Dokumen ini membahas distribusi normal atau distribusi gauss, menjelaskan sifat-sifatnya, rumus, serta aplikasinya dalam menghitung peluang dari variabel acak kontinu. Distribusi normal memiliki bentuk simetris dan satu modus, serta muncul di banyak fenomena nyata. Beberapa contoh aplikasi distribusi normal dalam perhitungan peluang disajikan, termasuk dalam konteks umur baterai dan panjang roti.

3. Presented by
A Abd. Aziz
H Habadini Wahyu Syurati
A Anggrayni Mustikasari

4. Distribusi Normal
Distribusi normal atau biasa disebut distribusi gauss adalah salah satu distribusi
peluang dengan variable acak kontinu yang paling sering digunakan.
Sifat-sifat distribusi normal :
1) Grafiknya selalu ada diatas sumbu datar x.
2) Bentuknya simetri terhadap x = µ.
3) Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ
sebesar
0,3989
𝜎
.
4) Grafiknya mendekati sumbu datar x dimulai dari x = µ + 3𝜎 kekanan dan
x = µ - 3𝜎 ke kiri.
5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

5. Pentingnya Distribusi Normal
Satu-satunya distribusi probabilitas dengan variable random kontinu adalah
distribusi normal.
Ada 2 peran yang penting dari distribusi normal, yaitu:
1. Memiliki sifat yang dapat dijadikan satu patokan dalam pengambilan
kesimpulan dari beberapa sampel.
2. Distribusi normal terjadi secara alamiah, banyak peristiwa di dunia nyata yang
terdistribusi secara normal.

6. Dan nilai x punya batas -∞ < x < ∞, maka dikatakan bahwa variable acak X
berdistribusi normal.
Distribusi normal dapat dirumuskan dengan sebagai berikut:
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
2
1
𝑥−𝜇
𝜎
2
Keterangan :
𝜋= nilai konstan yang ditulis hingga empat desimal (3,1416)
𝑒= bilangan konstan, bila ditulis hingga empat desimal 𝑒 = 2,7183
𝜇= parameter, merupakan rata –rata untuk distribusi
𝜎= parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi
. . . . Persamaan VIII(3),

7. Hubungan dalam persamaan VIII(3), ‫׬‬−∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 , maka menjadi:
න
−∞
∞
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
2
1
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝑑𝑥 = 1
Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b) digunakan
rumus sebelumnya sehingga:
P(a < X < b) = ‫׬‬𝑎
𝑏 1
𝜎 2𝜋
𝑒−2
1(
𝑥−𝜇
𝜎
)2
𝑑𝑥 = 1

8. Tapi perlu diketahui bahwa rumus-rumus diatas tidak perlu dirisaukan karena
sudah ada daftar distribusi normal standar atau normal baku. Distribusi normal
standar ialah distribusi normal dengan rata-rata µ = 0 dan 𝜎 = 1. Fungsi
densitasnya berbentuk:
f(z) = −
1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2
Untuk z dalam daerah -∞ < z < ∞, mengubah distribusi normal umum menjadi
distribusi normal baku dalam rumus diatas dapat ditempuh dengan
menggunakan transformasi:
Z =
𝑋− 𝜇
𝜎

9. Rumus Distribusi Normal
Z =
𝑋− 𝜇
𝜎
𝑥 = nilai variable random
𝜇 = rata-rata distribusi
𝜎 = simpang baku
𝑍 = nilai standar

10. Jika 𝜎 makin besar, kurvanya semakin rendah (platikurtik) dan untuk 𝜎
makin kecil kurvanya semakin tinggi (leptokurtik)

11. 1. Menghitung nilai Z sampai dua decimal.
2. Menggambar kurva normal standarnya.
3. Meletakkan nilaiz pada sumbu X, kemudian menarik garis vertical yang
memotong kurva.
4. Nilai yang terdapat dalam daftar merupakan luas daerah antar garis
tersebut dengan garis vertikal di titik nol.
5. Dalam daftar distribusi normal standar, mencari tempat harga Z pada
kolom paling kiri hanya sampai satu decimal dan mencari decimal
keduanya pada baris paling atas.
6. Dari Z di kolom kiri maju ke kanan dan dari Z di baris atau turun ke bawah,
sehingga didapat bilangan yang merupakan luas daerah yang dicari.
Menentukan Luas Daerah dengan menggunakan tabel Z

12. Contoh 1
-1.75 0

13. Contoh 2
1.32 2.12

14. Aplikasi Penggunaan Distribusi Normal
1. Lama hidup sejenis baterai diketahui berdistribusi normal dengan rata-rata
400,0 jam dan simpangan baku 20,0 jam. Tentukan peluang sebuah baterai
dengan jenis yang sama mempunyai lama hidup antara 400,0 jam dan 434,4
jam.

15. Penyelesaian
Dalam soal ini, μ = 400,0 jam, σ = 20,0 jam. Apabila X menyatakan lama hidup
baterai tersebut, yang ditanyakan soal ini adalah P[400,0 jam < X < 434,4 jam].
Yang ditanyakan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

16. Lakukanlah transformasi Z =
𝑋− 𝜇
𝜎
Di sini ada dua nilai z, yaitu z1 dan z2. Dengan x1 = 400,0 jam dan x2 = 434,4 jam
diperoleh nilai z1 dan z2 sebagai berikut:
Z1 =
400 −400
20
= 0 Z2 =
434,4 −400
20
= 1,72
Selanjutnya, P [400 jam < X < 434,4 jam] = P [0 < Z < 1,72] = 0,4573
Jadi, peluang sebuah baterai dengan jenis yang
sama mempunyai lama hidup antara 400,0 jam
dan 434,4 jam adalah 0,4573.

17. 2. Panjang roti yang diproduksi suatu pabrik berdistribusi normal dengan rata-rata
25 cm dan simpangan baku 2 cm. Berapa persen roti yang diproduksi dengan
panjang kurang dari 23 cm?

18. Penyelesaian
Dalam soal ini, μ = 25 cm, σ = 2 cm. Jika X menyatakan panjang roti yang
diproduksi pabrik tersebut, soal ini menanyakan P[X < 23 cm]. Yang ditanyakan ini
dapat digambarkan sebagai berikut.

19. Lakukanlah transformasi
Sehingga
Z =
𝑋− 𝜇
𝜎
Z =
23 −25
2
= -1
Selanjutnya, P [X < 23 cm] = P [Z < -1] = 0,5 – 0,3413 = 0,1587
Jadi, 15,87% roti yang diproduksi pabrik
tersebut panjangnya kurang dari 23 cm.

20. 3. Pendapatan harian dari suatu jenis usaha diketahui berdistribusi normal dengan
rata-rata Rp 800 ribu dengan simpangan baku Rp 200 ribu. Berapa peluang
pendapatan harian usaha tersebut kurang dari Rp 1.026.000?

21. Penyelesaian
Dalam soal ini, μ = Rp 800.000, σ = Rp 200.000. Jika X menyatakan pendapatan
harian usaha tersebut, soal ini menanyakan P[X < Rp 1.026.000]. Yang ditanyakan
ini dapat digambarkan sebagai berikut.

22. Lakukanlah transformasi
Sehingga
Z =
𝑋− 𝜇
𝜎
Z =
1026000 −800000
200000
= 1,13
Selanjutnya, P [X < 1026000 cm] = P [Z < 1,13] = 0,5 + 0,3708 = 0,8708
Jadi, peluang banyaknya pendapatan
harian kurang dari Rp 1.026.000 adalah
0,8708.