18. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |17
5. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก
มี a , b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ
ถา 1
sinA
3
แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. a 2 2b
2. b 2 2a
3. a = 3b 4. b = 3a
5. a = b
ขอ 5. ตอบ 2.
แนวคิด
กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก
มี a , b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ ดังรูป
จากรูปจะได a
sin A
c
โดยที่โจทยกําหนด 1
sinA
3
แสดงวา a 1
c 3
3a c
จากทฤษฎีบทปทาโกรัส 2 2 2
a b c
แทน c 3a
; 2 2 2
a b (3a)
2 2 2
a b 9a
2 2
b 8a
โดยที่ a, b > 0 จะได b 2 2a
a
b
c
C A
B
19. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |18
6. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
เปนลําดับเรขาคณิต
ถา 8
a 81
และ 11
a 3
แลวอัตราสวนรวมของลําดับนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 3]
1.
1
2
2.
1
3
3.
1
3
4.
1
3
5.
1
2
ขอ 6. ตอบ 3.
แนวคิด
กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
เปนลําดับเรขาคณิต
สมมติให r แทนอัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิต
โจทยกําหนด 8
a 81
และ 11
a 3
จากความสัมพันธ 3
11 8
a a r
แทน 8
a 81
และ 11
a 3
; 3
3 81 r
นํา 81 หารตลอด ; 3
1
r
27
3 3
1
( ) r
3
แสดงวา 1
r
3
20. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |19
7. กําหนดให –2 , 0 , 2, ... เปนลําดับเลขคณิต
ถาผลบวกของ n พจนแรกของลําดับนี้เทากับ 130 แลว n มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1. 13 2. 14
3. 15 4. 16
5. 17
ขอ 7. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให –2 , 0 , 2, ... เปนลําดับเลขคณิต
จะพบวา d 0 ( 2) 2
และ 1
a 2
โดยสูตรผลบวก n พจนแรก
n 1
n
S 2a (n 1)d
2
จะได
n
n
S 2( 2) (n 1)2
2
n
2n 6
2
n
2
(2
) n 3
2
n 3n
พิจารณาสมการ n
S 130
จะได 2
n 3n 130
2
n 3n 130 0
(n 13)(n 10) 0
n 13 , 10
เนื่องจาก n ตองเปนจํานวนเต็มบวก แสดงวา n = 13
27. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |26
14. จํานวนจริง x ที่สอดคลองกับสมการ
1
x
x
2
4 2 1 0
มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. (–4, –2] 2. (–2, 0]
3. (0, 2] 4. (2, 4]
5. (4, 6]
ขอ 14. ตอบ 2.
แนวคิด
จากสมการ
1
x
x
2
4 2 1 0
1
x x
2
4 4 2 1 0
1
2 2 x x
2
(2 ) (2 ) 2 1 0
x 2 x
2(2 ) 2 1 0
ให x
y 2
; 2
2y y 1 0
(2y 1)(y 1) 0
1
y , 1
2
แต x
y 2 0
แสดงวา 1
y
2
จะได x 1
2
2
x 1
2 2
ดังนั้น x 1
นั่นคือ –1 เปนสอดคลองกับสมการ ซึ่งจะพบวา 1
(–2, 0]
28. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |27
15. กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เปนมุมฉาก
ถาดาน AB ยาว 10 หนวย และ 1
tan A
3
แลวพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. 10 2 ตารางหนวย 2. 15 ตารางหนวย
3. 16 ตารางหนวย 4. 10 3 ตารางหนวย
5. 13 2 ตารางหนวย
ขอ 15. ตอบ 2.
แนวคิด
กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เปนมุมฉาก
ถาดาน AB ยาว 10 หนวย และ 1
tan A
3
ให a และ b เปนความยาวดานตรงขามมุม A และ B
โดยที่ 1
tan A
3
จะไดวา a 1
b 3
3a b
โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส 2 2 2
a b 10
แทน b = 3a ; 2 2
a (3a) 100
2 2
a 9a 100
2
10a 100
2
a 10
จะได พื้นที่สามเหลี่ยม ABC
1
a b
2
แทน b = 3a ;
1
a 3a
2
2
3a
2
แทน 2
a 10
;
3 10
2
15
10
C A
B
a
b
29. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |28
16. ให AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม ซึ่งมีรัศมี 5 หนวย
CD เปนคอรดซึ่งมีความยาว 8 หนวย และขนานกับ AB ดังรูป
ˆ
tanCAB มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 5]
1.
1
3
2.
1
3
3. 3 4. 2
5. 3
ขอ 16. ตอบ 5.
แนวคิด
ให AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม ซึ่งมีรัศมี 5 หนวย
CD เปนคอรดซึ่งมีความยาว 8 หนวย และขนานกับ AB ดังรูป
ให O เปนจุดศูนยกลาง
จากจุด O ลากเสนตรงไปตั้งฉากกับ CD ที่จุด P จะไดวา P แบงครึ่ง CD นั่นคือ CP = 4
จากจุด C ลากเสนตรงไปตั้งฉากกับ AB ที่จุด Q จะไดวา OQ = CP = 4
ดังนั้น AQ = OA – OQ = 5 – 4 = 1
พิจารณาสามเหลี่ยม COQ
โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส จะได 2 2 2
(CQ) (OQ) (OC)
A B
C D
A B
C D
4
5
O
4
P
Q
42. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |41
24. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
เปนลําดับเรขาคณิต
ถา 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 13
และ 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 17
แลวอัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิตนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1.
2
15
2.
1
15
3.
1
15
4.
2
15
5.
1
5
ขอ 24. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
เปนลําดับเรขาคณิต
สมมติให r แทนอัตราสวนรวมของลําดับ
โดยสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต
n
1
n
a (1 r )
S
1 r
โดยที่ 1 2 3 19 20
a , a , a , , a , a
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนนรวมเทากับ r
โจทยกําหนด 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 13
จะได
20
1
a (1 r )
13
1 r
นํา 1 – r คูณตลอด ; 20
1
a (1 r ) 13 13r
...(1)
โดยที่ 1 2 3 19 20
a , a , a , , a , a
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนนรวมเทากับ –r
โจทยกําหนด 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 17
20
1
a (1 ( r) )
17
1 ( r)
20
1
a (1 r )
17
1 r