nan

1. Trigonometr
ic Functions
ฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติ

2. บทนิยาม วงกลมหนึ่งหน่วย คือ วงกลมที่มีจุดศนูย์กลางอยู่ที่จุด
(0,0) และมีรัศมี 1 หน่วย หรือ
กราฟของความสัมพันธ์ {(x,y) / x2+y2 = 1} y
(x,y)
0 (1,0)
x
q
ข้อตกลง เป็น
จำานวนจริงแทน
ความยาวส่วนโค้ง
ของวงกลมหนึ่ง
หน่วย โดยเริ่มวัด
จากจุด (1,0) ไปยัง
จุด (x,y) จะวัดไป
ยาวเท่าใด หรือจะ
วัดไปกี่รอบก็ได้
- ถ้าวัดทวนเข็มนาฬิกา
เป็น บวก
- ถ้าวัดตามเข็มนาฬิกา
เป็น ลบ
q
q

3. บทนิยาม เมื่อ (x,y) เป็นจุดปลายขq
องส่วนโค้งที่
ยาว หน่วย
ฟังกช์ันโคไซน์ คือเซตของคู่อันดับ ( ,x)
แทนด้วย x = cos
q
จากความสัมพันธ์ x2 + y2 = 1
จะได้ cos2 +
sin2 = 1
q q
หรือ
2 2
sin 1 cos
q q
2
= -
sin 1 cos
q = ± -
q
2 2
q q
2
= -
cos 1 sin
q =± -
q
cos 1 sin

4. q = 0,p
1) ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
เมื่อ p
2
(0,1)
2
2p (1,0)
3p -
(0, 1)
2
(-1,0)p
0
จะ
ได้
1
=
sin 0 0
=
p
p
sin 0
sin 3
2
1
2
sin
= -
=
p
cos0 1
=
= -
p
p
cos 1
0
cos 3
2
0
2
cos
=
=
p
,
,
,
,

5. q = p
2) ค่าของฟังกช์ันไซน์และโ4คไซน์ เมื่อ
y
x
, 2
2
)
2
p
( 2
4
7p -
, 2
2
)
2
( 2
4
จะ (- 2 ) 3
p
2
ได้
(- 2 - p
) 5
2
4
, 2
2
4
, 2
2
2
2
2
2
2
p
p
sin 3
p
sin 5
sin 7
4
2
4
2
4
2
4
sin
=
=
= -
= -
p
2
2
=
= -
= -
2
p
p
cos 3
p
cos 5
cos 7
4
2
2
2
4
2
4
2
4
cos
=
p

6. q = p
3) ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เมื่อ
3
, 3
2
p
5p -
, 3
2
)
2
(1
3
)
2
(1
3
(- 1 p
) 2
2
(- 1 - p
) 4
2
3
, 3
2
3
, 3
2
x
y
3
3
3
2
p
p
sin 2
p
sin 4
sin 5
3
2
3
3
2
3
2
3
sin
=
=
= -
= -
p
1
=
= -
= -
1
2
p
p
cos 2
p
cos 4
cos 5
3
1
1
2
3
2
3
2
3
cos
=
p
จะได้

7. q = p
4) ค่าของฟังกช์ันไซน์และโคไซน์ เมื่อ
x
6
y
, 1
2
)
2
p
( 3
6
11p -
, 1
2
)
2
( 3
6
(- 3 p
) 5
2
(- 3 - p
) 7
2
6
, 1
2
6
, 1
2
จะได้
1
1
2
p
p
sin 5
p
sin 7
sin 11
6
2
6
1
1
2
6
2
6
sin
=
= -
= -
=
p
3
3
3
2
p
p
cos 5
p
cos 7
cos11
6
2
6
2
6
3
2
6
cos
= -
= -
=
=
p

8. 1) ค่าของฟังก์ชันไซน์และqโ<ค0ไซน์ เมื่อ
sin(-q ) = -sinq
cos(-q ) = cosq
2) ค่าของฟังก์ชันไซน์และ
โคไซน์ เมื่อ
q > 2p
sin(2np +q ) = sinq
cos(2np +q ) = cosq
cos(- 5p
sin(- 5p )
ตัวอย่าง จงหาค่าของ )
6
6
sin 14p
3
วิธีทำา
1
2
sin(- 5p = - p = -
) sin 5
6
6
3
2
cos(- 5p = p = -
) cos 5
6
6
3
2
sin 14p = p + p = p =
) sin 2
3
3
sin(4 2
3

9. การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
ของจำานวนจริง 0 ถึง
โดยอาศัq
ยค่าของฟังก์ชันไซน์และ
โคไซน์ของจำานวนจริง 0 ถึง
2p
p
2
1) เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว หน่วย อยู่
ในควอดแดนต์ที่ 2
q = p -
q
= - -
sin sin( )
q p q
cos cos( )
2) เมื่อจุดปลายส่วนqโค้งที่ยาว หน่วย อยู่ในที่ควอดแดนต์ 3
q = - q -
p
= - -
sin sin( )
q q p
cos cos( )
3) เมื่อจุดปลายส่วq
นโค้งที่ยาว หน่วย อยู่
ในควอดแดนต์ที่ 4
q = - p -
q
= -
sin sin(2 )
q p q
cos cos(2 )

10. ทนิยาม สำาหรับจำานวนจqริง ใดๆ
q q
q
tan sin
cos
=
cot cos
sin
=
sec 1
cos
cos 1
q
q q
q
q
q
q
sin
=
=
สรุปค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในควอดแดนต์ต่า¹
เมื่q
อ
เมื่
อ
เมื่
อ
เมื่
อ
cos 0
¹
q
sin 0
¹
q
cos 0
ec sin q
¹
0
+ all +
+
cos ec
sin
tan
+
cot
+
+
cos
+
sec

11. ตัวอย่าง
1)
cos 5p
6
cos 5p = - cos( p - 5
p
วิธีทำา )
6
6
= -cosp
6
= - 3
2
sin2 5p + tan 9
p - cot 2 5
p + sec 4
p
2) 3
4
6
3
วิธีทำา = (- 3 2 + - - 2 + -
) (1) ( 3) ( 2)
2
= + - -
1 3 2
13
4
3
4
= -

12. 1) มุมและการ
วัด
เมื่อหมุนส่วนของเส้นตรง AP รอบจุด A ไปที่แนว AQ สิ่งที่
เกิดขึ้นเรียกว่า มุม
จุด A เรียกว่า จุดยอด (vertex)
AP เรียกว่า ด้านเริ่มต้น (initial side)
AQ เรียกว่า ด้านสิ้นสุด (terminal side)

13. หน่วยในการวัดมุม ที่รจูั้กมีอยู่ 2 ระบบ คือ
1) ระบบองศา (degree) โดยถือว่ามุมที่เกิดจากการหมุน
ส่วนของเส้นตรงไปครบหนึ่ง
รอบมีขนาด 360 องศา และแบ่งหน่วยองศาดังนี้
1 องศา = 60 ลิปดา
1 ลิปดา = 60 ฟิลิปดา
2) ระบบเรเดียน (radian) โดยถือว่ามุมที่จุดศูนย์กลาง
ของวงกลมซึ่งรองรับส่วนโค้ง
ของวงกลมที่ยาวเท่ากับรัศมีมีขนาด 1 เรเดียน

14. เนื่องจากวงกลมที่มีรัศมี r หน่วยมี2เส้pr
นรอบวงยาว
หน่วย
2p r
= 2p
ดังนั้นมุมที่จุดศูนย์กลาง2p
ของวงกลมจึr
งมีขนาด
เรเดียน
p
นั่นคือ 360 องศา = เรเดียน
180 องศา = เรเดียน

15. 5p
ตัวอย่าง จงเปลี่ยน เรเดียน
ให้เป็นองศา 12
p
วิธีทำา
เรเดียน เท่ากับ 180º
5p ° ´ = 75°
180 5p
p
เรเดียน เท่ากับ
12
12
ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 135º ให้เป็น เรเดียน
วิธีทำา 180º เท่ากับ
เรเดียน
p ´ = p
135 3
135º เท่ากับ
เรเดียน
p
4
180

16. 2) ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม
มุมในตำาแหน่งมาตรฐาน
(Standard position) คือมุมที่มีจุด
ยอดอยู่ที่จุด (0,0) และด้านเริ่มต้น
ทับแกน x ด้านบวก
2p
2p
เนื่องจากมุมรอบจุดศูนย์กลางมี
ขนาด เรเดียน และเส้นรอบวง
ของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว หน่วย
ดังนนั้มุมในตำาแหน่งมาตรq ฐานขนาด เรเดียน q
จึงรองรับส่วน
โค้งที่ยาว หน่วย
นั่นคือ ฟังกช์ันตรีโกณq มิติของมุม เรเดียน เท่ากับฟังก์ชัq
น
ตรีโกณมิติของจำานวนจริง
หรือ cosq อาจจะหมาq ยถึง cos ของมุม เรเดีq
ยน
หรือ cos ของจำานวนจริง

17. ตัวอย่
าง
จงหาค่าของ sin 60º
วิธีทำา เพราะ60ว่า´ p = p
1 8 0603º =
ดังนั้น sin
60º
3
sinp =
= 3
2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ sec (-
405º)
(-405)´ p = - p
วิธีทำา เพราะว่า -405º
=
9
4
180
ดังนั้น sec (-
405º) =
=
=
=
sec(- 9p
)
4
sec 9p
4
sec(2p +p
)
4
2
secp =
4

18. การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมโดยใช้ค่า
ของมุม 30°, 45° , 60°
ตัวอย่าง จงหาค่าของ cos 120°
วิธีทำา เพราะว่า cos 120° = -
cos (180°-120°)
= - 1
= - cos 60° 2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ sin 225°
วิธีทำา เพราะว่า sin 225°
= - sin (225°-180°)
= - 2
2
= - sin 45°

19. 3) ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของ
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุม C เป็นมุมฉาก จะได้
มุม A น้อยกว่า 90º

FD
DE =
ดังนั้น sin A = sin = DE
เนื่องจาก จะได้
DADE ~ DABC AB
แต่ DE = 1
BC
AD
DE = BC
sin A = BC
นั่นคือ หรือ AB
AB

20. สรุป เมื่อ ABC เป็นสามเหลี่ยมมมุฉากซึ่งมมีมุ
C เป็นมมุฉาก จะได้

22. [0,p
นักคณิตศาสตร์ได้สร้างตารางแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของ
จำานวนจริงบางจำานวนในช่วง หรือของมุมบางมุมทมีี่
ขนาดตั้งแต่ 0° ถึง 90° ดังตัวอย่าง
]
2

23. ตัวอย่าง sin 30° 20' หรือ sin 0.5294 = 0.5050
cos 30° 20' หรือ cos 0.5294 = 0.8631
ตัวอย่าง จงหาค่าของ sin 234° 20'
วิธีทำา เพราะว่า sin 234° 20' = - sin (234° 20' - 180°)
= - sin 54° 20'
= - 0.8124
ตัวอย่าง จงหาค่าของ cos 148° 10'
วิธีทำา เพราะว่า cos 148° 10' = - cos (180°- 148° 10')
= - cos 31° 50'
= - 0.8496

24. จัดทำาโดย
1.น.ส.วรรณลักษณ์ วรรณพิรุณ เลข
ที่ 13 ม.5/1
2.น.ส.สุนิสา สระแก้ว เลขที่ 16
ม.5/1
3.น.ส.กัญญารัตน์ แก้วขวา เลข
ที่ 18 ม.5/1
4.น.ส.โสรยา นครไพร เลขที่ 20
ม.5/1
5.น.ส.ทิพวรรณ สีแก้ว เลข
ที่ 27 ม.5/1