Complex number1

1
จํานวนจินภาพ
จํานวนเชิงซอน
คาของin
การเทากันของจํานวนเชิงซอนการบวกลบจํานวนเชิงซอน
การคูณจํานวนเชิงซอน
ดวยจํานวนจริง
การคูณจํานวนเชิงซอน
ดวยจํานวนเชิงซอน
สังยุคของจํานวนเชิงซอนการหารจํานวนเชิงซอนเอกลักษณและตัวผกผัน
ของจํานวนเชิงซอน
คาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอนจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้วการหารากที่n
กราฟจํานวนเชิงซอน
การแกสมการที่ผลลัพธ
เปนจํานวนเชิงซอน
โจทยปญหา

2
1. จํานวนจินตภาพ (Imaginary Number)
จํานวนจินตภาพ คือ จํานวนที่มีลักษณะเปนจํานวนจริงลบที่อยูภายในเครื่องหมาย
เราใชสัญลักษณ i แทน 1−
เราสามารถเขียนจํานวนจินตภาพตางๆ ไดในรูปของ i ดังนี้ เชน
1. 9 9( 1) 9 1 3 1 3i− = − = ⋅ − = − =
2. 16 16( 1) 16 1 4 1 4i− = − = ⋅ − = − =
3. 43 43( 1) 43 1 43i− = − = ⋅ − = เปนตน
2. คาของ n
i
เมื่อ n I +
∈ เราสามารถหาคา n
i ไดดังนี้

3
เมื่อ 1
1n i i= ⇒ =
2
3 2
4 2 2
2 1 1 1
3 ( 1)
4 ( 1)( 1) 1
n i
n i i i i i
n i i i
= ⇒ = − − = −
= ⇒ = = − = −
= ⇒ = = − − =
5 4
6 4 2 2
7 4 3 3
8 4 4 4
5 (1)
6 (1) 1
7 (1)
8 (1) 1
n i i i i i
n i i i i
n i i i i i
n i i i i
= ⇒ = = =
= ⇒ = = = −
= ⇒ = = = −
= ⇒ = = =
i i i i
i i i i
i i i i
n หารดวย 4 เหลือเศษ 1
n
i i⇒ =
n หารดวย 4 เหลือเศษ 2 1n
i⇒ = −
n หารดวย 4 เหลือเศษ 3
n
i i⇒ = −
n หารดวย 4 เหลือเศษ 0 1n
i⇒ =
ตัวอยาง เชน
1. 25
?i =
25หารดวย 4 เหลือเศษ 1 25
i i⇒ =
2. 1003
?i =
1003 หารดวย 4 เหลือเศษ 3 1003
i i⇒ = −
3. 2014
?i =
2014หารดวย 4 เหลือเศษ 2 2014
1i⇒ = −
4. 100000
?i =
100000 หารดวย 4 เหลือเศษ 0 (ลงตัว) 100000
1i⇒ = เปนตน
1 2⇒ 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
i i i i
i i i i
i i i i
i i⇒ −1 − 1
n
n
i

4
3. จํานวนเชิงซอน (Complex Number)
จํานวนเชิงซอนประกอบไปดวย 2 สวนคือ
1. สวนจริง คือสวนที่เปนจํานวนจริง แทนดวยสัญลักษณ a โดยที่ a R∈
2. สวนจินตภาพ คือสวนที่เปนจํานวนจินตภาพ แทนดวยสัญลักษณ b มีความหมายวา bi
โดยที่ b R∈ และ 1i = −
จํานวนเชิงซอน เปนเซตของจํานวนจริงยูเนียนกับเซตของจํานวนจินตภาพ แทนดวยสัญลักษณ z
( , )z a bi a b= + =
a คือสวนจริงอาจแทนดวยสัญลักษณ Re( )z
b คือสวนจริงอาจแทนดวยสัญลักษณ Im( )z
ขอสังเกต
1. จํานวนเชิงซอน ( , )z a b a bi= = + ที่ 0a z bi= ⇒ = เราเรียกจํานวน
เชิงซอน z วา “จํานวนจินตภาพแท”
2. จํานวนเชิงซอน ( , )z a b a bi= = + ที่ 0b z a= ⇒ = เราเรียกจํานวน
เชิงซอน z วา “จํานวนจริง”
1. 5 6 5 6 (5, 6)i+ − = + =
⇒ จํานวนเชิงซอนนี้มี สวนจริงเทากับ 5 และ สวนจินตภาพเทากับ 6
2. 8 8 (0) (8,0)i= + =
⇒ จํานวนเชิงซอนนี้มี สวนจริงเทากับ 8 และ สวนจินตภาพเทากับ 0
3. 6 0 6 (0, 6)i− = + =
⇒ จํานวนเชิงซอนนี้มี สวนจริงเทากับ 0 และ สวนจินตภาพเทากับ 6 …… เปนตน
สวนจริง สวนจินตภาพ

5
4. การเทากันของจํานวนเชิงซอน
ให 1 2( , ) , ( , )z a b a bi z c d c di= = + = = +
1 2z z= ก็ตอเมื่อ a c= และ b d=
( , ) ( , )a b c d=
1. ให 1 3z x i= + และ 2 5z yi= + จงหา x และ y
วิธีทํา
1 2
3 5
z z
x i yi
=
+ = +
5x∴ = และ 3y =
5. การบวกลบจํานวนเชิงซอน
ให 1 2( , ) , ( , )z a b a bi z c d c di= = + = = +
1 2
1 2
( , ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( )
z z a c b d a c b d i
z z a c b d a c b d i
+ = + + = + + +
− = − − = − + −
1. ถา 1 7 5z i= + และ 2 4 10z i= − จงหา 1 2 1 2,z z z z+ − และ 2 1z z−
เทากัน

6
1) …….. 1 2 (7 5 ) (4 10 )z z i i+ = + + −
1 2
1 2
(7 4) (5 10)
11 5
z z i
z z i
+ = + + −
∴ + = −
2) …….. 1 2 (7 5 ) (4 10 )z z i i− = + − −
1 2
1 2
1 2
7 5 4 10
(7 4) (5 10)
3 15
z z i i
z z i
z z i
− = + − +
− = − + +
∴ − = +
3) …….. 2 1 (4 10 ) (7 5 )z z i i− = − − +
2 1
2 1
2 1
4 10 7 5
(4 7) ( 10 5)
3 15
z z i i
z z i
z z i
− = − − −
− = − + − −
∴ − = − −
1 2 2 1( )z z z z− = − −
6. การคูณจํานวนเชิงซอนดวยจํานวนจริง
ให ( , )z a b a bi= = + และ k R∈
( , ) ( ) ( )kz ka kb ka kb i= = +
1. ให 1 4 2z i= − และ 2 1 3z i= + จงหาคาของ 1 23 2z z−
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3 2 3(4 2 ) 2(1 3 )
3 2 (12 6 ) (2 6 )
3 2 12 6 2 6
3 2 (12 2) ( 6 6 )
3 2 10 12
z z i i
z z i i
z z i i
z z i i
z z i
− = − − +
− = − − +
− = − − −
− = − + − −
∴ − = −

7
2. ให 1 22 5 2z z i− = + และ 1 2 3z i= + จงหาคาของ 2z
1 2
1 2
2 1
2
2
2
2
2
2 5 2
2 (5 2 )
2 (5 2 )
2(2 3 ) (5 2 )
(4 6 ) (5 2 )
4 6 5 2
(4 5) (6 2)
1 4
z z i
z i z
z z i
z i i
z i i
z i i
z i
z i
− = +
− + =
= − +
= + − +
= + − +
= + − −
= − + −
∴ = − +
7. การคูณจํานวนเชิงซอนดวยจํานวนเชิงซอน
ให 1 2( , ) , ( , )z a b a bi z c d c di= = + = = +
1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )z z a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc i⋅ = ⋅ = − + = − + +
หรือ อาจทําการคูณแบบพบกันหมดเหมือนกับการคูณพหุนาม ดังนี้
1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
( )( )
( )( ) ( )( )
[ ( ) ] [( ) ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
z z a bi c di
z z a bi c a bi di
z z ac bc i ad i bd i
z z ac bc i ad i bd
z z ac bd ad bc i
= + +
= + + +
= + + +
= + + −
∴ = − + +
1. จงหาคา (2 )(3 5 )i i+ +
2
(2 )(3 5 ) (2 )(3) (2 )(5 )
(2 )(3 5 ) (6 3 ) (10 5 )
(2 )(3 5 ) 6 3 10 5
(2 )(3 5 ) (6 5) (3 10) 1 13
i i i i i
i i i i i
i i i i
i i i i
+ + = + + +
+ + = + + +
+ + = + + −
+ + = − + + = +

8
2. จงหาคา (3 4 )(3 4 )i i+ −
2 2
2
(3 4 )(3 4 ) 3 (4 )
(3 4 )(3 4 ) 9 16
(3 4 )(3 4 ) 9 16( 1)
(3 4 )(3 4 ) 9 16
(3 4 )(3 4 ) 25
i i i
i i i
i i
i i
i i
+ − = −
+ − = −
+ − = − −
+ − = +
∴ + − =
3. กําหนด 1 (2, 5)z = − และ 2 ( 1,3)z = − จงหา 1 2 13z z z−
1 2 1
1 2 1
2
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
3 (2 5 )( 1 3 ) 3(2 5 )
3 (2 5 )( 1) (2 5 )(3 ) (6 15 )
3 ( 2 5 6 15 ) (6 15 )
3 ( 2 11 15) (6 15 )
3 13 11 6 15
3 7 26
z z z i i i
z z z i i i i
z z z i i i i
z z z i i
z z z i i
z z z i
− = − − + − −
− = − − + − − −
− = − + + − − −
− = − + + − −
− = + − +
∴ − = +
สมบัติของการบวกลบและคูณจํานวนเชิงซอน
ให 1 2,z z และ 3z เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ k R∈
1)
1 2 2 1
1 2 1 2( )
z z z z
z z z z
+ = +
− = + −
2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + +
3) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )k z z kz z z kz= =
4) 1 2 1 2( )k z z kz kz+ = +
5) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z= 6) 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z+ = +
จาก….(หนา)2
-(หลัง)2
=(หนา-หลัง)(หนา+หลัง)

9
แบบฝกหัด
1. จงบอกคา Re(z) และ Im(z) ของจํานวนเชิงซอน z ตอไปนี้
1.1) 2 3z i= +
1.2) 5 7z i= −
1.3)
1 3
2 2
z i= +
1.4) 7z = −
1.5) 15z =

10
1.6) 2 3z = − −
1.7) 4 7z i= +
1.8) 2 9z = + −
2. จงหาจํานวนจริง a,b ที่ทําใหสมการในแตละขอตอไปนี้เปนจริง
2.1) 2 3 4 6a bi i− = +
2.2) 2 5 12a b abi i+ − = −

11
2.3) 2 10a bi+ =
2.4) 3 ( ) 2a a b i i+ − = +
2.5) ( )(2 5 ) 3a bi i i+ + = −

12
2.6) (3 4) (2 ) ( 5) ( 3)a a b i b a i+ + + = + + +
2.7) (2 9) (9 2 ) (2 3 ) ( 2 )a a i b a b i+ + − = − + −

13
3. จงหาคาของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้
3.1)
2
(4 )i+
3.2)
2
(2 2 )i−
3.3) (3 2 )(2 4 )i i+ +
3.4) ( 2 3 )( 2 3 )i i− +

14
3.5) (2 )(1 3 )( 4)i i i+ + −
4. กําหนดให 1 3 4z i= + และ 2z a bi= + ถา 1 2 1 7z z i= − + จงหา 2z

15
5. จงหาคาของ 2 3 2557
...i i i i+ + + +
6. ให 1 22 5 , 4 3z i z i= − = + และ 3 1z i= + จงหาคาของ
6.1) 1 22 4z z−
6.2) 1 2 3( 2 )z z z+ +

16
7. จงแสดงวา 1 2 3
0n n n n
i i i i+ + +
+ + + = เมื่อ n I +
∈
8. ถา
1 5
2
i
z
− +
= จงหาคาของ 2
2 2 3z z+ +

17
9. ให 1z และ 2z เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ ถา 1 2 18z z+ = − และ
1 2 14z z i− = แลว 1z มีคาเทาใด
10. ถา (3 )( ) 5 3 2i a bi i i− + − = + จงหาคา 15 20a b+

18
8. สังยุคของจํานวนเชิงซอน
ให z=a+bi และเปนจํานวนเชิงซอนใดๆ สังยุคของ z เขียนแทนดวยสัญลักษณ z มี
ความหมายวา a-bi
[ ] [ ]z a bi z a bi= + → = −
1. สังยุคของ 1 2i+ คือ 1 2i−
2. สังยุคของ 1 2i− คือ 1 2i+
3. สังยุคของ 3 5i− คือ 3 5i+
4. สังยุคของ 3 5i+ คือ 3 5i− …………เปนตน
5. กําหนดให 1 22 4 , 3 5z i z i= + = − จงหา 1 2z z และ 1 2z z
หา 1 2z z
1) หา 1 2z z
1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
(2 4 )(3 5 )
(2 4 )(3) (2 4 )(5 )
(6 12 ) (10 20 )
(6 12 ) (10 20)
6 12 10 20
26 2
z z i i
z z i i i
z z i i i
z z i i
z z i i
z z i
= + −
= + − +
= + − +
= + − −
= + − +
∴ = +

19
2) หา 1 2z z
1 2
1 2
26 2
26 2
z z i
z z i
= +
∴ = −
หา 1 2z z
1) หา 1 2,z z
1
1
2 4
2 4
z i
z i
= +
∴ = −
2
2
3 5
3 5
z i
z i
= −
∴ = +
2) หา 1 2z z
1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
(2 4 )(3 5 )
(2 4 )(3) (2 4 )(5 )
(6 12 ) (10 20 )
6 12 10 20
26 2
z z i i
z z i i i
z z i i i
z z i i
z z i
= − +
= − + −
= − + −
= − + +
∴ = −
1 2 1 2z z z z=
สมบัติของสังยุคของจํานวนเชิงซอน
ให 1,z z และ 2z เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ k R∈

20
1) z z=
2) 1 2 1 2z z z z± = ±
3) kz k z=
4) 1 2 1 2z z z z=
5)
1 1
2
2 2
( ) , 0
z z
z
z z
= ≠
9. การหารจํานวนเชิงซอน
ให 1z a bi= + และ 2z c di= + เราสามารถหาคาของ
1
2
z
z
ได โดยการ
นําสังยุคของ 2 2( )z z มาคูณทั้งเศษและสวน จะทําใหตัวสวนกลายเปนจํานวนจริง ดังนี้
1
2 2
2
( )( ) ( )( )
( )( )
z a bi a bi c di a bi c di
z c di c di c di c d
+ + − + −
= = =
+ + − +
1. จงหาคาของ
3 4
5
i
i
+
−
2 2
2
3 4 (3 4 )(5 )
5 (5 )(5 )
3 4 (3 4 )(5) (3 4 )( )
5 5
3 4 (15 20 ) (3 4 )
5 25 1
3 4 (15 20 3 4)
5 26
i i i
i i i
i i i i
i i
i i i i
i
i i i
i
+ + +
=
− − +
+ + + +
=
− −
+ + + +
=
− +
+ + + −
=
−

21
3 4 11 23
5 26
3 4 11 23
( )
5 26 26
i i
i
i
i
i
+ +
=
−
+
∴ = +
−
25
1
1
i
i
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
2525
1 (1 )(1 )
1 (1 )(1 )
i i i
i i i
⎛ ⎞+ + +⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
25 25
2 2
2525 2
25 25
25 25
25
25
25
1 (1 )(1) (1 )( )
1 1
1 (1 )
1 1 1
1 (1 1)
1 2
1 2
1 2
1
1
1
1
i i i i
i i
i i i i
i
i i i
i
i i
i
i
i
i
i
i
i
+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞
=⎜ ⎟
−⎝ ⎠
+⎛ ⎞
∴ =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
3. ให
2
1 2
1 3
i
z
i
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
จงหาคา z

22
2
2
2
2 2
22
2
2
2
2
1 2
1 3
(1 2 )(1 3 )
(1 3 )(1 3 )
(1 2 )(1) (1 2 )(3 )
1 (3 )
(1 2 ) (3 6 )
1 9
(1 2 ) (3 6)
1 9
1 2 3 6
10
1 2
1 3
(1 2 )(1 3 )
(1 3 )(1
i
z
i
i i
z
i i
i i i
z
i
i i i
z
i
i i
z
i i
z
i
z
i
i i
z
i
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
⎛ ⎞− −
= ⎜ ⎟
+ −⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
− − +⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
− −
=
+
2
2
2 2
22
2
2
2
2
3 )
(1 2 )(1) (1 2 )(3 )
1 (3 )
(1 2 ) (3 6 )
1 9
(1 2 ) (3 6)
1 9
1 2 3 6
10
5 5
10
i
i i i
z
i
i i i
z
i
i i
z
i i
z
i
z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
− − +⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠

23
2
2
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
1 1 1
4 2 4
2
z i
z i
z i i
z i
i
z
⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + −
∴ =
10.เอกลักษณและตัวผกผันของจํานวนเชิงซอน
10.1 เอกลักษณและตัวผกผันของการบวก
ให z a bi= + เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ
1) เอกลักษณของการบวกของ z คือ 0
0 0z z z+ = + =
2) ตัวผกผันของการบวกของ z คือ -z
( ) ( ) 0z z z z+ − = − + =
10.2 เอกลักษณและตัวผกผันของการคูณ
ให z a bi= + เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ
1) เอกลักษณของการคูณของ z คือ 1
1 1z z z⋅ = ⋅ =

24
2) ตัวผกผันของการคูณของ z คือ
1 1
z
z
−
=
1 1
1z z
z z
⋅ = ⋅ =
วิธีการหาคาของ
1
z
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
1 (1)( )
( )( )
1 ( )
( )
1
1
z a bi
a bi
z a bi a bi
a bi
z a bi
a bi
z a b
a b
i
z a b a b
=
+
−
=
+ −
−
=
−
−
=
+
∴ = −
+ +
1. ให 3 5z i= + จงหาคาของ z− และ
1
z
1) หาคา z−
3 5
(3 5 )
3 5
z i
z i
z i
= +
− = − +
∴ − = − −
2) หาคา
1
z

25
2 2
2 2
3 5
1 1
3 5
1 (1)(3 5 )
(3 5 )(3 5 )
1 3 5
3 (5 )
1 3 5
3 5
1 3 5
34
1 3 5
34 34
z i
z i
i
z i i
i
z i
i
z
i
z
i
z
= +
=
+
−
=
+ −
−
=
−
−
=
+
−
=
∴ = −
2. ให 1 2 3z i= − และ 1 2 22 1 0z z z+ − = จงหาตัวผกผันการคูณของ
2
2
1
( )z
z
1) จาก ……………… 1 2 22 1 0z z z+ − =
1 2 2
1 2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2 1
( 2) 1
1
( 2)
1
( 2)
1
2
1
2
1
2
z z z
z z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
+ =
+ =
=
+
=
+
=
+
=
+
∴ = +

26
2) หา
2
1
z
จาก…………………. 1
2
1
2z
z
= +
2
2
2
1
(2 3 ) 2
1
(2 3 ) 2
1
4 3
i
z
i
z
i
z
= + +
= − +
∴ = −
3. กําหนดให 9 10 11 126
...z i i i i= + + + + เมื่อ 2
1i = − แลว 1
2z−
มีคา
เทากับเทาใด
1) หา z
จาก…………….. 9 10 11 126
...z i i i i= + + + +
9 10 11 12 13 14 15 16
121 122 123 124 125 126
( ) ( ) ...
)
z i i i i i i i i
i i i i i i
= + + + + + + + + +
( + + + + +
( 1 1) ( 1 1) ... ( 1 1) 1
1
z i i i i i i i
z i
= − − + + − − + + + − − + + −
∴ = − +
2) หา 1
2z−

27
1
1
1
1
2 2
1
1
1
2
2
2
2
1
(2)( 1 )
2
( 1 )( 1 )
2 2
2
( 1)
2 2
2
1 1
2 2
2
2
2 1
z
z
z
i
i
z
i i
i
z
i
i
z
i
z
z i
−
−
−
−
−
−
−
=
=
− +
− −
=
− + − −
− −
=
− −
− −
=
+
− −
=
∴ = − −
11. คาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน
ให z a bi= + คาสัมบูรณของ z เขียนแทนดวยสัญลักษณ z สามารถหาคาของ z ไดดังนี้
2 2
z a bi a b= + = +
1. ให 1 2z i= + จงหา z
2 2
1 2
1 2
5
z i
z
z
= +
= +
∴ =
2. ให 5z i= จงหา z

28
2 2
5
0 5
0 5
25
5
z i
z i
z
z
z
=
= +
= +
=
∴ =
สมบัติของคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน
ให 1,z z และ 2z เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ ,k R n I +
∈ ∈
1) z z z= − =
2)
2
z z z= ⋅
3) kz k z=
4) 1 2 1 2z z z z=
5)
11
2 2
zz
z z
= เมื่อ 2 0z ≠
6)
nn
z z=
1. ให 2 3z i= + จงหาคาของ
8
z
88
88
2 3
z z
z i
=
= +

29
88
88
8 2 2 8
8 8
8 4
2 3
( 2 3 )
( 13)
13
z z
z i
z
z
z
=
= +
= +
=
∴ =
2. ถา 1 1 3z i= + และ 2 1 3z i= + จงหาคาของ
6 2
1 2z z
6 2 6 2
1 2 1 2
6 26 2
1 2 1 2
266 2
1 2
6 2 2 2 6 2 2 2
1 2
6 2 6 2
1 2
6 2 3 2
1 2
6 2
1 2
1 3 1 3
( 1 3 ) ( 1 ( 3) )
( 10) ( 4)
10 2
4,000
z z z z
z z z z
z z i i
z z
z z
z z
z z
=
=
= + +
= + +
=
= ⋅
∴ =
3. จากสมการ
22 3 4
2 1 2
i i
z
i i
+ +
+ =
− +
จงหาคาของ z
1) หา 2
z
2
2
2 3 4
2 1 2
(2 )(2 ) (3 4 )(1 2 )
(2 )(2 ) (1 2 )(1 2 )
i i
z
i i
i i i i
z
i i i i
+ +
= +
− +
+ + + −
= +
− + + −
2 3 4 11 2
5 5
i i
z
+ −
= +

30
2
2
14 2
5
14 2
5 5
i
z
z i
+
=
∴ = +
2) หา z
จาก…………………
2 14 2
5 5
z i= +
2
2 2 2
2
2
2
14 2
5 5
14 2
( ) ( )
5 5
200
25
8
2 2
2 2
z i
z
z
z
z
z
= +
= +
=
=
=
∴ =
4. กําหนดให ,a b R∈ ซึ่ง (3 4 )( )( 12 5 ) 2 4i a bi i i+ + − − = − จงหาคา
ของ a bi+
จาก………………..(3 4 )( )( 12 5 ) 2 4i a bi i i+ + − − = −
2 2
2 2 2 2
(3 4 )( )( 12 5 ) 2 4
3 4 12 5 2 4
2 4
3 4 12 5
2 ( 4)
3 4 ( 12) ( 5)
i a bi i i
i a bi i i
i
a bi
i i
a bi
+ + − − = −
+ + − − = −
−
+ =
+ − −
+ −
+ =
+ − + −

31
20
25 169
2 5
(5)(13)
2 5
65
a bi
a bi
a bi
+ =
+ =
∴ + =
5. กําหนดให
4
(2 3 )
2
( )
i
i
x yi
+
=
+
จงหาคา x yi+
จาก……………………..
4
(2 3 )
2
( )
i
i
x yi
+
=
+
4
4
4
2 2 4
4
2
(2 3 )
2
( )
2 3
2
2 3
2
( 2 ( 3) )
2
( 7)
2
7
2
49
2
24.5
i
i
x yi
i
i
x yi
i
x yi
i
x yi
x yi
x yi
x yi
x yi
+
=
+
+
=
+
+
+ =
+
+ =
+ =
+ =
+ =
∴ + =

32
1. กําหนดให
3 1
2 2
z i= − จงหาคาของจําเนินเชิงซอนตอไปนี้
1.1) z
1.2) zz
1.3) z z+
1.4) z z−

33
1.5) 2
z
1.6)
2
( )z
2. จงหาคาของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้
2.1)
1 6
5 7
i
i
+
−

34
2.2)
2
3
i
i
+
−
2.3)
3
2
(1 )
(1 )
i
i
+
−

35
2.4)
1 1
1 1
i i
i i
+ −
+
− +
2.5)
(4 3 )(1 )
1 2
i i
i
− +
+

36
2.6)
2
3
(4 5 )
2
i
i
i
−⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
+⎝ ⎠
2.7)
(1 )(2 3 )
4
i i
i
+ −
+

37
2.8)
1
1
1
1 i
+
+
2.9)
7 1 4
( 1) (1 )
3 2
i
i i
i
+
+ − +
−

38
2.10)
2584
2
1 i
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
2.11) 3 5 99
...i i i i⋅ ⋅ ⋅ ⋅

39
3. จงหาสังยุค ( )z ของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้
3.1)
1 3
(2 )(2 5 )
i
z
i i
−
=
+ +
3.2)
6 4 2
(1 ) 4 2 1
z
i i i
= − +
+ − −

40
3.3)
4 1
1
,
1
n
i
z n I
i
+
++⎛ ⎞
= ∈⎜ ⎟
−⎝ ⎠
3.4)
1
1
1
1
i
z
i
i
i
= +
+
+
+

41
4. ถา
3 4
3 4
i
z
i
+
=
−
จงหาสวนจริงและสวนจินตภาพของ
1
z
z
+
5. ถา 2 5z i= − จงหาคาของ
1
3z
z
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠

42
6. เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอนที่
6
(7 24 )(3 4 ) 1i i z− + = จงหา z
30 19
3
2 1
i i
i
−
−

43
8. ให z เปนจํานวนเชิงซอน จงแสดงวาขอตอไปนี้เปนจริง
8.1) iz iz= −
8.2) Im( ) Re( )iz z=

44
8.3) Re( ) Im( )iz z= −
9. คาสัมบูรณของ
2
2 2
( 2 3 )
(1 3 ) ( 3 4 )
i
i i
+
+ − − มีคาเทากับเทาใด

45
10. กําหนดให 1 2,z z และ 3z เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่งสอดคลอง 1 2 3 1z z z = และ
1 1 3
1 2 3
1 1 1
z z z
z z z
+ + = + + พิจารณาขอความตอไปนี้ถูกหรือไม
10.1) 1 2
1 2
1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )z z
z z
− − = − −

46
10.2) ถา 1 1z ≠ แลว 3 3 4z i z i+ − =
11. ให z a bi= + ซึ่ง 0b > ถา z สอดคลองกับ
2
2
4 32
1
64
z z
z
+ −
=
− และ
61zz = แลว a b+ มีคาเทากับเทาใด

47
12. กราฟของจํานวนเชิงซอน
ในระบบจํานวนจริง เราสามารถเขียนกราฟของจํานวนจริงไดใน “ระนาบพิกัดฉาก” แตใน
ระบบจํานวนเชิงซอน เราตองเขียนกราฟของจํานวนเชิงซอนใน “ระนาบพิกัดเชิงซอน” ที่
ประกอบไปดวย แกนจริง(แกน x) และแกนจินตภาพ (แกน y) อยางเชน
จํานวนเชิงซอน z a bi= + โดย ,a b R∈ เราสามารถแทนจํานวน z ดวยจุด
บนระนาบพิกัดเชิงซอน ไดดังนี้
เราสามารถแทนจํานวนเชิงซอน z a bi= + ดวยเวกเตอรซึ่งมีจุดเริ่มตน (0,0) และ
จุดสิ้นสุด (a,b)
ความหมายของกราฟของจํานวนเชิงซอนกรณีตางๆ มีความหมายดังนี้
1. ความหมายของ z คือ ขนาดของเวกเตอร z ดังนี้
( , )a b a bi= +b
a
Y(แกนจินตภาพ)
X(แกนจริง)
z
( , )a bb
a
Y
X
2 2
z a b= +
z = ระยะหางจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b)

48
2. ความหมายของ -z
3. ความหมายของ z
4. ความหมายของ
1 1
( )z
z
−
Y
X
a
b
b−
a−
z a bi= +
z a bi− = − −
Y
X
a
b z a bi= +
b− z a bi= −
Y
X
a
b z a bi= +
b− z a bi= −
1
z−
1 1 1
z
z z
−
= =

49
5. ความหมายของ 1z z− เมื่อ 1 ( , )z c d= และ ( , )z a b=
6. ความหมาย 1 2z z+
7. ความหมาย 1 2z z−
Y
X
a
b z a bi= +
c
d
1z z−
1z z− = ระยะหางจากจุด (c,d) ไปยังจุด (a,b)
Y
X
1z c di= +
1z
2z
1 2z z+
Y
X
1z
2z
2z−
1 2z z−

50
1. จงพิจารณากราฟของ 2z =
1) ให z a bi= + → z คือ ระยะหางจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) ใดๆ ตอง
เทากับ 2 หนวย
2) จากความหมายในขอ 1) คือนิยามของกราฟวงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางที่ (0,0) และมีรัศมี
เทากับ 2 หนวย ดังกราฟขางลางนี้
2. จงพิจารณากราฟของ 1z i z i− + = +
1) เขียน 1z i− + และ z i+ ใหอยูในรูป 1z z− ดังนี้
1 (1 )z i z i− + = − − และ ( )z i z i+ = − −
2) กําหนดให z a bi= + วิเคราะหกราฟของ 1z i z i− + = +
(1 ) (1, 1)z i z− − = − − ⇒ ระยะหางจากจุด (a,b) ไปยังจุด (1,-1)
( ) (0, 1)z i z− − = − − ⇒ ระยะหางจากจุด (a,b) ไปยังจุด (0,-1)
(1 ) ( )z i z i∴ − − = − − ⇒มีความหมายวา เปนกราฟของทางเดินของจุด (a,b)
ซึ่งหางจากจุด (1,-1) และจุด (0,-1) เปนระยะทางเทากัน ซึ่งคือกราฟเสนตรงที่แบงครึ่งและ
ตั้งฉากกับเสนตรงที่เชื่อมจุด (1,-1) กับ (0,-1) ดังนี้
Y
X
( , )z a b=
(2,0)
(0,2)
( 2,0)−
(0, 2)−

51
หรือ อาจวิเคราะหกราฟของ 1z i z i− + = + ไดอีกวิธีหนึ่ง ดังนี้
1) กําหนดให ( , )z x y x yi= = +
2) 1z i z i− + = +
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1
1
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
( 1) 0
( 1 )( 1 ) 0
( 1)(2 1) 0
2 1 0
1
2
z i z i
x yi i x yi i
x y i x y i
x y x y
x y x y
x x
x x
x x x x
x
x
x
− + = +
+ − + = + +
− + + = + +
− + + = + +
− + + = + +
− =
− − =
− − − + =
− − =
− =
∴ =
Y
X
• •
(1, 1)−
(0, 1)−
1
( , 1)
2
−
•
จุดกึ่งกลางระหวางจุด
(0,-1) กับ (1,-1)
1
Re( )
2
z = ,กราฟเสนตรงของจํานวนเชิงซอนที่มีสวนจริงเทากับ
1
2

52
3. จงพิจารณากราฟของ 3 4 1z i− + =
1) เขียน 3 4 (3 4 )z i z i− + = − −
2) (3 4 ) 1 (3, 4) 1z i z− − = ⇒ − − =
มีความหมายวา “เปนกราฟของทางเดินของจุด (a,b) ซึ่งมีระยะหางจากจุด (3,-4) เทากับ 1
หนวย” ซึ่งก็คือ กราฟวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุด (3,-4) และมีรัศมี 1 หนวย ดังนี้
วิธีที่ 2
ให ( , )z x y x yi= = +
2 2
2 2
3 4 1
3 4 1
( 3) ( 4) 1
( 3) ( 4) 1
( 3) ( 4) 1
z i
x yi i
x y i
x y
x y
− + =
+ − + =
− + + =
− + + =
∴ − + + =
4. พิจารณากราฟของ
2
z z z+ =
1) แปลงสมการ ……………
2
z z z+ =
Y
X
( , )z a b=
(3, 4)−
•
กราฟวงกลมจุดศูนยกลางที่จุด
(3,-4) และมีรัศมี 1 หนวย
กราฟวงกลมจุดศูนยกลางที่จุด (3,-4) และมีรัศมี 1 หนวย

53
2
22
2 22
2 22
22
2
2
2
2
2
2
( )
( 1)
( 1)
1
1
1 1
z z z z z
z zz z z
z z z z
z z z z
z z z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
+ =
+ =
+ =
= −
= −
= −
= −
= −
∴ − =
จาก
2
1 1z z z z+ = ⇒ − =
กราฟวงกลมจุดศูนยกลางที่จุด (1,0) และมีรัศมี 1 หนวย
ให z a bi= + , กราฟทางเดินของจุด (a,b)
ซึ่งมีระยะหางจากจุด (1,0) เทากับ 1 หนวย
Y
X
( , )z a b=
(1,0)
• •
(2,0)

54
กําหนดให ( , )z x y x yi= = +
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
2 ( )
2
2 0
( 2 1) 0 1
( 1) 1
z z z
x yi x yi x yi
x x y
x x y
x x y
x x y
x y
+ =
+ + − = +
= +
= +
− + =
− + + = +
∴ − + =
5. พิจารณากราฟของ 16 4 1z z+ = +
แปลงสมการ……………
16 4 1z z+ = +
2 2
2 2
2
2
2
2
16 (4 1)
16 16 1
( 16)( 16) 16( 1)( 1)
( 16)( 16) 16( 1)( 1)
16 16 16 16( 1)
16 16 16 16 16 16 16
16 16 16
16 16 16
240 15
240
15
z z
z z
z z z z
z z z z
zz z z zz z z
zz z z zz z z
zz zz
zz zz
zz
zz
+ = +
+ = +
+ + = + +
+ + = + +
+ + + = + + +
+ + + = + + +
+ = +
− = −
=
=

55
2
16
16
4
zz
z
z
=
=
∴ =
กําหนดให ( , )z x y x yi= = +
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
16 4 1
16 4 1
( 16) 4 ( 1)
( 16) 4 ( 1)
( 16) 16[( 1) ]
( 16) 16( 1) 16
( 16) 16( 1) 16
z z
x yi x yi
x yi x yi
x y x y
x y x y
x y x y
x x y y
+ = +
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
+ − + = −
ให z a bi= + , กราฟทางเดินของจุด (a,b)
ซึ่งมีระยะหางจากจุด (0,0) เทากับ 4 หนวย
Y
X
( , )z a b=
(4,0)
(0,4)
( 4,0)−
(0, 4)−

56
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
( 32 256) (16 32 16) 15
32 256 16 32 16 15
15 240 15
15 15 240
16
x x x x y
x x x x y
x y
x y
x y
+ + − + + =
+ + − − − =
− + =
+ =
∴ + =
13. จํานวนเชิงซอนในรปเชิงขั้ว(Polar Form)
กําหนดให z a bi= + โดยที่ ,a b R∈ วาดกราฟของ z
เราสามารถเขียน z a bi= + ใหอยูในรูปมุม θ ไดดังนี้
จาก z a bi= +
2 2
2 2 2 2
(cos sin )
a b
z a b i
a b a b
z z iθ θ
⎡ ⎤
= + +⎢ ⎥
+ +⎣ ⎦
= +
เราเรียก θ วา อารกิวเมนต(argument) ของ z
( , )z a b a bi= = +b
a
Y
X
2 2
z a b= +
θ
จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว
(Polar Form)

57
1. จงเขียน 3z i= + ในรูปของจํานวนเชิงซอนเชิงขั้ว
2 2
2 2 2 2
3
3
( 3) 1
( 3) 1 ( 3) 1
3 1
2
2 2
2(cos30 sin30 )
2(cos sin )
6 6
z i
i
z
z i
z i
z i
π π
= +
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + +
⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞
= +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
= °+ °
= +
สมบัติของจํานวนเชิงซอนในรูปของเชิงขั้ว
ให 1 1 2 2(cos sin ), (cos sin )z z i z z iθ θ= + = ∝ + ∝ และ
n R∈ โดยที่ ,θ ∝ เปนมุมใดๆ
1) [ ]1 2 1 2 cos( ) sin( )z z z z iθ θ= + ∝ + + ∝
2) [ ]11
2 2
cos( ) sin( )
zz
i
z z
θ θ= − ∝ + − ∝
3) [ ]1 1 cos( ) sin( )
nn
z z n i nθ θ= +
4) [ ]1 1 cos( ) sin( )z z iθ θ= − + −
5) [ ]1
1
1
1
cos( ) sin( )z i
z
θ θ−
= − + −

58
10
( 1 )i− +
1) หา ( 1 )i− + ในรูปจํานวนเชิงซอนเชิงขั้ว
[ ]
2 2
2 2 2 2
1
( 1 ) ( 1) 1
( 1) 1 ( 1) 1
1 1
( 1 ) 2
2 2
( 1 ) 2 cos135 sin135
3 3
( 1 ) 2 cos sin
4 4
i
i
i i
i i
i i
π π
⎡ ⎤−
− + = − + +⎢ ⎥
⎢ − + − + ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− ⎛ ⎞
− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
− + = °+ °
⎡ ⎤
− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
2) หา
10
( 1 )i− + จากสูตร [ ]1 1 cos( ) sin( )
nn
z z n i nθ θ= +
[ ]
10 10
10 5
10
10
10
10
3 3
( 1 ) ( 2) cos[(10)( )] sin[(10)( )
4 4
30 30
( 1 ) 2 cos sin
4 4
( 1 ) 32 cos(7 ) sin(7 )
2 2
3 3
( 1 ) 32 cos sin
2 2
( 1 ) 32 0 ( 1)
( 1 ) 32
i i
i i
i i
i i
i i
i i
π π
π π
π π
π π
π π
⎡ ⎤
− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
− + = + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
− + = + −
∴ − + = −

59
1003 1
( )
2 2
i+
1) หา
3 1
( )
2 2
i+ ในรูปจํานวนเชิงซอนเชิงขั้ว
3 1
( ) (cos30 sin30 )
2 2
3 1
( ) (cos sin )
2 2 6 6
i i
i i
π π
+ = °+ °
+ = +
2) หา
1003 1
( )
2 2
i+ จากสูตร [ ]1 1 cos( ) sin( )
nn
z z n i nθ θ= +
100
100
100
100
100
3 1
( ) cos(100)( ) sin(100)( )
2 2 6 6
3 1 100 100
( ) cos sin
2 2 6 6
3 1 2 2
( ) cos(16 ) sin(16 )
2 2 3 3
3 1 2 2
( ) cos sin
2 2 3 3
3 1 1 3
( ) ( )
2 2 2 2
i i
i i
i i
i i
i i
π π
π π
π π
π π
π π
⎡ ⎤
+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦
+ = +
+ = + + +
+ = +
−
∴ + = +
6
4
(1 )
( 1 )
i
i
−
− −

60
6
6
6
44
4
6
3
6
44
2
6
4
6
1 1
( 2)
(1 ) 2 2
( 1 ) 1 1
( 2)
2 2
2 cos( ) sin( )
(1 ) 4 4
( 1 )
2 cos sin
4 4
2 cos[(6)( )] sin[(6)( )]
(1 ) 4 4
( 1 )
cos[(4)( )] sin[(4)( )]
4 4
(1 )
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
π π
π π
π π
π π
⎡ ⎤
−⎢ ⎥− ⎣ ⎦=
− − ⎡ ⎤
− +⎢ ⎥
⎣ ⎦
− −⎡ ⎤
+⎢ ⎥− ⎣ ⎦=
− − ⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
− −⎡ ⎤
+⎢ ⎥− ⎣ ⎦=
− − ⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
−
− [ ]
[ ]
[ ]
4
6
4
6
4
3 3
2 cos( ) sin( )
2 2
1 ) cos sin
2 0(1 )
( 1 ) 1
(1 )
2
( 1 )
i
i i
ii
i
i
i
i
π π
π π
− −⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦=
− +
+−
=
− − −
−
∴ = −
− −

61
1. จงวาดกราฟของความสัมพันธตอไปนี้ในระนาบเชิงซอน
1.1) 2 2 3z i− − =
1.2) 1 5 10z z− + + =

62
1.3)
2
1 0z z z z− + + + =
1.4) Re( ) 2z i− <

63
1.5) 1 2z − <
1.6) 1 2 Re( ) 2z i z+ − = +

64
1.7) 1 3 4z≤ + ≤
1.8) 1 1 4z z+ + − ≤
2. ถา z เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่ง 3 4z i= − และ 1 30z − = แลวจงหาคา z

65
3. กําหนดให 1 2,z z และ 3z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่งมีสมบัติวา
1 2 3 1 2 31, 0z z z z z z= = = + + = และให Re( )z แทนสวนจริง
ของจํานวนเชิงซอน z จงพิจารณาขอความตอไปนี้วาถูกหรือผิด
ก. 1 2
1
Re( )
2
z z =
ข. 1 2 3z z− =

66
4. ถา z เปนจํานวนเชิงซอนจํานวนหนึ่งที่อยูในควอดรันตที่ 1 บนระนาบเชิงซอนมี
2
5z = และสวนจินตภาพเทากับ 1 0จงหาอินเวอรสการคูณของ z
5. จงเขียนจํานวนเชิงซอนตอไปนี้ในรูปเชิงขั้ว
5.1) 2 2 3i− +
5.2) 2 2i− −

67
5.3) 8 3 8i−
5.4) 10i
5.5) -4
5.6) 1 3i+

68
5.7) 4 3i+
6.1) ( )( )6[cos120 sin120 ] 2[cos30 sin30 ]i i°+ ° °+ °
6.2)
( )
( )
cos( 60 ) sin( 60 )
cos30 sin150
i
i
− ° − − °
°+ °

69
6.3)
20 10
( 3 ) (2 3 2 )i i− + +
6.4)
8
(1 3 )i+

70
6.5)
10
[2(cos sin )]
5 5
i
π π
+
7. ถา 1 cos12 sin12z i= °+ ° และ 2 cos16 sin16z i= °− ° แลว
15
1
2
z
z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
มีคาเทาใด

71
8. กําหนดให 1 2,z z เปนจํานวนเชิงซอนที่ 1 2 22 1z z z= + และ
6
1 cos sin
18 18
z i
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
1
2z −

72
9. ถา 1 4(cos145 sin145 )z i= °+ ° และ
2 3(cos115 sin115 )z i= °+ ° แลว คาของ
2
1 2z z− เทากับเทาใด
10. ถา
3
2 1 3z i= + และ
18
27
z
a bi
i z
= +
− เมื่อ a,b เปนจํานวนจริง จงหาคา
a+b เทากับเทาใด

73
14. การหาคารากที่ n ของจํานวนเชิงซอน
รูปแบบของสมการของจํานวนเชิงซอนที่ตองใชหลักการหารากที่ n ตัวอยาง เชน
3 6 4
1 3 , 1, 3z i z z i= + = − = เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอน เปนตน ก็คือ ถาเรา
จะหาคาของ z ที่ทําให
3
1 3z i= + แลว คาของ
1
3
(1 3 )z i= + เราตองนํา
1 3i+ มาหารากที่ 3 ซึ่งสมารถหารากไดโดยใชหลักการในรูปของเชิงขั้ว คือ
ถา
n
z a bi= +
เขียนในรูปของเชิงขั้วได
( )cos sin ,0 360n
z z iθ θ θ= + ≤ ≤ °
กรณีที่ 1………. ( )cos sinn
z z iθ θ= +
( )
1 1
1
cos sin
cos sin
n n
n
z z i
z z i
n n
θ θ
θ θ
= +
⎛ ⎞
∴ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
กรณีที่ 2………. ( )cos[360 ] sin[360 ]n
z z iθ θ= + + +
( )
1 1
1
1
cos[360 ] sin[360 ]
[360 ] [360 ]
cos sin
360 360
cos[ ] sin[ ]
n n
n
n
z z i
z z i
n n
z z i
n n n n
θ θ
θ θ
θ θ
= °+ + °+
°+ °+⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
° °⎛ ⎞
∴ = + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2

74
กรณีที่ 3……….
( )cos[360 360 ] sin[360 360 ]n
z z iθ θ= °+ °+ + °+ °+
( )
1 1
1
1
cos[360 360 ] sin[360 360 ]
[360 360 ] [360 360 ]
cos sin
360 360 360 360
cos[ ] sin[ ]
n n
n
n
z z i
z z i
n n
z z i
n n n n n n
θ θ
θ θ
θ θ
= °+ °+ + °+ °+
°+ °+ °+ °+⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
° ° ° °⎛ ⎞
∴ = + + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
i i
i i
i i
กรณี n……….
( )cos[360 ( 1) ] sin[360 ( 1) ]n
z z n i nθ θ= ° − + + ° − +
( )
1 1
1
1
1
1
cos[360 ( 1) ] sin[360 ( 1) ]
[360 ( 1) ] [360 ( 1) ]
cos sin
360 360
cos[360 ] sin[360 ]
360 360
cos[360 ] sin[360 ]
3
cos[
n n
n
n
n
n
z z n i n
n n
z z i
n n
z z i
n n n n
z z i
n n n n
z z
n
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
= ° − + + ° − +
° − + ° − +⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
° °⎛ ⎞
= °− + + °− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
° °⎛ ⎞
= °+ − + °+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ = −
60 360
] sin[ ]i
n n n
θ° °⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1. จงหารากที่ 3 ของ i
1) หารากที่ 3 ตัวแรกของ i ใหได
3
n

75
1 1
3 3
1
3
1
3
cos90 sin90
(cos90 sin90 )
90 90
(cos sin )
3 3
(cos30 sin30 )
z i
z i
z i
z i
z i
=
= °+ °
= °+ °
° °
= +
∴ = °+ °
2) เขียนวงกลมแสดงรากทั้งหมด โดยเริ่มตนจากรากแรก แลวแบงวงกลมออกเปน 3 สวน
เทาๆกัน สวนละ
360
120
3
°
= °
3) รากตัวที่ 1 คือ
3 1
cos30 sin30
2 2
i i°+ ° = +
รากตัวที่ 2 คือ
3 1
cos150 sin150
2 2
i i°+ ° = − +
รากตัวที่ 3 คือ cos270 sin 270i i°+ ° = −
cos30 sin30i°+ °cos150 sin150i°+ °
cos270 sin 270i°+ °
120°
120°120°

76
2. จงหารากที่ 6 ของ 4 4 3i+
1) หารากที่ 6 ตัวแรกของ 4 4 3i+ ใหได
1 1 1
6 6 6
1
6
1
6
4 4 3
1 3
8( )
2 2
8(cos60 sin 60 )
8 (cos60 sin 60 )
60 60
2(cos sin )
6 6
2(cos10 sin10 )
z i
z i
z i
z i
z i
z i
= +
= +
= °+ °
= °+ °
° °
= +
∴ = °+ °
2) เขียนวงกลมแสดงรากทั้งหมด โดยเริ่มตนจากรากแรก แลวแบงวงกลมออกเปน 6 สวน
เทาๆกัน สวนละ
360
60
6
°
= °
2(cos70 sin 70 )i°+ °
60°
60°
60°
60°
60°
60°
2(cos10 sin10 )i°+ °
2(cos130 sin130 )i°+ °
2(cos190 sin190 )i°+ °
2(cos250 sin 250 )i°+ °
2(cos310 sin310 )i°+ °

77
3) รากตัวที่ 1 คือ 2(cos10 sin10 )i°+ °
รากตัวที่ 2 คือ 2(cos70 sin 70 )i°+ °
รากตัวที่ 3 คือ 2(cos130 sin130 )i°+ °
รากตัวที่ 5 คือ 2(cos250 sin 250 )i°+ °
15. การแกสมการที่มีผลลัพธเปนจํานวนเชิงซอน
15.1 สมการพหุนามที่มีกําลังเปน 2
สมการอยูในรูปแบบ
2
0, , ,az bz c a b c R+ + = ∈ และ z เปนจํานวน
เชิงซอน คําตอบของสมการหรือรากของสมการจะอยูในรูปแบบดังนี้ คือ
2
4
, 0
2
b b ac
z a
a
− ± −
= ≠
1. จงหารากของสมการ
2
1 0z z+ + =
2
2
4
2
1 1 4(1)(1)
2(1)
1 1 4
2
1 3
2
1 3
2 2
b b ac
z
a
z
z
z
z i
− ± −
=
− ± −
=
− ± −
=
− ± −
=
−
∴ = ±

78
ในสมการ
2
0, , ,az bz c a b c R+ + = ∈ ถา m ni+ เปนคําตอบหนึ่งของ
สมการแลว คําตอบอีกคําตอบหนึ่งคือ m ni− นั่นคือ รากของสมการทั้งสองจะเปนคูสังยุคกัน
2. สมการ
2
4 0z kz+ + = มีคําตอบของสมการหนึ่งเปน 3 i+ และ k R∈
จงหาคาของ k เทากับเทาใด
1) คําตอบของรากสมการจะเปนคูสังยุคกัน เพราะฉะนั้นรากของสมการทั้งสองคือ
3 i+ และ 3 i−
2) ไดวา ……….. ( ( 3 ))( ( 3 )) 0z i z i− + − − =
2
2
2 2
2
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )( 3 ) 0
3 3 ( 3 1 ) 0
2 3 4 0
2 3
z i z i z i i
z z zi z zi
z z
k
− + − − + + − =
− − − + + + =
− + =
∴ = −
15.2 สมการพหุนามที่มีกําลังมากกวา 2
เชน สมการพหุนามกําลัง 3 หรือ กําลัง 4 เปนตน มีหลักในการหารากของสมการที่มี
คําตอบเปนจํานวนเชิงซอนดังนี้
1) สมการพหุนามที่มีกําลังเปนจํานวนคี่ และสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง สมการจะมีรากของ
สมการอยางนอย 1 คาที่เปนจํานวนจริง
2) สมการพหุนามที่มีกําลังเปนจํานวนคี่ และสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง ถาสมการมีรากของ
สมการคาหนึ่งเปน a+bi แลว a-bi จะเปนอีกคําตอบของสมการเสมอ
3) สมการพหุนามที่มีกําลังเปนจํานวนคู และสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง สมการอาจจะไมมี
รากของสมการที่เปนจํานวนจริงเลยก็ได
4) สมการพหุนามที่มีกําลังเปนจํานวนคู และสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง ถาสมการมีรากของ
สมการคาหนึ่งเปน a+bi แลว a-bi จะเปนอีกคําตอบของสมการเสมอ
5) สมการพหุนามที่มีกําลัง n สมการจะมีคําตอบของรากของสมการไดมากที่สุด n ตัว
6) ใชการหารสังเคราะหมาหารากที่เปนจํานวนจริงของสมการพหุนามกําลังมากกวา 2

79
1. จงหาเซตคําตอบของสมการ
3 2
4 6 4 0x x x+ + + =
-2 1 , 4 , 6 , 4
1 , -2 , -4 , -4
1 , 2 , 2 , 0
3 2
2
4 6 4 0
( 2)( 2 2) 0
x x x
x x x
+ + + =
+ + + =
แกสมการ
2
2 2 0x x+ + =
2
2 2 4(1)(2)
2(1)
2 4 8
2
2 4
2
1
x
x
x
x i
− ± −
=
− ± −
=
− ± −
=
∴ = − ±
∴รากของสมการคือ 2, 1 , 1i i− − + − −
2. จงหาเซตคําตอบของสมการ
3 2
2 3 6 0x x x− + − =
2 1 , -2 , 3 , -6
1 , 2 , 0 , 6
1 , 0 , 3 , 0

80
3 2
2
2 3 6 0
( 2)( 3) 0
( 2)( 3 )( 3 ) 0
x x x
x x
x x i x i
− + − =
− + =
− − + =
∴รากของสมการคือ 2,3 , 3i i−
3. จงหาสมการพหุนามดีกรี 3 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม มี 7 และ 2 i− เปนคําตอบ
คําตอบของสมการพหุนามนี้มี 7,2 ,2i i+ −
จะได ……………..
2
3 2 2
3 2
( 7)[ (2 )][ (2 )] 0
( 7)[ 4 5] 0
4 5 7 28 35 0
11 33 35 0
x x i x i
x x x
x x x x x
x x x
− − + − − =
− − + =
− + − + − =
∴ − + − =
1. จงหารากของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้
1.1) รากที่ 3 ของ -27

81
1.2) รากที่ 5 ของ -32
1.3) รากที่ 3 ของ 2 2 3i− +

82
1.4) รากที่ 3 ของ 1 i− −
1.5) รากที่ 6 ของ -1

83
1.6) รากที่ 2 ของ 7 24i− −
2. ถา 1 2,z z เปนรากของสมการ
3
( 2 3) 8z i− = − ซึ่งมีขนาดเปนจํานวนเต็มแลว
1 2z z+ เทากับเทาใด

84
3. ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ
14
0z i− = และ B เปนเซตคําตอบของสมการ
22
0z i− = แลวจํานวนสมาชิกของเซต A B∩ เทากับเทาใด
4. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอน ถา 1 3i− + เปนรากที่ 5 ของ z แลว จงหารากที่ 2
ของ z

85
5. จงแกสมการตอไปนี้
5.1)
4 2
3 5 0z z+ + =
5.2)
6 3
2 4 0z z− + =
5.3)
4 2
6 40 0z z− − =

86
5.4)
3 2
4 6 4 0z z x+ + + =
5.5)
3 2
2 4 3 0z z x− + − =

87
5.6)
5 4 3 2
8 24 26 17 42 0z z z z x+ + + − − =
5.7)
5 5
( 3)z z+ =

88
6. ถา
3 39
4 4
i+ เปนคําตอบหนึ่งของ
2
3 0ax x c− + = โดยที่ a และ c เปน
จํานวนจริงแลว เศษที่เหลือจากการหาร
2
3ax x c− + ดวย 2x + เทากับเทาใด
7. กําหนดให 1 2,z z และ 3z เปนรากคําตอบของสมการ
3
(1 ) 2i z− = โดยที่
1 2 3, ,z z z อยูในควอดรันตที่ 1,2,3 ตามลําดับ จงหา
2
1 3 2z z z+

89
8. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4, P(x)=0 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริงและมี 5,-2 และ
3 i− เปนคําตอบ โดย P(1)=-30
9. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับ
3 2
2 2 0z z z− + = และ
0z ≠ ถาอารกิวเมนตของ z อยูในชวง 0,
2
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว จงหา
4
2
z
z

90
10. ถา 1x i− + เปนตัวประกอบของพหุนาม
3 2
( ) 4P x x ax x b= + + + เมื่อ
a และ b เปนจํานวนจริง แลวจงหาคาของ
2 2
a b+
11. จงหารากทั้งหมดของสมการ
2
(2 3 ) 1 3 0x i x i+ + − + =

Complex number1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Complex number1

Similar to Complex number1 (20)

More from Thanuphong Ngoapm

More from Thanuphong Ngoapm (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (9)

Complex number1