เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)

1
เมทริกซ
•นิยาม
•มิติของเมทริกซ
การเทากันของเมทริกซTransposeMatrixการบวกลบเมทริกซ
เมทริกซศูนย
การคูณเมทริกซ
ดวยสเกลาร
การคูณเมทริกซ
ดวยเมทริกซ
เมทริกซเอกลักษณ(I)
Determinant
Minor
Co-factor
ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ
•มิติ2x2
•มิติ3x3
การสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซ
กฎของคราเมอร
adjointmatrix
การดําเนินการเชิงแถว
โจทยปญหา

2
เมทริกซ
1.เมทริกซ
กลุมของจํานวนซึ่งถูกเขียนเรียงเปนแถวและเปนหลักหรือคอลัมน
ภายในเครื่องหมาย [ ] หรือ ( )
ตัวอยาง เชน
1 2 3
4 5 6
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
11a คือสมาชิกแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ………….ซึ่งก็คือ 1
A เปนเมตริกซที่มีแถว 2 แถว และหลัก 3 หลัก
แถวที่ 1หลักที่ 2

3
2.การเทากันของเมทริกซ
เมทริกซ A เทากับ เมทริกซ B ก็ตอเมื่อ
1.
1 2 3 4
,
3 4 1 2
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
เมทริกซ A ≠ เมทริกซ B เพราะวา
1) ถึงแม เมทริกซ A มีมิติ 2x2 และ เมทริกซ B มีมิติ 2x2 เทากัน
2) แต สมาชิกของเมทริกซ A ไมเหมือนกับสมาชิกของเมทริกซ B ทุกตัว คือ
ให mna เปนสมาชิกของเมทริกซ A และ mnb เปนสมาชิกของเมทริกซ B เมื่อ
, {1,2}m n∈ แลว
11 11
12 12
21 21
22 22
a b
a b
a b
a b
≠
≠
≠
≠
1 3
2 4
3 1
4 2
≠
≠
≠
≠
เมตริกซ A มี มิติ ของเมทริกซ คือ (จํานวนแถว)x(จํานวนหลัก) ซึ่งก็คือ 2x3
มีมิติเทากัน
มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

4
2. กําหนดให
1 2 2
,
4 6 4
x
A B
y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ A=B จงหาคา x
และ y
วิธีทํา A=B หมายความวา
1 2 2
4 6 4
x
y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1x∴ = และ 6y =
3. ถา
3 2 3 2
2 1 2
4 0 4 0
x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
จงหาคา x และ y
วิธีทํา
3 2 3 2
2 1 2
4 0 4 0
x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แสดงวา……………
( )
( )
2 1.......... 1
2 ............... 2
x x
y y
= −
=
จากสมการ……...…..(1)…………x=1
และจากสมการ……….(2)…………y=0
เทากัน

5
4.
2 7 2 7
5 0 5 0
x y
y x
2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 7 2 7
5 0 5 0
x y
y x
2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1⎣ ⎦ ⎣ ⎦
แสดงวา……………
( )
( )
2 ............... 1
1........... 2
x y
y x
=
= −
นําสมการ (1)-(2)………………….
( 1) 2
1
1
x x y y
x x y
y
− − = −
− + =
∴ =
แทนคา y=1 ลงในสมการ (1) ………...
2
2(1)
2
x y
x
x
=
=
∴ =
3.เมทริกซสลับเปลี่ยน (Transpose Matrix)
เมทริกซที่มีการสลับเปลี่ยน สมาชิกจากแถวเปนหลัก และจากหลักเปนแถว
เราแทนเมทริกซที่สลับเปลี่ยนแลวดวย
t
A วาเปนเมทริกซสลับเปลี่ยนของเมทริกซ A

6
1. เมตริกซ
1 2
3 4
5 6
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
t
A
A …..
1 2
3 4
5 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 3 5
2 4 6
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
…….
t
A
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ 1 , 2
∴เมทริกซ
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ 1 , 2
t
t
ขอสังเกต - มิติของเมทริกซ A คือ 3x2
มิติของเมทริกซ
t
A คือ 2x3
1 0 2
1 2 1
2 0 1
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
t
A

7
1 0 2
...... 1 2 1
2 0 1
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 2
0 2 0 ......
2 1 1
t
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ -1 , 0 , 2
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ -1 , 0 , 2
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 2 คือ 1 , 2 , -1
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 2 คือ 1 , 2 , -1
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 3 คือ 2 , 0 , 1
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 3 คือ 2 , 0 , 1
3 4 1 2
5 6 7 4
3 2 1 5
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
จงหา
t
A
3 4 1 2
........ 5 6 7 4
3 2 1 5
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
3
6
.........
1
2 4 5
t
A
5 3⎡ ⎤
⎢ ⎥4 2⎢ ⎥
⎢ ⎥1 7
⎢ ⎥
⎣ ⎦

8
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ 3 , 4 , 1 , 2
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ 3 , 4 , 1 , 2
t
t
4.เมทริกซศูนย
เมทริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย
- เมทริกซศูนยที่มี มิติ 1x1 คือ [ ]0
- เมทริกซศูนยที่มี มิติ 1x2 คือ [ ]0 0
- เมทริกซศูนยที่มี มิติ 2x2 คือ
0 0
0 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
- เมทริกซศูนยที่มี มิติ 3x2 คือ
0 0
0 0
0 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
……………..เปนตน
5.การบวกลบเมทริกซ
เมทริกซที่สามารถนํามาบวกลบกันไดตองเปนเมทริกซที่มี มิติ เหมือนกัน
เมทริกซบวกกัน คือ เมทริกซ A + เมทริกซ B เขียนแทนดวย เมทริกซ A+B คือ
เมทริกซที่นําสมาชิกของเมทริกซ A และเมทริกซ B ในแถวและหลักเดียวกัน มาบวกกัน

9
เมทริกซลบกัน คือ เมทริกซ A - เมทริกซ B เขียนแทนดวย เมทริกซ A-B คือ
เมทริกซที่นําสมาชิกของเมทริกซ A และเมทริกซ B ในแถวและหลักเดียวกัน มาลบกันตามลําดับ
1. เมทริกซ
1 2
3 4
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และเมทริกซ
5 6
7 8
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหาเมทริกซ A B+
1) เมทริกซ A มีมิติเดียวกับ เมทริกซ B คือ 2x2 สามารถหา A+B ได
2)
1 2 5 6
3 4 7 8
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 5 2 6
3 7 4 8
6 8
10 12
A B
A B
+ +⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
⎛ ⎞
∴ + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. ถา
2
1 2 2 82
5 9 34 2
yx y
xx
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
แลวจงหาคา x+y
2
2
2
1 2 2 82
5 9 34 2
2 81 (2 ) 2
9 34 5 2
2 81 2 3
9 39 3
yx y
xx
x y y
x x
x y
x
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + + ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠⎝ ⎠

10
2
1 2...............(1)
2 3 8..............(2)
3 3.................(3)
x
y
x
+ =
+ =
= −
จากสมการ (1) และ (3)…… สามารถหาคา x=-1 ไดดังนี้
2
2
1 2
1
1, 1
x
x
x
+ =
=
= −
3 3
3
3
1
x
x
x
= −
−
=
= −
จากสมการ (2) ………..2 3 8y+ =
3 6
6
3
2
y
y
y
=
=
∴ =
( 1) 2 1x y∴ + = − + =
3. ให [ ]1 1 2A = − และ
2
4
1
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
จงหา ,t t
A B A B+ −
t
A B+
[ ]1 1 2A = −
1 2
1 4
2 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
คาที่เลือก

11
1 2
1 4
2 1
+⎡ ⎤
⎢ ⎥− +⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎣ ⎦
t
A B+
3
3
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
t
A B−
1 2
1 4
2 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2
1 4
2 1
−⎡ ⎤
⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
1
5
1
−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
t
A B−
สมบัติการบวกของเมทริกซ
ถา S เปนเซตของเมทริกซมิติใดๆ และ , ,A B C S∈
1) A B S+ ∈
2) A B B A+ = +
3) ( ) ( )A B C A B C+ + = + +
4) 0 0A A A+ = + = เมื่อ 0 เปนเมทริกซศูนยที่มีมิติเทากับ A
5) ( ) ( ) 0A A A A+ − = − + =
6) ( )t t t
A B A B+ = +

12
จากขอ 4) และ 5)……..เราเรียก 0 วาเปน เมทริกซเอกลักษณการบวก
(-A) วาเปน เมทริกซผกผันการบวกของ A
แบบฝกหัด
1. กําหนดเมทริกซตอไปนี้
1 4 5
2 1
, 7 2 6
0 1 12
8 9 3
A B
⎛ ⎞
− 5⎡ ⎤ ⎜ ⎟
= =⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.1) จงหามิติของเมทริกซ A และ เมทริกซ B
1.2) จงหา
2
23 32 12( )a b a+ −
1.3) จงหา 22 334 3a b+

13
2. จงเขียนเมทริกซ 4 4[ ]ij xC c= ซึ่ง ijc =
3. จงหาคาของตัวแปร x และ y ที่ทําใหสมการเมทริกซตอไปนี้เปนจริง
3.1)
3 2 3 2
2 1
4 4
x y x y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3.2)
2 2 2
5 5 1
x y
y x
7 7⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 − 0⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,i i j=
,i j i j+ ≠

14
3.3)
2
1 00
24 2
x
y yx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
4. จงพิจารณาวาเมทริกซที่กําหนดใหบวกกันไดหรือไม ถาไดจงหาผลบวก
4.1)
1 3 2 5
,
5 2 3 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4.2)
2 3 0 0
,
5 4 0 0
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4.3)
1 2 3 5 0
,
3 4 4 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
8⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15
4.4) [ ]
2
3 , 1 4 5
7
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
4.5)
2
0
3 ,
0
4
⎡ ⎤
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
4.6)
7 5 3 1 2
,
3 1 2 7 5
0⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥0⎣ ⎦ ⎣ ⎦
5. กําหนด , ,A B C
0 − 2 3 1 − 2 7 5 0 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 4 −1 4 2 −8 3 −1 − 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
จงหา
5.1) A+B

16
5.2) C-B
5.3) จงหาเมทริกซ X ซึ่งทําให A+X=C
6. กําหนด
0 1 2
1 0 3
2 3 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
จงหาคาของ t
A A+

17
7. ให
2 3 1 1 1 0
, ,
2 4 3 5 0 1
A B C
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ
a b
A B C
d c
⎛ ⎞
− + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว จงหาคาของ 2a-b+c+d
6.การคูณเมทริกซดวยสเกลาร
ถา A เปนเมทริกซมิติใดๆ และ k เปนจํานวนจริงใดๆ kA คือ เมทริกซที่เกิดจาก
การนํา k คูณเขาไปในสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ A
ij mxn
ij mxn
A a
kA ka
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦

18
1. ถา
1
1 0 3
A
2 6⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
จงหา 5 2A A−
1) หาเมทริกซ 5A
1
1 0 3
A
2 6⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
1)
5
5( 1) 0) 3)
5
A
A
5( 5(2) 5(6)⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− 5( 5(⎣ ⎦
5 10 30⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−5 0 15⎣ ⎦
2) หาเมทริกซ 2A
1
1 0 3
A
2 6⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
1)
2
2( 1) 0) 3)
2
A
A
2( 2(2) 2(6)⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− 2( 2(⎣ ⎦
2 4 12⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−2 0 6⎣ ⎦
3) หาเมทริกซ 5 2A A−
5 2
5 0
5 2
( 5 0
5 2
3 0
A A
A A
A A
5 10 30 2 4 12⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− 15 −2 0 6⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(5− 2) (10− 4) (30 −12)⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥− −(−2)) ( −0) (15− 6)⎣ ⎦
3 6 18⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥− 9⎣ ⎦
2. ถา
1 0
1 2
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
จงตรวจสอบวา (2 ) 2t t
A A= หรือไม
1) หาเมทริกซ (2 )t
A

19
1 0
1 2
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
2( 1) 0)
2
1) 2)
2 0
2
4
A
A
− 2(⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2(2) 2(1)⎢ ⎥
⎢ ⎥2( 2(−⎣ ⎦
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 4 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 −⎣ ⎦
(2 )t
A
−2 4 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 2 − 4⎣ ⎦
2) หาเมทริกซ 2 t
A
1 0
1 2
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 1t
A
− 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 1 − 2⎣ ⎦
2( 1) 1)
2
2
2
t
t
A
A
− 2(2) 2(⎡ ⎤
= ⎢ ⎥2(0) 2(1) 2(−2)⎣ ⎦
− 4 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 2 − 4⎣ ⎦
3) (2 ) 2t t
A A∴ =

20
สมบัติการคูณเมทริกซดวยสเกลาร
ถา ,c d R∈ และ ,A B เปนเมทริกซมิติ mxn ใดๆ
1) 1 A A⋅ =
2) ( 1)A A− = −
3) ( ) ( ) ( )cd A c dA d cA= =
4) ( )c A B cA cB± = ±
5) ( )c d A cA dA+ = +
6) ( )t t
cA cA=
7.เมทริกซเอกลักษณสําหรับการคูณ (I)
7.1 เมทริกซจัตุรัส
เมทริกซที่มี จํานวนแถว เทากับ จํานวนหลัก
ตัวอยาง เชน [ ]
1 2 3
1 2
1 , , ,...
3 4
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥4 5 6⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥7 8 9⎣ ⎦
เปนตน
7.2 เมทริกซเอกลักษณ (I)
ถา A เปนเมทริกซจัตุรัส เรียกสมาชิกในแนวทแยงมุมจากซายบนลงมาลางขวาวา “สมาชิกใน
แนวทแยงมุมหลัก” เชน
ถา
1 2
3 4
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
สมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก คือ 1,4

21
ถา
1 2 3
6
7 8 9
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= 4 5⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
สมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก คือ 1,5,9
เมทริกซเอกลักษณ คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก เปน 1
ทั้งหมด และสมาชิกตัวอื่น เปน 0 ทั้งหมด เราใชสัญลักษณ nI แทนเมทริกซเอกลักษณมิติ nxn
เชน 2 3
1 0 0
1
0 1 0
0 0 1
I
⎛ ⎞
0⎡ ⎤ ⎜ ⎟
= , Ι =⎢ ⎥ ⎜ ⎟0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนตน
8.การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ
8.1 การพิจารณาวาเมทริกซ 2 เมทริกซคูณกันได
ใหเมทริกซ
ij mxn
ij pxq
A a
b
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤Β = ⎣ ⎦
เมทริกซ A คูณกับ เมทริกซ B เขียนสัญลักษณเปน AxB จะไดเมทริกซ C ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้
ij m x n ij p x qAxB a x b⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ij m x qC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦
AxB สามารถคูณกันได เมื่อ จํานวนหลัก
ของเมทริกซ A เทากับจํานวนแถวของเมทริกซ B
เมื่อ , , ,m n p q I+
∈
n p=

22
1. ถา A เปนเมทริกซ มิติ 2 x 3 และ B เปนเมทริกซ มิติ 3 x 2 แลว AxB
สามารถคูณกันได เปน เมทริกซ C ที่มีมิติ 2x2
2. ถา A เปนเมทริกซ มิติ 1 x 3 และ B เปนเมทริกซ มิติ 2 x 2 แลว AxB ไม
สามารถคูณกันได เพราะจํานวนหลักของเมทริกซ A ไมเทากับจํานวนแถวของเมทริกซ
B
8.2 การหาสมาชิกของผลคูณของเมทริกซ
A x B C=
หรือ อาจเขียน AxB เปน AB
ไมเทากัน
เมทริกซตัวตั้ง เมทริกซตัวคูณ เมทริกซผลคูณ
สมาชิกของเมทริกซผลคูณ ในแถวที่ i หลักที่ j
สมาชิก ในแถวที่ i ของเมทริกซตัวตั้ง สมาชิก ในหลักที่ j ของเมทริกซตัวคูณx
คูณกันเปนคูๆตามลําดับ แลวนํามาบวกกัน

23
1. ถา
2
A
1 2⎡ ⎤
⎢ ⎥= −1 0⎢ ⎥
⎢ ⎥3⎣ ⎦
และ B
1 5 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−2 0 1⎣ ⎦
จงหา AB
2 3
3 2 3 3
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8x
x x
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
(1)(1)+(2)(-2)= -3
เทากันคูณกันได
(1)(5)+(2)(0)= 5
(1)(2)+(2)(1)= 4
(-1)(1)+(0)(-2)= -1

24
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
(-1)(5)+(0)(0)= -5
(-1)(2)+(0)(1)= -2
(3)(1)+(2)(-2)= -1
(3)(5)+(2)(0)= 15
(3)(2)+(2)(1)= 8

25
2. ถา
1 2 1
2 1 2
1 1 2
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา AxB
1) พิจารณาวา AxB สามารถคูณกันได
3 3 3 3
1 2 1 1 0 0
2 1 2 0 1 0
1 1 2 0 0 1x x
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2)
1 2 1 1 0 0 (1)(1) (2)(0) (1)(0) (1)(0) (2)(1) (1)(0) (1)(0) (2)(0) (1)(1)
2 1 2 0 1 0 (2)(1) (1)(0) (2)(0) (2)(0) (1)(1) (2)(0) (2)(0) (1)(0) (2)(1)
1 1 2 0 0 1 (1)(1) (1)(0) (2)(0) (1)(0) (1)(1) (2)(0)
x
+ + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1)(0) (1)(0) (2)(1)
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
1 2 1 1 0 0 1 2 1
2 1 2 0 1 0 2 1 2
1 1 2 0 0 1 1 1 2
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3. ถา [ ]2 1 1A = − และ B
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 0⎣ ⎦
จงตรวจสอบวา ( )t t t
A B B A⋅ = ⋅
1) หา ( )t
A B⋅
[ ]2 1 1A
B
= −
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 0⎣ ⎦
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 1 1
(2)(1) ( 1)(1) (1)(2) (2)(0) ( 1)(2) (1)(0)
2 1 2 0 2 0
3 2
A B
A B
A B
A B
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥⋅ = − ⋅ 1 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 0⎣ ⎦
⋅ = + − + + − +
⋅ = − + − +
⋅ = −
3
( )
2
t
A B
⎡ ⎤
⋅ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
เทากันคูณกันได

26
2) หา t t
B A⋅
B
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 0⎣ ⎦
[ ]2 1 1A = −
t
B
1 1 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 2 0⎣ ⎦
2
1
1
t
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
2
1
1
(1)(2) (1)( 1) (2)(1)
(0)(2) (2)( 1) (0)(1)
2 1 2
0 2 0
3
2
t t
t t
t t
t t
B A
B A
B A
B A
⎡ ⎤
1 1 2⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 2 0⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
+ − +⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦
− +⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦
⎡ ⎤
∴ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
3) ( )t t t
AB B A∴ = ⋅

27
สมบัติการคูณของเมทริกซ
ถา S เปนเซตของเมทริกซมิติใดๆ และ , ,A B C S∈
1) A B S⋅ ∈
2) ( ) ( )AB C A BC=
3) IA AI A= =
เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัส และ I เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติเดียวกับ A
4)
( )
( )
A B C AB AC
B C A BA CA
+ = +
+ = +
5) ( )t t t
AB B A=
1 3
4 5
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
0 4
2 1
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จงหาเมทริกซตอไปนี้
1.1) 4A

28
1.2) 3B−
1.3) A−
1.4) 2 3B A−
2 5
4 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
และ
4 3
1 2
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จงหาคาของ 2 t
A B−

29
2 1 4
3 0 5
A
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
และ
1 0
1 2
4 3
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
จงหา ,AB BA และ
( )t
AB

30
4. จงหาผลคูณของเมทริกซตอไปนี้
4.1) [ ]
1
2 1 1 3
4
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥− ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
4.2) [ ]
5
3 2
1
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥0 − 4 −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
4.3)
8
2
3
2
x
⎡ ⎤
1 8⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1 0 4⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

31
4.4)
4
5
0
x
−⎡ ⎤
3 − 2 1⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 5 7⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
4.5)
1 0
1 1x
⎡ ⎤
2 4 5⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥3 2 8⎣ ⎦ ⎢ ⎥0 −1⎣ ⎦

32
4.6)
1
2
3
4
x
⎡ ⎤
1 −5 4 3⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 3 4 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥3 2 3 2 ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
5. จงหา 3
A เมื่อกําหนดเมทริกซ A ตอไปนี้
5.1)
1 1
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

33
5.2)
1 0
0 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
2 2 1
, ,
3 2 0 1
x y y a
A B C
z y
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ถา AB C=
แลว a=?

34
7. จงหาคาของ x ที่ทําให [ ]2
3 4 2 1
1 6 0 1 1 0
5 2 1 2
x x
⎛ ⎞⎡ ⎤
⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤ − − =⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
0 6 6
,
4 2 4 4
a
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ
0 4
0 4
C
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
คา a ที่สอดคลองกับ
สมการ ( ) ( ) (4 )t t t t t
A B B A C+ = มีคาเทากับเทาใด

35
9.ดีเทอรมิแนนต (Determinant)
เมทริกซที่สามารถหาคาดีเทอรมิแนนตได ก็ตอเมื่อ เมทริกซนั้นตองเปนเมทริกซจัตุรัส
9.1 ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซมิติ 2x2
ถา เมทริกซ
a b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมทริกซ A สามารถหาคาดีเทอรมิแนนตของ A เขียน
แทนดวย det(A) หรือ A
det( )
a b
A ad bc
c d
= = −
หลักการจํา
a b
A ad bc
c d
= = −
1. ถา
2 2
2 4
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det( )A
det( ) (2)(2)
8 4
4
A
2 2
= = (2)(4) −
2 4
= −
=
(+)
(-)
(+)
(-)
det( )A

36
2. ถา
1 5
0 4
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det( )B
det( ) (0)(5)
4 0
4
B
1 5
= = (1)(4) −
0 4
= −
=
3. ถา
1 1
1 0
C
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จงหา det( )C
det( ) ( 1)(1)
0 1
1
C
−1 1
= = (−1)(0) − −
−1 0
= +
=
9.2 ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซมิติ 3x3
ถา เมทริกซ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สามารถหา det(A) ไดดังนี้
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 22 13 32 23 11 33 21
det( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a
=
= + +
− − − 12( )a
(+)
(-)
det( )B
(+)
(-)
det( )C
(+) (+) (+)
(-) (-) (-)

37
1. ถา
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(A)
1 2 3 2
det( ) 4 5 6 4 5
7 8 9 7 8
(1)(5)(9) (2)(6)(7) (3)(4)(8) (7)(5)(3) (8)(6)(1) (9)(4)(2)
45 84 96 105 48 72
0
A
1
=
= + + − − −
= + + − − −
=
2. ถา
2 3
0 1
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(A)
2 3 2
det( )
(2)(1)(0) (3)(0)(0) (0)( )(3) (0)(1)(9) ( )(0)(2)
0 0 0 0 0
a a
A b b
c
abc b c
abc
abc
= 0 1 0
0 0 0 0
= + + − − −
= + + − − −
=
(+)(+)(+)
(-) (-)(-)
(+)(+)(+)
(-) (-)(-)

38
9.3 การหาดีเทอรมิแนนตโดยวิธีตัวประกอบรวมเกี่ยว(Co-factor)
9.3.1 ไมเนอร (Minor) ของสมาชิกในเมทริกซ
ไมเนอร (Minor) ของสมาชิกในเมทริกซ A คือ ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซที่เกิดจาก
การตัดแถวและหลักที่สมาชิกนั้นอยูออกไป ใชสัญลักษณ ( )ijM A แทน ไมเนอรของสมาชิก
ในแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ A ตัวอยาง เชน
1. ถา
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จะสามารถหาไมเนอรของสมาชิกตางๆในเมทริกซ A ได
ดังนี้
11( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
1 2
3 1
5−
12 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
3 2
2 1 1−
13 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
3 1
2 3
7
21( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
2 3
3 1
7−

39
22 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
1 3
2 1
5−
23 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
1 2
2 3 1−
31( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
2 3
1 2 1
32 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
1 3
3 2
7−
33 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
1 2
3 1
5−
9.3.2 ตัวประกอบรวมเกี่ยว (Co-factor) ของสมาชิกในเมทริกซ
ตัวประกอบรวมเกี่ยว (Co-factor) ของสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เขียนแทนดวย
( )ijC A คือ ผลคูณของ
( )
( 1) i j+
− กับ ( )ijM A
( )
( ) ( 1) ( )i j
ij ijC A M A+
= −

40
1. จากตัวอยางที่แลวในหัวขอของไมเนอร
ถา
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สามารถหา ( )ijC A ของสมาชิกตางๆในเมทริกซ A ไดดังนี้
(1 1) 2
11 11( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+
= − = − − = −
(1 2) 3
12 12( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)C A M A+
= − = − − = 1
(1 3) 4
13 13( ) ( 1) ( ) ( 1) (7)C A M A+
= − = − = 7
(2 1) 3
21 21( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 7)C A M A+
= − = − − = 7
(2 2) 4
22 22( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+
= − = − − = −
(2 3) 5
23 23( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)C A M A+
= − = − − = 1
(3 1) 4
31 31( ) ( 1) ( ) ( 1) (1)C A M A+
= − = − = 1
(3 2) 5
32 32( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 7)C A M A+
= − = − − = 7
(3 3) 6
33 33( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+
= − = − − = −
9.3.3 การหาดีเทอรมิแนนตแบบใชตัวประกอบรวมเกี่ยว
ถา
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
det( )A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 11 12 12 13 13a C a C a C+ +

41
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
21 21 22 22 23 23a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
31 31 32 32 33 33a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 11 21 21 31 31a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
12 12 22 22 32 32a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
13 13 23 23 33 33a C a C a C+ +
การหา det(A) โดยวิธีนี้ สามารถหาได 6 แบบ ซึ่งทั้ง 6 แบบ จะใหคาออกมา
เทากัน คือ เปนคาของ det(A)……… ตัวอยาง เชน
2 3
0 1
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(A)
1) เลือก แถว หรือ หลัก ของเมทริกซที่ทําใหสามารถหาคา det(A) ไดโดยงาย

42
2 3
0 1
0 0
a
b
c
31 32 33(0) (0) ( )C C c C+ +
det( )A 33cC
2) หา 33 ( )C A
33 ( )M A
2 3
0 1
0 0
a
b
c
2
0
a
b
ab
(3 3)
33 33
6
( ) ( 1) ( )
( 1) ( )
C A M A
ab
ab
+
= −
= −
=
3) 33det( ) ( )A cC c ab abc= = =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(A)
1) เลือก แถว หรือ หลัก ของเมทริกซ A

43
1 2 3
4 5 6
7 8 9
11 12 13(1) (2) (3)C C C+ +
det( )A 11 12 132 3C C C+ +
2) หา 11 12,C C และ 13C
11( )M A
1 2 3
4 5 6
7 8 9
5 6
8 9
3−
12 ( )M A
1 2 3
4 5 6
7 8 9
4 6
7 9
6−
13 ( )M A
1 2 3
4 5 6
7 8 9
4 5
7 8
3−
(1 1) 2
11 11( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 3) 3C A M A+
= − = − − = −
(1 2) 3
12 12( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 6)C A M A+
= − = − − = 6

44
(1 3) 4
13 13( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 3) 3C A M A+
= − = − − = −
3) 11 12 13det( ) 2 3A C C C= + +
( 3) 2(6) 3( 3)
( 3) 12 9
0
= − + + −
= − + −
=
สมบัติของดีเทอรมิแนนต
ให , ,A B C เปนเมทริกซจัตุรัสที่มีมิติ nxn ใดๆ
1)
t
A A=
2)
n
kA k A=
3) AB A B=
4)
mm
A A=
5)
1 1
A
A
−
=
เมื่อ
1
A−
คือ เมทริกซผกผันการคูณของเมทริกซ A
10.ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ
10.1 ตัวผกผันการคูณของเมทริกซที่มีมิติ 2x2
ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ A คือ เมทริกซที่คูณกับเมทริกซ A แลวไดเมทริกซ
เอกลักษณ (I) ใชสัญลักษณ
1
A−
แทน ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ A
1 1
A A A A I− −
⋅ = ⋅ =

45
ถา
a b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 d b
A
c aad bc
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−− ⎝ ⎠
1. ถา
1 2
3 4
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
1
A−
จากสูตร
1 1 d b
A
c aad bc
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−− ⎝ ⎠
4 21
3 1(1)(4) (3)(2)
4 21
3 12
2 1
3 1
2 2
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−− ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−− ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
การตรวจสอบ
จากผลลัพธที่ได คือ เมทริกซ
2 1
3 1
2 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1 2 1
1 2 1 2 1 0
3 1 3 1
3 4 3 4 0 1
2 2 2 2
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

46
1)
3 1
2 1 (1)( 2) (2)( ) (1)(1) (2)( )
1 2 2 2
3 1
3 4 3 1
(3)( 2) (4)( ) (3)(1) (4)( )2 2
2 2
−⎛ ⎞
− − + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎜ ⎟− + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎝ ⎠
2 3 1 1
6 6 3 2
1 0
0 1
− + −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− + −⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2)
2 1 ( 2)(1) (1)(3) ( 2)(2) (1)(4)
1 2
3 1 3 1 3 1
3 4 ( )(1) ( )(3) ( )(2) ( )(4)
2 2 2 2 2 2
− − + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4 4
3 3
3 2
2 2
1 0
0 1
− + − +⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟− −
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3)
1 2 1
1 2
3 1
3 4
2 2
− −⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟∴ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎝ ⎠
2. ถา
2 4
1 5
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
3
5
B
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
แลว คา x+y ที่ไดจากสมการ
1 x
A B
y
− ⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
คือเทาใด
1) ใชสมบัติ
1 1
A A A A I− −
⋅ = ⋅ =
จากสมการ
1 x
A B
y
− ⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
นําเมทริกซ A คูณทั้ง 2 ขาง

47
1
1
x
A A AB
y
x
AA AB
y
x
I AB
y
x
AB
y
−
−
⎡ ⎤⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
∴ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
2) หา
x
y
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2 4 3
1 5 5
(2)(3) (4)(5)
(1)(3) (5)(5)
26
28
x
AB
y
x
y
x
y
x
y
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤
= ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
∴ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
26, 28x y∴ = =
3) 26 28 54x y+ = + =
3. ถา
1 1
2 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
2 1
3 2
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1
2C A B−
= + แลว
det( )C เทากับเทาใด

48
1) หา
1
A−
1 1
2 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 11
2 1( 1)(1) (2)(1)
A− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− −− − ⎝ ⎠
1 11
2 13
1 1
3 3
2 1
3 3
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− −− ⎝ ⎠
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2) หา C
1
2
1 1
2 13 3
2
2 1 3 2
3 3
1 1
4 23 3
2 1 6 4
3 3
11 7
3 3
20 13
3 3
C A B
C
C
C
−
= +
−⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3) หา det( )C

49
11 7
3 3
det( )
20 13
3 3
11 13 20 7
( )( ) ( )( )
3 3 3 3
1
3
C =
= −
=
4. ถา
1 2
3
A
a
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 1
2 1
B
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 1
2C AB B− −
= +
แลวคาของ a ที่ทําให det( ) 1C = เทากับเทาใด
1) จาก
1 1
2C AB B− −
= +
1
[2 ]C A I B−
= +
นําเมทริกซ B คูณทั้ง 2 ขาง
1
1
[[2 ] ]
[2 ][ ]
[2 ][ ]
2
CB A I B B
CB A I B B
CB A I I
CB A I
−
−
= +
= +
= +
∴ = +
2) จาก 2CB A I= +
ใส det เขาไปทั้ง 2 ขาง
2
2
CB A I
C B A I
= +
= +
จากโจทย det(C)=1
และ
det( ) ( 1)(1) (2)(1)
1 2
3
B = − −
= − −
= −
1 1
2 1
B
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1)( 3) 2
2 3
A I
A I
− = +
∴ + = −

50
3) หา 2A I+
1 2 1 0
2 2
3 0 1
2 4 1 0
2 6 0 1
3 4
2 7
A I
a
a
a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 4
2 (3)(7) (2 )(4)
2 7
21 8
A I a
a
a
+ = = −
= −
4) หา a
จาก 2 3A I+ = −
21 8 3
21 3 8
24 8
3
a
a
a
a
− = −
+ =
=
∴ =
10.2 ตัวผกผันการคูณของเมทริกซที่มีมิติ 3x3
10.2.1 เมทริกซผูกพันของ A (Adjoint Matrix)
คือ เมทริกซที่เกิดจากการนําเอาตัวประกอบรวมเกี่ยว(Co-factor) ของสมาชิก ija คือ
( )ijC A ไปแทนที่สมาชิก ija หลังจากนั้นนําเมทริกซดังกลาวไปหาเมทริกซสลับเปลี่ยน เราใช
สัญลักษณ ( )adj A แทน “เมทริกซผูกพันของ A”
( ) [ ( )]t
ijadj A C A=
10.2.2 เมทริกซผกผันของ A (Inverse Matrix)
เราใชสัญลักษณ 1
A−
แทน “เมทริกซผกผันของเมทริกซ A” สามารถหาไดตามสูตร

51
1 1
[ ( )]
det( )
A adj A
A
−
=
ขอสังเกต
1) ถาเมทริกซ A มีคา det( ) 0A = เราจะไมสามารถหาเมทริกซ 1
A−
ได
2) เมทริกซ A ที่มีคา det( ) 0A = นี้ เราเรียกเมทริกซพวกนี้วา “เมทริกซเอกฐาน”
1. ให
1 0 1
2 1 0
1 1 1
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
จงหา 1
A−
1) หา det(A)
1 0
det( )
(1)(1)(1) (0)(0)(1) (1)(2)( 1) (1)(1)(1) ( 1)(0)(1) (1)(2)(0)
1 0 2 1 0 0
2
A
1 1 0
= 2 1 0 2 1
1 −1 1 1−1
= + + − − − − −
= + − − − −
= −
2) หา ( )adj A
(1 1) 2
11
1 0
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(1)(1)−(−1)(0)] = 1⎜ ⎟
−⎝ ⎠
(1 2) 3
12
2 0
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(2)(1)−(1)(0)] = − 2⎜ ⎟
⎝ ⎠
(+)(+)(+)
(-) (-)(-)
det( ) 0A ≠ แสดง
วาสามารถหา 1
A−
ได

52
(1 3) 4
13
2 1
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(2)(−1)−(1)(1)] = −3⎜ ⎟
−⎝ ⎠
(2 1) 3
21
0 1
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(0)(1)−(−1)(1)] = −1⎜ ⎟
−⎝ ⎠
(2 2) 4
22
1 1
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(1)(1)−(1)(1)] = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2 3) 5
23
1 0
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(1)(−1)−(1)(0)] = 1⎜ ⎟
−⎝ ⎠
(3 1) 4
31
0 1
( ) ( 1) ( 1)
1 0
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(0)(0)−(1)(1)] = −1⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3 2) 5
32
1 1
( ) ( 1) ( 1)
2 0
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(1)(0)−(2)(1)] = 2⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3 3) 6
33
1 0
( ) ( 1) ( 1)
2 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(1)(1)−(2)(0)] = 1⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) [ ( )]
1 2 3
1 0 1
1 2 1
1 1 1
2 0 2
3 1 1
t
ij
t
adj A C A=
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
3) หา 1
A−

53
จาก
1 1
[ ( )]
det( )
A adj A
A
−
=
1
1
1 1 1
1
2 0 2
2
3 1 1
1 1 1
2 2 2
1 0 1
3 1 1
2 2 2
A
A
−
−
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟− ⎜ ⎟−⎝ ⎠
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. ถา
0 0
0 0
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ A ไมเปนเมทริกซเอกฐาน แลว จงหา 1
A−
1) เมทริกซ A ไมเปน เมทริกซเอกฐาน (det( ) 0)A ≠ …….สามารถหา 1
A−
ได
2) หา det( )A
0
det( )
(0)(0)(0) (0)(0)(0) (0)( )(0) (0)(0)(0) ( )(0)(0)
a a
A b b
c
abc b c
abc
0 0
= 0 0 0
0 0 0 0
= + + − − −
=
3) หา ( )adj A
(1 1) 2
11
0
( ) ( 1) ( 1) )
0
b
C A bc bc
c
+ ⎛ ⎞
= − = − ]( =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1 2) 3
12
0 0
( ) ( 1) ( 1)
0
C A
c
+ ⎛ ⎞
= − = − (0) = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(+)(+)(+)
(-) (-)(-)

54
(1 3) 4
13
0
( ) ( 1) ( 1)
0 0
b
C A + ⎛ ⎞
= − = − (0) = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2 1) 3
21
0 0
( ) ( 1) ( 1)
0
C A
c
+ ⎛ ⎞
= − = − (0) = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2 2) 4
22
0
( ) ( 1) ( 1) )
0
a
C A ac ac
c
+ ⎛ ⎞
= − = − ( =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2 3) 5
23
0
( ) ( 1) ( 1)
0 0
a
C A + ⎛ ⎞
= − = − (0) = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3 1) 4
31
0 0
( ) ( 1) ( 1)
0
C A
b
+ ⎛ ⎞
= − = − (0) = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3 2) 5
32
0
( ) ( 1) ( 1)
0 0
a
C A + ⎛ ⎞
= − = − (0) = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3 3) 6
33
0
( ) ( 1) ( 1) )
0
a
C A ab ab
b
+ ⎛ ⎞
= − = − ( =⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) [ ( )]
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
t
ij
t
adj A C A
bc
ac
ab
bc
ac
ab
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4.หา 1
A−

55
1
1
1
1
[ ( )]
det( )
0 0
1
0 0
0 0
1
0 0
1
0 0
1
0 0
A adj A
A
bc
A ac
abc
ab
a
A
b
c
−
−
−
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
3. ถา
2 1 0 3 0 0
4 3 5 0 3 0
2 6 8 0 0 3
A
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แลว จงหา 1
A−
จาก…………….
2 1 0 3 0 0
4 3 5 0 3 0
2 6 8 0 0 3
A
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
2 1 0 1 0 0
4 3 5 3 0 1 0
2 6 8 0 0 1
2 1 0
4 3 5 3
2 6 8
2 1 0 2 1 0 2 1 0
4 3 5 4 3 5 3 4 3 5
2 6 8 2 6 8 2 6 8
A
A I
A I
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
=⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

56
สมบัติของเมทริกซผกผันการคูณ
ให A เปนเมทริกซจัตุรัส มิติ nxn ใดๆ และ k R∈
1
1
11
1
11
1 1
1
1
2 1 0
3 4 3 5
2 6 8
2 1 0
3 4 3 5
2 6 8
2 1 0
3 4 3 5
2 6 8
2 1 0
(3 ) 4 3 5
2 6 8
2 1 0
1
4 3 5
3
2 6 8
2 1
0
3 3
4 5
1
3 3
2 8
2
3 3
AI
A
A
A
A
A
−
−
−−
−
−−
− −
−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟
= ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟
= ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠

57
1) 1 1
AA A A I− −
= = เมื่อ I เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติเดียวกับ A
2)
1 1
( )A A− −
=
3)
1 11
( ) ( )kA A
k
− −
= เมื่อ 0k ≠
4)
1 1 1
( )AB B A− − −
=
5)
1 1
( ) ( )t t
A A− −
=
4. ถา
0 2 1
0 0 5
0 0 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา B ซึ่งทําให 3
A B I=
1) จาก ……………….. 3
A B I=
3 1
[ ]B A −
∴ =
2) หา 3
A
เริ่มจาก……
2
0 2 1 0 2 1
0 0 5 0 0 5
0 0 0 0 0 0
A AA
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
(0)(0) (2)(0) (1)(0) (0)(2) (2)(0) (1)(0) (0)(1) (2)(5) (1)(0)
(0)(0) (0)(0) (5)(0) (0)(2) (0)(0) (5)(0) (0)(1) (0)(5) (5)(0)
(0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(2) (0)(0) (0)(0) (0)(1) (0)(5) (
+ + + + + +
= + + + + + +
+ + + + + + 0)(0)
0 0 10
0 0 0
0 0 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

58
3 2
0 0 10 0 2 1
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0
A A A
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
(0)(0) (0)(0) (10)(0) (0)(2) (0)(0) (10)(0) (0)(1) (0)(5) (0)(0)
(0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(2) (0)(0) (0)(0) (0)(1) (0)(5) (0)(0)
(0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(2) (0)(0) (0)(0) (0)(1
+ + + + + +
= + + + + + +
+ + + + ) (0)(5) (0)(0)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3) หา
3 1
[ ]A −
เมทริกซ 3
A เปนเมทริกซเอกฐาน เพราะวา คา
3
det( ) 0A =
จึงไมสามารถหาเมทริกซ
3 1
[ ]A −
ได……..จาก
3 1
[ ]B A −
=
จึงไมมีเมทริกซ B ซึ่งทําให 3
A B I=
1. จงหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซตอไปนี้
1.1)
1 2
4 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

59
1.2)
2
1x xy
x y
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
1.3)
1 0 1
2 3 4
1 5 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.4)
0 1 4
2 1 2
1 1 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

60
1.5)
1 2 5 2
2 0 1 2
1 3 8 0
1 1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟−1⎝ ⎠
6
5 6 0
9 1 1
x
x
5 7 5 6
− + =
8 8 9 จงหาคา x

61
1 3
0 2
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
3 4
1 2
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหาคาของ
3.1) det(A)
3.2) det(B)
3.3) det( )t
A
3.4) det(AB)
3.5) det(BA)

62
3.6) det(A+B)
3.7)
1
det( )A−
3.8)
1
det( )B−
1 2 2 1 2 1
, ,
3 4 3 0 4 3
A B C
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ
2 3
2 4
D
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(ABCD)

63
1 3
2 2
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
และ
2 1
1 4
B
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
1 2
det(2 )t
A B−
2 0
1 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
และ 2 1
A B A−
= จงหาคาของ det(2B)

64
7. ถา
5 4 6
2 0 7
1 2 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
7.1) 13 ( )C A
7.2) 23 ( )C A
7.3) 33 ( )C A

65
4
3 8 0
1
x y
A
x y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
โดยที่ 21( ) 6C A = − และ 23 ( ) 4C A =
แลว 33 ( )C A เทากับเทาใด

66
9. ให A,B และ C เปน nxn เมทริกซ เมื่อ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 และ
det(A)=1 , det(B)=2 และ det(C)=-3 แลวจงหา
9.1)
2 1
det( )t
A BC B−
9.2)
1 1
det( )t
BC AB C− −
10. ถา
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin 1 cos
sin 1 cos
A A
A B B
C C
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
det( )A

67
11. กําหนดให A และ B เปนเมทริกซมิติ 2x2 ถา
5 4
2
8 16
A B
⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
2 1
1 5
A B
⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
จงหา
1
det(2 )A B−

68
12. กําหนดให A เปนเมทริกซมิติ 2x2 และ det(A)=4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ
และ A-3I เปนเมทริกซเอกฐาน แลว det(A+3I) เทากับเทาใด

69
13. ให A,B และ C เปนเมทริกซมิติ 3x3 ถา det(A)=-3 และ
1
2 3t t t
A B A C A−
− = − จงหา det(2 )t
C B−
14. จงหา 1
A−
14.1)
1 0 2
2 6 4
3 1 6
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠

70
14.2)
1 1 1
1 0 1
1 1 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
2 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถา B เปนเมทริกซ ที่ 1
2B A−
= แลวจงหาคาของ
det(3 )adjB

71
16. ให A เปนเมทริกซ และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ 3x3 ถา
1 2 1 0 2 3
3 0 1 , 3 1 2
2 1 0 0 2 1
B C
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
สอดคลองกับสมการ
1
0
2
AB AC I− − = จงหา 1
A−

72
17. ถา
1
1 1 1 2
0 0 1 , 0 1 1
0 1 1 0
a b
A A
c d
−
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แลว จงหา a+b+c+d

73
11.การดําเนินการเชิงแถวของเมทริกซ
กําหนดให
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จากเมทริกซ A เราสามารถดําเนินการเชิงแถวกับเมทริกซ A ไดดังตอไปนี้ เชน
1) 2 12R R+ หมายความวาคาของสมาชิกของเมทริกซในแถวที่ 1 และ 3 คงที่ แต
สมาชิกในแถวที่ 2 มีการเปลี่ยนแปลงคือ นํา 2 ไปคูณสมาชิกในแถวที่ 1 แลวนํามาบวก
กับสมาชิกในแถวที่ 2 จะกลายเปนสมาชิกใหมในแถวที่ 2 ดังนี้
1 2 3 1 2 3
4 2(1) 5 2(2) 6 2(3) 6 9 12
7 8 9 7 8 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2) 3 2( 1)R R+ − หมายความวาคาสมาชิกในแถวที่ 3 มีการเปลี่ยนแปลงคือ นํา (-1)
คูณสมาชิกในแถวที่ 2 แลวบวกกับสมาชิกในแถวที่ 3 นั้น จะกลายเปนสมาชิกใหมใน
แถวที่ 3
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 ( 1)(4) 8 ( 1)(5) 9 ( 1)(6) 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แถวที่ 1(R1)
2 12R R+
3 2( 1)R R+ −

74
3)
2
2
R
หมายความวา สมาชิกในแถวที่ 2 ใหม คือสมาชิกในแถวที่ 2 เดิมหารดวย 2
1 2 3 1 3
1
2 2 2 2 2
4 5 6 4 5 6
7 8 9 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4) 22R และ 1 3R R+ มีการดําเนินการของสมาชิกในแถวที่ 2 และ 1 ดังนี้
1 7 2 8 3 9 8 10 12
4(2) 5(2) 6(2) 8 10 12
7 8 9 7 8 9
+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11.1 การใชตัวดําเนินการเชิงแถวหา det(A)
หลักการคือ การใชตัวดําเนินการเชิงแถวมาดําเนินการกับเมทริกซจากโจทย แลวทําใหได
เมทริกซใหมที่สามารถหา det(A) ไดงายขึ้น โดยคา det(A) จะยังคงเทาเดิม ตัวอยาง เชน
1. จงหา
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 1 5 2 6 3
7 1 8 2 9 3
− − −
− − −
1 2 3
3 3 3
6 6 6
=
2
2
R
1 3R R+
2(2)R
2 1R R−
3 1R R−

75
1 2 3
3 3 3
6 2(3) 6 2(3) 6 2(3)− − −
1 2 3
3 3 3
0 0 0
0
=
=
1 2 3
4 5 6 0
7 8 9
∴ =
2. จงหา
1 0 1
2 1 0
1 1 1−
1 1 0 ( 1) 1 1
2 1 0
1 1 1
− − − −
−
3 22R R−
1 0 1
2 1 0
1 1 1−
1 3R R−
33
3 3
33
0 1 0
2 1 0
1 1 1
(1)
( 1)
C
M+
=
−
=
= −

76
0 1
2 1
(0)(1) (2)(1)
2
=
= −
= −
1 0 1
2 1 0 2
1 1 1
∴ = −
−
3. จงหา
2 1 0
4 3 5
2 6 8
2 1 0
4 3 5
2 6 8
2 1 0
4 2(2) 3 2(1) 5 2(0)
2 2 6 1 8 0
− − −
− − −
11
1 1
11
2 1 0
0 1 5
0 5 8
2
2( 1)
1 5
2
5 8
2[(1)(8) (5)(5)]
2[8 25]
34
C
M+
=
=
= −
=
= −
= −
= −
2 1 0
4 3 5 34
2 6 8
∴ = −
2 12R R−
3 1R R−

77
4. จงหา
0 2 1
5 1 2
9 3 3
−
− −
0 2 1
5 1 2
9 3 3
−
− −
0 2 1
5 2(0) 1 2(2) ( 2) 2(1)
9 3(0) ( 3) 3(2) ( 3) 1(3)
+ + − +
+ − + − +
13
1 3
13
0 2 1
5 5 0
9 3 0
( 1)
5 5
9 3
(5)(3) (9)(5)
15 45
30
C
M+
=
=
= −
=
= −
= −
−
0 2 1
5 1 2 30
9 3 3
∴ − = −
− −
11.2 การใชตัวดําเนินการเชิงแถวหา
1
A−
ถา กําหนด
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สามารถหา
1
A−
โดยการดําเนินการเชิงแถวไดใน
รูปแบบดังนี้
2 12R R+
3 13R R+

78
เขียน
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b b b
b b b
b b b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1. จงหา
1
A−
จาก
1 0 1
2 1 0
1 1 1
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 0 1 1 0 0
2 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 0
0 1 0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −2⎜ ⎟
⎜ ⎟− −1⎝ ⎠
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− − 2⎜ ⎟
⎜ ⎟−2 −3 1⎝ ⎠
ดําเนินการเชิงแถว
2 12R R−
3 1R R−
3 2R R+
1
A−

79
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 0
3 1 1
0 0
2 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− − 2⎜ ⎟
⎜ ⎟− −
1⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 1
1 0
2 2 2
0 1
3 1 1
0 0
2 2 2
−⎛ ⎞
0⎜ ⎟
⎜ ⎟
0 1 0 −1⎜ ⎟
⎜ ⎟− −
1⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1 1 1
2 2 2
1 0 1
3 1 1
2 2 2
A−
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∴ = −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. จงหา
1
A−
จาก
2 1 1
3 2 2
1 3 3
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
3
( 2)
R
−
1 3R R−
2 32R R+

80
2 1 1 0 0
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
−1⎛ ⎞
⎜ ⎟
− 2⎜ ⎟
⎜ ⎟− −3⎝ ⎠
1 1
1 0 0
2 2 2
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
−1⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− 2⎜ ⎟
⎜ ⎟− −3
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
1 0 0
2 2 2
7 7 3
0 1 0
2 2 2
7 5 1
0 0 1
2 2 2
−1⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
1 0 0
2 2 2
3 2
0 1 1 0
7 7
7 5 1
0 0 1
2 2 2
−1⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎜ ⎟−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2
R
2 13R R−
3 1R R−
2
2
( )
7
R
−

81
2 1
1 0 0 0
7 7
3 2
0 1 1 0
7 7
0 0 1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎜ ⎟−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−6 −1⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
1 0 0 0
7 7
3 2
0 1 1 0
7 7
1 1 1
0 0
6 6 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎜ ⎟−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟1⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
1 0 0 0
7 7
11 5 1
0 1
42 42 6
1 1 1
0 0
6 6 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟1⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2 1
0
7 7
11 5 1
42 42 6
1 1 1
6 6 6
A−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟∴ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2
1
2
R R−
3 2
7
2
R R+
3
( 6)
R
−
2 3R R+

82
3. จงหา
1
A−
จาก
0 0
0 0
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ , , 0a b c ≠
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0 1
a
b
c
0⎛ ⎞
⎜ ⎟
0⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1 0 0 0
1
0 1 0 0
1
0 0 0 0
a
b
c
⎛ ⎞
0⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟1⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1
0 0
1
0 0
1
0 0
a
A
b
c
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟∴ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
12.การแกสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซ
12.1 สมการเชิงเสน 2 ตัวแปร
จะอยูในรูปแบบขางลางนี้ เมื่อ 1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c c R∈
1 1 1
2 2 2
...........(1)
..........(2)
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
1R
a
2R
b
3R
c

83
สามารถเปลี่ยนเปนสมการเมทริกซไดดังนี้
11 1
2 2 2
ca b x
a b y c
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
เราสามารถหาเมทริกซ
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ไดดังนี้
1 1
11 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
1
11 1
2 2 2
1
11 1
2 2 2
ca b a b a bx
a b a b a by c
ca bx
I
a by c
ca bx
a by c
− −
−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1. ระบบสมการ x+2y = 4
2x+y = 5
1) เขียนสมการเมทริกซ
1 2 4
2 1 5
x
y
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2) หาเมทริกซ
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1 2 4
2 1 5
x
y
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 41
2 1 5(1)(1) (2)(2)
(1)(4) ( 2)(5)1
( 2)(4) (1)(5)3
x
y
x
y
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

84
61
33
2
1
x
y
x
y
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12.2 สมการเชิงเสน 3 ตัวแปร
จะอยูในรูปแบบขางลางนี้ เมื่อ 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,a a a b b b c c c R∈
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
...........(1)
..........(2)
..........(3)
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
สามารถเปลี่ยนเปนสมการเมทริกซ ไดดังนี้
11 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
da b c x
a b c y d
a b c z d
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
สามารถหา
x
y
z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ไดดังนี้
1
11 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
dx a b c
y a b c d
z a b c d
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1. จงหาคา x , y และ z จากสมการเชิงเสนตอไปนี้
4 3 2 5
4 2
3 2 2 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
+ + =

85
1) เขียนสมการเมทริกซ
4 3 2 5
1 4 1 2
3 2 2 7
x
y
z
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2) หาเมทริกซ
x
y
z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
4 3 2 5
1 4 1 2
3 2 2 7
10 1 14 5
1
10 14 1 2
65
5 6 19 7
10 10 5 5
1
1 14 6 2
65
14 1 19 7
1
65
t
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
−
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(⎛ ⎞
⎜ ⎟
=⎜ ⎟ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
5) ( 10)( 2) ( 5)(7)
(1)(5) (14)( 2) ( 6)(7)
65
1
65
65
65
1
1
1
x
y
z
x
y
z
−10)( + − − + −⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ − + −⎜ ⎟
⎜ ⎟(14)(5)+(1)(−2)+(−19)(7)⎝ ⎠
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∴ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

86
12.3 การใชกฎของคราเมอร
กําหนดระบบสมการเชิงเสน
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
...........(1)
..........(2)
..........(3)
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
จะหาคา x , y และ z ไดดังสมการตอไปนี้
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
, ,
d b c a d c a b d
d b c a d c a b d
d b c a d c a b d
x y z
a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
= = =
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
1. จงหารากของระบบสมการเชิงเสน
2 5
3 2 2 3
3 3 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
− − = −
5 1 1
3 2 2
2 3 3 42
1
2 1 42
3 2 2
1 3 3
x
−
− −
− − −
= = =
−1
−
− −

87
1
3 2
3 84
2
2 1 42
3 2 2
1 3 3
y
2 5 −
3 −
1 − 2 −
= = =
−1
−
− −
2
2 42
1
2 1 42
3 2 2
1 3 3
z
2 1 5
3 − −3
1 −3 − −
= = = −
−1
−
− −
12.4 การใชการดําเนินการเชิงแถวแกสมการเชิงเสน
กําหนดระบบสมการเชิงเสน
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
...........(1)
..........(2)
..........(3)
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
เขียน
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b c d
a b c d
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e
e
e
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดําเนินการเชิงแถว
x
y
z

88
1. ระบบสมการ
2 5
3 2 2 3
3 3 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
− − = −
จงหารากของสมการ
2 1 1
3 2
1 3 3
− 5⎛ ⎞
⎜ ⎟
− 2 −3⎜ ⎟
⎜ ⎟− − − 2⎝ ⎠
1 1
1
2 2 2
3 2
1 3 3
− 5⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− 2 −3⎜ ⎟
⎜ ⎟− − −2
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
1
2 2 2
7 7
0
2 2 2
7 5 9
0
2 2 2
− 5⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −21⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
1
2 2 2
0 1
7 5 9
0
2 2 2
− 5⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−1 3⎜ ⎟
⎜ ⎟− − −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2
R
2 13R R−
3 1R R−
2
2
( )
7
R
−

89
1 0
0 1
0 0
0 1⎛ ⎞
⎜ ⎟
−1 3⎜ ⎟
⎜ ⎟−6 6⎝ ⎠
1 0
0 1
0 0
0 1⎛ ⎞
⎜ ⎟
−1 3⎜ ⎟
⎜ ⎟1 −1⎝ ⎠
1 0
0 1
0 0
0 1⎛ ⎞
⎜ ⎟
0 2⎜ ⎟
⎜ ⎟1 −1⎝ ⎠
1, 2, 1x y z∴ = = = −
1.จงหา det ของเมทริกซตอไปนี้โดยการใชการดําเนินการเชิงแถว
1.1)
1 0 1
2 3 4
1 5 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2
1
2
R R−
3 2
7
2
R R+
3
( 6)
R
−
2 3R R+

90
1.2)
0 1 4
2 1 2
1 1 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.3)
1 1
0 1 2 3
1 0 1 2
2 1 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟− 2 − 2⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠

91
1.4)
0
0
0
a b
a c
b c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.5)
1 2 4
3 8 0
1 2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠

92
1.6)
1 2 5 2
2 0 1 2
1 3 8 0
1 1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟−1⎝ ⎠
2.จงหา
1
A−
ของเมทริกซ A ตอไปนี้โดยการใชการดําเนินการเชิงแถว
2.1)
1 2 4
3 8 0
1 2 1
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠

93
2.2)
1 0 2
2 6 4
3 1 6
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
2.3)
1 1 1
1 0 1
1 1 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

94
2.4)
1 1 0
0 1 2
3 0 1
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2.5)
1 1 1
2 3 19
1 7 8
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

95
2.6)
1 2 3
1 3 4
1 4 3
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

96
3.จงแกระบบสมการตอไปนี้โดยใชกฎของคราเมอร และการดําเนินการเชิงแถว
3.1)
2 3
3 2
x y
x y
− =
+ = −

97
3.2)
2 2
2 1
2 3 2 10
x y z
x y z
x y z
− − = −
− + + = −
+ − =

98
3.3)
2 9
2 0
3 2 11
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
− + =

99
3.4)
2 2 1
3 2
2 2 2 0
3 1
x y z
x z t
x y z t
x y z t
+ − = −
+ − =
− + + + =
− + + =

100
3.5)
2 3 9
3 4
2 5 5 17
x y z
x y
x y z
− + =
− + = −
− + =

101
3.6)
3 3
2 3 20
7 23
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ + =

102
3.7)
2 4 1
2 2
3 2 3
x y z
x y
x y z
+ + =
+ = −
− − + =

103
4 12 9
7 10 5
1 0 0
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ , ,B C D เปนเมทริกซมิติ 3x3 ซึ่ง
A B C D∼ ∼ ∼ โดยที่
B ไดจาก A โดยการดําเนินการ 1 2
4
3
R R−
C ไดจาก B โดยการดําเนินการ 15R
D ไดจาก C โดยการดําเนินการ 23R
แลว det(D) เทากับเทาใด
5. ระบบสมการเชิงเสน
1
1
2
x y kz
x ky z
x y kz
+ + =
+ + =
+ + = −
จงหาเงื่อนไขสําหรับคา k ที่จะทําใหระบบสมการมีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ และไมมีคําตอบ

104
6. กําหนดระบบสมการ
2
2
2 3
( 3)
x y z
x y z
x y k z k
+ + =
+ + =
+ + − =
จงหาจํานวนจริง k ที่ทําใหระบบสมการที่กําหนดใหไมมีคําตอบ

เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)

Similar to เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix) (20)

More from Thanuphong Ngoapm

More from Thanuphong Ngoapm (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (9)

เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)