Dokumen tersebut membahas tentang teori stabilitas Lyapunov yang menyatakan bahwa sistem dinamika dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat fungsi kandidat Lyapunov yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Teori ini digunakan untuk menganalisis kestabilan sistem linear maupun non-linear dengan melibatkan persamaan dan fungsi Lyapunov yang merepresentasikan energi sistem.

1. STABILITAS LYAPUNOV
Imam Mustofa / 1410501063
R.Suryoto Edy Raharjo, S.T., M.Eng.
Teknik Elektro, Fakultas Teknik
Universitas Tidar

2. Aleksandr Mikhailovic Lyapunov
Satu nama yang tidak asing dalam dunia teknik pengaturan / teknik
kendali, disebabkan teori stabilitasnya yang sangat fundamental,
sehingga sampai saat ini pun masih dipakai oleh teoris, akademisi,
praktisi, dan para insinyur di bidang ini.

3. Stabilitas Lyapunov
 Dalam teori stabilitasnya, Lyapunov meyatakan bahwa :
Sistem dengan dinamika
dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat satu fungsi V(x) , yang disebut kandidat fungsi
Lyapunov, yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.
Dan hanya bernilai nol untuk x=0

4. Stabilitas Lyapunov
 Catatan 1 : stabil secara asimptotik, dalam pengertian yang mudah adalah pada saat
waktu t menjadi tak berhingga (menuju kekekalan), maka semua state pada sistem tersebut
sudah menuju ke titik kesetimbangan, dan pada saat itu, gangguan sebesar apapun akan
mengakibatkan pergeseran (lokal) yang pada akhirnya dengan berjalannya waktu, semua
state pada sistem bergerak kembali menuju kesetimbangan.
 Catatan 2: stabil secara asimptotik dapat bersifat lokal ataupun global. Lokal, bila hanya
berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar titik kesetimbangan (the
neighborhood of the equilibrium point). Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal,
semua state akan bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.

5. Persamaan dan Fungsi Lyapunov
 Persamaan Lyapunov amat legendaris dalam ilmu kontrol, khususnya ketika
membahas sistem non-linier. Persamaan berikut ini disebut Persamaan Lyapunov
yang diusulkan oleh Alexander Lyapunov (1892).
 Matriks A, P, Q adalah matriks persegi dengan elemen bilangan riel, P dan Q
adalah matriks simetri. A adalah matriks sistem dalam persamaan state.

6. Persamaan dan Fungsi Lyapunov
 Persamaan Lyapunov umumnya disandingkan dengan fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov
mewakili energi yang terlibat dalam sistem. Dalam ilmu kontrol, keduanya sering
digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu sistem baik linear maupun non-linear.
 Untuk memperjelas konsep, contoh dari buku (Vukic, 2003).

7. Persamaan dan Fungsi Lyapunov
 Untuk memperjelas konsep, contoh dari buku (Vukic, 2003).
Rangkaian ini adalah osilator LC tanpa sumber. Variabel state yang dipilih adalah arus
induktor i(t) dan tegangan kapasitor v(t), sehingga didapatkan persamaan state

8. Persamaan dan Fungsi Lyapunov
 dimana x = [x1 x2]T = [i(t) v(t)]T. Energi listrik dari rangkaian ini dinyatakan dengan
persamaan berikut
E(t) = 0.5Li(t)2 + 0.5Cv(t)2
Persamaan energi ini dapat kita nyatakan dalam bentuk perkalian matriks berikut
 E = xTPx
dimana P adalah matriks definit positif dan simetris

9. Persamaan dan Fungsi Lyapunov
 Persamaan E ini disebut juga fungsi Lyapunov karena dia mewakili energi yang terlibat
dalam sistem. Fungsi Lyapunov umumnya diberi simbol V, sehingga fungsi Lyapunov
untuk osilator LC ini adalah
V(x) = xTPx

10.  Referensi :
 https://teknikpengaturan.wordpress.com/2009/10/07/mengapa-lyapunov-mengatakan-there-
exists-dalam-teori-stabilitasnya/
 http://etd.repository.ugm.ac.id/index.php?mod=penelitian_detail&sub=PenelitianDetail&act=view
&typ=html&buku_id=59008
 http://www.mnurq.ga/2014/11/persamaan-dan-fungsi-lyapunov.html

11. Terimakasih