Relation and function

1
คูลําดับผลคูณคารทีเซียน
ความสัมพันธ
ฟงกชัน
โจทยเกี่ยวกับความสัมพันธและฟงกชัน
โดเมนและเรนจ
พีชคณิตของฟงกชัน
•f+g
•f-g
•f
•
g
•f/g
ฟงกชันประกอบ
•fg
•gf
กราฟของฟงกชันและความสัมพันธ
•ฟงกชันเชิงเสน,ฟงกชันกําลังสอง
•ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
•ฟงกชันคาสมบูรณ,ฟงกชันขั้นบันได
•กราฟภาคตัดกรายเชนวงกลม
พาราโบลา,ไฮเปอรโบลา,วงรี
เปนตน
•ฟงกชันจากAไปBinto
•ฟงกชันจากAไปBonto
•ฟงกชันจากAไปBonto
แบบทั่วถึง
•ฟงกชันจากAไปB1-1
•ฟงกชันจากAไปB1-1
แบบทั่วถึง
อินเวอรสของความสัมพันธและฟงกชัน

2
ความสัมพันธและฟงกชัน
1. คูลําดับหรือคูอันดับ
คูอันดับ คือสัญลักษณที่แสดงการจับคูกันระหวางสิ่ง 2 สิ่ง แลวแทนสัญลักษณดวย (a,b)
เมื่อ a แทนสมาชิกตัวที่หนึ่งหรือสมาชิกตัวหนา และ b แทนสมาชิกตัวที่สองหรือสมาชิกตัวหลัง
เชน การจับคูระหวางจํานวนเกาอี้และจํานวนโตะในหองหองหนึ่ง ถาในหองนั้นมีจํานวนเกาอี้อยู
14 ตัว และมีจํานวนโตะอยู 2 ตัว จะเขียนแทนดวยคูอันดับ (14,2) เปนตน
1.1 ความเทากันของคูอันดับ
คูอันดับ (a,b) = (c,d) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d
เมื่อ a,bc,d เปนจํานวนจริงใดๆ
ตัวอยางเชน จงหาคาตัวแปรจากคูอันดับตอไปนี้
1. จงหาคาตัวแปรจากคูอันดับตอไปนี้ (4,a) = (b,7)
จะสรุปไดวา 4=b และ a=7
2. คูอันดับ (3,4)≠ (2,1) , (2,0) ≠ (0,2)
3. จงหาคาของ x และ y ที่ทําให (2x + y, 24) = (6, 3x – y)
จะสรุปไดวา 2x + y = 6 ………. และ 3x – y = 24…………
+ ………………..(2x+y+3x-y) = 6+24
5x = 30
x = 6
1 2
1 2

3
แทนคา x=6 ลงในสมการ
2(6) + y = 6
12 + y = 6
y = 6-12
y = -6
4. กําหนดให (2x,y-2) = (x+3,1) จงหา (x+y,x-y)
จะสรุปไดวา 2x = x+3 และ y-2 = 1
2x-x = 3 y = 1+2
x = 3 y = 3
∴(x+y,x-y) = (3+3,3-3)
= (6,0)
2. ผลคูณคารทีเชียน
ผลคูณคารทีเชียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาเปนสมาชิกใน
เซต A และมีสมาชิกตัวหลังเปนสมาชิกในเซต B เขียนแทนดวย AxB อานวา เอคูณบี หรือ
เอครอสบี
{ }( , ) / ,AxB a b a A b B= ∈ ∈
ตัวอยางเชน
1. กําหนด A={ }1,2,3 , B={ }4,5 จงหา AxB
วิธีทํา เปนการจับคูคูอันดับระหวางสมาชิกตัวหนาที่อยูในเซต A และสมาชิกตัวหลังที่อยูในเซต
B
4 4 4
1 2 3
5 5 5
∴AxB ={ }(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)
1

4
ขอสังเกต – จํานวนสมาชิกของ AxB เทากับ จํานวนสมาชิกของ A คูณดวยจํานวนสมาชิก
ของ B
( ) ( ) ( )n AxB n A x n B=
2. กําหนดให A={ }1,2,3 , B={ }, ,a b c และ C={ },a b จงหา
2.1) ( )Ax B C∩
2.2) ( ) ( )AxB AxC∩
2.3) ( )Ax B C∪
2.4) ( ) ( )AxB AxC∪
2.5) ( )Ax B C−
2.6) ( ) ( )AxB AxC−
วิธีทํา
2.1) หา
{ },B C a b∩ =
,
{ }1,2,3A =
∴ { }( ) (1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )Ax B C a b a b a b∩ =
2.2) หา
{ }(1, ),(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ),(3, )AxB a b c a b c a b c=
{ }(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )AxC a b a b a b=
∴ { }( ) ( ) (1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )AxB AxC a b a b a b∩ =
2.3) หา
{ }, ,B C a b c∪ =
∴ { }( ) (1, ),(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ),(3, )Ax B C a b c a b c a b c∪ =
2.4) หา
{ }( ) ( ) (1, ),(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ),(3, )AxB AxC a b c a b c a b c∪ =

5
2.5) หา { }B C c− =
∴ { }( ) (1, ),(2, ),(3, )Ax B C c c c− =
2.6) { }( ) ( ) (1, ),(2, ),(3, )AxB AxC c c c− =
ขอสังเกต-
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Ax B C AxB AxC
Ax B C AxB AxC
Ax B C AxB AxC
∩ = ∩
∪ = ∪
− = −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
B C xA BxA CxA
B C xA BxA CxA
B C xA BxA CxA
∩ = ∩
∪ = ∪
− = −
3. ให A={ }2,4,8 และ B={ },a c จงหา AxB , BxA
a a a
2 4 8
c c c
∴AxB = { }(2, ),(2, ),(4, ),(4, ),(8, ),(8, )a c a c a c
2 2
a 4 c 4
8 8

6
∴BxA = { }( ,2),( ,4),( ,8),( ,2),( ,4),( ,8)a a a c c c
ขอสังเกต- โดยทั่วไป AxB ≠ BxA
Ax∅ = xA∅ = ∅
4. กําหนดให A={ }3,5,7 และ n(AxB)=15 จงหา n(B)
วิธีทํา จาก n(AxB) = n(A) x n(B)
จากโจทย n(A) = 3 แทนคา
15 3 ( )n B= ×
15
( )
3
n B =
( ) 5n B∴ =
5. กําหนดให A={ }5,7 จงหา AxA
5 5
5 7
7 7
∴AxA = { }(5,5),(5,7),(7,5),(7,7)
3. ความสัมพันธ
ความสัมพันธ คือ เซตของคูอันดับที่เปนตามเงื่อนไขของความสัมพันธ โดยที่เปนสับเซตของ
ผลคูณคารทีเซียน คือ ให A และ B เปนเซต ความสัมพันธจาก A ไป B คือ สับเซตของ AxB
r เปนความสัมพันธจาก A ไป B ก็ตอเมื่อ r AxB⊂
r เปนความสัมพันธจาก A ไป A หรือใน A ก็ตอเมื่อ r AxA⊂

7
ขอสังเกต- เนื่องจาก AxB∅ ⊂ , ∅ จึงเปนความสัมพันธจาก A ไป B
เนื่องจาก AxB AxB⊂ , AxB จึงเปนความสัมพันธจาก A ไป B
เนื่องจาก r AxB⊂ , จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B เทากับ
จํานวนสับเซตทั้งหมดของเซต AxB =
( )
2n AxB
1. กําหนดให A={ }1,2,3 และ B={ }1,3,4 จงหาความสัมพันธ r “นอยกวา”
จาก A ไป B และ ความสัมพันธ r “เทากัน” จาก A ไป A
-หาความสัมพันธจาก A ไป B ที่มีเงื่อนไข สมาชิกตัวหนานอยกวาสมาชิกตัวหลัง
{ }(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,3),(3,4)AxB =
-จากเซต AxB เลือกคูอันดับที่มีความสัมพันธสมาชิกตัวหนานอยกวาสมาชิกตัวหลัง
∴r = { }(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
‐หาความสัมพันธจาก A ไป A ที่มีเงื่อนไข สมาชิกตัวหนาเทากับสมาชิกตัวหลัง
{ }(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)AxA =
∴r = { }(1,1),(2,2),(3,3)
2. กําหนดให A={ }2,3,25 , B={ }4,5,7 จงหาความสัมพันธแบบแจกแจง
สมาชิกและแบบบอกเงื่อนไข
2.1 1r เปนความสัมพันธ “กําลังสอง” จาก A ไป B
2.2 2r เปนความสัมพันธ “รากที่สอง” จาก A ไป B
2.3 3r เปนความสัมพันธ “กําลังสอง” จาก B ไป A
2.4 4r เปนความสัมพันธ “รากที่สอง” จาก B ไป A

8
2.1 หา
{ }(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(25,4),(25,5),(25,7)AxB =
จาก AxB หาคูอันดับที่สมาชิกตัวหนาเปนกําลังสองของสมาชิกตัวหลัง
∴ { }1 (25,5)r = หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได คือ
{ }2
1 ( , ) /r x y AxB x y= ∈ =
2.2 จาก AxB หาคูอันดับที่สมาชิกตัวหนาเปนรากที่สองของสมาชิกตัวหลัง
{ }2 ( , ) /r x y AxB x y= ∈ = ±
2.3 หา
{ }(4,2),(4,3),(4,25),(5,2),(5,3),(5,25),(7,2),(7,3),(7,25)BxA =
จาก BxA หาคูอันดับที่สมาชิกตัวหนาเปนกําลังสองสองของสมาชิกตัวหลัง
{ }2
3 ( , ) /r x y BxA x y= ∈ =
2.4 จาก BxA หาคูอันดับที่สมาชิกตัวหนาเปนรากที่สองของสมาชิกตัวหลัง
{ }4 ( , ) /r x y BxA x y= ∈ = ±

9
แบบฝกหัด
1. คูอันดับนี้
2 2
( , )x y กับ ( , )x y เมื่อ x,y เปนจํานวนจริง เปนคูอันดับที่
เทากันหรือไม เพราะเหตุใด
2. จงหาคา x และ y จากคูอันดับที่เทากันตอไปนี้
2.1) (2x-6,2y+x) = (3y+2,-3)
2.2) (3x,3y+x) = (2y+1,4y+3)
2.3) (x-1,y+2) = (y-2,2x+1)
2.4) (3x-y,0) = (0,3x+y)

10
3. กําหนดให ={ }1,2,3,4,5 , { }1,2A = และ { }2,3,4B = จงหา
3.1) AxA′
3.2) ( )B A xB′−
3.3) ( ) ( )A B x A B∪ ∩
3.4) ( ) ( )A B x A B′ ′− −

11
4. กําหนดใหเซต A มีสมาชิก 5 ตัว เซต B มีสมาชิก 6 ตัว เซต A และเซต B มีสมาชิก
รวมกัน 3 ตัว จงหาจํานวนสมาชิกของเซต ( )A B xB∪
5. กําหนดให ={ }1,2,3,4 และ { }1,2A =
5.1) ถา n(AxB) = 4 จงหาเซต B ที่เปนไปไดทั้งหมด
6. กําหนดให ={ }, , , ,a b c d e และ { },A a b= เซต B เปนเซตที่ไมมีสมาชิก
รวมกับเซต A เลย

12
7. กําหนดให { }1,2,3A = และ { }2,3,4B = จงเขียนความสัมพันธในรูปแบบแจก
แจงสมาชิก
7.1) { }1 ( , ) / 0r x y AxB x y= ∈ − >
7.2) { }2
2 ( , ) /r x y AxB x y= ∈ >
7.3) { }3 ( , ) / 0r x y BxA x y= ∈ − >
7.4) { }2
4 ( , ) /r x y BxA x y= ∈ >

13
8. กําหนดให { }1,2,3A = และ { }2,3,4B = ความสัมพันธใดเปนความสัมพันธ
จาก A ไป B , จาก B ไป A , ภายใน A หรือ ภายใน B
8.1) { }1 (1,2),(2,3),(3,4)r =
8.2) { }2 (2,2),(3,1)r =
8.3) { }3 (4,1),(4,2),(4,3)r =
8.4) { }4 (2,2),(3,3)r =
8.5) { }5 (1,4),(2,3),(3,3)r =
9. กําหนดให { }2,4,6M = และ { }1,3,5,7P = จงเขียนความสัมพันธตอไปนี้ใน
รูปแจกแจงสมาชิก
9.1) { }1 ( , ) / 2 1 0r x y MxP x y= ∈ + − =
9.2) { }2
2 ( , ) / 1r x y MxP y x= ∈ = −
9.3) { }3 ( , ) / 2 1 0r x y PxM x y= ∈ + − =

14
9.4) { }4 ( , ) / 2 1r x y PxM y x= ∈ ≤ +
4. โดเมนและเรนจของความสัมพันธ
โดเมนของความสัมพันธ คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทั้งหมดในความสัมพันธนั้น
เขียนแทนดวยสัญลักษณ rD
{ }/ ( , )rD x x y r= ∈
เรนจของความสัมพันธ คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับทั้งหมดในความสัมพันธนั้น
เขียนแทนดวยสัญลักษณ rR
{ }/ ( , )rR y x y r= ∈
1. กําหนดความสัมพันธ { }(1, ),(2, ),(3, ),(4, )r p q r s= จงหาโดเมนและเรนจ
ของความสัมพันธ r
วิธีทํา โดเมน คือสมาชิกตัวหนาทั้งหมด ∴ { }1,2,3,4rD = และ

15
เรนจ คือสมาชิกตัวหลังทั้งหมด ∴ { }, , ,rR p q r s=
อาจเขียนเปนแผนภาพความสัมพันธไดดังนี้
โดเมน เรนจ
2. จงหาโดเมนและเรนจจากความสัมพันธ { }( , ) / 2 5r x y IxI y x= ∈ = +
1. หา rD จากการพิจารณาคา x I∈ จากสมการ วา x เปนจํานวนเต็มที่มีคาใดไดบาง
ซึ่งจะเห็นวา x เปนจํานวนเต็มไดทุกคา เพราะสามารถแทนคา x เปนจํานวนเต็มใดก็ได เชน
…,-3,-2,-1,0,1,2,3,… ลงในสมการ 2 5y x= + แลวสามารถหาคา y ได
∴ { }/rD x x I= ∈
2. หา rR จากการแทนคา x เปนจํานวนเต็มลงในสมการ 2 5y x= + แลวหาคา y
ดังนี้
……….…….. x = -2 y = 2(-2)+5 y = 1
x = -1 y = 2(-1)+5 y = 3
x = 0 y = 2(0)+5 y = 5
x = 1 y = 2(1)+5 y = 7
x = 2 y = 2(2)+5 y = 9………….
∴ { }...,1,3,5,7,9,...rR =
หรือสามารถเขียนแผนภาพของความสัมพันธไดดังนี้

16
x y
4.1 การหาโดเมนและเรนจจากความสัมพันธของตัวแปร x และ y
ในกรณีที่ใหความสัมพันธเปนสมการระหวาง x และ y มา แลวใหหาโดเมนและเรนจของ
ความสัมพันธนั้น ใหทําการจัดกลุมตัวแปรดังนี้ คือ ถาจะหาโดเมนใหจัดกลุมตัวแปรจากสมการที่
โจทยใหมาใหอยูในรูปดังนี้
rD ---------- y = กลุมของตัวแปร x
และถาจะหาเรนจใหจัดกลุมตัวแปรจากสมการใหอยูในรูปดังนี้
rR ---------- x = กลุมของตัวแปร y
แลวพิจารณาวากลุมของตัวแปรนั้นมีขอหาม หรือขอกําหนดเปนเงื่อนไขใดบาง เชนในการหา
โดเมนและเรนจ ถากลุมของตัวแปร x หรือกลุมของตัวแปร y อยูในรูป
4.1.1 เศษสวน ………
มีขอหามหรือเงื่อนไข คือ ตัวหาร ≠ 0
-2
-1
0
1
2
1
3
5
7
9
ตัวตั้ง
ตัวหาร

17
4.1.2 รากที่สองหรือรากที่เปนจํานวนคู …………… ( ), ( )f x f y
เมื่อ f(x) และ f(y) แทนกลุมของตัวแปร x และ y ตามลําดับ
มีขอหามหรือเงื่อนไข คือ ตัวแปรภายในรากที่ 2 หรือรากที่เปนจํานวนคู ≥ 0
หรือ ( ) 0, ( ) 0f x f y≥ ≥
4.1.3 กําลังสองหรือกําลังที่เปนจํานวนคู …………
2 2
( ), ( )y f x x f y= =
มีขอหามหรือเงื่อนไข คือ ( ) 0, ( ) 0f x f y≥ ≥
4.1.4 คาสมบูรณ …………… ( ), ( )y f x x f y= =
มีขอหามหรือเงื่อนไข คือ ( ) 0, ( ) 0f x f y≥ ≥
สรุปแผนผังการหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ

18
ตัวอยางการหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธแบบตางๆเชน
ตัวอยาง 1 กําหนดให { }1,2,3,4,5S = กําหนดความสัมพันธ 1r , 2r และ 3r ใน S
ดังตอไปนี้ { }1 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ + =
{ }2 ( , ) / 2 3r x y SxS x and y= ∈ > =
{ }3 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ − =
จงหาโดเมนและเรนจของแตละความสัมพันธ
การหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ
ความสัมพันธที่สามารถแจกแจงเปนคูอันดับ (x,y) ความสัมพันธที่เปนสมการระหวาง xและy
-โดเมนคือสมาชิกตัวหนา
-เรนจคือสมาชิกตัวหลัง
เศษสวน รากที่เปนจํานวนคู กําลังที่เปนจํานวนคู
ตัวหาร ≠ 0
จัดกลุมตัวแปร y=f(x) จัดกลุมตัวแปร x=f(y)
หาโดเมน หาเรนจ
ภายในรากหามติดลบ กําลังคูมากกวาหรือ
เทากับศูนยเสมอ
แกอสมการหาเซตคําตอบของโดเมนและเรนจตามเงื่อนไขในแตละกรณี
คาสมบูรณ
คาสมบูรณตองมากกวา
หรือเทากับศูนยเสมอ

19
หาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ { }1 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ + =
1) สามารถแจกแจงสมาชิกของความสัมพันธ 1r เปนคูลําดับได ทําการแจกแจงสมาชิกของ
ความสัมพันธ 1r
2) ตรวจสอบคาของ x และ y ตามสมการ x+y = 6 , เพราะวา x S∈ แทนคา
x =1,2,3,4,5 แลวหาคา y โดย y = 6-x
x = 1…..... y = 6-1 = 5 ….. 5 S∈ …. 1(1,5) r∈
x = 2…..... y = 6-2 = 4 ….. 4 S∈ …. 1(2,4) r∈
x = 3…..... y = 6-3 = 3 ….. 3 S∈ …. 1(3,3) r∈
x = 4…..... y = 6-4 = 2 ….. 2 S∈ …. 1(4,2) r∈
x = 5…..... y = 6-5 = 1 ….. 1 S∈ …. 1(5,1) r∈
3) ∴ { }1 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)r =
4) ∴ { }1
1,2,3,4,5rD = และ { }1
1,2,3,4,5rR =
หาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ { }2 ( , ) / 2 3r x y SxS x and y= ∈ > =
2) ตรวจสอบคาของ x และ y เพราะวา x S∈ และ x>2 ∴ 3,4,5x =
เพราะวา y S∈ และ y=3 ∴ 3y =
3) จับคูคา x และ y หาคูอันดับ 2( , )x y r∈
3
4
5
3

20
4) ∴ { }2 (3,3),(4,3),(5,3)r =
5) ∴ { }2
3,4,5rD = และ { }2
3rR =
หาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ { }3 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ − =
2) ตรวจสอบคาของ x และ y ตามสมการ x-y = 6 , เพราะวา x S∈ แทนคา
x =1,2,3,4,5 แลวหาคา y โดย y = x-6
x = 1…..... y = 1-6 = -5 ….. 5 S− ∉ …. 3(1, 5) r− ∉
x = 2…..... y = 2-6 = -4 ….. 4 S− ∉ …. 3(2, 4) r− ∉
x = 3…..... y = 3-6 = -3 ….. 3 S− ∉ …. 3(3, 3) r− ∉
x = 4…..... y = 4-6 = -2 ….. 2 S− ∉ …. 3(4, 2) r− ∉
x = 5…..... y = 5-6 = -1 ….. 1 S− ∉ …. 3(5, 1) r− ∉
3) ∴ { }3r = = ∅
4) ∴ 3rD = ∅ และ 3rR = ∅
ตัวอยาง 2 จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ
1
( , ) /
2
r x y RxR y
x
⎧ ⎫
= ∈ =⎨ ⎬
−⎩ ⎭
หาโดเมน rD
1) เลือกวิธีการหาโดเมนจากการพิจารณาความสัมพันธระหวาง x และ y จากสมการ
1
2
y
x
=
−
2) หาโดเมนจากการจัดกลุมตัวแปรจากสมการใหอยูในรูป y=f(x) เมื่อ f(x) คือกลุม
ของตัวแปร x ซึ่งได
1
2
y
x
=
−
3) จาก y=f(x) อยูในรูปของ เศษสวน ซึ่งมีขอหามคือ ตัวสวน ≠ 0

21
∴ 2 0x − ≠
2x ≠
4) { }/ 2rD x R x∴ = ∈ ≠
หาเรนจ rR
1) หาเรนจจากการจัดกลุมตัวแปรจากสมการ
1
2
y
x
=
−
ใหอยูในรูป x=f(y) เมื่อ
f(y) คือกลุมของตัวแปร y ดังนี้
1
2
y
x
=
−
2) จาก x=f(y) ที่ได………… อยูในรูป เศษสวน …………ตัวสวน ≠ 0
∴ 0y ≠
3) { }/ 0rR y R y∴ = ∈ ≠
3 1
( , ) /
2 5
x
r x y RxR y
x
−⎧ ⎫
= ∈ =⎨ ⎬
+⎩ ⎭
1
2
1
2
1 2
x
y
x
y
y
x
y
− =
= +
+
= *

22
จัดกลุมตัวแปรในรูป...y=f(x)
………
3 1
2 5
x
y
x
−
=
+
3 1
2 5
x
y
x
−
=
+
….. เศษสวน
ตัวสวน ≠ 0
2 5 0
5
2
x
x
∴ + ≠
−
≠
5
/
2
rD x R x
−⎧ ⎫
∴ = ∈ ≠⎨ ⎬
⎩ ⎭
3 1
( , ) /
2 5
x
r x y RxR y
x
−⎧ ⎫
= ∈ =⎨ ⎬
+⎩ ⎭
rD rR
จัดกลุมตัวแปรในรูป...x=f(y)
3 1
......
2 5
(2 5) 3 1
2 5 3 1
5 1 3 2
5 1 (3 2 )
5 1
3 2
x
y
x
y x x
yx y x
y x yx
y x y
y
x
y
−
=
+
+ = −
+ = −
+ = −
+ = −
+
∴ =
−
5 1
3 2
y
x
y
+
=
−
….. เศษสวน
ตัวสวน ≠ 0
3 2 0
2 3
3
2
y
y
y
∴ − ≠
≠
≠
3
/
2
rR y R y
⎧ ⎫
∴ = ∈ ≠⎨ ⎬
⎩ ⎭

23
ขอสังเกต- ความสัมพันธที่มีสมการอยูในรูป เศษสวน
Ax C
y
Bx D
+
=
+
โดยที่ A,B,C และ
D เปนจํานวนจริงใดๆและ 0B ≠ สามารถสรุปโดเมนและเรนจของความสัมพันธไดดังนี้
/r
D
D x R x
B
−⎧ ⎫
= ∈ ≠⎨ ⎬
⎩ ⎭
/r
A
R y R y
B
⎧ ⎫
= ∈ ≠⎨ ⎬
⎩ ⎭
{ }( , ) / 3 4r x y RxR y x= ∈ = −
{ }( , ) / 3 4r x y RxR y x= ∈ = −
rD rR
……… 3 4y x= −
3 4y x= − ….. ภายใน
รากที่2 ≥0
3 4 0
4
3
x
x
∴ − ≥
≥
4
/
3
rD x R x
⎧ ⎫
∴ = ∈ ≥⎨ ⎬
⎩ ⎭
…….. 3 4y x= −
2
2
2
3 4
4 3
( 4)
3
y x
y x
y
x
= −
+ =
+
∴ =
0y ≥
y R∈ 0y R y∈ ∩ ≥
0y ≥
{ }/ 0rR y R y∴ = ∈ ≥

24
{ }2
( , ) / 9r x y RxR y x= ∈ = −
{ }2
( , ) / 9r x y RxR y x= ∈ = −
rD rR
………
2
9y x= −
2
9y x= − ….. ภายใน
รากที่2 ≥0
2
9 0
( 3)( 3) 0
3 3
x
x x
x x
∴ − ≥
− + ≥
≤ − ∪ ≥
{ }/ 3 3rD x R x x∴ = ∈ ≤ − ∪ ≥
……..
2
9y x= −
2 2
2 2
2
9
9
9
y x
y x
x y
= −
+ =
∴ = ± +
0y ≥
2
2
9 0
9
y
y
+ ≥
≥ −
ซึ่งเปนจริงเสมอไมวา y จะเปนจํานวนใดๆ
0y R y∈ ∩ ≥
0y ≥
{ }/ 0rR y R y∴ = ∈ ≥
y R∈

25
{ }( , ) / 3 1r x y RxR y x= ∈ = + +
{ }( , ) / 3 1r x y RxR y x= ∈ = + +
rD rR
……… 3 1y x= + +
3 1y x= + + …..
ภายในรากที่2 ≥0
1 0
1
x
x
∴ + ≥
≥ −
{ }/ 1rD x R x∴ = ∈ ≥ −
…….. 3 1y x= + +
3 1y x− = +
2
2
( 3) 1
( 3) 1
y x
x y
− = +
∴ = − −
3 0
3
y
y
− ≥
∴ ≥
แทนคา y เปนจํานวนใดๆก็ได หาคา x ได เสมอ
3y R y∈ ∩ ≥
3y ≥
{ }/ 3rR y R y∴ = ∈ ≥
y R∈

26
{ }2
( , ) / 16r x y RxR y x= ∈ = −
{ }2
( , ) / 16r x y RxR y x= ∈ = −
rD rR
………
2
16y x= −
2
16y x= − …..
2
2
16 0
16 0
( 4)( 4) 0
4 4
x
x
x x
x
∴ − ≥
− ≤
− + ≤
− ≤ ≤
{ }/ 4 4rD x R x∴ = ∈ − ≤ ≤
……..
2
16y x= −
2 2
2 2
2
16
16
16
y x
x y
x y
= −
= −
∴ = ± −
0y ≥
4 4 0y y− ≤ ≤ ∩ ≥
0 4y≤ ≤
{ }/ 0 4rR y R y∴ = ∈ ≤ ≤
4 4y− ≤ ≤
2
16x y= ± − …..
2
2
16 0
16 0
( 4)( 4) 0
4 4
y
y
y y
y
∴ − ≥
− ≤
− + ≤
∴− ≤ ≤

27
{ }2
( , ) / 2 3r x y RxR y x x= ∈ = − −
{ }2
( , ) / 2 3r x y RxR y x x= ∈ = − −
rD rR
………
2
2 3y x x= − −
…….
2
2 3y x x= − −
แทนคา x เปนจํานวนจริงใดๆก็
ไดสามารถหาคา y ไดเสมอ
{ }rD x R∴ = ∈
x R∈
……..
2
2 3y x x= − −
2
2
2
( 2 1) 3 1
( 1) 4
4 ( 1)
4 1
4 1
y x x
y x
y x
y x
x y
= − + − −
= − −
+ = −
± + = −
∴ = ± + +
4 1x y= ± + + …..
4 0
4
y
y
∴ + ≥
≥ −
4y ≥ −
{ }/ 4rR y R y∴ = ∈ ≥ −

28
ขอสังเกต- ความสัมพันธที่มีสมการอยูในรูปพหุนามกําลัง 2…..
2
y ax bx c= + + ….
โดยที่ a,b และ c เปนจํานวนจริงใดๆและ 0a ≠ สามารถสรุปคําตอบของโดเมนและเรนจของ
ความสัมพันธไดดังนี้
{ }rD x R= ∈
2
4
/
4
r
ac b
R y R y
a
⎧ ⎫−
= ∈ ≥⎨ ⎬
⎩ ⎭
เมื่อ 0a >
2
4
/
4
r
ac b
R y R y
a
⎧ ⎫−
= ∈ ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭
เมื่อ 0a <
เชนจากตัวอยางที่แลว
2
2 3y x x= − − …… 1, 2, 3a b c= = − = −
{ }rD x R∴ = ∈ และเนื่องจาก 0a > ……..
2
2
4
4
4(1)( 3) ( 2)
4(1)
12 4
4
4
ac b
y
a
y
y
y
−
≥
− − −
≥
− −
≥
≥ −
……….
{ }/ 4rR y R y∴ = ∈ ≥ −

29
{ }2 2
( , ) / 2 1 0r x y RxR y xy x= ∈ − − + =
{ }2 2
( , ) / 2 1 0r x y RxR y xy x= ∈ − − + =
rD rR
2 2
2
2
2 1 0
(1 2 ) 1
1
1 2
y xy x
y x x
x
y
x
− − + =
− = −
−
∴ =
−
…….
2 1
1 2
x
y
x
−
=
−
เนื่องจาก
2
0y ≥ เสมอ
1
0
1 2
( 1)(1 2 ) 0 , 1 2 0
( 1)(2 1) 0 , 2 1
1 1
1 ,
2 2
x
x
x x x
x x x
x x
−
∴ ≥
−
− − ≥ − ≠
− − ≤ ≠
≤ ≤ ≠
1
/ 1
2
rD x R x
⎧ ⎫
∴ = ∈ < ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭
1
1
2
x< ≤ ตรวจสอบวา 1
2
x = ไมไดจริง
โดยการแทนคา x ลงใน
2 2
2 2
2 2
2 1 0
1 1
2( ) 1 0
2 2
1
0
2
1 1
0...... ....
2 2
y xy x
y y
y y
false x
− − + =
− − + =
− + =
= ≠
2 2
2 2
2 2
2
2
2 1 0
1 2
1 (2 1)
1
2 1
y xy x
y xy x
y x y
y
x
y
− − + =
+ = +
+ = +
+
∴ =
+
…….
2
2
1
2 1
y
x
y
+
=
+
เปน เศษสวน….ตัวหาร≠ 0
2
2
2 1 0
1
2
y
y
+ ≠
−
≠
ซึ่ง
2 2 1
0
2
y y
−
≥ ∴ ≠ จริงเสมอ
ไมวา y จะเปนจํานวนใดๆ
y R∈
{ }rR y R∴ = ∈

30
{ }( , ) / 3 7r x y RxR y x= ∈ = − +
{ }( , ) / 3 7r x y RxR y x= ∈ = − +
rD rR
3 7y x= − +
……. 3 7y x= − +
แทนคา x เปนจํานวนจริงใดๆก็ได
สามารถหาคา y ไดเสมอ
{ }rD x R∴ = ∈
x R∈
3 7
3 7
y x
x y
= − +
∴ − = −
……. 3 7x y− = −
เพราะวาคา 3 0x − ≥ เสมอ
7 0
7
y
y
∴ − ≥
≥
{ }/ 7rR y R y∴ = ∈ ≥
7y ≥

31
1. จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธตอไปนี้
1.1) { }1 ( 1,2),(3,4),( 5, 1),(4,0)r = − − −
1.2) { }2 (1,2),(2,1),(3,1),(4,1),(5,2)r =
1.3) { }3 ( , ) / 3r x y IxI y x= ∈ = −
1.4) { }2
4 ( , ) /r x y NxN y x= ∈ =

32
1.5) { }2 2
5 ( , ) / 4r x y IxI x y+
= ∈ + =
2. กําหนด { }0,1,9A = , { }0,1,3B = และ { }2,7,10C = หาโดเมนและเรนจ
ของความสัมพันธตอไปนี้
2.1) { }1 ( , ) / ,r x y x A y B and x y= ∈ ∈ >
2.2) { }2 ( , ) / , 5r x y x B y C and x y= ∈ ∈ + ≥
2.3) { }3 ( , ) / ,r x y x A y B and y x= ∈ ∈ =

33
2.4) { }2
4 ( , ) / ,r x y x C y A and y x= ∈ ∈ =
3. จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธตอไปนี้
3.1)
2
1
2
( , ) /
1
x
r x y RxR y
x
+⎧ ⎫
= ∈ =⎨ ⎬
+⎩ ⎭
3.2) { }2 ( , ) / 1r x y RxR x y= ∈ + =

34
3.3) 3 2
1
( , ) /
9
r x y RxR y
x
⎧ ⎫
= ∈ =⎨ ⎬
−⎩ ⎭
3.4) 4
2 5
( , ) /
x
r x y RxR y
x
⎧ ⎫+⎪ ⎪
= ∈ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭

35
3.5) { }2
5 ( , ) / 3 8r x y RxR y x x= ∈ = + +
3.6) 6 2
1
( , ) /
2 3
r x y RxR y
x x
⎧ ⎫
= ∈ =⎨ ⎬
− −⎩ ⎭

36
3.7) 7
3
( , ) /
3 4
r x y RxR y
x
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ∈ =⎨ ⎬
+ −⎪ ⎪⎩ ⎭
3.8) { }2
8 ( , ) / 4r x y RxR y x= ∈ = −

37
3.9) { }2 2
9 ( , ) / 2 2 1 0r x y RxR x y xy x= ∈ + − + + =
3.10) { }2
10 ( , ) / 4 5 2r x y RxR y x and x= ∈ = − − < <

38
3.11) { }2 2
11 ( , ) / 2 3r x y RxR y x x= ∈ = + −
3.12) 12 2
4
( , ) / 2
( 1) 4
r x y RxR y
x
⎧ ⎫
= ∈ = −⎨ ⎬
− −⎩ ⎭

39
3.13)
2 2
13
( 1) ( 2)
( , ) / 1
25 16
x y
r x y RxR
⎧ ⎫− −
= ∈ + =⎨ ⎬
⎩ ⎭
3.14)
2
14 2
1
( , ) /
1
x
r x y RxR y
x
⎧ ⎫−⎪ ⎪
= ∈ =⎨ ⎬
+⎪ ⎪⎩ ⎭

40
3.15) 15 2
3
( , ) /
2 1
x
r x y RxR y
x x
−⎧ ⎫
= ∈ =⎨ ⎬
− +⎩ ⎭
3.16) 16
2
( , ) /
4
r x y RxR y
x
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ∈ =⎨ ⎬
−⎪ ⎪⎩ ⎭

41
5. ฟงกชัน
5.1 ลักษณะของฟงกชัน
ฟงกชัน คือ ความสัมพันธที่สมาชิกในโดเมนแตละตัวจับคูกับสมาชิกในเรนจของ
ความสัมพันธเพียงตัวเดียวเทานั้น ความสัมพันธที่เปนฟงกชันเราเขียนแทนความสัมพันธนั้นวา
f และเขียน ( )y f x= แทน ( , )x y f∈ และเรียก ( )f x วาคาของฟงกชัน f ที่ x
โดยอานวา “เอฟของเอ็กซ” หรือ “เอฟเอ็กซ”
{ }1 1 1 2 1 2( , ) / ( , ) ( , )f x y if x y f and x y f then y y= ∈ ∈ =
1. จงพิจารณาวาความสัมพันธใดตอไปนี้เปนฟงกชัน
1.1) { }1 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5)r =
วิธีทํา พิจารณาคูอันดับ (x,y) ทุกคูอันดับในความสัมพันธ 1r วามีคูอันดับใดที่มีสมาชิกตัว
หนาซ้ํากันบาง -----ถาไมมีคูอันดับใดที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย หรือ
-----ถามีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันแลว สมาชิกตัวหลังตองเหมือนกันดวย
จะถือวาความสัมพันธนั้นเปน f
1r∴ เปน f เพราะไมมีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย
1.2) { }2 (1,2),(1,3),(3,4),(4,5)r =
วิธีทํา 2r ไมเปน f เพราะวามีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันแลวสมาชิกตัวหลังไมเหมือนกัน
คือ (1,2) กับ (1,3)

42
1.3) { }3 (1,2),(3,4),(4,5),(1,2)r =
วิธีทํา 3r เปน f เพราะวามีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันแลวสมาชิกตัวหลังเหมือนกันคือ
(1,2)
ขอสังเกต สามารถสรุปเปนแผนภาพการพิจารณาวาความสัมพันธทีมีลักษณะแจกแจงเปนคู
อันดับ ความสัมพันธใดเปนฟงกชันดังนี้
{ }( , )r x y=
มีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนา
ซ้ํากันหรือไม
ไมซ้ํา
r f=
ซ้ํา
คูอันดับนั้นสมาชิกตัวหลัง
เหมือนกันหรือไม
r f≠
ไมเหมือน
เหมือน

43
หรืออาจพิจารณาเปนตัวอยางแผนภาพการจับคูระหวาง x และ y ในความสัมพันธตางๆไดดังนี้
-------------ไมเปน f เพราะ 3 จับคูกับ a และ b
(คา x ซ้ํากันไมได)
------------ เปน f เพราะ คา x ไมซ้ํากัน
(คา y ซ้ํากันได)
5.2 การพิจารณาความสัมพันธในรูปสมการ x และ y วาเปนฟงกชัน
จากลักษณะของฟงกชัน คา x 1 คาตองจับคูกับคา y เพียงคาเดียวเทานั้น เพราะฉะนั้นถาเรา
สามารถแทนคา x เทากับจํานวนจริงใดๆในสมการระหวาง x และ y แลวใหคา y มากกวาตั้งแต
2 คาขึ้นไป ก็จะสรุปไดวาความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน โดยมีขอสังเกตวาถาสมการระหวาง x
และ y นั้นสามารถจัดกลุมใหอยูในรูปของ y = (กลุมของตัวแปร x) ,
2
y = (กลุม
ของตัวแปร x) หรือ y = (กลุมของตัวแปร x) ได ความสัมพันธนั้น จะไมเปนฟงกชัน
เพราะวาเทอม y ,
2
y หรือ y สามารถแทนคา y ไดถึง 2 คาคือคา y ที่เปน + 1
คา และคา y ที่เปน – อีก 1 คา แลวใหคาออกมาเทาเดิม
แตถาสมการสามารถจัดกลุมใหอยูในรูป y = (กลุมของตัวแปร x) แลวความสัมพันธ
ดังกลาวจะเปนฟงกชันเพราะคา x 1 คาสามารถหาคา y ได 1 คาเทานั้น
y = (กลุมของตัวแปร x) f
2
, ,y y y = (กลุมของตัวแปร x) ไมใช f
3
5
a
b
c
3
5
a
b
c
(กําลังคู)

44
1. พิจารณาความสัมพันธ { }2 2
( , ) / 4r x y RxR x y= ∈ + = วาเปนฟงกชันหรือไม
วิธีทํา ใหพิจารณาที่คา y วาให y ออกมามากกวาตั้งแต 2 คาหรือไม…… จากสมการ
2 2
4x y+ = มีเทอม
2
y ซึ่งใหคา y ออกมา 2 คา
{ }2 2
( , ) / 4r x y RxR x y∴ = ∈ + = ……………. ไมเปน f
2. พิจารณาความสัมพันธ { }2
( , ) / ; 0r x y RxR x y y= ∈ = ≥ วาเปนฟงกชัน
หรือไม
2
; 0x y y= ≥ มีเทอม
2
y ซึ่งจะใหคา y ออกมา 2 คาคือคา +และคา - แตเงื่อนไขที่วา
0y ≥ ทําใหจํากัดคา y เปน + หรือ 0 ไดคาเดียว
{ }2
( , ) / ; 0r x y RxR x y y∴ = ∈ = ≥ คา x 1 คา ใหคา y เพียงคาเดียว
เทานั้น………เปน f
3. พิจารณาความสัมพันธ { }2
( , ) / 3 1r x y RxR y x= ∈ + = − วาเปนฟงกชัน
หรือไม
2
3 1y x+ = − มีเทอม 3y + ซึ่งจะมีคา y 2 คาที่แทนลงใน 3y + แลวใหคา
ออกมาเทากัน เชน ถาคา y=1 แทนคาลงใน 3 1 3 4y + = + =
คา y=‐7 แทนคาลงใน 3 7 3 4y + = − + =
{ }2
( , ) / 3 1r x y RxR y x∴ = ∈ + = − …………… ไมเปน f
5.3 การใชกราฟมาพิจารณาวาความสัมพันธนั้นเปนฟงกชัน
ถาเราสามารถวาดกราฟของความสัมพันธใดๆได เราสามารถทดสอบไดวาความสัมพันธนั้น
เปน f หรือไม ไดโดยการวาดเสนตรงใดๆที่ขนานกับแกน ( , )y c c R= ∈ แลวถา
คา y 2คาใหคา
ออกมาเทากัน

45
เสนตรงนั้นตัดกราฟของความสัมพันธมากกวาตั้งแต 2 จุดขึ้นไป แสดงวาความสัมพันธนั้นไมเปน
f ตัวอยาง เชน
1. พิจารณากราฟของความสัมพันธ { }2
( , ) /r x y RxR y x∴ = ∈ =
2
y x=
2. พิจารณากราฟของความสัมพันธ { }( , ) /r x y RxR y x∴ = ∈ =
3. พิจารณากราฟของความสัมพันธ { }2
( , ) /r x y RxR y x∴ = ∈ =
•
•
1 1( , )x y
1 2( , )x y
y
x
เสนตรง y c= ตัดกับกราฟของ
ความสัมพันธ r 2 จุด……ไมเปน f
y c=
y
x
y x=
•
•
1 1( , )x y
1 2( , )x y
y
x
y c=
•
1 1( , )x y
y c=
ความสัมพันธ r เพียง 1 จุด……เปน f
2
y x=

46
4. พิจารณากราฟของความสัมพันธ { }2 2
( , ) / 9r x y RxR x y∴ = ∈ + =
5.4 ฟงกชันจาก A ไป B
ฟงกชัน f เปนฟงกชันจาก A ไป B ก็ตอเมื่อ โดเมนของ f เทากับเซต A
และเรนจของ f เปนสับเซตของเซต B เขียนแทนดวย :f A B→
( : ) ( )f ff A B D A R B→ ↔ = ∧ ⊂
ตัวอยาง เชน
1. กําหนด { } { }1,2,3,4 , , ,A B a b c= = ฟงกชัน
{ }1 (1, ),(2, ),(3, ),(4, )f a a b c= ,
{ }2 (1, ),(2, ),(3, ),(4, )f a a a c=
และ
{ }3 (1, ),(2, ),(4, )f a a c= เปนฟงกชันจาก A B→ หรือไม
{ }1 (1, ),(2, ),(3, ),(4, )f a a b c=
1) 1f เปนฟงกชัน หา 1fD และ 1fR จาก { }1 (1, ),(2, ),(3, ),(4, )f a a b c=
y
x
1 1( , )x y
y c=
2 2
9x y+ =
•
•
1 2( , )x y

47
{ }1 1,2,3,4fD = { }1 , ,fR a b c=
2) จาก { }1,2,3,4A = และ { }1 1,2,3,4fD = 1fD A∴ =
และ
{ }, ,B a b c=
,
{ }1 , ,fR a b c= 1fR B∴ ⊂
3) 1 :f A B→
สามารถเขียนเปนแผนภาพไดดังนี้
A B
1f 1 :f A B→
1fD A= 1fR B⊂
{ }2 (1, ),(2, ),(3, ),(4, )f a a a c=
1
2
3
4
a
b
c

48
A B
{ }
{ }
2
2
1,2,3,4
,
f
f
D
R a c
=
=
2
2
f
f
D A
R B
=
⊂
{ }3 (1, ),(2, ),(4, )f a a c=
1
2
3
4
a
b
c
2f
2 :f A B→

49
A B
{ }
{ }
3
3
1,2,4
,
f
f
D
R a c
=
=
3fD A≠
5.5 ฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B
ฟงกชัน f เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ตอเมื่อ โดเมนของ f เทากับเซต A
และเรนจของ f เทากับเซต B เขียนแทนดวย : onto
f A B⎯⎯⎯→
( : ) ( )onto
f ff A B D A R B⎯⎯⎯→ ↔ = ∧ =
1. กําหนด { } { }, , , , 1,2,3A a b c d B= = ฟงกชัน
{ }1 ( ,1),( ,2),( ,3),( ,1)f a b c d= ,
{ }2 ( ,1),( ,1),( ,1),( ,1)f a b c d=
และ
{ }3 ( ,1),( ,2),( ,3)f a b d= เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B หรือไม
1
2
3
4
a
b
c
3f
3f ไมเปนฟงกชันจาก A ไป B

50
{ }1 ( ,1),( ,2),( ,3),( ,1)f a b c d=
A B
1
1
f
f
D A
R B
=
=
1 : onto
f A B⎯⎯⎯→
{ }2 ( ,1),( ,1),( ,1),( ,1)f a b c d=
a
b
c
d
1
2
3
1f { }
{ }
1
1
, , ,
1,2,3
f
f
D a b c d
R
=
=

51
A B
{ }
{ }
2
2
, , ,
1
f
f
D a b c d
R
=
=
2
2
f
f
D A
R B
=
≠
{ }3 ( ,1),( ,2),( ,3)f a b d=
a
b
c
d
1
2
3
2f
2f ไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B

52
A B
{ }
{ }
3
3
, ,
1,2,3
f
f
D a b d
R
=
=
3fD A≠
5.6 ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B
ฟงกชัน f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B ก็ตอเมื่อ f เปนฟงกชันจาก A ไป
B โดยที่ถา 1 1( , )x y f∈ และ 2 1( , )x y f∈ แลว 1 2x x= เขียนแทน
ดวย
1:1
:f A B⎯⎯→
[ ]1:1
1 2 1 2( : ) ( : ) [( ) ( )]f A B f A B y y x x⎯⎯→ ↔ → ∧ = → =
1. กําหนด { } { }, , , , 1,2,3,4A a b c d B= = ฟงกชัน
{ }1 ( ,1),( ,3),( ,2),( ,4)f a b c d= ,
{ }2 ( ,1),( ,1),( ,2),( ,4)f a b c d=
และ
{ }3 ( ,1),( ,2),( ,3)f a b d= เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B หรือไม
a
b
c
d
1
2
3
3f
3f ไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B

53
{ }1 ( ,1),( ,3),( ,2),( ,4)f a b c d=
A B
{ }2 ( ,1),( ,1),( ,2),( ,4)f a b c d=
1
2
3
4
a
b
c
d
1f 1 :f A B→
1f ไมมีการจับคูที่สมาชิกตัวหลังซ้ํากัน
1:1
1 :f A B⎯⎯→

54
A B
{ }3 ( ,1),( ,2),( ,3)f a b d=
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
2f 2 :f A B→
2f มีการจับคูที่สมาชิกตัวหลังซ้ํากัน
คือ (a,1) กับ (b,1)
ไมเปน
1:1
2 :f A B⎯⎯→
1
2
3
4
a
b
c
d
3f ไมเปน 3 :f A B→
เพราะ 3fD A≠
1:1
3 :f A B⎯⎯→

55
5.7 ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B
ฟงกชัน f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B ก็ตอเมื่อ f เปนฟงกชันหนึ่ง
ตอหนึ่งจาก A ไป B และ f เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนดวย
1:1
: onto
f A B⎯⎯⎯→
1:1 1:1
( : ) ( : ) ( : )onto
onto
f A B f A B f A B⎡ ⎤⎯⎯⎯→ ↔ ⎯⎯→ ∧ ⎯⎯⎯→⎣ ⎦
1. กําหนด { } { }, , , , , 1,2,3,4,5A a b c d e B= = ฟงกชัน
{ }( ,1),( ,3),( ,2),( ,4),( ,5)f a b c d e=
เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B หรือไม
A B
1
2
3
4
5
a
b
c
d
e
f
1:1
:f A B⎯⎯→
เพราะ ไมมีสมาชิกตัวหลังซ้ํากัน
1:1
2 : onto
f A B⎯⎯⎯→
: onto
f A B⎯⎯⎯→
เพราะ fR B=

56
2. กําหนด { } { }, , , , 1,2,3,4,5A a b c d B= = ฟงกชัน
{ }( ,1),( ,2),( ,3),( ,5)f a b c d= เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง
B หรือไม
A B
สามารถสรุปความสัมพันธของฟงกชันชนิดตางๆ เปนแผนภาพของเซตไดดังนี้
1
2
3
4
5
a
b
c
d
f
1:1
:f A B⎯⎯→
เพราะ ไมมีสมาชิกตัวหลังซ้ํากัน
1:1
: onto
f A B⎯⎯⎯→
ไมเปน : onto
f A B⎯⎯⎯→
เพราะ fR B≠
M=เซตของ :f A B⎯⎯→
N=เซตของ
1:1
:f A B⎯⎯→
Q=เซตของ : onto
f A B⎯⎯⎯→
=เซตของความสัมพันธที่เปนฟงกชัน
P=เซตของฟงกชันที่ไมใช
ฟงกชันจาก Aไป B
S=เซตของ 1:1
: onto
f A B⎯⎯⎯→
M
N Q
S
P

57
ตอไปนี้เปนตัวอยางเกี่ยวกับความสัมพันธที่เปนฟงกชัน และฟงกชันในรูปแบบตางๆดังนี้
ตัวอยางที่ 1 ความสัมพันธตอไปนี้เปน :f R R⎯⎯→ หรือไม ถาใชเปนฟงกชันประเภท
ใดบาง
1.1) { }3
1 ( , ) /r x y y x= =
1.2) { }2
2 ( , ) / 1r x y y x= = −
1.3) 3
1
( , ) /
8
x
r x y y
x
−⎧ ⎫
= =⎨ ⎬
+⎩ ⎭
1.4) { }4 ( , ) / 1 1r x y y x x= = + − −
1.5) { }5 ( , ) /r x y x y x y= + ≥ +
1.1)
1r f=
เพราะวาสามารถเขียนใหอยูในรูป
y = (กลุมของตัวแปร x)
1 1,r rD R R R= =
3
y x= , สามารถแทนคา x เปนจํานวนใดๆก็ได
1rx R D R∈ →∴ =
1
3
x y= , สามารถแทนคา y เปนจํานวนใดๆก็ได
1ry R R R∈ →∴ =
1r เปน :f R R→
เพราะวา 1 1r rD R R R= ∧ ⊂
1r เปน : onto
f R R⎯⎯⎯→ 1r เปน 1:1
:f R R⎯⎯→ 1r เปน 1:1
: onto
f R R⎯⎯⎯→
เพราะวา 1rR R= เพราะวาสามารถเขียนสมการใหอยูในรูป
x=(กลุมของตัวแปร y) คือ
1
3
x y= ได
{ }3
1 ( , ) /r x y y x= =
เพราะวา 1r เปนทั้ง : onto
f R R⎯⎯⎯→
และ 1r เปน 1:1
:f R R⎯⎯→

58
1.2)
1.3)
2r f=
[ ] [ ]2 21,1 , 0,1r rD R= − =
หา 2rD ; 2
1y x= − , ในรากหามติดลบ
[ ]
2 2
2
1 0; 1 0; ( 1)( 1) 0;
1 1 1,1r
x x x x
x D
∴ − ≥ − ≤ − + ≤
− ≤ ≤ → ∴ = −
หา 2rR ; 2
1 ; 0y x y= − ≥
[ ]
2 2 2 2 2
2
2
1 ; 1 ; 1
1 0 0 0 1
0,1r
y x x y x y
y y y
R
= − = − = ± −
− ≥ ∧ ≥ → ≤ ≤
∴ =
2r ไมเปน :f R R→
เพราะวา 2rD R≠
{ }2
2 ( , ) / 1r x y y x= = −
3r f=
{ } { }3 38 , 1r rD R R R= − − = −
หา 2rD ;
1
8
x
y
x
−
=
+
, ตัวสวนหาม=0
{ }3
8 0; 8
8r
x x
D R
∴ + ≠ ≠ −
∴ = − −
หา 3rR ; จัดรูป x = (กลุมของตัวแปร y)
{ }3
1
; ( 8) ( 1); 8 1;
8
8 1
8 1; (1 ) 8 1;
1
1 0; 1 1r
x
y y x x yx y x
x
y
x yx y x y y x
y
y y R R
−
= + = − + = −
+
+
− = + − = + =
−
− ≠ ≠ →∴ = −
3r ไมเปน :f R R→
เพราะวา 3rD R≠
3
1
( , ) /
8
x
r x y y
x
−⎧ ⎫
= =⎨ ⎬
+⎩ ⎭

59
1.4) –พิจารณาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ
-จัดกลุมตัวแปรในรูป..y=f(x)
…… 1 1y x x= + − −
-จากสมการสามารถแทนคา x เปน
จํานวนใดๆก็ไดแลวสามารถหาคา y
ไดเสมอ x R∴ ∈
{ }4 ( , ) / 1 1r x y y x x= = + − −
rD rR
-จากสมการไมสามารถจัดกลุมตัวแปรในรูป...x=f(y) ได
-ใหทําการถอดคาสัมบูรณออกกอน โดยการกําหนด
ชวงของคา x แลวคอยจัดกลุมตัวแปรในรูป...x=f(y)
{ }4rD x R∴ = ∈
-จากสมการ… 1 1y x x= + − − … คาวิกฤติของคา x มี
2 คาคือ -1 และ 1 จากการจับ 1 0x + = และ 1 0x − =
แกสมการหาคา x = -1,1
-แบงคา x เปน 3 ชวง ดังนี้
• •
1−
1 2 3
1x < − 1 1x− ≤ < 1x ≥
1 1
( 1) ( ( 1))
1 1
2
y x x
y x x
y x x
y
= + − −
= − + − − −
= − − + −
∴ = −
∵ 1 1
( 1) ( ( 1))
1 1
2 ........
2
1 1 1 1
2
2 2
y x x
y x x
y x x
y
y x x
y
x
y
= + − −
= + − − −
= + + −
∴ = =
− ≤ < →∴− ≤ <
∴− ≤ <
∵
∵
1
1 1
( 1) ( 1)
1 1
2
y x x
y x x
y x x
y
= + − −
= + − −
= + − +
∴ =
∵
{ }4 / 2 2rR y R y∴ = ∈ − ≤ ≤

60
• พิจารณาวาเปนฟงกชันอะไรบาง
4r f=
{ }4 ( , ) / 1 1r x y y x x= = + − −
[ ]4 4, 2,2r rD R R= = −
4r เปน :f R R→
เพราะวา 4 4r rD R R R= ∧ ⊂
4r ไมเปน : onto
f R R⎯⎯⎯→ 4r ไมเปน 1:1
:f R R⎯⎯→ 4r ไมเปน 1:1
: onto
f R R⎯⎯⎯→
เพราะวา 4rR R≠ เพราะวาสามารถหาคา x อยางนอย 2 คา
แทนในสมการ 1 1y x x= + − − แลว
ไดคา y เทากัน เชน ที่ x=-3 แทนคาได
y=-2 และที่ x=-2 ก็แทนคาได y=-2
เชนกัน
เพราะวา 4r ไมเปน : onto
f R R⎯⎯⎯→

61
1.5) พิจารณาวา { }5 ( , ) /r x y x y x y= + ≥ + เปนฟงกชันหรือไม
• โดยการหาคา x จํานวน 1 คา แทนลงไปในสมการ แลวไดคา y ออกมาอยางนอย 2 คาจะ
ทําใหความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน เชนที่ x=2 , y=1 และที่ x=2 , y=2 แทนลง
ในสมการ x y x y+ ≥ + ทําใหสมการเปนจริงทั้งคู
5...r not function∴
5.8 การหาคาของฟงกชัน
ในกรณีที่ f เปนฟงกชันเราสามารถแทน ( , )x y f∈ ดวย ( )y f x= การหา
คาของฟงกชันเปนการหาคาของ ( )f x ที่ x เปนคาใดๆนั้นเอง
1. ให { }(1,2),(3,4),(2,7),(8,5)f = จงหาคาของ
1.1) (3)f
1.2) (8)f
1.3) ( (1))f f
1.4) (4)f
1.5) ถา ( ) 5f x = จงหาคา x
1.1) (3) ?f = …….พิจารณาคูอันดับของฟงกชัน f ที่มีคา x=3……..(3,4)
(3) 4f∴ =
.... 2, 1
2 1 2 1
3 3
3 3..........
at x y
x y x y
true
= =
+ ≥ +
+ ≥ +
≥
≥
..... 2, 2
2 2 2 2
4 4
4 4..........
at x y
x y x y
true
= =
+ ≥ +
+ ≥ +
≥
≥

62
1.2) (8) ?f = …….พิจารณาคูอันดับของฟงกชัน f ที่มีคา x=8……..(8,5)
(8) 5f∴ =
1.3) ( (1)) ?f f = ………หาคาของ (1)f กอน ได (1) 2f =
( (1)) (2) 7f f f∴ = =
1.4) (4) ?f = ………..เนื่องจากคูอันดับของฟงกชัน f ไมมีคูอันดับใดที่มีคา x=4
(4)f∴ หาคาไมได
1.5) ( ) 5f x =∵ ………พิจารณาคูอันดับที่มีคา y=5 ซึ่งก็คือคูอันดับ (8,5)
8x∴ =
2. ให ( ) 3 1f x x= − จงหาคาของ
2.1) (2)f
2.2)
2
( 1)f x −
2.1) (2) ?f = ………ทําการแทนคา x=2
( ) 3 1
(2) 3(2) 1
(2) 6 1
(2) 5
f x x
f
f
f
= −
= −
= −
∴ =
2.2)
2
( 1) ?f x − = ……….ทําการแทนคา x ดวย
2
( 1)x −
2 2
2 2
2 2
( ) 3 1
( 1) 3( 1) 1
( 1) 3 3 1
( 1) 3 4
f x x
f x x
f x x
f x x
= −
− = − −
− = − −
∴ − = −

63
3. กําหนดให (3 4) 4 3f x x− = + จงหาคาของ (8), (2)f f
3.1) (8) ?f = ……….หาคา x ที่แทนใน 3x-4 แลวทําใหมีคาเทากับ 8
3 4 8
3 12
4
x
x
x
− =
=
∴ =
…….แทนคา x=4 ลงใน (3 4) 4 3f x x− = +
(3 4) 4 3
(3(4) 4) 4(4) 3
(8) 16 3
(8) 19
f x x
f
f
f
− = +
− = +
= +
∴ =
3.2) (2) ?f = ……….หาคา x ที่แทนใน 3x-4 แลวทําใหมีคาเทากับ 2
3 4 2
3 6
2
x
x
x
− =
=
∴ =
…….แทนคา x=2 ลงใน (3 4) 4 3f x x− = +
(3 4) 4 3
(3(2) 4) 4(2) 3
(2) 8 3
(2) 11
f x x
f
f
f
− = +
− = +
= +
∴ =

64
1. ความสัมพันธตอไปนี้เปนฟงกชันหรือไม
1.1) { }1 (2,0),(3,1),(7,6)r =
1.2) { }2 (2,4),(2,6),(5,6),(9,6)r =
1.3) { }3 (3,2),(3,4),(3,5)r =
1.4) { }4 (0,4),( 3,5),(1,8)r = −
2. พิจารณาความเปนฟงกชันจากความสัมพันธตอไปนี้
2.1) { }1 ( , ) / 3 9r x y RxR y x= ∈ = +
2.2) { }2
2 ( , ) /r x y RxR y x= ∈ =

65
2.3) { }2
3 ( , ) /r x y RxR x y= ∈ =
2.4) { }2
4 ( , ) / , 0r x y RxR x y y= ∈ = ≤
2.5) { }2 2
5 ( , ) / 4r x y RxR x y= ∈ + =
2.6) { }2 2
6 ( , ) / 4,0 2r x y RxR x y y= ∈ + = ≤ ≤
2.7) { }2 2
7 ( , ) / 4,0 2 0 2r x y RxR x y x and y= ∈ + = ≤ ≤ ≤ ≤
2.8) { }2
8 ( , ) / 2 8r x y RxR y x x= ∈ = − −
2.9) { }2
9 ( , ) / 2 8r x y RxR x y y= ∈ = − −

66
2.10) { }2
10 ( , ) / 2 8, 1r x y RxR x y y y= ∈ = − − ≥
3. กราฟจากความสัมพันธดังตอไปนี้ความสัมพันธใดเปนฟงกชัน
3.1)
3.2)
3.3)
y
x
y
x
y
x

67
3.4)
3.5)
3.6)
3.7)
y
x
y
x
y
x
y
x

68
3.8)
3.9)
3.10)
4. กําหนด { }1,2A = และ { }3,4B = จงหา
4.1) ฟงกชันจาก A ไป B ไดแก
y
x
y
x
y
x

69
4.2) ฟงกชันจาก B ไป A ไดแก
5. กําหนด { }1,2,3A = และ { },B a b= จงหา
5.1) ฟงกชันจาก A ไป B ไดแก
5.2) ฟงกชันจาก B ไป A ไดแก
6. กําหนด { }1,2,3A = และ { }, ,B a b c= จงหา
6.1) ฟงกชัน 1-1 จาก A ไป B ไดแก
6.2) ฟงกชัน 1-1 จาก B ไป A ไดแก

70
6.3) ฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B ไดแก
7. ให { }2,6,9A = และ { }4,0,1,7B = − บอกชนิดของฟงกชันตอไปนี้
7.1) { }1( ) (2, 4),(6,1),(2,1)f x = −
7.2) { }2 ( ) ( 4,2),(0,2),(1,2),(7,2)f x = −
7.3) { }3 ( ) ( 4,0),(0,0),(1,7),(7,7)f x = −
7.4) { }4 ( ) ( 4,2),(0,6),(1,6),(7,9)f x = −
7.5) { }5 ( ) (2,0),(6,1),(9, 4)f x = −
8. จงพิจารณาหาฟงกชัน 1-1 จากกราฟตอไปนี้
8.1) y
x

71
8.2)
8.3)
8.4)
8.5)
y
x
y
x
y
x
y
x

72
8.6)
9. จงพิจารณาวาฟงกชันที่กําหนดใหตอไปนี้ ฟงกชันใดเปนฟงกชัน 1-1
9.1) ( ) 3 2f x x= +
9.2)
2
( ) 7f x x= −
9.3) ( ) 4 5f x x= +
9.4) ( ) 7f x x= −
9.5)
2
( ) 14 50f x x x= − +
y
x

73
10. กําหนด ( ) 3 2f x x= − และ 2 2x− ≤ ≤ จงหา fR
11. กําหนด
2
( ) 1f x x= + และ 4 2x− ≤ ≤ จงหา fR
2
( ) 2 8f x x x= − − และ 2 2x− ≤ ≤ จงหา fR
13. กําหนดให
2
( ) 2 5 2f x x x= − + เมื่อ 2 2x− ≤ ≤ จงหา
13.1) (0)f
13.2) ( 1)f −
13.3) (1)f
13.4) ( 2)f −

74
13.5) ( 3)f −
13.6) (3)f
2
( )
2
f x x
−
= จงหา
14.1) ( 2)f −
14.2) (0)f
14.3) (1)f
14.4) ( 3)f
14.5) (2)f
14.6) (3)f
เมื่อ 0x <
เมื่อ 0 2x≤ ≤
เมื่อ 2x >

75
15. กําหนด { }2
( , ) / 4 5f x y RxR y x x= ∈ = − + จงหา fD และ fR
1
( , ) /
2
f x y RxR y
x
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ∈ =⎨ ⎬
+⎪ ⎪⎩ ⎭
จงหา fD และ fR

76
6. กราฟของความสัมพันธและฟงกชัน
ในระบบแกนมุมฉากเราสามารถกําหนดจุดพิกัด (x,y) แทนคูอันดับของจํานวนจริงของ
ความสัมพันธ r ใดๆได และจากการกําหนดพิกัดแทนคูอันดับนี้เอง เราจะไดกราฟของ
ความสัมพันธ r ซึ่งจากกราฟนี้เองทําใหเราสามารถระบุโดเมนและเรนจของความสัมพันธได แทน
การพิจารณาโดเมนและเรนจจากสมการของตัวแปร x และ y รวมทั้งการพิจารณาวาความสัมพันธ
ใดเปนฟงกชัน และฟงกชันใดเปนฟงกชัน 1-1 บาง เปนตน
ให R เปนเซตของจํานวนจริง และ r RxR⊂ กราฟของความสัมพันธ r
คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แตละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ r
อาจสรุปประเภทของกราฟไดดังแผนภาพตอไปนี้
กราฟของความสัมพันธและฟงกชัน
กราฟของจุด
กราฟเสนตรง
กราฟพาราโบลา
กราฟวงกลม กราฟฟงกชันเอกโปเนนเชียล
กราฟฟงกชันคาบันได
กราฟฟงกชันกําลังสอง
กราฟฟงกชันเชิงเสน
กราฟฟงกชันคาสมบูรณ
กราฟของอสมการ

77
6.1 กราฟของจุด
เปนกราฟของความสัมพันธหรือฟงกชันที่ประกอบไปดวยจุดที่ไมมีความตอเนื่องกันเปนเสน
1. จงเขียนกราฟของความสัมพันธ { }(0,2),( 1, 1),(3,1),(2,2)r = − −
2. จงเขียนกราฟของความสัมพันธ { }( , ) / 4r x y AxA x y= ∈ + = โดยที่
{ }0,1,2,3,4A =
วิธีทํา แจกแจงสมาชิกของ r ไดดังนี้ { }(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)r =
1 2 31−
1−
1
2 •
•
•
•
(2,2)
(3,1)
( 1, 1)− −
(0,2)
y
x
y
x
1 2 3 4
1
2
3
4
0
•
•
•
•
•
(0,4)
(1,3)
(2,2)
(3,1)
(4,0)

78
6.2 กราฟเสนตรง
ความสัมพันธที่สมการ x และ y มีกําลังเปน 1 และมีรูปแบบของสมการอยูในรูป
y mx c= + โดยที่ m เปนคาความชันหรือความลาดเอียงของกราฟเสนตรง และ c คือระยะ
ตัดแกน y ตัวอยางเชน กราฟของสมการ y=2x+1 จะเปนกราฟเสนตรงที่มีความลาดเอียงของ
กราฟเทากับ 2 และมีระยะตัดแกน y เปน 1 ซึ่งสามารถวาดเปนกราฟไดดังนี้
ถาความลาดเอียงของกราฟเปน + จะไดกราฟเสนตรงที่เอียงทํามุมแหลมกับแกน x แตถา
ความลาดเอียงเปน – จะไดกราฟเสนตรงที่เอียงทํามุมปานกับแกน x และถาความลาดเอียงมีคา
เปน 0 กราฟจะเปนเสนตรงที่วางตัวตามแนวนอน สวนกราฟเสนตรงที่ทํามุมฉากกับแกน x คา
ความชันของกราฟจะหาคาไมได โดยอาจสรุปลักษณะความลาดเอียงของกราฟไดดังนี้
y
x
1 2 3
1
2
3
•(0,1)
y
x
y
x
y
x
y
x
ความลาดเอียงเปน +
ความลาดเอียงเปน -
ความลาดเอียงเปน 0 ความลาดเอียงหาคาไมได

79
ตัวอยางที่ 1 จงวาดกราฟของความสัมพันธ { }( , ) / 3 1r x y y x= = +
วิธีทํา จากสมการ y=3x+1 เมื่อเทียบกับรูปแบบสมการ y=mx+c จะไดคาความชันหรือ
ความลาดเอียงเทากับ 3 และระยะตัดแกน y เทากับ 1 เพราะฉะนั้นจะไดวากราฟผานจุด (0,1)
ในการวาดกราฟเสนตรงตองทราบจุด 2 จุด จุดที่ 1 คือ (0,1) ซึ่งเปนจุดตัดแกน y ทําการหาจุด
ที่ 2 โดยการแทนคา y=0 แลวหาคา x จากสมการ y=3x+1
และ
ตัวอยางที่ 2 จงวาดกราฟของความสัมพันธ { }( , ) / 3 4 2r x y x y= + =
วิธีทํา หาจุดตัดแกน x และ y โดย
1) จุดตัดแกน x หาไดโดยแทนคา y=0 แลวหาคา x
3 4 2
3 4(0) 2
3 2
2
3
x y
x
x
x
+ =
+ =
=
∴ =
จุดตัดแกน x เปน
1
( ,0)
3
−
จุดตัดแกน y เปน (0,1)
y
x•
•
1
( ,0)
3
−
(0,1)
จุดตัดแกน x เปน
2
( ,0)
3
3 1
3(0) 1
1
y x
y
y
= +
= +
∴ =
3 1
0 3 1
3 1
1
3
y x
x
x
x
= +
= +
= −
−⎛ ⎞
∴ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠

80
2) จุดตัดแกน y หาไดโดยแทนคา x=0 แลวหาคา y
3 4 2
3(0) 4 2
4 2
1
2
x y
y
y
x
+ =
+ =
=
∴ =
3) สามารถวาดกราฟไดดังนี้
6.3 กราฟพาราโบลา
ความสัมพันธที่มีสมการ x,y อยูในรูปกําลังสอง โดยมีรูปแบบอยูในรูป 2
y ax bx c= + +
หรือ 2
x ay by c= + + โดยที่ a,b และ c คือคาคงที่ที่เปนจํานวนจริงใดๆ โดยแบงประเภท
และชนิดของพาราโบลาไดดังนี้
ถา a >0 เปนกราฟพาราโบลาหงาย
2
y ax bx c= + +
ถา a <0 เปนกราฟพาราโบลาคว่ํา
จุดตัดแกน y เปน
1
(0, )
2
y
x•
•
2
( ,0)
3
1
(0, )
2

81
ถา a >0 เปนกราฟพาราโบลาตะแคงขวา
2
x ay by c= + +
ถา a <0 เปนกราฟพาราโบลาตะแคงซาย
จากกราฟ 2
y ax bx c= + + พาราโบลาจะมีจุดยอดที่
จากกราฟ 2
x ay by c= + + พาราโบลาจะมีจุดยอดที่
2
4
( , )
4 2
ac b b
a a
− −
y
x
y
x
2
y ax bx c= + +
0a <
0a >
y
x
y
x
2
x ay by c= + +
0a <
0a >
2
4
( , )
2 4
b ac b
a a
− −

82
ตัวอยางที่ 1 จงวาดกราฟของความสัมพันธ 2
3 5 10y x x= + +
วิธีทํา หาคา a ,b และ c จากการเทียบสมการ 2
3 5 10y x x= + + กับ 2
y ax bx c= + +
จะไดคา 3, 5, 10a b c= = = พิจารณาที่คา a=3 มีคาเปนบวก และกําลัง 2 อยูที่ x กราฟจะ
เปนพาราโบลาหงาย มีจุดยอดอยูที่
2
4
( , )
2 4
b ac b
a a
− −
=
2
5 4(3)(10) 5
( , )
2(3) 4(3)
5 120 25
( , )
6 12
5 95
( , )
6 12
− −
=
− −
=
−
=
3 5 10x y y= + +
วิธีทํา จากสมการเทียบส.ป.ส.หาคา a,b,c ได a=3,b=5,c=10 คา a เปนบวกและกําลัง
สองอยูที่ y จะไดกราฟพาราโบลาตะแคงขวา มีจุดยอดอยูที่
5 95
( , )
6 12
−
เหมือนตัวอยางที่แลว
เพราะคา a,b,c เหมือนกัน
y
x
•
5 95
( , )
6 12
−
y
x
•
5 95
( , )
6 12
−

83
3 8 10x y y= − + +
วิธีทํา จากสมการเทียบส.ป.ส.หาคา a,b,c ได a=-3,b=8,c=10 คา a เปนลบและกําลัง
สองอยูที่ y จะไดกราฟพาราโบลาตะแคงซาย มีจุดยอดอยูที่
2
2
4
( , )
4 2
4( 3)(10) 8 8
( , )
4( 3) 2( 3)
120 64 8
( , )
12 6
184 4
( , )
12 3
46 4
( , )
3 3
ac b b
a a
− −
=
− − −
=
− −
− − −
=
− −
=
=
8 10y x x= − + +
วิธีทํา จากสมการเทียบส.ป.ส. หาคา a,b,c ได a=-1 , b=8 และ c=10 คา a เปนลบและ
กําลังสองอยูที่ x จะไดกราฟพาราโบลาคว่ํา มีจุดยอดอยูที่
2
4
( , )
2 4
b ac b
a a
− −
=
2
8 4( 1)(10) 8
( , )
2( 1) 4( 1)
40 64
(4, )
4
104
(4, )
4
(4,26)
− − −
=
− −
− −
=
−
−
=
−
=
y
x
•
46 4
( , )
3 3

84
6.4 กราฟของวงกลม
ความสัมพันธที่มีสมการทั่วไปอยูในรูป 2 2 2
( ) ( )x h y k r− + − = โดยที่ ( , )h k คือจุด
ศูนยกลางของวงกลม และ r คือรัศมีของวงกลม
ตัวอยางที่ 1 จงวาดกราฟของความสัมพันธ 2 2
( 3) ( 1) 9x y− + − =
วิธีทํา จัดสมการใหอยูในรูปแบบ 2 2 2
( ) ( )x h y k r− + − = ได 2 2 2
( 3) ( 1) 3x y− + − =
เทียบคา h,k และ r ไดคา h=3,k=1 และ r=3 ไดกราฟวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่ (3,1)
และมีรัศมีเทากับ 3 สามารถวาดกราฟไดดังนี้
y
x
(4,26)
x
( , )h k
•
• r
y
• 3r =
y
x
(3,1)

85
ตัวอยางที่ 2 จงวาดกราฟของความสัมพันธ 2 2
( 2) ( 1) 4x y− + + =
วิธีทํา จัดสมการใหอยูในรูปทั่วไป คือ 2 2 2
( 2) ( 1) 2x y− + + = จะไดคา h=2,k=-1 และ
r=2 สามารถวาดกราฟไดดังนี้
6.4 กราฟของอสมการ
เมื่อเราเรียนรูกราฟเสนตรง กราฟพาราโบลา และกราฟวงกลม แลว กราฟของอสมการก็จะ
กลาวถึงกราฟอสมการของกราฟเสนตรง พาราโบลา และวงกลม ดังจะยกตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยางที่ 1 จงเขียนกราฟของ 3 4y x≤ +
วิธีทํา วาดกราฟของ 3 4y x= + กอน ซึ่งเปนกราฟเสนตรง แลวเลือกคา y ที่นอยกวาหรือ
เทากับเสนกราฟ ดังรูป
y
x
(2, 1)−
•
2r =
y
x
3 4y x≤ +

86
ตัวอยางที่ 2 จงเขียนกราฟของ 3 4y x> +
วิธีทํา วาดกราฟของ 3 4y x= + กอน แลวเลือกคา y ที่มากกวาเสนกราฟ ดังรูป
ตัวอยางที่ 3 จงเขียนกราฟของ 2
2 1y x x> + +
วิธีทํา วาดกราฟของ 2
2 1y x x= + + กอน ซึ่งเปนกราฟพาราโบลาแลวเลือกคา y ที่
มากกวาเสนกราฟ ดังรูป
ตัวอยางที่ 4 จงเขียนกราฟของ 2 2
1x y+ >
วิธีทํา วาดกราฟของ 2 2
1x y+ = กอน ซึ่งเปนกราฟวงกลมแลวเลือกพื้นที่ของกราฟอยู
ในชวงนอกวงกลม ดังรูป
x
3 4y x> +
y
y
x
2
2 1y x x> + +

87
7. พีชคณิตของฟงกชัน
คือการดําเนินการของฟงกชัน เชน การนําฟงกชันมาบก ลบ คูณ หรือหารกัน โดยมีลักษณะ
ดังนี้
กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน
1) การนําฟงกชันมาบวกกัน-ฟงกชัน f บวกฟงกชัน g เขียนแทนดวย f+g โดยมี
ความหมายดังนี้
( )( ) ( ) ( ) f g f gf g x f x g x D D D++ = + ⇒ = ∩
2) การนําฟงกชันมาลบกัน-ฟงกชัน f ลบฟงกชัน g เขียนแทนดวย f-g โดยมีความหมาย
ดังนี้
( )( ) ( ) ( ) f g f gf g x f x g x D D D+− = − ⇒ = ∩
3) การนําฟงกชันมาคูณกัน-ฟงกชัน f คูณฟงกชัน g เขียนแทนดวย f g⋅ โดยมี
ความหมายดังนี้
( )( ) ( ) ( ) f g f gf g x f x g x D D D+⋅ = ⋅ ⇒ = ∩
y
x
2 2
1x y+ >

88
4) การนําฟงกชันมาหารกัน-ฟงกชัน f หารฟงกชัน g เขียนแทนดวย
f
g
โดยมีความหมาย
ดังนี้
( )
( )( ) , ( ) 0 ( ) { | ( ) 0}
( )
f g f g
f f x
x g x D D D x g x
g g x
+= ≠ ⇒ = ∩ − =
1. ถา
2
( ) 3 2 1f x x x= − + และ ( ) 2 1g x x= −
จงหา ( )( ) , ( )( ) , ( )( )f g x f g x f g x+ − ⋅ และ ( )
f
x
g
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1) หา ( )( )f g x+
จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D++ = + = ∩
2
2
2
( )( ) (3 2 1) (2 1) ,
( )( ) 3 2 1 2 1 ,
( )( ) 3 ,
f g
f g
f g x x x x D R R
f g x x x x D R
f g x x x R
+
+
+ = − + + − = ∩
+ = − + + − =
+ = ∈
2) หา ( )( )f g x−
จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D−− = − = ∩
2
2
2
( )( ) (3 2 1) (2 1) ,
( )( ) 3 2 1 2 1 ,
( )( ) 3 2 ,
f g
f g
f g x x x x D R R
f g x x x x D R
f g x x x x R
−
−
− = − + − − = ∩
− = − + − + =
− = − 4 + ∈

89
3) หา ( )( )f g x⋅
จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D⋅⋅ = ⋅ = ∩
2
2 2
( )( ) (3 2 1)(2 1) ,
( )( ) (3 2 1)(2 ) (3 2 1) ,
f g
f g
f g x x x x D R R
f g x x x x x x D R
⋅
⋅
⋅ = − + − = ∩
⋅ = − + − − + =
3 2 2
3 2
( )( ) (6 2 ) (3 2 1) ,
( )( ) 6 7 4 1 ,
f gf g x x x x x x D R
f g x x x x x R
⋅⋅ = − 4 + − − + =
⋅ = − + − ∈
4) หา ( )( )
f
x
g
จาก
( )
( )( ) , ( ) { | ( ) 0}
( )
f f g
g
f f x
x D D D x g x
g g x
= = ∩ − =
2
2
2
3 2 1 1
( )( ) , ( ) { | }
2 1 2
3 2 1 1
( )( ) , { | }
2 1 2
3 2 1 1
( )( ) ,
2 1 2
f
g
f g
f x x
x D R R x x
g x
f x x
x D R x x
g x
f x x
x x
g x
+
− +
= = ∩ − =
−
− +
= = − =
−
− +
= ≠
−
2. ถา
2
( ) 3 2 1f x x x= − + โดยที่ 3 3x− ≤ ≤ และ
( ) 2 1g x x= − โดยที่ 0 5x≤ ≤ จงหา ( )( )f g x+ และ ( )( )
f
x
g
1) หา ( )( )f g x+
จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D++ = + = ∩
2
2
2
( )( ) (3 2 1) (2 1) , [3, 3] [0,5]
( )( ) 3 2 1 2 1 , [0,3]
( )( ) 3 , 3
f g
f g
f g x x x x D
f g x x x x D
f g x x x
+
+
+ = − + + − = − ∩
+ = − + + − =
+ = 0 ≤ ≤

90
2) หา ( )( )
f
x
g
จาก
( )
( )( ) , ( ) { | ( ) 0}
( )
f f g
g
f f x
x D D D x g x
g g x
= = ∩ − =
2
2
2
2
3 2 1 1
( )( ) , ([ 3,3] [0,5]) { | }
2 1 2
3 2 1 1
( )( ) , [0,3] { | }
2 1 2
3 2 1 1 1
( )( ) , [0, ) ( ,3]
2 1 2 2
3 2 1 1
( )( ) , 0
2 1 2
f
g
f
g
f
g
f x x
x D x x
g x
f x x
x D x x
g x
f x x
x D
g x
f x x
x x
g x
− +
= = − ∩ − =
−
− +
= = − =
−
− +
= = ∪
−
− +
= ≤ <
−
8. ฟงกชันประกอบ
คือ การซอนหรือเชื่อมโยงกันของฟงกชันอยางนอย 2 ฟงกชัน อาจอธิบายโดยภาพการ
เชื่อมโยงไดดังตัวอยางตอไปนี้
หรือ
1
3
2
x< ≤
1
2
4
3
6
5
0
2
8
A B
f g
C
ฟงกชัน f และ g เชื่อมโยงกันโดยเซต B
เราสามารถหาคาของฟงกชันประกอบ f และ g ได เชน
( )(1)g f ⇒ มีคาหรือความหมายเปน ( (1)) (3) 0g f g= =

91
1. ให ( ) 2 1f x x= + และ
2
( ) 4g x x= + จงหา g f และ f g
1) ( )( ) ( ( ))g f x g f x=
2
2
2
(2 1)
(2 1) 4
(4 4 1) 4
4 4 5
g x
x
x x
x x
= +
= + +
= + + +
= + +
2) ( )( ) ( ( ))f g x f g x=
2
2 2
2
2
( 4)
2( 4) 1
2 8 1
2 9
f x
x
x
x
= +
= + +
= + +
= +
ขอสังเกต
1) ถา f gR D∩ ≠ ∅ แสดงวาสามารถหา g f ได
ถา g fR D∩ ≠ ∅ แสดงวาสามารถหา f g ได
2) ( )( )f g x ไมจําเปนตองเทากับ ( )( )g f x
2. ให ( ) 4f x x= + และ ( ) 3 9g x x= + จงหา ( )( )g f x และ
( )( )f g x
1) ตรวจสอบวาสามารถหา ( )( )g f x และ ( )( )f g x ไดหรือไม
⇒ถา ( )( )g f x หาได แลว [f g fR D R R∩ ≠ ∅ = และ ]gD R=
R R∩ ≠ ∅
R ≠ ∅ จริง
( )( )g f x∴ สามารถหาคาได

92
⇒ถา ( )( )f g x หาได แลว [g f gR D R R∩ ≠ ∅ = และ ]fD R=
R R∩ ≠ ∅
R ≠ ∅ จริง
( )( )f g x∴ สามารถหาคาได
2) หาคาของ ( )( )g f x และ ( )( )f g x
( )( ) ( ( ))g f x g f x⇒ =
( 4)
3( 4) 9
3 12 9
3 21
g x
x
x
x
= +
= + +
= + +
= +
( )( ) 3 21g f x x∴ = +
( )( ) ( ( ))f g x f g x⇒ =
(3 9)
(3 9) 4
3 13
f x
x
x
= +
= + +
= +
( )( ) 3 13f g x x∴ = +
3. กําหนดให ( )f x = และ ( ) 2 5g x x= +
จงหาคาของ ( )(3)f g และ ( )( 2)g f −
1) หาคา ( )(3)f g
( )(3) ( (3))f g f g=
(2(3) 5)
(11)
f
f
= +
=
จาก ( )f x =
2x
7x −
เมื่อ 1x ≥
2x
7x −
เมื่อ 1x ≥
11x = (11)f

93
(11) 2(11) 22f⇒ = =
( )(3) 22f g∴ =
2) หาคา ( )( 2)g f −
( )( 2) ( ( 2))g f g f− = −
จาก ( )f x =
( ( 2)) ( 2 7)g f g⇒ − = − −
( 9)
2( 9) 5
18 5
13
g= −
= − +
= − +
= −
( )( 2) 13g f∴ − = −
9. ความสัมพันธผกผันและฟงกชันผกผัน
เมื่อกําหนดให r เปนความสัมพันธใดๆจาก A ไป B
{( , ) }r x y A B= ∈ ×
ความสัมพันธผกผันของ r เราเขียนแทนดวย 1
r−
มีความหมายดังนี้
1
{( , ) | ( , ) }r y x x y r−
= ∈
ในกรณีของฟงกชันผกผันก็เชนเดียวกันกับความสัมพันธผกผันคือ ถาให f เปนฟงกชันจาก
A ไป B แลว ฟงกชันผกผันของ f เขียนแทนดวย
1
f −
มีความหมายคือ
1
{( , ) | ( , ) }f y x x y f−
= ∈
2x
7x − เมื่อ 1x ≥
2x = − ( 2)f −

94
1. ให {1,2,3,4}A = และ { , , , }B a b c d= และ {(1, ),(2, ),(3, )}r a c d=
จงหา 1
r−
หา 1
r−
ไดโดยการสลับ (x,y) เปน (y,x) ดังนี้
1
{( ,1),( ,2),( ,3)}r a c d−
=
2
{( , ) | 2 1}r x y A B y x= ∈ × = + จงหา 1
r−
หา 1
r−
ไดโดยการสลับ (x,y) เปน (y,x)
3 1
{( , ) | }
2 1
x
r x y R R y
x
+
= ∈ × =
+
จงหา 1
r−
1 3 1
{( , ) | }
2 1
y
r x y R R x
y
− +
= ∈ × =
+
พิจารณา
3 1
2 1
y
x
y
+
=
+
(2 1) 3 1
2 3 1
1 3 2
1 (3 2 )
x y y
xy x y
x y xy
x y x
+ = +
+ = +
− = −
− = −
2
{( , ) | 2 1}r x y A B y x= ∈ × = +
1 2
{( , ) | 2 1}r y x B A y x−
= ∈ × = +
1 2
{( , ) | 2 1}r x y B A x y−
= ∈ × = +

95
1
3 2
x
y
x
−
=
−
1 1
{( , ) | }
3 2
x
r x y R R y
x
− −
∴ = ∈ × =
−
4. ให {( , ) | ( ) 2 5}f x y R R f x x= ∈ × = + จงหา
1
f −
พิจารณา………. 2 5x y= + ………คา 0x ≥
2
2 5x y= + ………คา 0x ≥
2
5 2x y− = ………คา 0x ≥
2
5
2
x
y
−
= ………คา 0x ≥
2
1 5
{( , ) | , 0}
2
x
f x y R R y x− −
∴ = ∈ × = ≥
5. กําหนดให (3 1) 2 8f x x− = + แลว
1
(10)f −
เทากับเทาใด
1) สมมติให ……..
2) จาก (3 1) 2 8f x x− = + นํามาเทียบกับ ( ) 10f a =
จะไดวา……..
3)
1
(10) 2f −
=
{( , ) | 2 5}f x y R R y x= ∈ × = +
1
{( , ) | 2 5}f x y R R x y−
= ∈ × = +
1
(10)f a−
= ( ) 10f a =
2 8 10
2 2
1
x
x
x
+ =
=
=
3 1
3(1) 1
3 1
2
x a
a
a
a
− =
− =
− =
∴ =

96
1 1
( 1) 1
2 2
f x x+ = − แลว
1
(2)f −
1) สมมติให ……..
2) จาก
1 1
( 1) 1
2 2
f x x+ = − นํามาเทียบกับ ( ) 2f a =
จะไดวา……..
3)
1
(2) 4f −
=
7. กําหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้
3
( ) ,
2
x
f x x R
+
= ∈ และ ( ) ,g x x x R= ∈
เมื่อ 3x = คาของ
1 1
[( )( ) ( )(2)]
2
f g x f g
x
− −
−
−
1) หาคาของ
1 1
1 1[( )(3) ( )(2)]
( )(3) ( )(2)
3 2
f g f g
f g f g
− −
− −−
= −
−
1
( )(3)f g−
1 1
( )(3) ( (3))f g f g− −
=
1
1
(3)
(3)
f
f
−
−
=
=
สมมติให
1
1 2
2
1
3
2
6
x
x
x
− =
=
=
1
1
2
1
(6) 1
2
3 1
4
x a
a
a
a
+ =
+ =
+ =
∴ =
1
(2)f a−
= ( ) 2f a =
1
(3)f a−
= ( ) 3f a =

97
นํา ( ) 3f a = มาเทียบกับ
3
( )
2
x
f x
+
=
1
( )(3) 3f g−
∴ =
1
( )(2)f g−
1 1
( )(2) ( (2))f g f g− −
=
1
1
( 2 )
(2)
f
f
−
−
=
=
สมมติให
นํา ( ) 2f a = มาเทียบกับ
3
( )
2
x
f x
+
=
1
( )(2) 1f g−
∴ =
4) หาคา
1 1
( )(3) ( )(2)f g f g− −
−
1 1
( )(3) ( )(2) 3 1 2f g f g− −
− = − =
∴เมื่อ 3x = คาของ
1 1
[( )( ) ( )(2)]
2
2
f g x f g
x
− −
−
=
−
3
3
2
3 6
3
x
x
x
+
=
+ =
=
3
3
x a
a
a
=
=
∴ =
1
(2)f a−
= ( ) 2f a =
3
2
2
3 4
1
x
x
x
+
=
+ =
=
1
1
x a
a
a
=
=
∴ =

98
1. จงเขียนกราฟของความสัมพันธหรือฟงกชันตอไปนี้
1) 1 {(1,2),(3,4),(5,6)}r =
2) 2 {( , ) | 1}r x y I I y x+ +
= ∈ × = +

99
3) 3 {( , ) | 1}r x y y x= = +
4) 4 {( , ) | 1}r x y y x= > +

100
5) 5 {( , ) | }r x y y x= =
6) 6 {( , ) | 2}r x y y x= + =

101
7) 7 {( , ) |r x y y x= ≥ และ 10 0}x y− ≤
8)
2
8 {( , ) | 2 3}r x y y x x= = − +

102
9)
2
9 {( , ) | 2 3,0 3}r x y y x x x= = − + ≤ ≤
10)
2
10 {( , ) | 2 3}r x y y x x= = − +

103
11) ( )f x =
12) ( ) 4f x x= −
4 ; 2x x− ≥
; 2x x− <

104
13) ( ) 3 4f x x= − +
14) ( )f x =
2
; 0x x >
2 ; 0x x− ≤

105
15)
2 2
11 {( , ) | 4}r x y R R x y= ∈ × + ≥
16)
2
12 {( , ) | ( 1) }r x y R R x y= ∈ × ≥ +

106
17)
2
13 {( , ) | ( 1) }r x y R R x y= ∈ × < − −
18)
2
14 {( , ) | 1 2 }r x y R R x y y= ∈ × − ≥ +

107
19) 15 {( , ) | 3}r x y R R x y= ∈ × ≥ −
20) 16 {( , ) | 1 1}r x y R R y x= ∈ × < − + +

108
2. ให {(0,2),(2,3),(3,4),(4,5)}f = และ {(0,1),(1,2),(2,0)}g = จงหา
1) f g+
2) f g−
3) f g⋅
4)
f
g

109
3. ให {(1,3),(2,7),(3,9),(5,10)}f = และ {(1,3),(2,5),(3,0),(4,2)}g =
จงหา
1) f g+
2) f g−
3) f g⋅
4)
f
g

110
4. ให ( ) 3 , ( ) 4 2f x x g x x= = + จงหาพีชคณิตของฟงกชันตอไปนี้
1) f g+
2) f g−
3) f g⋅
4)
f
g

111
5. ถา ( ) (3 )(2 )f x x x= + − และ
1
( )
3
g x
x
=
+
แลวจงหาโดเมนของ
f g−

112
6. ให
2
( ) 1f x x= − เมื่อ 2 2x− ≤ ≤ และ ( ) 2 2g x x= − เมื่อ
1 5x− ≤ ≤
จงหา ,f g f gD R− − และ f g−

113
7. ให
2
( ) 5 2, ( )f x x g x x= + = จงหาพีชคณิตของฟงกชันตอไปนี้
1) f g+
2) f g−
3) f g⋅
4)
f
g

114
8. ให
2
6 1
( ) , ( )
2
x x
f x g x
x x
− −
= =
−
จงหาพีชคณิตของฟงกชันตอไปนี้
1) f g+
2) f g−
3) f g⋅
4)
f
g

115
9. ให {(1,2),(3,4),(5,6)}f =
{(2,10),(4,20),(6,30)}g =
จงหา g f
10. ให {(1,7),(2,8),(3,9),(7,1),(8,2),(9,3)}f =
{(1,1),(2,2),(3,3),(7,7),(8,8),(9,9)}g =
จงหา , ,g f f g g g

116
11. ให ( ) 6, ( ) 2 3f x x g x x= + = − ใหหา ( )(2)g f และ
( )(3)f g
12. ให
2
( ) 2 , ( ) 5f x x x g x x= − = − ใหหา ( )(3)g f และ
( )(9)f g

117
13. กําหนด ( ) 3f x x= และ ( )g x =
จงหา
1
( )( )
5
g f −
14. กําหนดให ( ) 3f x x=
( )h x =
2
( ) 1g x x= +
จงหาวา ( )(1)f h g มีคาเทากับเทาใด
2
; 1x x ≥ −
2
; 1
3
x
x
−
≤ −
2 2 ; 0x x− <
2 3 ; 0x x− ≥

118
15.กําหนด ( ) 2 1f x x= + และ ( )( ) 2 4g f x x= + จงหา ( )g x
16.กําหนด ( ) 2f x x= − และ
2
( )( ) 4 4g f x x x= − − จงหา ( 1)g −

119
17. จงหา ( )f x จาก ( )g x และ ( )( )g f x ที่กําหนดใหตอไปนี้
17.1) ( )g x x= และ
2
( )( ) 1g f x x= −
17.2) ( ) 2g x x= + และ
3
( )( ) 2g f x x= +

120
18. กําหนด ( )( ) 4 5g f x x= − และ ( ) 2 1g x x= + จงหา ( )f x
19. กําหนด ( ) 5f x x= − และ
2
( )g x x= จงหา ,g fD g f

121
2
( )
x
f x
x
−
= และ
1
( )g x
x
= จงหา ,g fD g f
2
( )f x x= และ ( ) 5g x x= + จงหา ,g fD g f

122
1
( )
x
f x
x
+
= และ ( ) 2 3g x x= − จงหา , ,g f f g f f
พรอมหาโดเมนของทุกฟงกชัน

123
1
( )f x
x
= และ
2
( ) 4g x x x= + จงหา ,g f f g พรอมหา
โดเมนของทุกฟงกชัน

Relation and function

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Similar to Relation and function

Similar to Relation and function (20)

More from Thanuphong Ngoapm

More from Thanuphong Ngoapm (20)

Relation and function