Metode Lyapunov merupakan salah satu metode untuk menyelidiki kinerja dan kestabilan sistem linier maupun nonlinier dengan menggunakan fungsi Lyapunov. Metode ini terdiri dari dua jenis yaitu Lyapunov-1 yang menyelesaikan persamaan diferensial sistem dan Lyapunov-2 yang menentukan kestabilan tanpa menyelesaikan persamaan. Kestabilan asimtotik dicapai jika turunan fungsi Lyapunov bernilai negat
1. Kestabilan Lyapunov
Disusun Oleh:
Rahardian Radityo / 1410501041 / V SIE
Dosen Pengampu :
R. Suryoto Edy Raharjo, S.T. , M.Eng.
Teknik Elektro, Fakultas Teknik
Universitas Tidar
2. Outline
• Sejarah Singkat
• Pengertian
• Jenis Metode Lyapunov
• Kriteria Kestabilan Lyapunov
• Kestabilan Asimtotik
3. Sejarah Singkat
Stabilitas Lyapunov dinamai Aleksandr Lyapunov, seorang ahli matematika Rusia yang
menerbitkan bukunya The General Problem of Stability of Motion pada tahun 1892.
Lyapunov adalah yang pertama untuk mempertimbangkan modifikasi yang diperlukan
dalam sistem nonlinear dengan teori linear stabilitas berdasarkan linearizing dekat
titik keseimbangan. Karyanya, awalnya diterbitkan dalam bahasa Rusia dan kemudian
diterjemahkan ke Prancis, mendapat sedikit perhatian selama bertahun-tahun.
4. Pengertian
• METODE LYAPUNOV ini adalah salah satu jenis metode yang dapat
digunakan untuk :
• Menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun nonlinier , yang :
Tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan waktu
Dengan order rendah maupun order tinggi
• Hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas tidak diskontinyu atau
mendadak perubahannya
5. Jenis Metode Lyapunov
• Jenis metode Lyapunov ada 2 macam , yaitu :
• Metode Lyapunov-1 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem
, dengan cara melalukan penyelesaian persamaan diferensial nonlinier sistem
• Metode Lyapunov-2 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem
tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonli-nier sistem
• Metode Lyapunov ini tetap dapat digunakan , walaupun metode-metode yang lain gagal untuk
menentukan kinerja sistem kontrol
• Hasil yang diperoleh dari penggunaan metode Liapunov diatas , hanya bersifat kuali-tatip saja ,
yaitu :
• Hanya dapat menentukan sistem stabil atau tidak stabil
6. Kriteria Kestabilan Lyapunov
Persamaan keadaan untuk sistem nonlinier secara umum dapat ditulis sebagai
berikut :
ttutxfx ),(),(
dimana untuk sistem mekanik :
waktu
massapenggerakgaya
simpangan
kecepatan
t
tu
tx
x
Penyelesaian secara analitis terhadap persamaan diatas jarang sekali dapat
dilakukan
7. Metode Lyapunov-1 adalah :
• Metode dimana persamaan diferensial sistem dinamis dapat diselesaikan
• Kestabilan ataupun ketidak stabilan sistem ditentukan dari hasil penyelesaian persamaan
diferensial tadi.
• Pada metode pertama ini Lyapunov tidak menunjukkan bahwa penyelesaian dapat
diperoleh dalam bentuk deret
• Untuk menentukan kestabilan sistem dalam bentuk deret dapat digunakan metode
Lyapunov kedua
8. Metode Lyapunov-2 adalah :
• Metode yang didalam menentukan kestabilan adalah tanpa menyelesaikan persamaan
diferensial dari persamaan gerak sistem
• Pada metode ini lebih dahulu dibentuk persamaan keadaan untuk sistem dinamis
• Selanjutnya ditentukan jumlah dari energi potensial dan energi kinetik, yang mana sesuai
dengan hukum ilmu fisika , yaitu jumlah tersebut adalah konstan
• Jumlah kedua jenis energi tersebut disebut dengan fungsi Lyapunov, yang nilai selalu positif
(definit positif) dan merupakan fungsi yang skalar
• Jika turunan fungsi Lyapunov terhadap waktu adalah negatip, maka sistemnya stabil
asymptotis (stabil dimana gelombang gejala peralihan semakin lama semakin kecil)
9. Kestabilan Asimtotik
Keadaan kesetimbangan xedari sistem yang dinyatakan oleh f(xe,t) =0 untuk sembarang t
disebut stabil asimptotik jika keadaan tersebut stabil Lyapunov dan setiap kondisi dengan titik awal
didalam S(δ) tanpa meninggalkan S(ε), konvergen ke xe dengan membesarnya t menuju tak
berhingga.
10. Kestabilan Asimtotik Global
• Jika keadaan asimptotik berlaku untuk semua keadaan titik awal
trayektori, maka keadaan kesetimbangan tersebut stabil asimptotik global.
Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil asimptotik global jika
keadaan setimbang tersebut stabil, dan jika setiap jawab konvergen ke xe
dengan membesarnya waktu t menunju tak hingga. Syarat yang perlu untuk
kestabilan asimptotik global adalah bahwa hanya ada satu keadaan
kesetimbangan dalam seluruh keadaan.
11. Penyajian Diagram Kestabilan dan
Ketidakstabilan.
• Gambar: Kondisi yang menggambarkan pergerakan
peluru setimbang stabil Terlihat pada gambar,
menunjukkan lintasan peluru dari kondisi awal x0 dengan
batas keadaan awal S(δ).
• Kondisi setimbang stabil sesuai hukum Lyapunov
12. Penyajian Diagram Kestabilan dan
Ketidakstabilan.
• Kondisi tidak stabil
• pergerakan peluru dari kondisi awal x0 menuju
keluar dari batas kesetimbangan S(ε) menunjukkan
bahwa kondisi setimbang tidak stabil.
