกลม 1 หนวยที่จุด 1 1( , )x y
2) คา 1 cosx θ= และ 1 siny θ=
เมื่อ 90θ+ ∝= °
(0,1)
(1,0)
(0,-1)
(-1,0) (0,0)
• 1 1( , ) (cos ,sin )x y θ θ=
θ

5. 5
จากหลักการดังกลาว เราสามารถหา sin หรือ cos ของมุม 0 ,90 ,180° ° ° และ 270°ได
ดังนี้
มุมที่ใชกับวงกลม 1 หนวย นิยมใชเปน เรเดียน วิธีการแปลงมุมจาก องศา เปน เรเดียน มีดังนี้
เชน
1) มุม 90°เทากับ 90
180 2
π π
× = เรเดียน
2) มุม 180°เทากับ 180
180
π
π× = เรเดียน
cos0 1
sin 0 0
° =
° =
(1,0)
•
cos90 0
sin90 1
° =
° =•
(0,1)
90°
180°
(-1,0)
•
cos180 1
sin180 0
° = −
° =
270°
(0,-1)
•
cos270 0
sin 270 1
° =
° = −
180
π
× =(องศา) (เรเดียน)

6. 6
3) มุม 60°เทากับ 60
180 3
π π
× = เรเดียน
4) มุม 135°เทากับ
3
135
180 4
π π
× = เรเดียน ………………เปนตน
หมายเหตุ
คาฟงกชันตรีโกณมิติของมุมที่ควรทราบ
θ เรเดียน sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cosecθ
30°
6
π 1
2
3
2
1
3
3
2
3
2
45°
4
π 1
2
1
2
1 1 2 2
60°
6
π 3
2
1
2
3
1
3
2
2
3
ฟงกชัน sin
โดเมน คือ θ มีหนวยเปนเรเดียน , Rθ ∈
เรนจ คือ sinθ , 1 sin 1θ− ≤ ≤
ฟงกชัน cos
โดเมน คือ θ มีหนวยเปนเรเดียน , Rθ ∈
เรนจ คือ cosθ , 1 cos 1θ− ≤ ≤
1
3
2
30°
60°
1
2
45°
1

7. 7
3.สูตรฟงกชันตรีโกณมิติ
3.1 สูตรการแปลงมุม
•
•
θ
θ
cos ,sin+ +
cos ,sin+ −
..., 4 , 2 ,0,2 ,4 ,...π π π π− −
cos( ) cos
sin( ) sin
θ θ
θ θ
− =
− = −
cos(2 ) cos
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
sin(2 ) sin
π θ θ
π θ θ
π θ θ
π θ θ
− =
− = −
+ =
+ =
•
•
θ
θ
cos ,sin− +
cos ,sin− −
..., 3 , , ,3 ,...π π π π− −
cos( ) cos
sin( ) sin
cos( ) cos
sin( ) sin
π θ θ
π θ θ
π θ θ
π θ θ
− = −
− =
+ = −
+ = −

8. 8
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของ
3
sin tan cos cos
2 2 3
π π π
π+ −
• •
θθ
cos ,sin− + cos ,sin+ +
3 5 9
..., , , , ,...
2 2 2 2
π π π π−
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
π
θ θ
π
θ θ
π
θ θ
π
θ θ
− =
− =
+ = −
+ =
θ θ
cos ,sin− − cos ,sin+ −
3 7 11
..., , , , ,...
2 2 2 2
π π π π−
••
3
cos( ) sin
2
3
sin( ) cos
2
3
cos( ) sin
2
3
sin( ) cos
2
π
θ θ
π
θ θ
π
θ θ
π
θ θ
− = −
− = −
+ =
+ = −
2
π
π
3
2
π
•
•
•
(0,1)
( 1,0)−
(0, 1)−

9. 9
วิธีทํา
3 3 sin
sin tan cos cos sin cos cos
2 2 3 2 cos 2 3
3 0 1
sin tan cos cos ( 1) (0)
2 2 3 1 2
3 3
sin tan cos cos
2 2 3 2
π π π π π π π
π
π
π π π
π
π π π
π
+ − = + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
∴ + − =
2. จงหาคาของ
2 2 2 2
sin tan cos sec 2
4 4 4
π π π
π+ + −
วิธีทํา
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
sin tan cos sec 2 sin tan cos
4 4 4 4 4 4 cos 2
1 1 1
sin tan cos sec 2 (1)
4 4 4 12 2
1 1
sin tan cos sec 2 1 1
4 4 4 2 2
sin tan cos sec 2 1
4 4 4
π π π π π π
π
π
π π π
π
π π π
π
π π π
π
+ + − = + + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + − = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + − = + + −
∴ + + − =
3. จงหาคาของ
9
sin
4
π
วิธีทํา
หาคามุม
9
4
π
บนวงกลม 1 หนวย……………..
9
2
4 4
π π
π= +
2π
(1,0)
•

10. 10
9 1
sin sin(2 ) sin
4 4 4 2
π π π
π∴ = + = =
4. จงหาคาของ
25
tan
6
π
วิธีทํา
หาคามุม
25
6
π
บนวงกลม 1 หนวย……………..
25
4
6 6
π π
π= +
25 1
tan tan(4 ) tan
6 6 6 3
π π π
π∴ = + = =
5. จงหาคาของ
2 7 5
sin tan cos cot
3 6 6 3
π π π π−⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
วิธีทํา
2π
1 1
( , )
2 2
•
4
π
4π
3 1
( , )
2 2
6
π •

11. 11
2 7 5
sin tan cos cot
3 6 6 3
π π π π−⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
sin( )tan( ) cos cot( 2 )
3 6 6 3
sin tan cos cot
3 6 6 3
3 1 3 1
2 23 3
1 1
2 2
1
π π π π
π π π
π π π π
= − + + − +
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
=
6. จงหาคาของ
cos (90 )cos(180 )sin(90 )
cot(270 )tan(360 )sec(180 )
ec A A A
A A A
°− °+ °+
°+ °+ °−
วิธีทํา
cos (90 )cos(180 )sin(90 )
cot(270 )tan(360 )sec(180 )
ec A A A
A A A
°− °+ °+
°+ °+ °−
s ( cos )cos
tan tan ( sec )
cos cos
sin sin
cos cos
ecA A A
A A A
A A
A A
A A
−
=
− −
=
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
3
π
π −
3
π
π
6
π
π +
π 2π−
2
3
π
π− +
6
π 3
π

12. 12
2 2
2
2 2
cos cos
sin
cos cot
A A
A
A A
= −
= −
3.2 สูตรเอกลักษณของตรีโกณมิติ
จากสมการวงกลม 1 หนวย คือสมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (0,0) และมีรัศมี 1 หนวย
2 2
1x y+ =
แทน cosx θ= และ siny θ=
2 2
cos sin 1.............(1)θ θ+ =
จากสมการ (1) หารตลอดดวย
2
cos θ
2 2
2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1
cos cos
cos sin 1
cos cos cos
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ
+
=
+ =
2 2
1 tan sec ,cos 0θ θ θ+ = ≠
จากสมการ (1) หารตลอดดวย
2
sin θ
2 2
2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1
sin sin
cos sin 1
sin sin sin
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ
+
=
+ =

13. 13
2 2
cot 1 sec ,sin 0coθ θ θ+ = ≠
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคา
2 2 2 25 5 5 7
cos sin sin cos
12 6 12 6
π π π π
+ + +
วิธีทํา
2 2 2 25 5 5 7
cos sin sin cos
12 6 12 6
π π π π
+ + +
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
5 5 5 7
(cos sin ) sin cos
12 12 6 6
5 7
1 sin cos
6 6
1 sin ( ) cos ( )
6 6
1 sin cos
6 6
1 sin cos
6 6
1 1 2
π π π π
π π
π π
π π
π π
π π
= + + +
= + +
= + − + +
⎛ ⎞
= + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + +
= + =
4.กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ มีลักษณะเปนคาบ คือ ประกอบไปดวยชวงยอยๆที่มีลักษณะ
เหมือนกัน เราเรียกวา “ฟงกชันที่เปนคาบ” (periodic function)
4.1 กราฟของฟงกชัน sin [y=f(x)=sin x]
มีลักษณะดังนี้
2π− 3
2
π− π−
2
π−
2
π π 3
2
π 2π

14. 14
กราฟประกอบไปดวยสวนสําคัญดังนี้
1) กราฟตัดแกน x ที่จุด ..., 2 , ,0, ,2 ,...π π π π− − เพราะวาที่คา x เทากับมุม
เหลานี้ คา sin x=0
sin 0nπ = เมื่อ n I∈
2) โดเมนของฟงกชัน sin คือ x R∈
3) เรนจของฟงกชัน sin คือ [ ]1,1y∈ −
4) คาบ คือ ชวงของสวนยอยที่มีลักษณะซ้ําๆ เทากับ 2π
5) แอมปลิจูด เทากับ 1
6) เราสามารถหาชวงฟงกชันเพิ่มหรือลดของฟงกชัน sin ได เชน
ชวง ,
2
π
π
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันเพิ่ม
ชวง
3
,
2 2
π π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันลด………………เปนตน
4.2 กราฟของฟงกชัน cos [y=f(x)=cos x]
มีลักษณะดังนี้
กราฟประกอบไปดวยสวนสําคัญดังนี้
1) กราฟตัดแกน x ที่จุด
3 3
..., , , , ,...
2 2 2 2
π π π π− −
เพราะวาที่คา x เทากับมุม
เหลานี้ คา cos x=0
cos(2 1) 0
2
n
π
− = เมื่อ n I∈
2) โดเมนของฟงกชัน cos คือ x R∈
2π− 3
2
π− π−
2
π−
2
π π 2π3
2
π

15. 15
3) เรนจของฟงกชัน cos คือ [ ]1,1y∈ −
4) คาบ เทากับ 2π
5) แอมปลิจูด เทากับ 1
6) เราสามารถหาชวงฟงกชันเพิ่มหรือลดของฟงกชัน cos ได เชน
ชวง ( ),0π− เปนฟงกชันเพิ่ม
ชวง ( )0,π เปนฟงกชันลด………………เปนตน
4.3 กราฟของฟงกชัน tan [y=f(x)=tan x]
มีลักษณะดังนี้
กราฟประกอบไปดวยสวนสําคัญดังนี้
1) กราฟตัดแกน x ที่จุด ..., 2 , ,0, ,2 ,...π π π π− − เพราะวาที่คา x เทากับมุม
เหลานี้ คา tan x=0
tan 0nπ = เมื่อ n I∈
2) โดเมนของฟงกชัน tan คือ (2 1) ,
2
x n n I
π
≠ − ∈
3) เรนจของฟงกชัน tan คือ y R∈
4) คาบ คือ ชวงของสวนยอยที่มีลักษณะซ้ําๆ เทากับ π
5) กราฟของฟงกชัน tan มีแตชวงของฟงกชันเพิ่ม เชน
ชวง
3
,
2 2
π π− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
3
,
2 2
π π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
………………เปนตน
2π− 3
2
π− π−
2
π−
2
π π 2π3
2
π

16. 16
4.4 กราฟของฟงกชัน sec [y=f(x)=sec x]
มีลักษณะดังนี้
กราฟประกอบไปดวยสวนสําคัญดังนี้
1) กราฟไมตัดแกน x
2) โดเมนของฟงกชัน sec คือ (2 1) ,
2
x n n I
π
≠ − ∈
3) เรนจของฟงกชัน sec คือ ( ] [ ), 1 1,y∈ −∞ − ∪ ∞
4) คาบของฟงกชัน sec เทากับ 2π
5) กราฟมีชวงที่เปนทั้งฟงกชันเพิ่ม และฟงกชันลด เชน
ชวง
3
2 ,
2
π
π
−⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันเพิ่ม
ชวง
3
,2
2
π
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันลด……………..เปนตน
2π− 3
2
π− π−
2
π−
2
π π 2π3
2
π

17. 17
4.5 กราฟของฟงกชัน cosec [y=f(x)=cosec x]
มีลักษณะดังนี้
กราฟประกอบไปดวยสวนสําคัญดังนี้
1) กราฟไมตัดแกน x
2) โดเมนของฟงกชัน cosec คือ ,x n n Iπ≠ ∈
3) เรนจของฟงกชัน cosec คือ ( ] [ ), 1 1,y∈ −∞ − ∪ ∞
4) คาบของฟงกชัน cosec คือ 2π
5) ฟงกชัน cosec มีทั้งชวงที่เปนฟงกชันเพิ่ม และฟงกชันลด เชน
ชวง
3
,
2 2
π π− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันเพิ่ม
ชวง ,0
2
π−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันลด……………..เปนตน
2π− 3
2
π− π−
2
π−
2
π π 2π3
2
π
1
1−

18. 18
4.6 กราฟของฟงกชัน cot [y=f(x)=cot x]
มีลักษณะดังนี้
กราฟประกอบไปดวยสวนสําคัญดังนี้
1) กราฟตัดแกน x ที่จุด
3 3
..., , , , ,...
2 2 2 2
π π π π− −
เพราะวาที่คา x เทากับมุม
เหลานี้ คา cot x=0
cot(2 1) 0
2
n
π
− = เมื่อ n I∈
2) โดเมนของฟงกชัน cot คือ ,x n n Iπ≠ ∈
3) เรนจของฟงกชัน cot คือ y R∈
4) คาบ คือ ชวงของสวนยอยที่มีลักษณะซ้ําๆ เทากับ π
5) กราฟของฟงกชัน tan มีแตชวงของฟงกชันเพิ่ม เชน
ชวง ( )2 ,π π− − , ( )0,π ………………เปนตน
ตัวอยาง เชน
1. ให 2 3sin 4y x= + จงหาคาบและแอมพลิจูดของฟงกชัน
วิธีทํา ลองวาดกราฟของ 2 3sin 4y x= +
2 3 sin 4y x− =
2π− 3
2
π− π−
2
π−
2
π π 2π3
2
π
หาคาบ 4 2x π⇒ =
2
x
π
=
คาบเทากับ
2
π
แอมปลิจูดเทากับ 3

19. 19
2. ถา 0 2x π≤ ≤ ชวง x ที่ทําให sin cos 0x x− ≤ คือชวงใด
วิธีทํา
sin cos 0
sin cos
x x
x x
− ≤
≤
จากกราฟ ชวงที่ sin cosx x≤ คือ 0,
4
π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
หรือ
5
,2
4
π
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
5
2
π π
1−
2
2π− 3
2
π− π−
2
π−
2
π 2π3
2
π
cosy x= siny x=

20. 20
แบบฝกหัด
1. จงหาคําตอบตอไปนี้
1.1) 0 ..............rad° =
1.2) 90 ..............rad° =
1.3) 180 ..............rad° =
1.4) 270 ..............rad° =
1.5) 360 ..............rad° =
1.6) 30 ..............rad° =
1.7) 60 ..............rad° =

21. 21
1.8) 120 ..............rad° =
1.9) 225 ..............rad° =
1.10)
5
..............
6
rad
π
° =
1.11)
7
..............
6
rad
π
° =
1.12)
3
..............
4
rad
π
° =
1.13)
9
..............
4
rad
π
° =
1.14)
2
..............
3
rad
π
° =
1.15)
7
..............
3
rad
π
° =

22. 22
2. นํากรวยกระดาษซึ่งมีเสนผาศูนยกลางของฐานยาว 4 นิ้ว สูงเอียง 1 ฟุต มาคลี่ออกเปนรูป
สามเหลี่ยมฐานโคง จงหาวามุมยอดของสามเหลี่ยมฐานโคงนี้มีคากี่องศา
3. ถารูปของสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งมีความสูง 1 หนวย แลวดานของสามเหลี่ยมรูปนี้มี
ความยาวรอบรูปเทากับเทาใด

23. 23
4. กําหนดใหสามเหลี่ยม ABC เปนสามเหลี่ยมที่มีมุม B เปนมุมฉาก ถา
12
cot
5
A =
จงหาคาของ sin , cos , 5cos 12secA A ecA A−
5. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
ก) sin 21 cos69° = °
ข) sin 21 cos21° = °
ค) cos21 tan 21° = °
ง) tan 21 cos69° = °

24. 24
6. ถา
3
sin
5
θ = และ 0
2
π
θ≤ ≤ จงหาคาของ cos tanθ θ+
7. ถา
3
cos
5
θ = และ 0
2
π
θ≤ ≤ จงหาคาของ sec cosecθ θ+

25. 25
8. ให ABC เปนสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และดาน BC ยาว 3 นิ้ว ถา D เปนจุด
บนดาน AC โดยที่ 70BDC∠ = ° และ 10ABD∠ = ° แลวดาน AB ยาว
เทากับเทาใด
9. ให ABC เปนสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน BC ยาวเทากับ 5 3 หนวย
และดาน AB ยาวเทากับ 10 หนวย ถาลากเสนตรงจากจุด C ไปตั้งฉากกับดาน AB ที่
จุด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากับเทาใด

26. 26
10. กําหนดใหสามเหลี่ยม ABC เปนสามเหลี่ยมที่มีมุม B เปนมุมฉาก มีมุม A เทากับ 30°
และมีพื้นที่เทากับ 6 3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากับเทาใด
11. กําหนดใหสามเหลี่ยม ABC เปนสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และ
2
cos
3
B =
ถาดาน BC ยาว 4 หนวย แลวพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เทากับเทาใด

27. 27
12. จงหาคาตอไปนี้
12.1) sin0°
12.2) sin90°
12.3) sin 270°
12.4)
3
cos
2
π
12.5)
5
cos
2
π
12.6)
5
sin
6
π
12.7)
7
cos
6
π

28. 28
12.8)
11
sin
4
π
12.9)
3
cos
4
π
12.10)
7
tan( )
4
π
−
12.11)
10
sin
3
π
12.12)
5
cos
3
π
12.13)
4
tan( )
3
π
−
12.14) tan 480°

29. 29
12.15) tan( 570 )− °
12.16) sec150°
12.17) sec( 240 )− °
12.18) cos ( 315 )ec − °
12.19) cos(2 )
2
π
π +
12.20) sin(4 )
6
π
π +
12.21) cos(6 )
2
π
π −
12.22) cos(7 )
4
π
π −

30. 30
12.23) sin( )
2 4
π π
+
12.24)
3
sin( )
2 4
π π
+
12.25)
5
sin( )
2 4
π π
−
12.26) sin( )
3
π
π−
12.27) tan( )
6 2
π π
−
12.28) tan( )
6
π
π+

31. 31
13. จงหาคาของ
21 3 21 3
sin( )cos( ) cos( )sin( )
4 4 4 4
π π π π
π π− + −
14. จงหาคาของ
2
cot( 2 )sec( )
4 3 2
π π π
π− −

32. 32
15. จงหาคา sin ของสวนโคงที่ยาว 18.84 หนวย (กําหนดให 3.14π ≈ )
16. จงหาคาของ tan380° เมื่อกําหนดให tan 20 0.3640° =
17. ถา A และ B อยูในชวง ,
2
π
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
จงหาวาคาของ
2 2
sin cosA B+ มีคาไดมาก
ที่สุดเทากับเทาใด

33. 33
18. ถาแบงวงกลม 1 หนวย ออกเปน 6 สวนเทาๆกัน แตละสวนเรียกวาเซกเตอร ถาลงสีบน
เซกเตอรหนึ่ง จงหาพื้นที่ของเซกเตอรดังกลาว
19. จงหาคาของ 2 2 2 2 2 2
cos 35 sec 70 cos 47 sin 35 tan 70 cot 47ec°+ °− °+ °− + °

34. 34
20. จงหาคาของ
2 2 2
2 2
sin ( 253 ) cos (287 ) sin (323 )
1 sin (217 ) cos (37 )
− ° + ° °
−
− ° °
21. จงหาคาของ
2 2
sin sin( ) cos cos( )
2 2
π π
θ θ θ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

35. 35
22. เมื่อ 0
2
π
θ< < คาของ θ กับ sinθ คาใดมีคามากกวากัน
23. จงหาคาของ
sin(2 )tan( )cot(3 )
cot(2 )tan( )
π θ π θ π θ
π θ π θ
− − −
+ +

36. 36
24. ถา θ มีคามากขึ้นจาก
2
π
ไปสู π แลวคาของ cosecθ มีคาเปนอยางไร
25. จงหาคาบและแอมปลิจูดของฟงกชันตรีโกณมิติตอไปนี้
25.1) 4siny x=
25.2) 4cos(2 ) 4
2
y x
π
= − +
25.3) 6sin(5 ) 1
2
y x
π
= + −

37. 37
25.4) 3tan
2
x
y = −
25.5)
1 1
cos ( )
4 3 6
y ec x
π
= +
25.6)
1
sec(2 ) 1
2 3
y x
π
= − +
25.7) 2cot(3 )
6
y x
π
π= +

38. 38
5.ฟงกชันของผลบวกหรือผลตางของมุม
เชน sin( ),sin( ),cos( ),cos( )A B A B A B A B+ − + − เปนตน
สูตรมีดังนี้
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
A B A B A B
A B A B A B
+ = +
− = −
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
A B A B A B
A B A B A B
+ = −
− = +
tan tan
tan( )
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
A B
A B
A B
A B
A B
A B
+
+ =
−
−
− =
+
ตัวอยาง เชน
1. กําหนดให
1
tan
7
A = เมื่อ 0
2
A
π
< < และ
1
sin
10
B = เมื่อ
2
B
π
π< < จงหา sin( ) cos( )A B A B+ + −
วิธีทํา

39. 39
1) จาก
sin( ) cos( ) sin cos cos sin cos cos sin sinA B A B A B A B A B A B+ + − = + + +
(sin cos sin sin ) (cos sin cos cos )
sin [cos sin ] cos [sin cos ]
[cos sin ][sin cos ]
A B A B A B A B
A B B A B B
B B A A
= + + +
= + + +
= + +
2) หาคา sinA,cosA,sinB,cosB
2.1) 0
2
A
π
< <
2.2)
2
B
π
π< <
3) หา sin(A+B)+cos(A-B)
จาก sin(A+B)+cos(A-B)=[cosB+sinB][sinA+cosA]
3 1 1 7
[ ][ ]
10 10 5 2 5 2
2 8
10 5 2
8
5 5
−
= + +
−⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
−
=
1
5 2
7
1
sin
5 2
A =
7
cos
5 2
A =
1
10
3
A
B′
⇒
⇒
1
sin
10
B =
3
cos
10
B
−
=

40. 40
2. จงหาคาของ tan15° และ tan75°
วิธีทํา
1) tan15 tan15 tan(45 30 )° ⇒ ° = °− °
tan 45 tan30
1 tan 45 tan30
1
1
3
1
1
3
3 1
3 1
°− °
=
+ ° °
−
=
+
−
=
+
2) tan75 tan75 tan(45 30 )° ⇒ ° = °+ °
tan 45 tan30
1 tan 45 tan30
1
1
3
1
1
3
3 1
3 1
°+ °
=
− ° °
+
=
−
+
=
−
3. จงหาคาของ
2 2 2
cos cos (60 ) cos (60 )A A A+ + + −
วิธีทํา
1) หา cos(60 ),cos(60 )A A+ −

41. 41
cos(60 ) cos60cos sin 60sin
1 3
cos sin
2 2
cos(60 ) cos60cos sin 60sin
1 3
cos sin
2 2
A A A
A A
A A A
A A
+ = −
= −
− = +
= +
2)
2 2 2
cos cos (60 ) cos (60 )A A A+ + + −
2 2 2
2
2 2
2
2
1 3 1 3
cos [ cos sin ] [ cos sin ]
2 2 2 2
cos 1 3 3
cos [ 2 cos sin sin ]
4 2 2 4
cos 1 3 3
[ 2 cos sin sin ]
4 2 2 4
A A A A A
A
A A A A
A
A A A
= + − + +
⎛ ⎞⎛ ⎞
= + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2
2 2 2
2 2
cos cos 3 3
cos sin sin
4 4 4 4
3 3
cos sin
2 2
A A
A A A
A A
= + + + +
= +
2 23
[cos sin ]
2
3
2
A A= +
=
6.การเปลี่ยนผลคูณของฟงกชันใหอยูในรูปผลบวกหรือผลตางของมุม
2sin cos sin( ) sin( )
2cos sin sin( ) sin( )
A B A B A B
A B A B A B
= + + −
= + − −
2cos cos cos( ) cos( )
2sin sin cos( ) cos( )
A B A B A B
A B A B A B
= + + −
= − − +

42. 42
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของsin 45 cos15° °
วิธีทํา
2sin 45 cos15
sin 45 cos15
2
° °
° ° =
sin(45 15 ) sin(45 15 )
2
sin60 sin30
2
3 1
2 2
2
3 1
4
°+ ° + °− °
=
°+ °
=
+
=
+
=
2. จงหาคาของ sin75 cos15° °
วิธีทํา
2sin75 sin15
sin75 cos15
2
° °
° ° =
cos(75 15 ) cos(75 15 )
2
cos60 cos90
2
1
0
2
2
1
4
°− ° − °+ °
=
°− °
=
−
=
=

43. 43
7.การเปลี่ยนผลบวกและผลตางของฟงกชันใหอยูในรูปผลคูณ
sin sin 2sin( )cos( )
2 2
sin sin 2cos( )sin( )
2 2
A B A B
A B
A B A B
A B
+ −
+ =
+ −
− =
cos cos 2cos( )cos( )
2 2
cos cos 2sin( )sin( )
2 2
A B A B
A B
A B A B
A B
+ −
+ =
+ −
− = −
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของ
sin75 sin15
cos75 cos15
°− °
°+ °
วิธีทํา
75 15 75 15
2cos( )sin( )
sin75 sin15 2 2
75 15 75 15cos75 cos15 2cos( )cos( )
2 2
2cos45 sin30
2cos45 cos30
sin30
cos30
°+ ° °− °
°− °
=
°+ ° °− °°+ °
° °
=
° °
°
=
°
tan30
1
3
= °
=

44. 44
8.ฟงกชันตรีโกณมิติที่มีมุมเทากับ2A,3A
มุม 2A
sin 2 2sin cosA A A=
2 2
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
A A A
A
A
= −
= −
= −
2
2tan
tan 2
1 tan
A
A
A
=
−
จากสูตรมุม 2
2
A
A ⇒
2
2
2
2
cos2 2cos 1
cos2 1 2cos
cos2 1
cos
2
cos 1
cos ( )
2 2
A A
A A
A
A
A A
= −
+ =
+
=
+
=
มุม 3A
3
3
cos3 4cos 3cos
sin3 3sin 4sin
A A A
A A A
= −
= −
ตัวอยาง เชน
1. ถา tan 5A = จงหาคาของ
sin 2 cos2 1
sin 2 cos2 1
A A
A A
− +
+ +
วิธีทํา
2
2
2
2
cos2 1 2sin
2sin 1 cos2
1 cos2
sin
2
1 cos
sin
2 2
A A
A A
A
A
A A
= −
= −
−
=
−⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠

45. 45
2
2
2
2
sin 2 cos2 1 2sin cos [1 2sin ] 1
sin 2 cos2 1 2sin cos [2cos 1] 1
2sin cos 2sin
2sin cos 2cos
sin [cos sin ]
cos [sin cos ]
A A A A A
A A A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
− + − − +
=
+ + + − +
+
=
+
+
=
+
sin
cos
tan
5
A
A
A
=
=
=
2. จงหาคาของ tan 2 (cot 1)(cot 1)θ θ θ+ −
วิธีทํา
2
2
2 2
2
2 2
2tan
tan 2 (cot 1)(cot 1) [cot 1]
1 tan
2tan 1
[ 1]
1 tan tan
2tan 1 tan
[ ]
1 tan tan
θ
θ θ θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
+ − = −
−
= −
−
−
=
−
2
2tan
tan
θ
θ
=
2
tan
2cot
θ
θ
=
=
3. จงหาคาของcos30° โดยใชสูตรมุม 3 เทา
วิธีทํา

46. 46
3
3
2
cos90 cos(3 30 )
0 4cos 30 3cos30
4cos 30 3cos30 0
cos30 [4cos 30 3] 0
cos30 [2cos30 3][2cos30 3] 0
3 3
cos30 0, ,
2 2
° = × °
= °− °
°− ° =
° °− =
° − + =
−
∴ =
4. ถา tan
2
A
t= เมื่อ 0 A π< < จงหาคา sin tanA A+
วิธีทํา
1) 2
2tan
2sin tan 2sin cos
2 2 1 tan
2
A
A A
A A
A
+ = +
−
2) หาคาของ sin ,cos
2 2
A A
3) 2
2tan
2sin tan 2sin cos
2 2 1 tan
2
A
A A
A A
A
+ = +
−
เลือกคานี้
2
1 t+ t
1
2
2
sin
2 1
1
cos
2 1
A t
t
A
t
⇒ =
+
=
+

47. 47
22 2
2 2
2 2
2 2
3 3
4
4
1 2
2
11 1
2 2
1 1
2 (1 ) 2 (1 )
(1 )(1 )
2 2 2 2
(1 )
4
(1 )
t t
tt t
t t
t t
t t t t
t t
t t t t
t
t
t
= +
−+ +
= +
+ −
− + +
=
+ −
− + +
=
−
=
−
9.กฎของ sine และ cosine
กําหนดสามเหลี่ยม ABC เปนสามเหลี่ยมใดๆในระนาบที่มีขนาดดังรูป
กฎของ sine
sin sin sin
a b c
A B C
= =
กฎของ cosine
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
ตัวอยาง เชน
1. ถาความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเทากับ
2 2
, ,x y x xy y+ +
ตามลําดับแลว รูปสามเหลี่ยมรูปนี้มีลักษณะอยางไร
วิธีทํา

48. 48
จากกฎของ cosine
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2( )( )cos
( ) 2 cos
2 cos
2 cos
1
cos
2
120
BC AB AC AB AC
x xy y x y xy
x xy y x y xy
xy xy
θ
θ
θ
θ
θ
θ
= + −
+ + = + −
+ + = + −
= −
−
=
= °
∴สามเหลี่ยมรูปนี้เปนสามเหลี่ยมมุมปาน
2. รูปสามเหลี่ยม ABC ถา 30A = ° ดาน BC ยาว 2 ซม. และดาน AC ยาว 3
ซม. แลว จงหาคา 4sin3B
วิธีทํา
1) หา sin B ………. จากกฎของ sine
2)หา 4sin3B
3
4sin3 4(3sin 4sin )B B B= −
2 2
x xy y+ +
x
y
θ
B
C
A
A B
C
30°
30°
θ
3
2
3 3
sin sin 30
sin 30 3
sin
2
3
sin
4
θ
θ
θ
=
°
°×
=
∴ =

49. 49
3
3
12sin 16sin
3 3
12( ) 16( )
4 4
27
9
4
9
4
B B= −
= −
= −
=
3) ABCD เปนที่ดินรูปสี่เหลี่ยม มีดาน AD=DC มุม ADC เปนมุมฉาก มุม ABC=30
ดาน AB=40 วา ดาน CB=20 วา พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD เทากับเทาใด
วิธีทํา
1) หา พ.ท. สามเหลี่ยม ABC จาก
sin30
20sin30
10
CE CB
CE
CE
= °
= °
∴ =
∴พื้นที่
1
( )( )
2
ABC AB CE=
1
(40)(10)
2
200
=
=
2) หา พ.ท. สามเหลี่ยม ADC
2.1) หาดาน AC
2 2 2
2 2 2
2( )( )cos
20 40 2(20)(40)cos30
AC CB AB CB AB B
AC
= + −
= + − °
A B
C
D
E
40
20

50. 50
2
2
3
400 1600 1600
2
2000 800 3
AC
AC
⎛ ⎞
= + − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
2.2) หาดาน AD
2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2000 800 3
2
1000 400 3
1000 400 3
AD DC AC
AD AC
AC
AD
AD
AD
AD
+ =
=
=
−
=
= −
∴ = −
2.3) พื้นที่สามเหลี่ยม ADC
1
( )( )
2
AD DC=
2
2
1
( )( )
2
1
( )
2
1
( 1000 400 3)
2
1000 400 3
2
500 200 3
AD AD
AD
=
=
= −
−
=
= −
3) หาพื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD
พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD = พื้นที่ ABC + พื้นที่ ADC
(200) (500 200 3)
700 200 3
= + −
= −

51. 51
4. ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีดาน AC และ BC ยาว 3.2 และ 2.4 เมตร ตามลําดับ
มุม ACB เทากับ 75°ความยาวของ AB คือ
วิธีทํา จากกฎของ cosine
2 2 2
2 2 2
2
2
2( )( )cos
(3.2) (2.4) 2(2.4)(3.2)cos75
10.24 5.76 15.36cos75
16 15.36cos75
AB AC BC BC AC C
AB
AB
AB
= + −
= + − °
= + − °
= − °
……หา cos75°
cos75 cos(45 30 )
cos75 cos30 cos45 sin30 sin 45
3 1 1 1
cos75
2 2 2 2
3 1
cos75 0.26
2 2
° = °+ °
° = ° °− ° °
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
° = ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
−
° = ≈
2
2
16 15.36(0.26)
12.0064
12.0064
3.465
AB
AB
AB
AB
= −
=
=
∴ =
B
C A
2.4
3.2
75°

52. 52
10.การประยุกตของฟงกชันตรีโกณมิติ
คือการนําคุณสมบัติของฟงกชันตรีโกณมิติมาใชในการแกปญหาเกี่ยวกับการหาระยะทางที่
เกี่ยวของกับรูปสามเหลี่ยม ตัวอยาง เชน
1. A และ B เปนจุด 2 จุด บนพื้นดินที่มีระยะหางกัน 60 เมตร เสาธงตนหนึ่งตั้งอยู
ระหวางจุด A และ จุด B โดยที่จุด A,จุดโคนเสาธง และจุด B ทั้ง 3 จุดอยูใรแนว
เสนตรงเดียวกัน ที่จุด A และ B มองยอดเสาธงเปนมุมเงย 60° และ30° ตามลําดับ
อยากทราบวาเสาธงตนนี้สูงเทาใด
วิธีทํา
cos60
60cos60
1
60
2
30
AD AB
AD
AD
AD
= °
= °
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ =
sin 60
30sin 60
3
30
2
15 3
DC AD
DC
DC
DC
= °
= °
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ =
∴เสาธงตนนี้สูง 15 3 เมตร
D
A BC
60m
60° 30°

53. 53
2. นายดํายืนอยูบนสนามแหงหนึ่ง มองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60°แตเมื่อเดินตรงเขาไป
หาเสาธงอีก 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 75° ในขณะที่เขามองยอดเสา
ธงเปนมุมเงย 60°นั้น เขายืนหางจากเสาธงเทาใด
วิธีทํา จาก tan 60
CB
AB
= °
tan 60
3
CB
AB
y
AB
=
°
∴ =
จาก tan 75
CB
DB
= °
tan 75
tan 75
CB
DB
y
DB
=
°
∴ =
°
หา tan75 tan(30 45 )° = °+ °
C
BA
20 x
60° 75°
y

54. 54
tan30 tan 45
1 tan30 tan 45
1
1
3
1
1 (1)
3
3 1
3 1
°+ °
=
− ° °
+
=
−
+
=
−
3 1
3 13 1
3 1
y
DB y
⎛ ⎞−
∴ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ++ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
20
3 1
20
3 3 1
1 3 1
20
3 3 1
( 3 1) 3 3
20
3( 3 1)
2 3 2
20
3( 3 1)
10( 3 1)( 3)
( 3 1)
AB DB
y
y
y
y
y
y
− =
⎛ ⎞−
− =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞−
− =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − +
=⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞−
=⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
+
∴ =
−
จาก………..
3 1
3 1
DB y
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

55. 55
3 1 (10)( 3 1)( 3)
3 1 ( 3 1)
10 3
DB
DB
⎛ ⎞⎛ ⎞− +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠
∴ =
20 20 10 3AB DB∴ = + = +
3. จากรูป จงหา PT
วิธีทํา
1) หา RT และ QT ในรูปของ x
จาก tan60
x
RT
° =
tan60 3
x x
RT = =
°
จาก tan 45
x
QT
° =
tan 45
x
QT x= =
°
2) หาคา x จากสมการ
P
Q T
45° 60°
R

56. 56
110
3
1
110 [1 ]
3
[ 3 1]
110
3
( 3)(110)
( 3 1)
QR QT RT
x
x
x
x
x
= −
= −
= −
−
=
∴ =
−
4. จากรูปกําหนดใหพื้นที่ 20ABC = ตารางหนวย AB ยาว 10 หนวย ,
120CBE∠ = ° และ 90CDB∠ = ° จงหาความยาวของ BD และ BC
ตามลําดับ
วิธีทํา
1) หาความยาว CD
จากพื้นที่
1
( )( )
2
1
20 (10)( )
2
20 5( )
4
ABC AB CD
CD
CD
CD
= ×
=
=
∴ =
C
A
D B
120°60°
10

57. 57
2) หา DB จาก
tan60
4
3
4
3
CD
DB
DB
DB
° =
=
∴ =
3) หา BC จาก
sin60
sin60
4
sin60
4 8
3 3
2
CD
BC
CD
BC
BC
BC
° =
=
°
=
°
∴ = =
5. จงหา BD
วิธีทํา
1) หา BO จาก
C
D
OB
A
16
25
30° 60°

58. 58
16
tan30
16
tan30
16
1
3
16 3
AB
BO BO
BO
BO
BO
° = =
=
°
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ =
2) หา OD
25
tan60
25
tan60
25
3
25 3
3
CD
OD OD
OD
OD
OD
° = =
=
°
=
∴ =
3) BD BO OD= +
25 3
16 3
3
48 3 25 3
3
73 3
3
= +
+
=
=

59. 59
6. จากรูป จงหา EB
วิธีทํา
1.) หา DB
จาก
96
3
96
3
96 3
3
32 3
DB
DB
DB
DB
=
=
=
∴ =
A
E
B
C
D
30°
60°
96 .m
x
60°
D B
A
96
tan60
AB
DB
° =

60. 60
2) หา AE
จาก
1
3 32 3
32 3
3
32
AE
AE
AE
=
=
∴ =
3) หา EB จาก
96 32
64
EB AB AE
EB
EB
= −
= −
∴ =
11.ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ
ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติมี 6 ตัว เหมือนกับฟงกชันตรีโกณมิติ คือ
arcsiny x= มีความหมายเดียวกับ sinx y=
arccosy x= มีความหมายเดียวกับ cosx y=
arctany x= มีความหมายเดียวกับ tanx y=
arccoty x= มีความหมายเดียวกับ cotx y=
arcsecy x= มีความหมายเดียวกับ secx y=
arccosy ecx= มีความหมายเดียวกับ secx co y=
สิ่งที่ตองใหความสําคัญ คือ การพิจารณาชวงของโดเมนและเรนจของฟงกชันผกผันทั้ง 6 ดังนี้
30°
C E
A
32 3
tan30
AE
CE
° =

61. 61
11.1 ฟงกชัน y=arcsin x
ชวงของโดเมน คือ [ 1,1]−
ชวงของเรนจ คือ [ , ]
2 2
π π
−
11.2 ฟงกชัน y=arccos x
ชวงของโดเมน คือ [ 1,1]−
ชวงของเรนจ คือ [0, ]π
2
π−
2
π
11−
2
π
π
11−

62. 62
11.3 ฟงกชัน y=arctan x
ชวงของโดเมน คือ ( , )−∞ ∞
ชวงของเรนจ คือ ( , )
2 2
π π
−
11.4 ฟงกชัน y=arccot x
ชวงของโดเมน คือ ( , )−∞ ∞
ชวงของเรนจ คือ (0, )π
11.5 ฟงกชัน y=arcsec x
2
π−
2
π
2
π
π
2
π
π
1− 1

63. 63
ชวงของโดเมน คือ ( , 1] [1, )−∞ − ∪ ∞
ชวงของเรนจ คือ [0, ) ( , ]
2 2
π π
π∪
11.6 ฟงกชัน y=arccosec x
ชวงของโดเมน คือ ( , 1] [1, )−∞ − ∪ ∞
ชวงของเรนจ คือ [ ,0) (0, ]
2 2
π π
− ∪
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของ
120
sin(arctan )
119
วิธีทํา
1) วาดสามเหลี่ยม
จาก
120 120
arctan tan
119 119
θ θ= ⇒ =
2) หาคา
120
sin(arctan )
119 จากสามเหลี่ยม ซึ่งก็คือหาคา sinθ
2
π−
2
π
1
1−
120
119
169
2 2 2
(169 120 119 )= −
θ

64. 64
120
sin
169
θ =
120 120
sin(arctan )
119 169
∴ =
2. จงหาคาของ
1 1
sin(arcsin arccos )
2 2
+
วิธีทํา
1) ให
1
arcsin
2
θ = และ
1
arccos
2
α =
2)
1 1
sin(arcsin arccos ) sin( )
2 2
θ α+ = +
sin cos sin cos
1 1 3 3
2 2 2 2
1 3
4 4
1
θ α α θ= +
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
3. จงหาคาของ
1 1
2arctan arctan
3 7
+
วิธีทํา
1) ให
1
arctan
3
θ = และ
1
arctan
7
α =
1
3
2
θ
3
1
2
α

65. 65
2) หาคา
tan 2 tan
tan(2 )
1 tan 2 tan
θ α
θ α
θ α
+
+ =
−
2
2
2
2
2tan
tan
1 tan
2tan
1 tan
1 tan
1
2
13
71
1
3
1
2
13
1
71
1
3
2
13
8 7
9
2
131
8 7
9
3 1
4 7
3 1
1
4 7
1
θ
α
θ
θ
α
θ
+
−=
−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞⎝ ⎠− ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠=
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
=
2 45θ α∴ + = °

66. 66
3)
1 1
2arctan arctan 45
3 7 4
π
+ = ° =
4. กําหนดให
2
2arcsin arcsin(2 1 )
3
a a a
π
+ − =
จงหาคาของ arcsin a
วิธีทํา
1) ให arcsin aθ =
จะได
2
sin , 1 cosa aθ θ= − =
2
2 1 2sin cos sin 2a a θ θ θ∴ − = =
2) จาก
2
2arcsin arcsin(2 1 )
3
a a a
π
+ − =
2 arcsin(sin 2 )
3
2 2
3
4
3
12
π
θ θ
π
θ θ
π
θ
π
θ
+ =
+ =
=
∴ =
3) arcsin
12
a
π
=
1
a
2
1 a−
θ

67. 67
12.การแกสมการตรีโกณมิติ
สมการจะอยูในรูปฟงกชันตรีโกณมิติ เราตองแกสมการหามุม θ เปนตน วามีคาเทากับเทาใด
โดยใชทักษะการแกสมการ และอาศัยเอกลักษณทางตรีโกณมิติ เชน
2 2
sin cos 1θ θ+ =
เปนตน มาชวยในการแกสมการ
ตัวอยาง เชน
1. กําหนด
2
cos 2 3sin 2 3 0x x+ − = จงแกสมการหาคา x
วิธีทํา
2
2
2
cos 2 3sin 2 3 0
(1 sin 2 ) 3sin 2 3 0
sin 2 3sin 2 2 0
x x
x x
x x
+ − =
− + − =
− + =
ให sin 2A x=
2
3 2 0
( 2)( 1) 0
2,1
A A
A A
A
− + =
− − =
=
45 ,225 ,405 ,...x∴ = ° ° °
2. กําหนดให 0 360x< < แลว จงหาเซตคําตอบของสมการ
2
2cos 2cos2 1x x− =
วิธีทํา
2
2cos 2cos2 1x x− =
เพราะวา
2 2
cos2 2cos 1 2cos 2 1x x x cos x= − ⇒ = +
sin2 2x =
x ไมมีคําตอบของสมการ
sin 2 1
2 90 ,360 90 ,720 90 ,...
45 ,180 45 ,360 45 ,...
x
x
x
=
= ° °+ ° °+ °
= ° °+ ° °+ °

68. 68
cos2 1 2cos2 1
cos2 0
cos2 0
2 90 ,270 ,450 ,630 ,810 ,...
45 ,135 ,225 ,315 ,405 ,...
x x
x
x
x
x
+ − =
− =
=
= ° ° ° ° °
= ° ° ° ° °
45 ,135 ,225 ,315x∴ = ° ° ° °
3. ถา 0 360x≤ ≤ และ sin cos 1x x+ = จงหาคา x
วิธีทํา
( )
( )
2
2 2
2 2
sin cos 1
sin cos 1
sin 2sin cos cos 1
sin cos 2sin cos 1
1 sin 2 1
sin 2 0
2 0 ,180 ,360 ,540 ,720 ,...
0 ,90 ,180 ,270 ,360 ,...
x x
x x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
+ =
+ =
+ + =
+ + =
+ =
=
= ° ° ° ° °
= ° ° ° ° °
0 ,90 ,180 ,270 ,360x∴ = ° ° ° ° °
4. ให A และ B เปนคําตอบของสมการ 3tan cot 5cosx x ecx+ = เมื่อ
0 360x≤ ≤ แลว sin( )A B+ มีคาเทากับเทาใด
วิธีทํา
3tan cot 5cos
sin cos 5
3
cos sin sin
x x ecx
x x
x x x
+ =
+ =
•
•
90 ,450 ,810 ,...° ° °
270 ,630 ,960 ,...° ° °
180 ,540 ,...° °
0 ,360 ,720 ,...° ° °
••

69. 69
นํา ( )sin cosx x คูณตลอด
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
sin cos 5
3 sin cos sin cos sin cos
cos sin sin
3sin cos 5cos
3 1 cos cos 5cos
3 3cos cos 5cos
3 2cos 5cos
2cos 5cos 3 0
(2cos 1)(cos 3) 0
1
cos , 3
2
x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x
+ =
+ =
− + =
− + =
− =
+ − =
− + =
= −
1
cos
2
60 ,300 ,420 ,660 ,...
x
x
=
= ° ° ° °
60 ,300 60 , 300x A B∴ = ° ° ⇒ = ° = ° หรือ 300 , 60A B= ° = °
sin( ) sin(60 300 ) sin360 0A B∴ + = °+ ° = ° =
ไมใชเพราะวามีคานอยกวา -1
30 ,420 ,...° °
300 ,660 ,...° °
•
•

70. 70
แบบฝกหัด
1. ถา tan
2
A
t= ดังนั้น sin tanA A+ เทากับเทาใด

71. 71
2. จงพิสูจนวา
1 tan
tan(45 )
1 tan
A
A
A
+
°+ =
−
3. จงหาคาของ
tan 20 tan 25
1 tan 20 tan 25
°+ °
− ° °

72. 72
4. จงหาคาของ 2sin75 cos15° °
5. จงหาคาของ 2cos75 cos15° °
6. จงหาคาของ 2cos10 cos40 cos50° °− °
7. จงหาคาของ sin15 cos45° °

73. 73
8. จงหาคาของ sin 75 sin15°+ °
9. จงหาคาของ cos75 cos15°− °
10. ถา cos70 k° = เมื่อ k เปนคาคงตัว แลว cos35° เทากับเทาใด
11. ให
4 5
sin ,cos
5 13
A B= = − โดยที่
0 90 ,90 180A B< < ° ° < < ° จงหา
11.1) cos( )A B+

74. 74
11.2) cos( )A B−
11.3) sin( )A B+
11.4) sin( )A B−
11.5) tan( )A B+
11.6) cot( )A B−

75. 75
12. จงหาคาตอไปนี้
12.1) sin165 sin 255°+ °
12.2) sin375 sin 795°− °
12.3) cos345 cos285°+ °
12.4) cos75 cos195°− °

76. 76
13. ให
3
tan
4
A = − จงหาคาของ sin 2 ,cos2A A และ tan 2A
เมื่อ 90 180A° < < °

77. 77
14. ให
4
sin
5
A = จงหาคาของ sin3 ,cos3A A และ tan3A เมื่อ
0 90A° < < °

78. 78
15. ให
2
cos
2
A = − จงหาคาของ sin ,cos
2 2
A A
และ tan
2
A
เมื่อ
90 180A° < < °

79. 79
16. กําหนดให 5cos3 cos 5sin3 sin 3A A A A+ = − เมื่อ
0
2
A
π
< < จงหาคาของ tan A
17. จงหาคาของ
15 13 9
sin sin sin sin
34 34 34 34
π π π π

80. 80
18. ขอใดตอไปนี้ไมจริง
ก)
sin cos
sec2 tan 2
sin cos
A A
A A
A A
−
= −
+
ข)
3 5 1
sin sin sin
14 14 14 8
π π π
=
ค)
2
sec 2cot 2 tanA A A=
ง) cot15 cot 75 cot135 3°+ °+ ° =

81. 81
19. จงหาคาของ tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40°+ °+ ° °
20. จงหาคาของ
cos36 cos72
sin36 tan18 cos36
°− °
° °+ °

82. 82
21. จงหาคาสูงสุด(max) และต่ําสุด(min) ของฟงกชันตรีโกณมิติตอไปนี้
21.1) sin cosθ θ
21.2) sin cosθ θ+
21.3) 4sin 3cosθ θ−
21.4)
3
sin3 4sin 4cosx x x− +

83. 83
22. จงหามุมและดานที่เหลือของสามเหลี่ยมตอไปนี้
22.1) 60 , 3 2, 2 3A a b= ° = =
22.2) 30 , 2, 5A a c= ° = =

84. 84
22.3) 30 , 3, 1A b c= ° = =
22.4) 2, 3, 19a b c= = =

85. 85
23. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC จากสิ่งที่กําหนดใหตอไปนี้
23.1) 15, 20, 65a b C= = = °
23.2) 5.5, 80, 103.5c b A= = = °

86. 86
24. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมและ D เปนจุดกึ่งกลางดาน BC ถา
AB=4 หนวย , AC=3 หนวย และ
5
2
AD = หนวย แลวดาน BC ยาวเทากับ
เทาใด

87. 87
25. ความยาวของคอรดในวงกลม 1 หนวย ที่ปดมุม θ เรเดียน เมื่อ 0θ > มีคา
เทากับเทาใด
26. สามเหลี่ยม ABC มีดาน a,b,c เปนดานตรงขามมุม A,B,C ซึ่งมีความยาว
3,2.5,1 หนวย ตามลําดับ คาของ cos cosb C c B+ เทากับเทาใด

88. 88
27. ถาสามเหลี่ยม ABC มีมุม 45BAC∠ = ° มุม 60ACB∠ = °
และดาน AC ยาว 20 นิ้ว แลวพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เทากับเทาใด
28. ตึกสองหลังที่มีหลังคาเรียบตั้งอยูหางกัน 60 ฟุต จากหลังคาตึกที่เตี้ยกวา ซึ่งสูง
40 ฟุต มุมที่วัดจากตึกหลังคาที่เตี้ยกวาไปยังหลังคาตึกที่สูงกวามีขนาด 40° ดังรูป จง
หาความสูงของตึกที่สูงกวา(tan 40 0.8391)° =
60 ฟุต
40 ฟุต
40°

89. 89
29. ภูเขาลูกหนึ่งมีดานเอียงทํามุม 60° และ 45° กับแนวระดับตามลําดับ ถาดาน
เอียงดานหนึ่งซึ่งทํามุม 60° ยาวเทากับ 45 เมตร จงหาความยาวของดานเอียงอีกดาน
หนึ่ง

90. 90
30. เรือ A ลอยหางจากเรือ B อยู 90 เมตร จากจุดที่เรือ A ลอยอยูลูกเรือสามารถ
มองเห็นยอดเขาที่อยูริมทะเลดวยมุมเงย 60° และจากจุดที่เรือ B ลอยอยูลูกเรือสามารถ
มองเห็นยอกเขาเดียวกันดวยมุมเงย 30° จงหาวายอดเขาดังกลาวสูงเทากับเทาใด
31. นายลอยตองการขับรถขึ้นเนินเขาแหงหนึ่งซึ่งเอียงทํามุม 10°กับแนวระดับ เมื่อ
รถเคลื่อนที่ไปไดระยะทาง x เมตร ปรากฏวาเนินเขาทํามุม 15°กับแนวระดับ เมื่อขับไป
ได 60 เมตร ก็ถึงจุดสูงสุดของเนินเขา ณ. จุดดังกลาวเขาทราบวาอยูสูงจากพื้น 150
เมตร จงหาระยะ x (sin10 0.174,sin15 0.259)° = ° =

91. 91
32. จากภาพ หาก BC=10 หนวย และพื้นที่สามเหลี่ยม ABC เทากับ 10 3
ตารางหนวย ใหหาขนาดของพื้นที่สามเหลี่ยม ACD
120°
C B
A
D E

92. 92
33. พาดบันไดไวกับกําแพงโดยใหปลายบันไดตอนบนจดกําแพงพอดี ถาบันไดยาว
10 เมตร และบันไดทํามุม 60° จงหาความสูงของกําแพง
34. จงหาคาตอไปนี้
34.1)
3
arcsin( )
2
-34.2)
1
arccos( )
2
−

93. 93
34.3)
3
arccos( )
2
34.4) arctan(1)
34.5) arcsec( 2)−
34.6) arccos ( 2)ec −
34.7) arctan( 3)−

94. 94
34.8)
1
arcsin( )
2
−
34.9)
1
arccos( )
2
−
34.10)
1
arccot( )
3
−
34.11)
7 7
arctan( ) cot( )
24 24
arc+

95. 95
34.12)
15 7
cos arctan( ) arcsin( )
8 25
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
34.13)
4 12
cos arccos( ) arccos( )
5 13
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠

96. 96
34.14)
3 4
sin arccos( ) arcsin( )
5 5
⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
34.15)
3
cos 2arcsin( )
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

97. 97
34.16) sin 2arctan( 2 1)
2
π⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
34.17)
17
arctan cot( )
3
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

98. 98
35. ถา arcsin(5 ) arcsin( )
2
x x
π
+ = แลวคาของ ( )tan arcsin( )x
มีคาเทากับเทาใด

99. 99
36. จงหาคาของ arctan(cot 40 )°
37. จงหาคาของ ( )cos 2arctan( 3)−

100. 100
38. ( )cot arccot 7 cot13 cot 21 cot31arc arc arc+ + + มี ค า
เทากับเทาใด

101. 101
39. จงแกสมการ
3
sin
2
θ = −
40. จงแกสมการ
1
cos
2
θ =

102. 102
41. จงแกสมการ
1
tan ,0 360
3
θ θ= − ° ≤ ≤ °
42. จงแกสมการ
2
cos ,0 360
3
ecθ θ= ° ≤ ≤ °

103. 103
43. จงแกสมการ
2
3tan 1 0,0 360θ θ− = ° ≤ ≤ °
44. จงแกสมการ
2
4sin 3 0,0 2θ θ π− = ≤ ≤

104. 104
45. จงแกสมการ 4cos 3sec ,0 360θ θ θ= ° ≤ ≤ °
46. จงแกสมการ
2 2
sin 3cos 0,90 180θ θ θ− = ° ≤ ≤ °

105. 105
47. จงแกสมการ
2
2sin sin 1 0,0 2θ θ θ π− − = ≤ ≤
48. จงแกสมการ
2
2sin 3cos 3,0 2θ θ θ π− = ≤ ≤

106. 106
49. จงแกสมการ 3sec cos 2 0,0 2θ θ θ π− + = ≤ ≤
50. จ า ก ส ม ก า ร sin5 cos3 cos5 sin3 cos ,0 360θ θ θ θ θ θ− = ° ≤ ≤ °
ผลบวกของคําตอบของสมการมีคาเทากับเทาใด

107. 107
51. ถา 0 2θ π≤ ≤ แลวสมการ sin cos 1θ θ+ = จะมีกี่คําตอบ
52. กําหนดให sin sin 2 sin3 0A A A− + = โดยที่ 0
2
A
π
< < แลว
tan tan 2 tan3A A A− + จะมีคาเทากับเทาใด

108. 108
53. ถา 0 2x π< < แลวผลบวกของรากของสมการ
2 2
4sin (1 3)sin cos (3 3)cos 3x x x x+ − + − = มีคาเทากับ
เทาใด

109. 109
54. กําหนดให 0 2x π≤ ≤ จงหาชวงของ x ที่ทําใหอสมการ
sin cos 1x x+ ≥ − เปนจริง

110. 110
55. จงหาเซตคําตอบของอสมการ 3 cos sin 0x x+ > เมื่อ
xπ π− ≤ ≤

111. 111
56. จงหาเซตคําตอบของอสมการ
4 2
2sin 3sin 2 0x x+ − ≥ เมื่อ
0 2x π≤ ≤