Bab 6 membahas pendugaan parameter untuk berbagai jenis sebaran seperti Poisson, binomial, binomial negatif, Neyman Type A, dan Poisson-binomial. Metode yang digunakan adalah metode momen dan maksimum likelihood. Rumus penduga parameter diturunkan dari fungsi pembangkit peluang masing-masing sebaran. Metode maksimum likelihood lebih efisien dibandingkan momen apabila nilai parameter besar.
Dokumen tersebut membahas berbagai metode pencarian akar persamaan tak linear, meliputi metode tertutup seperti bisection, regula falsi, dan metode terbuka seperti iterasi titik tetap, Newton-Raphson, dan Sekan. Metode-metode tersebut dijelaskan secara rinci beserta contoh penerapannya.
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)Rani Nooraeni
Data ramus bone tersebut tidak mengandung outlier berdasarkan analisis standarisasi dan jarak kuadrat. Semua nilai zjk dan dj2 berada dalam kisaran yang diizinkan untuk distribusi normal multivariate.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas yang mencakup ruang sampel dan variabel acak, distribusi empiris dan teoritis, fungsi probabilitas seperti probability mass function, probability density function, dan cumulative distribution function, serta proses stokastik seperti proses Bernoulli dan proses Poisson."
Bab 6 membahas pendugaan parameter untuk berbagai jenis sebaran seperti Poisson, binomial, binomial negatif, Neyman Type A, dan Poisson-binomial. Metode yang digunakan adalah metode momen dan maksimum likelihood. Rumus penduga parameter diturunkan dari fungsi pembangkit peluang masing-masing sebaran. Metode maksimum likelihood lebih efisien dibandingkan momen apabila nilai parameter besar.
Dokumen tersebut membahas berbagai metode pencarian akar persamaan tak linear, meliputi metode tertutup seperti bisection, regula falsi, dan metode terbuka seperti iterasi titik tetap, Newton-Raphson, dan Sekan. Metode-metode tersebut dijelaskan secara rinci beserta contoh penerapannya.
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)Rani Nooraeni
Data ramus bone tersebut tidak mengandung outlier berdasarkan analisis standarisasi dan jarak kuadrat. Semua nilai zjk dan dj2 berada dalam kisaran yang diizinkan untuk distribusi normal multivariate.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas yang mencakup ruang sampel dan variabel acak, distribusi empiris dan teoritis, fungsi probabilitas seperti probability mass function, probability density function, dan cumulative distribution function, serta proses stokastik seperti proses Bernoulli dan proses Poisson."
Dokumen ini membahas tentang kecukupan estimator dan kelas eksponensial. Definisi statistik cukup dan contohnya untuk distribusi eksponensial dan Bernoulli diberikan. Teorema-teorema seperti Rao-Blackwell dan Lehmann-Scheffe juga dibahas. Keluarga distribusi eksponensial reguler dijelaskan beserta statistik cukup lengkapnya.
Makalah ini membahas tentang transformasi variabel acak dan distribusinya. Terdapat beberapa metode untuk menemukan distribusi variabel acak yang ditransformasi, yaitu metode fungsi distribusi, metode transformasi, metode konvolusi, dan metode fungsi pembangkit momen. Metode transformasi dijelaskan sebagai metode yang paling berguna untuk menemukan fungsi kepadatan variabel acak yang ditransformasi dengan mengetahui fungsi kepadatan variabel acak aslinya.
Dokumen tersebut membahas tentang pembandingan ortogonal, khususnya pembandingan ortogonal kontrast dan ortogonal polinomial. Pembandingan ortogonal kontrast bersifat kualitatif dan digunakan untuk menganalisis hasil penelitian yang melibatkan beberapa perlakuan kualitatif. Sedangkan pembandingan ortogonal polinomial bersifat kuantitatif dan digunakan untuk menganalisis hasil penelitian yang melibatkan beberapa tingkatan suatu faktor.
Dokumen tersebut membahas tentang pengujian hipotesis statistik, termasuk rumusan hipotesis nol dan alternatif, langkah-langkah pengujian hipotesis, jenis kesalahan yang dapat terjadi, dan contoh soal pengujian rata-rata dengan uji satu dan dua pihak menggunakan statistik z dan t. "
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa berorde n mengandung turunan ke-n dari fungsi tersebut. Fungsi yang disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai x disebut solusi persamaan diferensial.
Rangkuman dokumen:
1. Studi menguji pengaruh konsentrasi hormon tumbuh terhadap produksi kedelai menggunakan rancangan acak lengkap dengan ulangan sama dan tidak sama.
2. Analisis ragam menunjukkan konsentrasi hormon berpengaruh signifikan terhadap produksi kedelai untuk kedua kasus ulangan.
3. Penggunaan ulangan tidak sama disebabkan keterbatasan lahan dan biaya percobaan.
Bab ini membahas tinjauan pustaka mengenai metode analisis yang digunakan dalam penelitian yaitu statistika deskriptif, analisis korespondensi, dan algoritmanya. Analisis korespondensi digunakan untuk menganalisis hubungan antar variabel dengan merepresentasikan baris dan kolom tabel kontingensi dalam ruang vektor berdimensi rendah. SVD dipergunakan untuk mereduksi dimensi data sehingga dapat mempertahankan informasi optimal. Jarak chi-ku
Dokumen ini membahas uji statistik untuk sampel independen, khususnya uji median dan uji Kruskal-Wallis. Uji median digunakan untuk menguji apakah beberapa populasi memiliki median yang sama, sedangkan uji Kruskal-Wallis merupakan perluasan dari uji jumlah rank untuk menguji apakah sampel berasal dari populasi yang sama. Dokumen ini juga memberikan contoh soal uji median dan uji Kruskal-Wallis beserta langkah penger
Perbandingan ortogonal digunakan untuk menganalisis sumber variasi dalam suatu percobaan. Metode ini membagi jumlah kuadrat perlakuan menjadi komponen-komponen yang sesuai dengan koefisien kontrast masing-masing perlakuan. Hipotesis nol yang diuji adalah pengaruh kelompok perlakuan sama. Statistik uji F dan t digunakan untuk menguji hipotesis. Contoh kasus menunjukkan analisis perbandingan ortogonal kontrast untuk dua kel
Interpolasi polinomial Newton menggunakan persamaan rekursif untuk menghitung koefisien polinomial berdasarkan beda terbagi hingga dari data titik. Metode ini diterapkan untuk memperkirakan nilai fungsi di luar data titik yang diketahui dengan menggunakan polinomial hasil interpolasi.
This document contains solutions to exercises on real analysis. It includes:
1) Proving various properties relating to if a is a real number.
2) Solving equations by justifying each step with appropriate theorems or properties.
3) Proving that if a satisfies a^2 = 2, then either a = √2 or a = -√2.
4) Showing there does not exist a rational number whose square is 2 by reducing it to a contradiction.
Pendugaan interval digunakan untuk memperkirakan kemungkinan besar parameter populasi berdasarkan hasil sampel. Metode ini menyatakan kemungkinan parameter populasi dalam suatu interval tertentu seperti interval kepercayaan 95% dan 99%. Dokumen ini menjelaskan konsep pendugaan interval, ciri-ciri penduga yang baik, pengertian distribusi t, dan contoh perhitungan interval untuk rerata, proporsi, dan selisih proporsi populasi.
Dokumen ini membahas tentang kecukupan estimator dan kelas eksponensial. Definisi statistik cukup dan contohnya untuk distribusi eksponensial dan Bernoulli diberikan. Teorema-teorema seperti Rao-Blackwell dan Lehmann-Scheffe juga dibahas. Keluarga distribusi eksponensial reguler dijelaskan beserta statistik cukup lengkapnya.
Makalah ini membahas tentang transformasi variabel acak dan distribusinya. Terdapat beberapa metode untuk menemukan distribusi variabel acak yang ditransformasi, yaitu metode fungsi distribusi, metode transformasi, metode konvolusi, dan metode fungsi pembangkit momen. Metode transformasi dijelaskan sebagai metode yang paling berguna untuk menemukan fungsi kepadatan variabel acak yang ditransformasi dengan mengetahui fungsi kepadatan variabel acak aslinya.
Dokumen tersebut membahas tentang pembandingan ortogonal, khususnya pembandingan ortogonal kontrast dan ortogonal polinomial. Pembandingan ortogonal kontrast bersifat kualitatif dan digunakan untuk menganalisis hasil penelitian yang melibatkan beberapa perlakuan kualitatif. Sedangkan pembandingan ortogonal polinomial bersifat kuantitatif dan digunakan untuk menganalisis hasil penelitian yang melibatkan beberapa tingkatan suatu faktor.
Dokumen tersebut membahas tentang pengujian hipotesis statistik, termasuk rumusan hipotesis nol dan alternatif, langkah-langkah pengujian hipotesis, jenis kesalahan yang dapat terjadi, dan contoh soal pengujian rata-rata dengan uji satu dan dua pihak menggunakan statistik z dan t. "
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa berorde n mengandung turunan ke-n dari fungsi tersebut. Fungsi yang disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai x disebut solusi persamaan diferensial.
Rangkuman dokumen:
1. Studi menguji pengaruh konsentrasi hormon tumbuh terhadap produksi kedelai menggunakan rancangan acak lengkap dengan ulangan sama dan tidak sama.
2. Analisis ragam menunjukkan konsentrasi hormon berpengaruh signifikan terhadap produksi kedelai untuk kedua kasus ulangan.
3. Penggunaan ulangan tidak sama disebabkan keterbatasan lahan dan biaya percobaan.
Bab ini membahas tinjauan pustaka mengenai metode analisis yang digunakan dalam penelitian yaitu statistika deskriptif, analisis korespondensi, dan algoritmanya. Analisis korespondensi digunakan untuk menganalisis hubungan antar variabel dengan merepresentasikan baris dan kolom tabel kontingensi dalam ruang vektor berdimensi rendah. SVD dipergunakan untuk mereduksi dimensi data sehingga dapat mempertahankan informasi optimal. Jarak chi-ku
Dokumen ini membahas uji statistik untuk sampel independen, khususnya uji median dan uji Kruskal-Wallis. Uji median digunakan untuk menguji apakah beberapa populasi memiliki median yang sama, sedangkan uji Kruskal-Wallis merupakan perluasan dari uji jumlah rank untuk menguji apakah sampel berasal dari populasi yang sama. Dokumen ini juga memberikan contoh soal uji median dan uji Kruskal-Wallis beserta langkah penger
Perbandingan ortogonal digunakan untuk menganalisis sumber variasi dalam suatu percobaan. Metode ini membagi jumlah kuadrat perlakuan menjadi komponen-komponen yang sesuai dengan koefisien kontrast masing-masing perlakuan. Hipotesis nol yang diuji adalah pengaruh kelompok perlakuan sama. Statistik uji F dan t digunakan untuk menguji hipotesis. Contoh kasus menunjukkan analisis perbandingan ortogonal kontrast untuk dua kel
Interpolasi polinomial Newton menggunakan persamaan rekursif untuk menghitung koefisien polinomial berdasarkan beda terbagi hingga dari data titik. Metode ini diterapkan untuk memperkirakan nilai fungsi di luar data titik yang diketahui dengan menggunakan polinomial hasil interpolasi.
This document contains solutions to exercises on real analysis. It includes:
1) Proving various properties relating to if a is a real number.
2) Solving equations by justifying each step with appropriate theorems or properties.
3) Proving that if a satisfies a^2 = 2, then either a = √2 or a = -√2.
4) Showing there does not exist a rational number whose square is 2 by reducing it to a contradiction.
Pendugaan interval digunakan untuk memperkirakan kemungkinan besar parameter populasi berdasarkan hasil sampel. Metode ini menyatakan kemungkinan parameter populasi dalam suatu interval tertentu seperti interval kepercayaan 95% dan 99%. Dokumen ini menjelaskan konsep pendugaan interval, ciri-ciri penduga yang baik, pengertian distribusi t, dan contoh perhitungan interval untuk rerata, proporsi, dan selisih proporsi populasi.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep populasi dan sampel dalam statistika. Secara singkat, populasi adalah seluruh objek penelitian sedangkan sampel adalah sebagian kecil populasi yang diambil untuk mewakili seluruh populasi. Dokumen ini juga menjelaskan karakteristik populasi dan sampel serta beberapa jenis distribusi sampling.
Dokumen tersebut membahas tentang pengukuran dispersi data, termasuk pengertian dan rumus varians, standar deviasi, koefisien variasi, kemencengan, dan contoh-contoh perhitungannya."
Dokumen tersebut membahas mengenai ukuran dispersi atau variasi data, yang meliputi jangkauan, rerata deviasi, variansi, dan deviasi baku. Jangkauan adalah selisih antara nilai tertinggi dan terendah dari data, sedangkan rerata deviasi dan variansi mengukur seberapa jauh nilai-nilai data bervariasi dari rata-rata nilai data. Dokumen ini juga menjelaskan rumus-rumus untuk menghitung keempat ukuran dispersi
Kepala sekolah ingin melihat gambaran distribusi penghasilan orang tua siswa berdasarkan sampel 50 orang tua. Data menunjukkan rata-rata penghasilan sebesar Rp. 79,4 ribu per bulan dengan penyebaran yang cukup besar.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi Chi-Kuadrat, Distribusi T, dan Distribusi F. Distribusi Chi-Kuadrat digunakan untuk menguji hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi dengan frekuensi harapan. Distribusi T digunakan untuk menguji hipotesis pada sampel kecil, sedangkan Distribusi F digunakan untuk membandingkan dua variansi sampel.
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep statistika dasar termasuk:
1. Ukuran kecenderungan memusat, penyebaran, dan hubungan antar variabel
2. Statistika deskriptif dan inferensial
3. Cara menghitung rata-rata, median, modus, dan variansi sebagai ukuran statistika
Uji Chi Square digunakan untuk menguji kesesuaian antara frekuensi yang diamati dengan yang diharapkan. Terdiri dari beberapa langkah yaitu membuat hipotesis, menentukan taraf nyata, memilih statistik Chi Square, membandingkan hasil dengan nilai kritis, serta menarik kesimpulan. Uji ini dapat digunakan untuk Goodness of Fit maupun analisis tabel kontingensi.
Tugas III membahas tentang distribusi sampling dan probabilitas. Terdapat tiga bagian utama yaitu konsep dasar distribusi sampling, distribusi proporsi sampling, dan distribusi mean-mean sampling. Distribusi sampling berguna untuk memahami karakteristik populasi yang tidak diketahui melalui data sampel. Distribusi proporsi dan mean-mean sampling memberikan rumusan mengenai rataan dan variansi dari masing-masing distribusi.
Dokumen tersebut membahas tentang estimasi, termasuk estimasi titik, interval estimasi, interval kepercayaan, dan penggunaan distribusi t untuk mengestimasi parameter populasi ketika varians tidak diketahui dengan sampel kecil. Contoh yang diberikan meliputi estimasi rata-rata penjualan ban, waktu produksi kertas, dan kekuatan logam.
This chapter discusses sampling and sampling distributions. It defines key terms like population, parameter, sample, and statistic. It also differentiates between a population and a sample. The chapter covers different sampling methods like simple random sampling, stratified random sampling, and cluster sampling. It describes the properties of the sampling distribution of the sample mean, including its expected value and standard deviation. The chapter also explains the central limit theorem.
Dokumen tersebut membahas pengujian hipotesis statistik, termasuk pengertian, prosedur umum, jenis kesalahan, dan contoh soal. Secara ringkas, pengujian hipotesis digunakan untuk menguji kebenaran pernyataan tentang parameter populasi berdasarkan hasil sampel, dengan menerima atau menolak hipotesis nol berdasarkan statistik uji dan tingkat signifikansi.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi normal dan penggunaannya. Terdapat penjelasan mengenai konsep distribusi normal standar, tabel distribusi normal standar, dan contoh soal penggunaan distribusi normal untuk menghitung probabilitas dan menentukan nilai batas.
This chapter discusses sampling and sampling distributions. It defines key terms like population, parameter, sample, and statistic. It also differentiates between a population and a sample. The chapter covers different sampling methods like simple random sampling, stratified random sampling, and cluster sampling. It describes the properties of the sampling distribution of the sample mean, including its expected value and standard deviation. The chapter also explains the central limit theorem.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
2. @FEUI, 2003 2
Kemampuan Yang Dihasilkan:
1. Menjelaskan pengertian pendugaan interval
parameter
2. Melakukan pendugaan interval rerata populasi
populasi terbatas dan populasi tak terbatas
3. Melakukan pendugaan interval proporsi populasi
4. Melakukan pendugaan interval selisih rerata
populasi
5. Melakukan pendugaan interval selisih proporsi
populasi
3. @FEUI, 2003 3
Pengertian
Inferens: kegiatan penarikan kesimpulan tentang
parameter populasi berdasarkan hasil sampel.
Pada pendugaan interval kita menyatakan
kemungkinan besarnya parameter populasi dalam
suatu interval tertentu
Interval kemungkinan besarnya parameter disebut
confidence interval; umumnya 95% dan 99%.
Confidence interval 95%: penerapan cara itu untuk
sembarang sampel berpeluang benar sebesar 95%.
4. @FEUI, 2003 4
Ciri-ciri penduga yang baik
Unbiassed: expected value nilai distribusi sampling
penduga sama dengan nilai yang diduga. Penduga
yang unbiassed untuk adalah .
Efisien: nilai persebaran dari distribusi sampling
tentang variabel penduganya adalah yang terkecil.
merupakan penduga yang efisien untuk
karena distribusi samplingnya mempunyai ukuran
persebaran yang terkecil.
X
X X
X
5. @FEUI, 2003 5
Ciri-ciri penduga yang baik
Konsisten: dengan semakin besarnya sampel
maka nilai penduganya akan semakin
mendekati nilai parameter yang diduga.
merupakan penduga yang baik bagi
karena bila sampel diperbesar maka nilainya
akan semakin mendekati nilai .
X X
X
6. @FEUI, 2003 6
Penalaran penduga interval
Pertimbangkan sebuah sampel random dari
populasi normal dengan = 160 dan = 50
serta n = 25. Atribut distribusi samplingnya: =
160 dan =10.
Bila ditetapkan 95% dari keseluruhan alternatif
sampel di kiri dan kanan nilai sentralnya, akan
didapatkan batas–batas antara 140,4 dan 179,6.
(Gambar 2.1).
X X
X
X
7. @FEUI, 2003 7
Penalaran penduga interval
Dapat dinyatakan: 95% dari keseluruhan
kemungkinan sampel akan menghasilkan yang
nilainya terletak pada interval
Bila 95% itu disebut 1–a, maka a = 0,05.
Nilai 1,96 adalah nilai Za/2 = Z0,025, yaitu Z yang
luas di ujungnya sebesar 0,025.
XX 96,1
X
10. @FEUI, 2003 10
Penalaran penduga interval
Secara lebih umum dapat dinyatakan:
Dengan:
parameter populasi yang diduga
statistik sampel penduga yang sesuai
deviasi standar distribusi sampling yang
sesuai
a aa 1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp
ˆ
ˆ
11. @FEUI, 2003 11
Contoh pendugaan interval rerata populasi,
diketahui
Sebuah sampel random sebanyak 25
dilakukan terhadap populasi normal untuk
menduga rerata populasi tersebut. Populasi
tersebut mempunyai = 15. Sampelnya
menghasilkan = 40. Dengan tingkat
keyakinan 0,95, bagaimana dugaan interval
tentang rerata hitung populasinya?
X
X
X
12. @FEUI, 2003 12
Contoh pendugaan interval rerata populasi
dengan diketahui
Jawab:
a = 5% sehingga
sedangkan
Maka:
96,1025,02 ZZa
3
25
15
95,0)396,140396,140( Xp
95,0)88,4512,34( Xp
X
13. @FEUI, 2003 13
Pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Pendugaan harus dilakukan dengan
distribusi t
Distribusi t adalah distribusi normal yang
kelancipannya tergantung pada derajat
bebas (degree of freedom) yang besarnya
adalah n – k: (Gambar 2.3)
n adalah sample size
k adalah banyaknya parameter populasi
yang seharusnya diketahui.
X
14. @FEUI, 2003 14
Pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Dengan tidak diketahui maka
Dan formula duga menjadi:
n
sX
X ˆ
X
X
a aa 1ˆˆ ,2,2 XdfXXdf tXtXp
16. @FEUI, 2003 16
Cara membaca distribusi t
Ada banyak sekali distribusi t.
Untuk keperluan praktis, tabel distribusi t hanya
memuat untuk luas tertentu pada ujung kurva,
yaitu: 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; dan 0,10.
Margin kiri menunjukkan degrees of freedom,
sedangkan margin atas adalah luas di ujung
kurva; sebagian buku menunjukkan luas pada
kedua ujung kurva. (Tabel 2.1).
18. @FEUI, 2003 18
Contoh pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Sebuah usaha percetakan sedang mempertimbangkan
penggunaan jenis huruf arial sebagai pengganti yang biasa
digunakan. Ia mempertimbangkan rerata jumlah kata per
lembar hasil cetakannya. Untuk itu ia melakukan sampel
random terhadap 12 halaman, yang hasilnya adalah:
Bila distribusi jumlah huruf per lembar normal, bagaimana
dugaan interval rerata jumlah huruf per lembar? 1a=0,95
X
Lembar ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Jumlah kata 220 230 225 200 240 250 245 230 215 225 205 210
19. @FEUI, 2003 19
Contoh pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Jawab:
Df = n–1 = 11 terlalu kecil untuk digantikan oleh Z.
1–a = 0,95 maka ta/2,df t0.025,11 = 2,201.
= 224,58333; = 15,58821;
X
X Xs
49993,4
12
58821,15ˆ X
95,0)4999,4201,2583,2244999,4201,2583,224( Xp
95,0)62819,23353847,215( Xp
20. @FEUI, 2003 20
Formula umum penduga interval
Telah diketahui bahwa formula umum pendugaan interval:
Variasi parameter yang diduga dan statistik penduga:
Parameter Statistik
a aa 1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp
X X
p p
21 XX 21 XX
21 pp 21 pp
D D
21. @FEUI, 2003 21
Daftar deviasi standar distribusi sampling
Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF
Rerata Hitung:
– diketahui Z
– tidak diketahui tdf; df = n-1
Proporsi:
Z ; karena n sangat besar
Selisih proporsi:
Z ; karena n sangat besar
Rerata Selisih: tdf; df = n-1
n
X
X
n
sX
X ˆ
n
n
x
n
x
p
1
ˆ
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 11
ˆ 21 n
n
x
n
x
n
n
x
n
x
pp
X
X
n
sD
D ˆ
22. @FEUI, 2003 22
Daftar deviasi standar distribusi sampling
Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF
Selisih Rerata Hitung:
– diketahui Z
Z
– tidak diketahui tdf ; df = n1 + n2 – 2
tdf ; df =
21
11
21 nn
XX
2
2
1
2
21
21 nn
XX
XX
21
11
ˆ 21 nn
spXX
X
X
2
2
1
2
21
21
ˆ
n
s
n
s XX
XX
2
11
21
2
2
2
12 21
nn
snsn
s
XX
p
s
n
s
n
s
n
n
s
n
n
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
21 1
23. @FEUI, 2003 23
Pendugaan interval proporsi populasi
Pembahasan ini berasumsi sampelnya sangat besar
sehingga memungkinkan digunakannya distribusi
normal. (Apabila sampelnya tidak cukup besar,
harus digunakan distribusi binomial)
Pendekatan normal di sini memerlukan ukuran
sampel sangat besar agar diperoleh interval duga
yang tidak terlalu lebar. (Ukuran sampel sebesar 75
masih menghasilkan lebar duga mencapai 22,17%
bila proporsi sampel 0,4).
24. @FEUI, 2003 24
Contoh pendugaan interval proporsi populasi
Seorang peneliti di bidang politik ingin mengetahui
popularitas dari presiden dua tahun setelah
pengangkatannya dimata para mahasiswa. Untuk itu
ia mengambil sampel random sebesar 200
mahasiswa. Hasilnya adalah bahwa 75 mahasiswa
menyatakan tetap memberikan dukungan pada
presiden terpilih. Dengan tingkat keyakinan 95%,
bagaimana hasil dugaan proporsi mahasiswa yang
masih mendukung presiden tersebut?
25. @FEUI, 2003 25
Contoh pendugaan interval proporsi populasi
Jawab:
a = 5% sehingga
Peristiwa sukses sampel 75 sehingga:
dan:
Maka:
96,1025,02 ZZa
375,0
200
75
p
03423,0
200
375,01375,0
p
05,01)03423,096,10,37503423,096,1375,0( pp
95,0)00,442130790,0( pp
26. @FEUI, 2003 26
Contoh pendugaan interval selisih proporsi
populasi
Seorang peneliti di bidang periklanan ingin
mengetahui selisih proporsi pemirsa sebuah acara TV
antara kota A dan kota B. Untuk itu ia mengambil
sampel random independen sebesar 300 pemirsa kota
A dan 200 pemira kota B. Hasil dari sampel tersebut
adalah bahwa penonton acara tersebut di kota A ada
sebanyak 90 orang, sedangkan di kota B ada sebanyak
40 orang. Dengan tingkat keyakinan 95%, bagaimana
hasil dugaan selisih proporsi pemirsa acara TV
tersebut antara kota A dan kota B?
27. @FEUI, 2003 27
Contoh pendugaan interval selisih proporsi
populasi
a = 5% maka
Peristiwa–peristiwa sukses dalam sampel adalah 90
di antara 300 dan 40 di antara 200, sehingga:
Maka:
96,1025,02 ZZa
20,0
200
40
dan30,0
300
90
21 pp
03873,0
200
2,012,0
300
3,013,0
21
pp
05,01)03873,096,12,00,303873,096,12,03,0( 21 ppp
95,0)07591,00,107591,01,0( 21 ppp
95,0)75910,102409,0( 21 ppp
28. @FEUI, 2003 28
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi,
dengan diketahui
Andi, seorang pimpinan pabrik ingin mengetahui perbedaan
rerata umur bola lampu yang dihasilkan dengan rerata umur bola
lampu yang dihasilkan pesaing. Untuk itu diambil dua sampel
random independen sebanyak 10 (dari yang dihasilkannya) dan
12 bola lampu (dari pesaing). Dari sampel diperoleh rerata umur
bola lampu sendiri adalah 1.000 jam dan pesaing adalah 800
jam. Bila umur bola lampu kedua produk didistribusikan normal
dengan deviasi standar 125 jam dan 110 jam, bagaimana hasil
pendugaan interval selisih rerata umur bola lampu keduanya?
Gunakan tingkat keyakinan 95%.
X
29. @FEUI, 2003 29
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan diketahui
a = 5% sehingga
sedangkan
Maka:
96,1025,02 ZZa
X
70339,50
12
110
10
125 22
21
XX
95,0)70339,5096,1800100070339,5096,18001000( 21
XXp
95,0)37864,9920037864,99200( 21
XXp
95,0)37864,92962136,100( 21
XXp
30. @FEUI, 2003 30
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi
dengan diketahui
Badut, pengusaha angkutan umum ingin mengetahui, dengan
tingkat keyakinan 95%, beda rerata daya kerja ban merek A dan
merek B. Diambilnya sampel random ban dari kedua merek.
Hasilnya disajikan pada tabel di bawah ini. Daya kerja ban
dalam ribuan kilometer jelajah. Spesifikasi dari pabrik menyebut
deviasi standar masing2 sama, yaitu: = 2,7.
Bagaimana hasil dugaan interval untuk selisih rerata keduanya?
21 XX
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Merek A 26 28 30 32 30 35 34 31 31 30 27 26
Merek B 33 34 35 37 38 40 40 39 38 36 35 33
31. @FEUI, 2003 31
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan diketahui
Misalkan Merek A adalah X1 dan Merek B adalah X2.
a = 5% sehingga
dan
sedangkan
Maka:
96,1025,02 ZZa
X
301 X 5,362 X
10227,1
12
1
12
1
7,221
XX
95,0)10227,196,15,363010227,196,15,3630( 21
XXp
95,0)16045,25,616045,25,6( 21
XXp
95,0)33955,466045,8( 21
XXp
32. @FEUI, 2003 32
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan tidak diketahui
Misalkan untuk contoh daya kerja ban deviasi
standar populasi tidak diketahui namun
diyakini mempunyai nilai yang sama.
Bagaimana 95% confidence interval-nya?
X
34. @FEUI, 2003 34
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan tidak diketahui
Sebuah perusahaan peternakan penghasil telur ayam ingin
membandingkan rerata berat telur dari dua jenis ayam.
Diambilnya sampel random independen masing2 sebanyak 26
telur dari jenis 1 dan 20 butir dari jenis 2. Hasil sampel tersebut
serta
Dengan 1– α = 95%, bagaimana hasil dugaan interval selisih
rerata populasi berat telur kedua jenis ayam tersebut? Asumsikan
bahwa deviasi standar populasi berat telur keduanya adalah
berbeda.
X
13dan80 11 XsX 11dan71 22 XsX
36. @FEUI, 2003 36
Contoh pendugaan interval rerata selisih
populasi
Untuk mengetahui manfaat sebuah pelatihan kerja bagi buruh,
dilakukan sampel random terhadap 35 buruh. Kepada mereka
diamati produktivitas bulanan sebelum (Xi) dan sesudah (Yi)
mengikuti pelatihan. Hasilnya tertera pada tabel. Bagaimana
dugaan interval rerata selisih produktivitas tersebut? a=0,05
X Y X Y X Y X Y X Y
90 98 60 67 88 91 70 82 75 85
85 92 62 65 85 91 80 84 72 79
65 79 70 78 75 76 72 75 77 80
80 82 65 66 80 78 75 87 80 90
85 95 80 89 70 70 70 71 82 85
70 76 75 83 60 62 62 69 75 75
72 76 90 92 65 72 65 69 72 70
37. @FEUI, 2003 37
Contoh pendugaan interval rerata selisih
populasi
Nilai–nilai variabel Di = (Yi – Xi) = {8, 7, , 0, –2} dengan
n = 35, sehingga df = 34. maka ta/2,df t0,025,34 = 2,032.
Atribut D:
Maka:
07390,4dan14286,5 DsD
68861,0
35
07390,4ˆ D
95,0)68861,0032,214286,568861,0032,214286,5( D p
95,0)6,5422974343,3( D p
38. @FEUI, 2003 38
Penentuan sample size pada pendugaan interval
rerata populasi
Dimaksudkan untuk menghasilkan lebar duga tertentu pada
suatu tingkat keyakinan yang tertentu pula
Lebar duga adalah
Separuh lebar duga, atau sampling error,
Maka:
Bila tidak diketahui: lakukan sampel pendahuluan
untuk dapatkan sebagai estimator
XZ a 2/2
XZe a 2/
n
Ze X
a 2/
e
Z
n Xa
2/
2
2/
e
Z
n Xa
X
Xs X
39. @FEUI, 2003 39
Contoh penentuan sample size pada pendugaan
interval rerata populasi
Dari sebuah populasi normal dengan = 20, berapa besarnya
sampel yang dibutuhkan untuk pendugaan interval bila
sampling error yang diinginkan adalah 10 dan tingkat
keyakinan sebesar 95%?
Jawab: e = 10 ; 1–a = 0,95 sehingga: Za/2 = 1,96
X
20X
2
10
2096,1
n
3664,1592,3 2
n
15n
40. @FEUI, 2003 40
Penentuan sample size pada pendugaan
interval proporsi populasi
Dengan cara yang sama diperoleh:
Formulanya melibatkan p yang justru akan diduga sehingga
dilakukan upaya mendapatkan n maksimum
Maka:
pZe a 2/
n
pp
Ze
1
2/a
e
ppZ
n
12/a
2
2
2/ 1
e
ppZ
n
a
2
2
2/
2
2
2/ 5,05,05,015,0
e
Z
e
Z
n
aa
2
2/5,0
e
Z
n a
41. @FEUI, 2003 41
Contoh penentuan sample size pada
pendugaan interval proporsi populasi
Sebuah usaha reparasi mesin cetak menyatakan bahwa produk
yang sudah direparasinya akan menghasilkan proporsi gagal
cetak sebesar–besarnya 2%. Berapa besarnya sampel untuk
pendugaan interval proporsi produk yang cacat bila sampling
errornya adalah 0,005 dan tingkat keyakinan 95%?
e = 0,005. Perkiraan p maksimum 0,02 sehingga digunakan p =
0,02. Maka:
3012n
3.011,814
005,0
98,002,096,1
2
2
n
42. @FEUI, 2003 42
Contoh penentuan sample size pada
pendugaan interval proporsi populasi
Pendapat para ahli menyebutkan bahwa popularitas
presiden saat ini berkisar pada 45% hingga 60% dari
para pemilihnya. Berapa besarnya sampel untuk
pendugaan interval proporsi popularitas presiden di
mata para pemilihnya dengan sampling error 0,05 dan
1 – a = 95%?
Jawab: e = 0,05. Perkiraan p: 0,45 – 0,6 sehingga p = 0,5
karena interval tersebut dapat mencakupi nilai 0,5. Maka:
384n
384,16
05,0
96,15,0
2
n