Dokumen tersebut membahas tentang kestabilan sistem nonlinier menurut konsep Lyapunov. Secara ringkas, dokumen menjelaskan bahwa sistem dikatakan stabil secara Lyapunov jika trayektori awal di dekat titik kesetimbangan tidak akan meninggalkan wilayah tersebut meskipun waktu berjalan. Metode Lyapunov menganalisis kestabilan tanpa memecahkan persamaan diferensial dengan melihat energi sistem yang semakin lama semak

1. Kestabilan
Lyapunov
Disusun oleh :
Annisaa Amalia (1410501028)
Dosen pembimbing:
R. Suryoto Edy Raharjo, S.T.,M.eng
Jurusan Teknik Elektro
Fakultas Teknik
Universitas TidarSistem non linear

2. Outline
• Keadaan setimbang
• Kestabilan dalam arti lyapunov
• Metode lyapunov

3. Keadaan Setimbang
• Jika sistem dinyatakan berada pada kondisi kesteimbangan
berada pada keadaan dengan untuk semua t
• Sistem dalam keadaan kestimbangan, jika sistem ini linier dan
tidak berubah terhadap waktu.
• Jika f(x,t) = Ax, maka terdapat hanya satu keadaan setimbang
pada saat A adalah nonsingular. Jika A singular maka akan
didapat kondisi kesetimbangan yang tak berhingga.
• Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai
Lyapunov. Jika untuk setiap S(ε), ada S(δ), sehingga trayektori
dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan
membesarnya waktu t menuju tak terhingga.
• Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga
bergantung pada t0, maka keadaan kesetimbangan tersebut
disebut stabil uniform.

4. Kesetimbangan Dalam Arti Lyapunov
• Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai
Lyapunov. Jika untuk setiap S(ε), ada S(δ), sehingga trayektori
dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan
membesarnya waktu t menuju tak terhingga.
• Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga
bergantung pada t0, maka keadaan kesetimbangan tersebut disebut
stabil uniform.

5. Kestabilan Lyapunov
• Jika sebuah bola dengan jari – jari k terhadap kondisi kesteimbanga
xe,
• Misalkan S(ε) terdiri atas semua titik, sedemikian hingga :
• Dan bila juga S(ε) teridi dari titik sedemikian hingga :

6. Metode Lyapunov
• Metode pertama Lyapunov Semua metode
dimana persamaan differensial dari sistem
diselesaikan dan kestabilan ditentukan dari
solusinya.
• Metode kedua Lyapunov Kestabilan sistem
ditentukan tanpa penyelesaian persamaan
differensial, tetapi berdasarkan energi yang
tersimpan baik energi kinetik maupunpotensial

7. Metode Lyapunov
• Pengertian dasar analisis
1. Sistem stabil : bila energi yang disimpan makin lama makin
kecil sehingga osilasi diredam.
2. Sistem tidak stabil: bila energi yang disimpan makin lama
makin besar sehingga osilasi juga membesar.
3. Fungsi Lyapunov:
• V( x,t) ≥0 untuk t ≥0 atau V(x) ≥0
• V( 0) = 0 • V( 0, t ) = 0 untuk t ≥0
• V(x, t ) →skalar
• V(x,t )- perkalianvariabel
• Kuadrat salah satu variabel
• dV (x,1)/dt = V (x,1)

8. Metode Lyapunov
4. Persamaan sistem : x= f(x, u, t)
x= f (x, u, t) vektor berdimensi n dengan elemen-elemennya
fungsi dari x1,x2, ...xn, u1, u2, ...un, t.
Dimana x =turunan x terhadap t.
Untuk sistem linar invarian waktu:
x1 = a11.x1+ a12.x2+ ...+a1n.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.Um
xn = an1.x1+ an2.x2+...+ann.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.um
dimana a11, a12, ...amn konstanta b11, b12,...bmn
Untuk menganalisa kestabilan : U= 0 →x=f (x,t)=f(x)

9. Metode Lyapunov
• Sistem dengan dinamika
ẋ=f(x)
dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat satu fungsi
V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi
sifat- sifat berikut ini.
V(x) > 0,
V(x) < 0, dan hanya bernilai nol untuk
x=0

10. Kestabilan Asimtotik
• Keadaan kesetimbanganxe dari sistem yang dinyatakan
oleh f(xe,t)=0 untuk sembarang t disebut stabil
asimptotik jika keadaan tersebut stabil Lyapunov dan
setiap kondisi dengan titik awal didalam S(δ) tanpa
meninggalkan S(ε), konvergen ke xe dengan
membesarnya t menuju tak berhingga.

11. • Stabil secara Asimptotik dapat bersifat lokal
ataupun global. Lokal, bila hanya berlaku untuk
nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar titik
kesetimbangan (the neighborhood of the
equilibrium point). Global, bila untuk semua
nilai-nilai state awal, semua state akan bergerak
menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.

12. Referensi
• http://share.its.ac.id/pluginfile.php/40669/mod_resour
ce/content/3/8.9%20Analisa%20Kestabilan%20Lyapun
ov.pdf
• https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability
• http://eprints.undip.ac.id/25678/1/ML2F000605.pdf
• http://www.slideshare.net/Zifalaniasta/konsep-
kestabilan-non-linier?qid=0639b5f1-3aec-4918-ada4-
24a0fa4852c4&v=&b=&from_search=6

13. Sekian dan Terima kasih