ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 2 มี.ค. 62

1. ขอสอบรหัสวิชา 89 วิชาคณิตศาสตร 2
9 วิชาสามัญ
ประจําปการศึกษา 2561
สอบวันที่ 17 มีนาคม 2562
เวลา 8.30 – 10.00 น.
อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก
โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม
www.facebook.com/GTRmath

2. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |1
ขอสอบ 9 วิชาสามัญ : คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 : ปการศึกษา 2561
ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกที่สุด
จํานวน 10 ขอ (ขอ 1 – 10) ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน
1.
6 5 6 5
6 5 6 5
 

 
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 5 2. 6
3. 11 4. 15
5. 22
2. คําตอบของสมการ
 
x 1
x
1
5
125

 เทากับขอใดตอไปนี้
1.
1
2
 2.
1
3

3.
1
4
 4.
1
4
5.
1
2
3. ถา a 0
 และ 5 a a 5 15
    แลว a มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้
1. [–10, –8) 2. [–8, –6)
3. [–6, –4) 4. [–4, –2)
5. [–2, 0)

3. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |2
4. จํานวนเต็ม x ที่สอดคลองกับอสมการ 2
1 1
109
x 9


มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้
1. 9 2. 10
3. 18 4. 19
5. 21
5. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก
มี a , b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ
ถา 1
sinA
3
 แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. a 2 2b
 2. b 2 2a

3. a = 3b 4. b = 3a
5. a = b
6. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
 เปนลําดับเรขาคณิต ถา 8
a 81
 และ 11
a 3

แลวอัตราสวนรวมของลําดับนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1.
1
2
 2.
1
3

3.
1
3
4.
1
3
5.
1
2
7. กําหนดให –2 , 0 , 2, ... เปนลําดับเลขคณิต
ถาผลบวกของ n พจนแรกของลําดับนี้เทากับ 130 แลว n มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 13 2. 14
3. 15 4. 16
5. 17

4. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |3
8. จากแผนภาพตน-ใบ ที่กําหนดให
4 4 5
5 1 1 3
6 1 1 1 2 4 8
7 0 1 2 3
8 1 2
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ขอมูลชุดนี้ไมมีฐานนิยม 2. มัธยฐาน มากกวา ฐานนิยม อยู 1
3. ฐานนิยม มากกวา มัธยฐาน อยู 1 4. มัธยฐาน = ฐานนิยม = 62
5. มัธยฐาน = ฐานนิยม = 61
9. ในการสอบวิชาวิทยาศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ซึ่งมี 40 คน
นายปรัณ สอบได 65 คะแนน และไดลําดับที่ 19
นายปราชญ สอบได 62 คะแนน และไดลําดับที่ 20
นายปราณ สอบได 60 คะแนน และไดลําดับที่ 21
มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตรของนักเรียนหองนี้เทากับขอใดตอไปนี้
1. 60 คะแนน 2. 61 คะแนน
3. 62 คะแนน 4. 62.5 คะแนน
5. 65 คะแนน
10. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 6 ลูก สีแดง 7 ลูก และ สีฟา 8 ลูก
ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลอง 2 ครั้งครั้งละ 1 ลูก โดยหยิบแลวไมใสลูกบอลกลับคืน
ความนาจะเปนที่จะไดลูกบอลสีฟาทั้งสองลูกเทากับขอใดตอไปนี้
1.
2
15
2.
1
5
3.
7
30
4.
4
15
5.
1
3

5. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |4
ตอนที่ 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกที่สุด
จํานวน 20 ขอ (ขอ 11 – 30) ขอละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน
11. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. –2 + |–5| = 3
ข.  
2
3
5 5 5
 
ค. 3
3 3 3

ง.
3
1 1
3 3
81 24 3
 
 
 
 
 
 
จํานวนขอความที่ถูกตองเทากับขอใดตอไปนี้
1. 0 (ไมมีขอความใดถูก) 2. 1
3. 2 4. 3
5. 4
12. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ x 2 x 3 5 x 3 8 x 2 40
      
เทากับขอใดตอไปนี้
1. 4 2. 5
3. 6 4. 7
5. 8
13. จํานวนเต็ม x ที่สอดคลองกับอสมการ  
6 x x 5 24
    มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้
1. 4 2. 5
3. 6 4. 7
5. 8

6. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |5
14. จํานวนจริง x ที่สอดคลองกับสมการ
1
x
x
2
4 2 1 0

   มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้
1. (–4, –2] 2. (–2, 0]
3. (0, 2] 4. (2, 4]
5. (4, 6]
15. กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เปนมุมฉาก
ถาดาน AB ยาว 10 หนวย และ 1
tan A
3
 แลวพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้
1. 10 2 ตารางหนวย 2. 15 ตารางหนวย
3. 16 ตารางหนวย 4. 10 3 ตารางหนวย
5. 13 2 ตารางหนวย
16. ให AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม ซึ่งมีรัศมี 5 หนวย
CD เปนคอรดซึ่งมีความยาว 8 หนวย และขนานกับ AB ดังรูป
ˆ
tanCAB มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1.
1
3
2.
1
3
3. 3 4. 2
5. 3
A B
C D

7. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |6
17. จากการสํารวจเรื่องการซื้อของที่ระลึกของผูที่เขาชมพิพิธภัณฑแหงหนึ่ง
จํานวน 300 คน ในสินคาสามชนิดคือ แกวกาแฟ พวงกุญแจ และโปสการด
พบวา มี 38 คน ซื้อแกวกาแฟ
155 คน ซื้อพวงกุญแจ
62 คน ซื้อโปสการด
13 คน ซื้อของที่ระลึกทั้ง 3 ชนิด
และ 120 คน ไมซื้อของที่ระลึกทั้ง 3 ชนิดเลย
จํานวนผูที่ซื้อของที่ระลึกเพียง 2 ชนิด เทานั้น เทากับขอใดตอไปนี้
1. 49 คน 2. 51 คน
3. 61 คน 4. 75 คน
5. 100 คน
18. จากแบบรูปของจํานวนเต็มที่กําหนดใหตอไปนี้ 7 , 9 , 12 , 16 , 21 , 27 , 
พจนที่ 40 คือ จํานวนเต็มในขอใดตอไปนี้
1. 716 2. 720
3. 766 4. 826
5. 840
19. กําหนดให 2
x 1 1 ; x 1
f(x)
(x 1) 1 ; x 1
   

 
  


ถา  
S a | f(a) 10
  แลวผลบวกของสมาชิกใน S ทั้งหมด เทากับขอใดตอไปนี้
1. –4 2. –2
3. 0 4. 2
5. 4

8. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |7
20. กําหนดให b, c เปนจํานวนจริง
ถากราฟของ 2
y x bx c
   มีจุดวกกลับที่จุด (1, –9)
แลวเซตคําตอบของอสมการ 2
x bx c 0
   คือเซตในขอใดตอไปนี้
1. (–, –3] [3, ) 2. (–, –4] [2, )
3. [–4, 2] 4. [–3, 3]
5. [–2, 4]
21. กําหนดให f(x) x 5
  และ g(x) = ax + b เมื่อ a , b เปนจํานวนจริง
ถาเซตคําตอบของอสมการ f(x)  g(x) คือชวงปด [–10, 15] แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้
1. 15 2.
76
5
3.
86
5
4. 20
5. 25
22. กําหนดให n
S เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิตชุดหนึ่ง
ถา 10
S 55
 และ 11
S 77
 แลว 9
S เทากับขอใดตอไปนี้
1. 33 2. 35
3. 36 4. 40
5. 44

9. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |8
23. จากตารางที่กําหนดให
หลักที่ 25
2 5 8 11 ...
7 ...
12 ...
17 ...
 ... 
แถวที่ 25 ... m
จํานวนนับในแตละแถว เปนลําดับเลขคณิต ซึ่งมีผลตางรวมเทากับ 3
และ จํานวนนับในแตละหลัก เปนลําดับเลขคณิตซึ่งมีผลตางรวมเทากับ 5
ถา m เปนจํานวนนับ ซึ่งอยูในแถวที่ 25 และหลักที่ 25
แลว m มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 186 2. 191
3. 194 4. 199
5. 202
24. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
 เปนลําดับเรขาคณิต
ถา 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 13
      

และ 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 17
      

แลวอัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิตนี้ เทากับขอใดตอไปนี้
1.
2
15
 2.
1
15

3.
1
15
4.
2
15
5.
1
5

10. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |9
25. จากการคํานวณเกรดเฉลี่ยของนักเรียนสามคนคือ จอย แจง และ แจว
ในวิชาที่ลงทะเบียนไว 4 วิชา ซึ่งมีเกรดและหนวยกิตดังนี้
วิชา คณิตศาสตร ภาษาไทย วิทยาศาสตร ภาษาอังกฤษ
จํานวนหนวยกิต 3 2 3 2
เกรดของจอย 4 3 4 2
เกรดของแจง 3 4 4 3
เกรดของแจว 4 4 2 3
การเรียงลําดับของนักเรียนทั้งสามคน ที่ไดเกรดเฉลี่ยจากนอยไปมากคือขอใดตอไปนี้
1. จอย แจง แจว 2. จอย แจว แจง
3. แจว จอย แจง 4. แจง แจว จอย
5. แจง จอย แจว
26. สวนมะนาวแหงหนึ่ง ตองการคัดขนาดของมะนาวที่สงใหซุปเปอรมารเก็ต
จึงสุมตัวอยางมะนาวมา 15 ผล นํามาชั่งน้ําหนัก(กรัม) แตละผลซึ่งเขียนเปนแผนภาพตน – ใบ ไดดังนี้
4 7 7 9
5 1 1 1 1 2 3 3 3 3 5 7 7
ถาขนาดของมะนาวที่จะสงใหซุปเปอรมารเก็ตตองมีน้ําหนักอยูในชวง x s, x s
 
 
 
เมื่อ x และ s คือคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักมะนาวที่สุมมา ตามลําดับ
แลวมะนาวที่ถูกคัดไวที่สงใหซุปเปอรมารเก็ตจากมะนาวที่สุมมามีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้
1. 10 ผล 2. 11 ผล
3. 12 ผล 4. 13 ผล
5. 15 ผล

11. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |10
27. กําหนดให 1 2 24
x , x , , x
 เปนขอมูลที่เรียงจากนอยไปมากและเปนลําดับเลขคณิต
ถาเปอรเซ็นไทลที่ 12 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของขอมูลชุดนี้เทากับ 12 และ 20.5 ตามลําดับ
แลวมัธยฐานของขอมูลชุดนี้ เทากับขอใดตอไปนี้
1. 15.25 2. 15.50
3. 16 4. 16.75
5. 17
28. ในการทอดลูกเตาสองลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ลูกเตาทั้งสองมีแตมที่เรียงติดกัน เทากับขอใดตอไปนี้
1.
1
6
2.
2
9
3.
5
18
4.
1
3
5.
7
18
29. กําหนดให  
A 0 , 1 , 2 , ... , 9
 และ  
S (m,n) | m,n A
 
ถา (m, n) เปนสมาชิกหนึ่งตัวของ S ที่ไดจากการสุม
แลวความนาจะเปนที่ (m, n) เปนจุดบนเสนตรง x – y = 1เทากับขอใดตอไปนี้
1.
9
100
2.
1
10
3.
11
100
4.
6
50
5.
13
100

12. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |11
30. จํานวนเต็มบวกสามหลัก ซึ่งไมมีเลขโดด 0 อยูเลยแตมีเลขโดด 1 อยางนอยหนึ่งตัว
มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้
1. 217 2. 321
3. 421 4. 521
5. 717

ขอบคุณ อ.เด MATHDOMAIN (https://www.facebook.com/Mathdomain-Tutor)
สําหรับขอสอบฉบับนี้จากคุณ

13. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |12
เฉลย
ตอนที่ 1
1. 5 2. 4 3. 4 4. 4 5. 2 6. 3 7. 1 8. 2 9. 2 10. 1
ตอนที่ 1
11. 5 12. 1 13. 5 14. 2 15. 2 16. 5 17 1 18. 4 19. 1 20. 5
21. 3 22. 3 23. 3 24. 1 25. 3 26. 2 27. 4 28. 3 29. 1 30. 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |13
เฉลยขอสอบ 9 วิชาสามัญ : คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 : ปการศึกษา 2561
ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกที่สุด
จํานวน 10 ขอ (ขอ 1 – 10) ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน
1.
6 5 6 5
6 5 6 5
 

 
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 5]
1. 5 2. 6
3. 11 4. 15
5. 22
ขอ 1. ตอบ 5.
แนวคิด
6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5
6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5
   
     
   
    
   
     
   
2 2
2 2 2 2
( 6 5) ( 6 5)
( 6) ( 5) ( 6) ( 5)
 
 
 
6 2 6 5 5 6 2 6 5 5
6 5 6 5
   
 
 
   
11 2 30 11 2 30
   
22
 

15. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |14
2. คําตอบของสมการ
 
x 1
x
1
5
125

 เทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 4]
1.
1
2
 2.
1
3

3.
1
4
 4.
1
4
5.
1
2
ขอ 2. ตอบ 4.
แนวคิด
จากสมการ
 
x 1
x
1
5
125


จัดใหมเปน x 1
3 x
1
5
(5 )


x 1
3x
1
5
5


จะได x 1 3x
5 5
 

แสดงวา x 1 3x
  
4x 1

1
x
4


16. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |15
3. ถา a 0
 และ 5 a a 5 15
    แลว a มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 4]
1. [–10, –8) 2. [–8, –6)
3. [–6, –4) 4. [–4, –2)
5. [–2, 0)
ขอ 3. ตอบ 4.
แนวคิด
กําหนดให a 0
 ซึ่ง 5 a a 5 15
   
จะได ( 1)(a 5) a 5 15
    
1 a 5 a 5 15
    
a 5 a 5 15
   
2 a 5 15
 
15
a 5
2
 
แสดงวา 15
a 5
2
   หรือ 15
a 5
2
 
15
a 5
2
  
15
a 5
2
 
5
a
2
 
25
a
2

เนื่องจากกําหนดให a < 0 แสดงวา a =
5
2.5 [ 4, 2)
2
     

17. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |16
4. จํานวนเต็ม x ที่สอดคลองกับอสมการ 2
1 1
109
x 9


มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 4]
1. 9 2. 10
3. 18 4. 19
5. 21
ขอ 4. ตอบ 4.
แนวคิด
จากอสมการ 2
1 1
109
x 9


โดยที่ 2
x 9 0
  จะได 2
x 9 109
 
2
x 100 0
 
(x 10)(x 10) 0
  
แสดงวาเซตคําตอบของอสมการคือ –10 < x < 10
ดังนั้นจํานวนเต็ม x ที่สอดคลองกับอสมการไดแก –9, –8, –7, ... , 7, 8, 9
ซึ่งมีทั้งหมด 19 จํานวน 
10
10
 
 

18. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |17
5. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก
มี a , b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ
ถา 1
sinA
3
 แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. a 2 2b
 2. b 2 2a

3. a = 3b 4. b = 3a
5. a = b
ขอ 5. ตอบ 2.
แนวคิด
กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก
มี a , b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A , B และ C ตามลําดับ ดังรูป
จากรูปจะได a
sin A
c

โดยที่โจทยกําหนด 1
sinA
3
 แสดงวา a 1
c 3

3a c

จากทฤษฎีบทปทาโกรัส 2 2 2
a b c
 
แทน c 3a
 ; 2 2 2
a b (3a)
 
2 2 2
a b 9a
 
2 2
b 8a

โดยที่ a, b > 0 จะได b 2 2a
 
a
b
c
C A
B

19. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |18
6. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
 เปนลําดับเรขาคณิต
ถา 8
a 81
 และ 11
a 3
 แลวอัตราสวนรวมของลําดับนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 3]
1.
1
2
 2.
1
3

3.
1
3
4.
1
3
5.
1
2
ขอ 6. ตอบ 3.
แนวคิด
กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
 เปนลําดับเรขาคณิต
สมมติให r แทนอัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิต
โจทยกําหนด 8
a 81
 และ 11
a 3

จากความสัมพันธ 3
11 8
a a r

แทน 8
a 81
 และ 11
a 3
 ; 3
3 81 r
 
นํา 81 หารตลอด ; 3
1
r
27

3 3
1
( ) r
3

แสดงวา 1
r
3
 

20. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |19
7. กําหนดให –2 , 0 , 2, ... เปนลําดับเลขคณิต
ถาผลบวกของ n พจนแรกของลําดับนี้เทากับ 130 แลว n มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1. 13 2. 14
3. 15 4. 16
5. 17
ขอ 7. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให –2 , 0 , 2, ... เปนลําดับเลขคณิต
จะพบวา d 0 ( 2) 2
    และ 1
a 2
 
โดยสูตรผลบวก n พจนแรก  
n 1
n
S 2a (n 1)d
2
  
จะได  
n
n
S 2( 2) (n 1)2
2
   
 
n
2n 6
2
 
n
2
 (2  
) n 3

2
n 3n
 
พิจารณาสมการ n
S 130
 จะได 2
n 3n 130
 
2
n 3n 130 0
  
(n 13)(n 10) 0
  
n 13 , 10
 
เนื่องจาก n ตองเปนจํานวนเต็มบวก แสดงวา n = 13 

21. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |20
8. จากแผนภาพตน-ใบ ที่กําหนดให
4 4 5
5 1 1 3
6 1 1 1 2 4 8
7 0 1 2 3
8 1 2
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. ขอมูลชุดนี้ไมมีฐานนิยม 2. มัธยฐาน มากกวา ฐานนิยม อยู 1
3. ฐานนิยม มากกวา มัธยฐาน อยู 1 4. มัธยฐาน = ฐานนิยม = 62
5. มัธยฐาน = ฐานนิยม = 61
ขอ 8. ตอบ 2.
แนวคิด
จากแผนภาพตน-ใบ ที่กําหนดให
4 4 5
5 1 1 3
6 1 1 1 2 4 8
7 0 1 2 3
8 1 2
จะไดขอมูลมี 17 จํานวน โดยเรียงจากคานอยไปมากดังนี้
44 45 51 51 53 61 61 61 62 64 68 70 71 72 73 81 82
ขอมูล 61 มีความถี่สูงสุด แสดงวา ฐานนิยมของขอมูลเทากับ 61
โดยที่ตําแหนงของมัธยฐาน เทากับ N 1 17 1
9
2 2
 
  แสดงวามัธยฐานของขอมูลเทากับ 62
จะพบวา มัธยฐาน มากกวา ฐานนิยม อยู 1 

22. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |21
9. ในการสอบวิชาวิทยาศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ซึ่งมี 40 คน
นายปรัณ สอบได 65 คะแนน และไดลําดับที่ 19
นายปราชญ สอบได 62 คะแนน และไดลําดับที่ 20
นายปราณ สอบได 60 คะแนน และไดลําดับที่ 21
มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตรของนักเรียนหองนี้เทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. 60 คะแนน 2. 61 คะแนน
3. 62 คะแนน 4. 62.5 คะแนน
5. 65 คะแนน
ขอ 9. ตอบ 2.
แนวคิด
ในการสอบวิชาวิทยาศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ซึ่งมี 40 คน
นายปรัณ สอบได 65 คะแนน และไดลําดับที่ 19
นายปราชญ สอบได 62 คะแนน และไดลําดับที่ 20
นายปราณ สอบได 60 คะแนน และไดลําดับที่ 21
โดยที่ตําแหนงของมัธยฐาน เทากับ N 1 40 1
20.5
2 2
 
 
ดังนั้น มัธยฐาน = คาเฉลี่ยของคะแนนในลําดับที่ 20 และคะแนนในลําดับที่ 21
=
62 60
2

= 61 

23. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |22
10. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 6 ลูก สีแดง 7 ลูก และ สีฟา 8 ลูก
ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลอง 2 ครั้งครั้งละ 1 ลูก โดยหยิบแลวไมใสลูกบอลกลับคืน
ความนาจะเปนที่จะไดลูกบอลสีฟาทั้งสองลูกเทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1.
2
15
2.
1
5
3.
7
30
4.
4
15
5.
1
3
ขอ 10. ตอบ 1.
แนวคิด
กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 6 ลูก สีแดง 7 ลูก และ สีฟา 8 ลูก
สุมหยิบลูกบอลจากกลอง 2 ครั้งครั้งละ 1 ลูก โดยหยิบแลวไมใสลูกบอลกลับคืน
จะไดผลลัพธทั้งหมด n(S) = 21 20 420
  วิธี
เหตุการณที่จะไดสีฟาทั้งสองลูก มีผลลัพธทั้งหมด n(E) = 8 7 56
 
ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะไดลูกบอลสีฟาทั้งสองลูก เทากับ n(E) 56 2
n(S) 420 15
  

24. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |23
ตอนที่ 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกที่สุด
จํานวน 20 ขอ (ขอ 11 – 30) ขอละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน
11. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. –2 + |–5| = 3
ข.  
2
3
5 5 5
 
ค. 3
3 3 3

ง.
3
1 1
3 3
81 24 3
 
 
 
 
จํานวนขอความที่ถูกตองเทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 5]
1. 0 (ไมมีขอความใดถูก) 2. 1
3. 2 4. 3
5. 4
ขอ 11. ตอบ 5.
แนวคิด
พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. โดยที่ –2 + |–5| = –2 + 5 = 3 แสดงวาขอความ ก. ถูกตอง
ข. โดยที่
3 3
5 5 125
   และ 2 2 2
(5 5) 5 ( 5) 25 5 125
   
ดังนั้น  
2
3
5 5 5
  แสดงวาขอความ ข. ถูกตอง
ค. โดยที่
1 1
1 3 3 1 1
3 3 ( )
3 2 2 2 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3

   
   
     
   
แสดงวาขอความ ค. ถูกตอง
ง. โดยที่
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3
3 3 3 3 3 3 3
81 24 (3 3) (2 3) 3(3) 2(3) (3) 3
       
       
        
       
แสดงวาขอความ ง. ถูกตอง
จากการพิจารณาจะพบวามีขอความที่ถูกตองจํานวน 4 ขอความ 

25. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |24
12. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ x 2 x 3 5 x 3 8 x 2 40
      
เทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1. 4 2. 5
3. 6 4. 7
5. 8
ขอ 12. ตอบ 1.
แนวคิด
จากสมการ x 2 x 3 5 x 3 8 x 2 40
      
x 2 x 3 5 x 3 8 x 2 40 0
       
   
x 3 x 2 5 8 x 2 5 0
      
  
x 3 8 x 2 5 0
    
แต x 3 8 0
   แสดงวา x 2 5 0
  
x 2 5
 
ดังนั้น x 2 5
   หรือ x 2 5
 
x 3
  x 7

จะได –3 และ 7 เปนคําตอบของสมการ
ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ เทากับ –3 + 7 = 4 

26. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |25
13. จํานวนเต็ม x ที่สอดคลองกับอสมการ  
6 x x 5 24
    มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 5]
1. 4 2. 5
3. 6 4. 7
5. 8
ขอ 13. ตอบ 5.
แนวคิด
จากสมการ  
6 x x 5 24
   
2
6 x 5x 24
    ...(*)
แสดงวา 2
6 x 5x
   และ 2
x 5x 24
 
2
x 5x 6 0
   2
x 5x 24 0
  
(x 3)(x 2) 0
   (x 8)(x 3) 0
  
x < –3 หรือ x > –2 –8 < x < 3
นั่นคือ x ( , 3) ( 2, )
      และ x ( 8,3)
 
ดังนั้นเซตคําตอบของอสมการ (*) คือ  
( , 3) ( 2, ) ( 8,3) ( 8, 3) ( 2,3)
           
มีจํานวนเต็มไดแก –7, –6, –5, –4, –1, 0, 1, 2 ซึ่งมีทั้งหมด 8 จํานวน 
3
8
 
 
2

3
 
 
2

3

8
 3

27. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |26
14. จํานวนจริง x ที่สอดคลองกับสมการ
1
x
x
2
4 2 1 0

   มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. (–4, –2] 2. (–2, 0]
3. (0, 2] 4. (2, 4]
5. (4, 6]
ขอ 14. ตอบ 2.
แนวคิด
จากสมการ
1
x
x
2
4 2 1 0

  
1
x x
2
4 4 2 1 0
   
1
2 2 x x
2
(2 ) (2 ) 2 1 0
   
x 2 x
2(2 ) 2 1 0
  
ให x
y 2
 ; 2
2y y 1 0
  
(2y 1)(y 1) 0
  
1
y , 1
2
 
แต x
y 2 0
  แสดงวา 1
y
2

จะได x 1
2
2

x 1
2 2

ดังนั้น x 1
 
นั่นคือ –1 เปนสอดคลองกับสมการ ซึ่งจะพบวา 1
  (–2, 0] 

28. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |27
15. กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เปนมุมฉาก
ถาดาน AB ยาว 10 หนวย และ 1
tan A
3
 แลวพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. 10 2 ตารางหนวย 2. 15 ตารางหนวย
3. 16 ตารางหนวย 4. 10 3 ตารางหนวย
5. 13 2 ตารางหนวย
ขอ 15. ตอบ 2.
แนวคิด
กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เปนมุมฉาก
ถาดาน AB ยาว 10 หนวย และ 1
tan A
3

ให a และ b เปนความยาวดานตรงขามมุม A และ B
โดยที่ 1
tan A
3
 จะไดวา a 1
b 3

3a b

โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส 2 2 2
a b 10
 
แทน b = 3a ; 2 2
a (3a) 100
 
2 2
a 9a 100
 
2
10a 100

2
a 10

จะได พื้นที่สามเหลี่ยม ABC
1
a b
2
  
แทน b = 3a ;
1
a 3a
2
  
2
3a
2

แทน 2
a 10
 ;
3 10
2


15
 
10
C A
B
a
b

29. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |28
16. ให AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม ซึ่งมีรัศมี 5 หนวย
CD เปนคอรดซึ่งมีความยาว 8 หนวย และขนานกับ AB ดังรูป
ˆ
tanCAB มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 5]
1.
1
3
2.
1
3
3. 3 4. 2
5. 3
ขอ 16. ตอบ 5.
แนวคิด
ให AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม ซึ่งมีรัศมี 5 หนวย
CD เปนคอรดซึ่งมีความยาว 8 หนวย และขนานกับ AB ดังรูป
ให O เปนจุดศูนยกลาง
จากจุด O ลากเสนตรงไปตั้งฉากกับ CD ที่จุด P จะไดวา P แบงครึ่ง CD นั่นคือ CP = 4
จากจุด C ลากเสนตรงไปตั้งฉากกับ AB ที่จุด Q จะไดวา OQ = CP = 4
ดังนั้น AQ = OA – OQ = 5 – 4 = 1
พิจารณาสามเหลี่ยม COQ
โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส จะได 2 2 2
(CQ) (OQ) (OC)
 
A B
C D
A B
C D
4
5
O
4
P
Q

30. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |29
แทน OQ = 4 , OC = 5 ; 2 2 2
(CQ) 4 5
 
2
(CQ) 16 25
 
2
(CQ) 9

ดังนั้น CQ 3

ตอนนี้เราไดแลววา AQ = 1 และ CQ = 3
พิจารณาสามเหลี่ยม ACQ จะได CQ 3
ˆ ˆ
tanCAB tanCAQ 3
AQ 1
    

31. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |30
17. จากการสํารวจเรื่องการซื้อของที่ระลึกของผูที่เขาชมพิพิธภัณฑแหงหนึ่ง
จํานวน 300 คน ในสินคาสามชนิดคือ แกวกาแฟ พวงกุญแจ และโปสการด
พบวา มี 38 คน ซื้อแกวกาแฟ
155 คน ซื้อพวงกุญแจ
62 คน ซื้อโปสการด
13 คน ซื้อของที่ระลึกทั้ง 3 ชนิด
และ 120 คน ไมซื้อของที่ระลึกทั้ง 3 ชนิดเลย
จํานวนผูที่ซื้อของที่ระลึกเพียง 2 ชนิด เทานั้น เทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1. 49 คน 2. 51 คน
3. 61 คน 4. 75 คน
5. 100 คน
ขอ 17. ตอบ 1.
แนวคิด
การสํารวจเรื่องการซื้อของที่ระลึกของผูที่เขาชมพิพิธภัณฑแหงหนึ่ง
จํานวน 300 คน ในสินคาสามชนิดคือ แกวกาแฟ พวงกุญแจ และโปสการด
พบวา มี 38 คน ซื้อแกวกาแฟ
155 คน ซื้อพวงกุญแจ
62 คน ซื้อโปสการด
13 คน ซื้อของที่ระลึกทั้ง 3 ชนิด
และ 120 คน ไมซื้อของที่ระลึกทั้ง 3 ชนิดเลย
ให A แทนเซตของผูเขาชมซื้อแกวกาแฟ
B แทนเซตของผูเขาชมซื้อพวงกุญแจ
C แทนเซตของผูเขาชมซื้อโปสการด
และให x, y, z แทนจํานวนสมาชิกของเซตในแผนภาพเวนน ออยเลอร ดังนี้

32. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |31
โจทยตองการหา จํานวนผูที่ซื้อของที่ระลึกเพียง 2 ชนิด เทานั้น ซึ่งเทากับ x + y + z โดยหาดังนี้
จากโจทยกําหนดและแผนภาพจะพบวา
n(A B C) 300 120 180
    
n(A) = 38 , n(B) = 155 , n(C) = 62 , n(A B C) 13
  
n(A B) x 13 , n(A C) z 13 , n(B C) y 13
        
โดยสูตร n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C)
n(A B C)
          
  
จะได 180 = 38 + 155 + 62 – (x + 13) – (z + 13) – (y + 13) + 13
180 = 229 – (x + y + z)
ดังนั้น x + y + z = 49
แสดงวา จํานวนผูที่ซื้อของที่ระลึกเพียง 2 ชนิด เทานั้น เทากับ 49 
A B
C
U
x
y
z
13
120

33. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |32
18. จากแบบรูปของจํานวนเต็มที่กําหนดใหตอไปนี้ 7 , 9 , 12 , 16 , 21 , 27 , 
พจนที่ 40 คือ จํานวนเต็มในขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 4]
1. 716 2. 720
3. 766 4. 826
5. 840
ขอ 18. ตอบ 4.
แนวคิด
จากแบบรูปของจํานวนเต็มที่กําหนดใหตอไปนี้ 7 , 9 , 12 , 16 , 21 , 27 , 
พจนที่ 1 มีคาเทากับ 7 = 6 + 1
พจนที่ 2 มีคาเทากับ 9 = 6 + 1 + 2
พจนที่ 3 มีคาเทากับ 12 = 6 + 1 + 2 + 3
พจนที่ 4 มีคาเทากับ 16 = 6 + 1 + 2 + 3 + 4
พจนที่ 5 มีคาเทากับ 21 = 6 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

โดยการอุปนัยจะไดวา
ดังนั้น พจนที่ 40 = 6 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 40
= 6 +
40(40 1)
2
 n(n 1)
1 2 3 ... n
2
 

    
 
 

= 6 + 20(41)
= 6 + 820
= 826 

34. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |33
19. กําหนดให 2
x 1 1 ; x 1
f(x)
(x 1) 1 ; x 1
   

 
  


ถา  
S a | f(a) 10
  แลวผลบวกของสมาชิกใน S ทั้งหมด เทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1. –4 2. –2
3. 0 4. 2
5. 4
ขอ 19. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให 2
x 1 1 ; x 1
f(x)
(x 1) 1 ; x 1
   

 
  


พิจารณาสมการ f(a) = 10
กรณีที่ 1 ถา a < 1
จะได f(a) = a 1 1
 
จากสมการ f(a) = 10 จะได a 1 1 10
  
a 1 9
 
a 1 9
   หรือ a 1 9
 
a 8
  หรือ a = 10
แต a < 1 แสดงวา a = – 8
กรณีที่ 2 ถา a  1
จะได f(a) = a 1 1
 
จากสมการ f(a) = 10 จะได 2
(a 1) 1 10
  
2
(a 1) 9 0
  
(a 1 3)(a 1 3) 0
    
(a 4)(a 2) 0
  
a 4 , 2
 

35. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |34
แต a  1 แสดงวา a = 4
จากทั้งสองกรณีจะได  
S a | f(a) 10 { 8,4}
   
ดังนั้นผลบวกของสมาชิกใน S เทากับ –8 + 4 = –4 

36. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |35
20. กําหนดให b, c เปนจํานวนจริง
ถากราฟของ 2
y x bx c
   มีจุดวกกลับที่จุด (1, –9)
แลวเซตคําตอบของอสมการ 2
x bx c 0
   คือเซตในขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 5]
1. (–, –3] [3, ) 2. (–, –4] [2, )
3. [–4, 2] 4. [–3, 3]
5. [–2, 4]
ขอ 20. ตอบ 5.
แนวคิด
เนื่องจากสมการกําลังสองซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา จะมีรูปมาตรฐานอยูในรูป
2
y a(x h) k
   ...(*)
เมื่อ (h, k) เปนจุดวกกลับ และ a เปนจํานวนจริง
กําหนดให b, c เปนจํานวนจริง
โจทยกําหนดใหกราฟของ 2
y x bx c
   มีจุดวกกลับที่จุด (1, –9)
จะพบวาสัมประสิทธิ์ 2
x เทากับ 1 แสดงวา a = 1 และจุด (h, k) คือจุด (1, –9)
แทน จุด (h, k) = (1, –9) และ a = 1 ในสมการ (*)
จะไดสมการ 2
y x bx c
   ใหมเปน 2
y (x 1) 9
  
พิจารณาอสมการ 2
x bx c 0
  
แทน 2
x bx c
  ดวย 2
(x 1) 9
  จะได 2
(x 1) 9 0
  
(x 1 3)(x 1 3) 0
    
(x 4)(x 2) 0
  
ดังนั้นเซตคําตอบของอสมการคือ [–2, 4] 
4
2
 
 

37. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |36
21. กําหนดให f(x) x 5
  และ g(x) = ax + b เมื่อ a , b เปนจํานวนจริง
ถาเซตคําตอบของอสมการ f(x)  g(x) คือชวงปด [–10, 15] แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 3]
1. 15 2.
76
5
3.
86
5
4. 20
5. 25
ขอ 21. ตอบ 3.
แนวคิด
กําหนดให f(x) x 5
  และ g(x) = ax + b เมื่อ a , b เปนจํานวนจริง
โดยโจทยกําหนดเซตคําตอบของอสมการ f(x)  g(x) คือชวงปด [–10, 15] จะไดกราฟของ f และ g
ดังรูป
โดยที่ f(–10) = 10 5 15
   และ f(15) 15 5 20
  
จากกราฟ จะไดจุด A และ จุด B คือ (–10, 15) และ (15, 20) ตามลําดับ
ซึ่งทั้งสองจุดอยูบนกราฟของ g แสดงวา g(–10) = 15 และ g(15) = 20
จาก g(–10) = 15 จะได –10a + b = 15 ...(1)
จาก g(15) = 20 จะได 15a + b = 20 ...(2)
Y
X
10
 15
B
A
เซตคําตอบอสมการ
f(x) x 5
  g(x) ax b
 

38. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |37
นํา (2) – (1) ; 25a = 5
1
a
5

แทน 1
a
5
 ใน (2) จะได 1
15( ) b 20
5
 
3 b 20
 
b 17

ดังนั้น a + b =
1 86
17
5 5
  

39. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |38
22. กําหนดให n
S เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิตชุดหนึ่ง
ถา 10
S 55
 และ 11
S 77
 แลว 9
S เทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 3]
1. 33 2. 35
3. 36 4. 40
5. 44
ขอ 22. ตอบ 3.
แนวคิด
กําหนดให n
S เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิตชุดหนึ่ง
สูตร  
n 1
n
S 2a (n 1)d
2
  
โดยโจทยกําหนด 10
S 55
 จะได  
1
10
2a (10 1)d 55
2
  
 
1
5 2a 9d 55
 
นํา 5 หารตลอด ; 1
2a 9d 11
  ...(1)
และโจทยกําหนด 11
S 77
 จะได  
1
11
2a (11 1)d 77
2
  
นํา 2
11
คูณตลอด ; 1
2
2a 10d 77
11
  
1
2a 10d 14
  ...(2)
นํา (2) – (1) ; d 3

แทน d = 3 ใน (2) ; 1
2a 10(3) 14
 
1
2a 30 14
 
1
2a 16
 
ดังนั้น  
9 1
9
S 2a (9 1)d
2
  
แทน 1
2a 16 , d 3
   ;  
9
16 8(3)
2
  
9
8
2
 
36
 

40. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |39
23. จากตารางที่กําหนดให
หลักที่ 25
2 5 8 11 ...
7 ...
12 ...
17 ...
 ... 
แถวที่ 25 ... m
จํานวนนับในแตละแถว เปนลําดับเลขคณิต ซึ่งมีผลตางรวมเทากับ 3
และ จํานวนนับในแตละหลัก เปนลําดับเลขคณิตซึ่งมีผลตางรวมเทากับ 5
ถา m เปนจํานวนนับ ซึ่งอยูในแถวที่ 25 และหลักที่ 25
แลว m มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 3]
1. 186 2. 191
3. 194 4. 199
5. 202
ขอ 23. ตอบ 3.
แนวคิด
จากตารางที่กําหนดให
หลักที่ 25
2 5 8 11 ...
7 ...
12 ...
17 ...
 ... 
แถวที่ 25 ... m

41. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |40
โดยที่ จํานวนนับในแตละแถว เปนลําดับเลขคณิต ซึ่งมีผลตางรวมเทากับ 3
และ จํานวนนับในแตละหลัก เปนลําดับเลขคณิตซึ่งมีผลตางรวมเทากับ 5
โดยสูตรพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต n 1
a a (n 1)d
  
พิจารณาในแถวที่ 1 มีพจนที่ 1 คือ 2 และ ผลตางรวมเทากับ 3
จะไดพจนที่ 25 คือ 2 + (25 – 1)3 = 74
จะไดจํานวนในแถวที่ 1 หลักที่ 25 คือ 74
พิจารณาในหลักที่ 25 มีพจนที่ 1 คือ 74 และ ผลตางรวมเทากับ 5
จะไดพจนที่ 25 คือ 74 + (25 – 1)5 = 194
จะไดจํานวนในแถวที่ 25 หลักที่ 25 คือ 194
โจทยกําหนด m เปนจํานวนนับ ซึ่งอยูในแถวที่ 25 และหลักที่ 25
แสดงวา m = 194 

42. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |41
24. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
 เปนลําดับเรขาคณิต
ถา 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 13
      

และ 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 17
      

แลวอัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิตนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1.
2
15
 2.
1
15

3.
1
15
4.
2
15
5.
1
5
ขอ 24. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , , a
 เปนลําดับเรขาคณิต
สมมติให r แทนอัตราสวนรวมของลําดับ
โดยสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต
n
1
n
a (1 r )
S
1 r



โดยที่ 1 2 3 19 20
a , a , a , , a , a
 เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนนรวมเทากับ r
โจทยกําหนด 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 13
      

จะได
20
1
a (1 r )
13
1 r



นํา 1 – r คูณตลอด ; 20
1
a (1 r ) 13 13r
   ...(1)
โดยที่ 1 2 3 19 20
a , a , a , , a , a
 
 เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนนรวมเทากับ –r
โจทยกําหนด 1 2 3 4 19 20
a a a a a a 17
      

20
1
a (1 ( r) )
17
1 ( r)
 

 
20
1
a (1 r )
17
1 r




43. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |42
นํา 1 + r คูณตลอด ; 20
1
a (1 r ) 17 17r
   ...(2)
จาก (1) และ (2) จะได 17 17r 13 13r
  
30r 4
 
4 2
r
30 15
   
ดังนั้น อัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิตนี้ เทากับ 2
15
 

44. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |43
25. จากการคํานวณเกรดเฉลี่ยของนักเรียนสามคนคือ จอย แจง และ แจว
ในวิชาที่ลงทะเบียนไว 4 วิชา ซึ่งมีเกรดและหนวยกิตดังนี้
วิชา คณิตศาสตร ภาษาไทย วิทยาศาสตร ภาษาอังกฤษ
จํานวนหนวยกิต 3 2 3 2
เกรดของจอย 4 3 4 2
เกรดของแจง 3 4 4 3
เกรดของแจว 4 4 2 3
การเรียงลําดับของนักเรียนทั้งสามคน ที่ไดเกรดเฉลี่ยจากนอยไปมากคือขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 3]
1. จอย แจง แจว 2. จอย แจว แจง
3. แจว จอย แจง 4. แจง แจว จอย
5. แจง จอย แจว
ขอ 25. ตอบ 3.
แนวคิด
จากการคํานวณเกรดเฉลี่ยของนักเรียนสามคนคือ จอย แจง และ แจว
ในวิชาที่ลงทะเบียนไว 4 วิชา ซึ่งมีเกรดและหนวยกิตดังนี้
วิชา คณิตศาสตร ภาษาไทย วิทยาศาสตร ภาษาอังกฤษ
จํานวนหนวยกิต 3 2 3 2
เกรดของจอย 4 3 4 2
เกรดของแจง 3 4 4 3
เกรดของแจว 4 4 2 3
จากสูตรคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิตแบบถวงน้ําหนัก
n
i i
i 1
n
i
i 1
x w
x
w






45. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |44
โดยหนวยกิตเปรียบเหมือนน้ําหนักของขอมูล
จะได เกรดเฉลี่ยของจอย =
(4 3) (3 2) (4 3) (2 2) 34
3.4
3 2 3 2 10
      
 
  
เกรดเฉลี่ยของแจง =
(3 3) (4 2) (4 3) (3 2) 35
3.5
3 2 3 2 10
      
 
  
เกรดเฉลี่ยของแจว =
(4 3) (4 2) (2 3) (3 2) 32
3.2
3 2 3 2 10
      
 
  
จะพบวา เกรดเฉลี่ยจากนอยไปมากเปน แจว จอย แจง 

46. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |45
26. สวนมะนาวแหงหนึ่ง ตองการคัดขนาดของมะนาวที่สงใหซุปเปอรมารเก็ต
จึงสุมตัวอยางมะนาวมา 15 ผล นํามาชั่งน้ําหนัก(กรัม) แตละผลซึ่งเขียนเปนแผนภาพตน – ใบ ไดดังนี้
4 7 7 9
5 1 1 1 1 2 3 3 3 3 5 7 7
ถาขนาดของมะนาวที่จะสงใหซุปเปอรมารเก็ตตองมีน้ําหนักอยูในชวง x s, x s
 
 
 
เมื่อ x และ s คือคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักมะนาวที่สุมมา ตามลําดับ
แลวมะนาวที่ถูกคัดไวที่สงใหซุปเปอรมารเก็ตจากมะนาวที่สุมมามีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 2]
1. 10 ผล 2. 11 ผล
3. 12 ผล 4. 13 ผล
5. 15 ผล
ขอ 26. ตอบ 2.
แนวคิด
สวนมะนาวแหงหนึ่ง ตองการคัดขนาดของมะนาวที่สงใหซุปเปอรมารเก็ต
จึงสุมตัวอยางมะนาวมา 15 ผล นํามาชั่งน้ําหนัก(กรัม) แตละผลซึ่งเขียนเปนแผนภาพตน – ใบ ไดดังนี้
4 7 7 9
5 1 1 1 1 2 3 3 3 3 5 7 7
เมื่อ x และ s คือคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักมะนาวที่สุมมา ตามลําดับ
จากสูตรคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิต
n
i
i 1
x
x
n



จะได 47 47 49 51 51 51 51 52 53 53 53 53 55 57 57
x
15
             

780
15

52


47. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |46
จากสูตรคํานวณคาสวนเบี่ยงเบีนมาตรฐานของกลุมตัวอยาง
n
2
i
i 1
(x x)
s
n 1





15
2 2 2 2 2 2
i
i 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x 52) (47 52) (47 52) (49 52) (51 52) (51 52)
(51 52) (51 52) (52 52) (53 52) (53 52)
(53 52) (53 52) (55 52) (57 52) (57 52)
25 25 9 1 1 1 1 0 1 1 1 1 9 25 25
126

           
         
        
              


ดังนั้น
15
2
i
i 1
(x 52)
126
s 9 3
15 1 14


   


โจทยกําหนดขนาดของมะนาวที่จะสงใหซุปเปอรมารเก็ตตองมีน้ําหนักอยูในชวง x s, x s
 
 
 
แสดงวาน้ําหนักมะนาวตองอยูในชวง [52 – 3 , 52 + 3] = [49, 55]
ซึ่งจากขอมูลที่กําหนดมาจะพบวามีน้ําหนักมะนาวที่ถูกคัดไวที่สงใหซุปเปอรมารเก็ต
ไดแก 49 , 51 , 51 , 51 , 51 , 52 , 53 , 53 , 53 , 53 , 55 ซึ่งมีทั้งหมด 11 ผล 

48. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |47
27. กําหนดให 1 2 24
x , x , , x
 เปนขอมูลที่เรียงจากนอยไปมากและเปนลําดับเลขคณิต
ถาเปอรเซ็นไทลที่ 12 และเปอรเซ็นไทลที่ 80 ของขอมูลชุดนี้เทากับ 12 และ 20.5 ตามลําดับ
แลวมัธยฐานของขอมูลชุดนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 4]
1. 15.25 2. 15.50
3. 16 4. 16.75
5. 17
ขอ 27. ตอบ 4.
แนวคิด
กําหนดให 1 2 24
x , x , , x
 เปนขอมูลที่เรียงจากนอยไปมากและเปนลําดับเลขคณิต
สมมติให d เปนผลตางรวมของลําดับ
พิจารณาเปอรเซ็นไทลที่ 12
โดยที่ตําแหนงของเปอรเซ็นไทลที่ 12 เทากับ 12(N 1) 12(24 1)
3
100 100
 
 
ดังนั้นเปอรเซ็นไทลที่ 12 เทากับ 3
x
โดยโจทยกําหนดเปอรเซ็นไทลที่ 12 เทากับ 12 แสดงวา 3
x 12

พิจารณาเปอรเซ็นไทลที่ 80
โดยที่ตําแหนงของเปอรเซ็นไทลที่ 80 เทากับ 80(N 1) 80(24 1)
20
100 100
 
 
ดังนั้นเปอรเซ็นไทลที่ 80 เทากับ 20
x
โดยโจทยกําหนดเปอรเซ็นไทลที่ 80 เทากับ 20.5 แสดงวา 20
x 20.5

หาคา d
โดยที่ 20 3
x x 17d
 
แทนคา 3
x 12
 และ 20
x 20.5
 ; 20.5 12 17d
 
d 0.5

หาคามัธยฐานดังนี้

49. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |48
โดยที่ตําแหนงของมัธยฐาน เทากับ N 1 24 1
12.5
2 2
 
 
ดังนั้น มัธยฐาน 12 13
x x
2


3 3
(x 9d) (x 10d)
2
  

3
2x 19d
2


แทน 3
x 12
 และ d = 0.5 ;
2(12) 19(0.5)
2


33.5
2

16.75
 

50. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |49
28. ในการทอดลูกเตาสองลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ลูกเตาทั้งสองมีแตมที่เรียงติดกัน เทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 3]
1.
1
6
2.
2
9
3.
5
18
4.
1
3
5.
7
18
ขอ 28. ตอบ 3.
แนวคิด
ในการทอดลูกเตาสองลูกพรอมกัน จะไดผลลัพธคือ
S = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6)
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
จะไดผลลัพธทั้งหมด n(S) = 6 6 36
  วิธี
เหตุการณที่ลูกเตาทั้งสองมีแตมเรียงติดกัน มีผลลัพธคือ
E = {(1,2) , (2,1) , (2,3), (3,2), (3,4), (4,3) , (4,5) , (5,4), (5,6) , (6,5) }
จะไดผลลัพธทั้งหมด n(E) = 10 วิธี
ความนาจะเปนที่ลูกเตาทั้งสองมีแตมที่เรียงติดกัน เทากับ n(E) 10 5
n(S) 36 18
  

51. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |50
29. กําหนดให  
A 0 , 1 , 2 , ... , 9
 และ  
S (m,n) | m,n A
 
ถา (m, n) เปนสมาชิกหนึ่งตัวของ S ที่ไดจากการสุม
แลวความนาจะเปนที่ (m, n) เปนจุดบนเสนตรง x – y = 1 เทากับขอใดตอไปนี้
[คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1.
9
100
2.
1
10
3.
11
100
4.
6
50
5.
13
100
ขอ 29. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให  
A 0 , 1 , 2 , ... , 9

และ  
S (m,n) | m,n A
 
จะได  
S (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),...,(9,8),(9,9)

สุม (m, n) เปนสมาชิกหนึ่งตัวของ S
จะได ผลลัพธทั้งหมด n(S) 10 10 100
    วิธี
พิจารณาเหตุการณ E ซึ่งมีสมาชิก (m,n) S
 ที่สอดคลองกับสมการ x – y = 1
จะได E = {(1,0) , (2,1), (3,2) , (4,3) , (5,4) , (6,5) , (7,6) , (8,7) , (9,8) }
จะไดผลลัพธทั้งหมด n(E) = 9 วิธี
ดังนั้น ความนาจะเปนที่ (m, n) เปนจุดบนเสนตรง x – y = 1 เทากับ n(E) 9
n(S) 100
 

52. รหัสวิชา 89 คณิตศาสตร 2
วันอาทิตยที่ 17 มีนาคม 2562 เวลา 08.30 – 10.00 น.
หนา |51
30. จํานวนเต็มบวกสามหลัก ซึ่งไมมีเลขโดด 0 อยูเลยแตมีเลขโดด 1 อยางนอยหนึ่งตัว
มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้ [คณิตศาสตร 2 : 17 มี.ค. 2562 : 1]
1. 217 2. 321
3. 421 4. 521
5. 717
ขอ 30. ตอบ 1.
แนวคิด
เนื่องจาก
จํานวนของจํานวนเต็มบวกสามหลัก ซึ่งไมมีเลขโดด 0 อยูเลยแตมีเลขโดด 1 อยางนอยหนึ่งตัว
เทากับ (จํานวนของจํานวนเต็มบวกสามหลัก ซึ่งไมมีเลขโดด 0) – (จํานวนของจํานวนเต็มบวกสามหลัก
ซึ่งไมมีเลขโดด 0 และไมมีเลขโดด 1)
ดังนั้น
จํานวนของจํานวนเต็มบวกสามหลัก ซึ่งไมมีเลขโดด 0 อยูเลยแตมีเลขโดด 1 อยางนอยหนึ่งตัว
= (9 9 9) (8 8 8)
    
= 729 – 512
= 217 

อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก
โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม
www.facebook.com/GTRmath