Teori Kestabilan Lyapunov

1. Teori Kestabilan Lyapunov
Achmad Fahmi Mubaroq
1410501015
Teknik Elektro
Dosen Pembimbing :
R Suryoto Edy Raharjo,S.T,M.Eng

2. Metode Lyapunov ini adalah salah satu jenis metode yang dapat digunakan
untuk :
– menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun
nonlinier , yang :
• tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan waktu
• dengan order rendah maupun order tinggi
– hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas tidak
diskontinyu atau mendadak perubahannya
Metode Lyapunov

3. Untuk penyelidikan dengan metode bidang-fase yang sudah dibahas sebelumnya ,
secara efektif hanya dapat digunakan untuk :
– menyelidiki kinerja sistem linier maupun nonlinier paling tinggi order dua
– menyelidiki kinerja sistem dengan nonlinieritas yang kontinyu maupun
diskontinyu
– untuk sistem nonlinier dengan order yang lebih tinggi , karena mempunyai
tingkat kesulitan yang tinggi , masih sangat jarang digunakan
Pemikiran Liapunov didalam menyelidiki kelakuan sistem dinamis bertitik tolak pada
hukum kekekalan energi, dimana :
– jumlah energi kinetis dan energi potensial suatu sistem yang bergerak (sistem
dimamis) adalah konstan
– diambil anggapan bahwa selama suatu benda bergerak maka berlaku hukum
kekekalan energi, jadi kalau energi potensial semakin tinggi, maka energi
kinetik semakin rendah, yang juga berarti kecepatan gerakan benda semakin
pelan, demikian juga sebaliknya

4. Jenis metode Liapunov ada 2 macam , yaitu :
– metode Liapunov-1 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan
kestabilan sistem , dengan cara melalukan penyelesaian persamaan
diferensial nonlinier sistem
– metode Liapunov-2 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan
kestabilan sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonli-nier
sistem

5. Metode Lyapunov-1 adalah :
• metode dimana persamaan diferensial sistem dinamis dapat diselesaikan
• kestabilan ataupun ketidak stabilan sistem ditentukan dari hasil penyelesaian
persamaan diferensial tadi
Kelompok ini tidak punya arti yang penting bila dikaitkan dengan penyelesaian
persamaan diferensial nonlinier. Pada metode pertama ini Liapunov tidak
menunjukkan bahwa penyelesaian dapat diperoleh dalam bentuk deret. Untuk
menentukan kestabilan sistem dalam bentuk deret dapat digunakan metode Liapunov
kedua. Liapunov juga membuktikan bahwa penyelesaian-penyelesaian secara
pendekatan terhadap persamaan diferensial nonlinier sering menghasilkan informasi
kestabilan yang penting
Metode Liapunov-1

6. Untuk memberi gambaran tentang metode Liapunov pertama ini, dianggap bahwa :
– nonlinieritas adalah bernilai tunggal (tidak ada hysteresis)
– mempunyai turunan-turunan setiap order disekitar titik A
Fungsi nonlinier, y = f(x) dapat diuraikan menurut deret Taylor disekitar titik A yang
uraiannya sebagai berikut :

7. jika bagian riil dari akar-akar persamaan kharateristik yang berkaitan dengan
pendekatan linier terhadap persamaan diferensial tersebut bukan nol , maka :
– pendekatan linier akan selalu dapat memberikan jawaban yang benar terhadap
ramalan kestabilan nonlinier
– Teorema Liapunov ini dapat menunjukkan bahwa :
» pendekatan linier terhadap persamaan diferensial nonlinier dapat dapat
dipakai untuk menentukan kestabilan sistem.
jika bagian riil dari akar-akar persamaan kharateristik yang telah dianggap linier
bernilai:
– negatip, maka gerakan sistem adalah stabil disekitar titik yang ditinjau tadi
– positip, maka gerakan adalah tidak stabil disekitar titik tersebut
– nol, maka tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik.

8. Pada keadaan seimbang atau keadaan diam (titik equilibrium atau titik singulir) maka :
Kecepatan = dan percepatan , kedua-duanya = 0
Karena itu : v = V pada titik kesetimbangan
Persamaan karateristiknya adalah :

9. Metode Lyapunov-2 adalah metode yang didalam menentukan kestabilan adalah
tanpa menyelesaikan persamaan diferensial dari persamaan gerak sistem. Pada
metode ini lebih dahulu dibentuk persamaan keadaan untuk sistem dinamis.
Selanjutnya ditentukan jumlah dari energi potensial dan energi kinetik, yang mana
sesuai dengan hukum ilmu fisika , yaitu jumlah tersebut adalah konstan. Jumlah kedua
jenis energi tersebut disebut dengan fungsi Liapunov, yang nilai selalu positip (defenit
positip) dan merupakan fungsi yang skalar. Jika turunan fungsi Liapunov terhadap
waktu adalah negatip, maka sistemnya stabil asymptotis (stabil dimana gelombang
gejala peralihan semakin lama semakin kecil).
Metode Liapunov-2

10. Untuk memberi gambaran tentang metode Liapunov kedua ini, perhatikanlah
persamaan diferensial linier yang menggambarkan sistem massa-pegas-redaman lebih
dahulu, sebagai gambar dibawah ini :
Sebagai dasar ntuk membahas teori kestabilan, perlu diperhatikan kestabilan yang
terjadi pada sistem massa-pegas-redaman. Persamaan diferensial gejala peralihan
(transient) untuk sistem massa-pegas-redaman adalah :

11. Agar sistem stabil :
, maka yang paling mudah dipilih :
sehingga syaratnya adalah :
Syarat diatas sudah pasti dipenuhi , karena sudah ditentukan bahwa
Keseimbangan atau equlibrium terjadi pada titik-titik singulir, yaitu jika :

12. Kriteria kestabilan Lyapunov
• Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian
sehingga = semi defenit negatip sepanjang lintasan-lintasan phase sistem,
maka titik pusat koordinat dikatakan stabil menurut Liapunov (stable in the sense
of Liapunov) ; dalam hal ini lintasa phase akan mendekati titik pusat koordinat jika
.
• Jika , maka lintasan phasenya dari fungsi Liapunov V(x) akan selalu konstan
(tidak menjadi semakin kecil), dan lintasan phase semacam ini disebut dengan
limit cycle.
• Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian
sehingga = defenit negatip sepanjang lintasan phase sistem, maka titik pusat
koordinat disebut dengan stabil asimptotis. Dalam hal ini, keseimbangan
(equilibrium) terjadi di titik pusat koordinat.

13. • Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian
sehingga = semi defenit negatip sepanjang lintasan-lintasan phase sistem,
maka titik pusat koordinat dikatakan stabil menurut Liapunov (stable in the sense
of Liapunov); dalam hal ini lintasa phase akan mendekati titik pusat koordinat jika
.
• Jika , maka lintasan phasenya dari fungsi Liapunov V(x) akan selalu konstan
(tidak menjadi semakin kecil), dan lintasan phase semacam ini disebut dengan
limit cycle.
• Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian
sehingga = defenit negatip sepanjang lintasan phase sistem, maka titik
pusat koordinat disebut dengan stabil asimptotis. Dalam hal ini, keseimbangan
(equilibrium) terjadi di titik pusat koordinat.

14. Daftar Pustaka
• https://en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Lyapunov#/media/File:Alexander_Ljapun
ow_jung.jpg
• http://xa.yimg.com/kq/groups/25893398/1024362674/name/metode+liapunov.do
c
• http://digilib.itb.ac.id/gdl.php?mod=browse&op=read&id=jbptitbpp-gdl-
iwangintin-19415
• https://en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Lyapunov
• https://teknikpengaturan.wordpress.com/2009/10/07/mengapa-lyapunov-
mengatakan-there-exists-dalam-teori-stabilitasnya/

15. TERIMA KASIH