Dokumen ini membahas tentang perawatan mesin dan distribusi lognormal yang digunakan untuk menentukan nilai MTTF dan MTTR. Distribusi lognormal memiliki dua parameter, yaitu bentuk dan lokasi, serta digunakan untuk menggambarkan variabel yang tidak terdistribusi normal. Selain itu, dibahas juga pengaplikasian distribusi lognormal dalam konteks data asli dan estimasi parameter terkait.

1. Latar Belakang
Suatu mesin pasti mempunyai masa pakai, salah satu yang melatar belakangi
perawatan mesin adalah untuk memperpanjang masa pakai mesin tersebut.
Terdapat beberapa konsep mengenai perawatan mesin yang dapat diterapkan
berdasarkan parameternya masing-masing. Namun, tidak dapat dipungkiri
meskipun mesin telah dirawat, masih saja mengalami kerusakan. Terdapat
beberapa distribusi untuk mengidentifikasi terjadinya kerusakan yang bertujuan
untuk menentukan nilai dari MTTR (Mean Time To Repair) dan MTTF (Mean
Time to Failure).
Pengertian Distribusi Lognormal
Distribusi lognormal menggunakan dua parameter, yaitu s`yang merupakan
parameter bentuk (shape parameter) dan tmed sebagai parameter lokasi (location
parameter) yang merupakan nilai tengah dari suatu distribusi kerusakan.
Distribusi ini memiliki berbagai macam bentuk sehingga sering dijumpai data
yang sesuai dengan distribusi Weibull, juga sesuai dengan data dalam distribusi
lognormal. Fungsi realibility yang terdapat pada distribusi lognormal yaitu :
Fungsi reliabilitas : R (t) = 1 – Φ
Dimana s > 0, tmed > 0 dan t > 0
1. Pendahuluan
Bagaimanapun, banyak pengukuran yang lebih kurang menunjukkan
distribusi yang miring. Distribusi miring dapat terjadi saat nilai mean rendah,
variansi tinggi dan nilainya tidak ada yang negatif, dalam hal ini, sebagai
contoh, distribusi sumber mineral dalam bumi, atau lamanya infeksi suatu
penyakit berbahaya. Distribusi miring ini merupakan distribusi Log normal
(Aitchison dan Brown 1957, Crow dan Shimizu 1988, Lee 1992, Johnson et
al. 1994). Contoh yang sesuai dengan distribusi normal yang simetris dan
distribusi log-normal yang miring diberikan pada gambar 1.

2. Gambar 1. Contoh dari distribusi normal dan log-normal
Dalam Biologi, variabel yang logaritmanya cenderung memiliki distribusi normal
antara lain: ukuran jaringan makhluk hidup, panjang tonjolan inert spesimen
biologis dalam arah pertumbuhan, pengukuran fisiologis tertentu, dll. Apakah
perbedaan antara variabel normal dan log – normal? Bentuk variabel keduanya
saling bebas berdasarkan variasi kekuatan yang diberikan. Perbedaan utamanya
adalah bahwa distribusi normal memberikan efek penjumlahan, sedangkan
distribusi log-normal memberikan efek perkalian. Distribusi log normal biasanya
digambarkan sebagai variabel log yang ditransformasi, digunakan sebagai
parameter nilai ekspektasi, atau mean dan deviasi standar dari distribusinya.
Penggambaran ini bisa menguntungkan, karena dari definisinya, distribusi log-
normal dapat menjadi simetris kembali dalam bentuk log. Untuk mengetahui
tentang sampelnya, kebanyakan orang lebih memilih data asli dari pada data yang
telah ditransformasikan ke logaritma. Konsepsi ini menjadi fisibel dan dapat
dianggap sebagai data log-normal pula, karena sifat – sifat yang dikenal dari
distribusi normal dapat dianalogikan dengan distribusi log-normal.
2. Sifat-Sifat Distribusi Log-normal
Suatu variabel acak X dikatakan berdistribusi normal jika log(X) berdistribusi
normal. Variabel bernilai positif dan distribusinya miring ke kiri. (Gambar 2)

3. Gambar 2. Distribusi log – normal dengan skala original
Gambar 3. Distribusi normal dengan skala logaritma
Diperlukan dua parameter untuk menggambarkan suatu distribusi log normal.
Biasanya digunakan mean µ dan deviasi standar σ (atau varians σ2
) dari log (X)
(Gambar 3). Bagaimanapun tetap ada baiknya menggunakan nilai yang
ditransformasikan balik (nilai dalam x, data terukur):
α* : = eα , σ* : = eσ (1)
Selanjutnya digunakan X ~ Λ(α* , σ*) sebagai ekspresi matematika, dimana X
terdistribusi menurut hukum log-normal dengan median µ* dan deviasi standar
σ*. Median dari distribusi log-normal ini adalah med(X) = α* = eα, karena µ
adalah median dari log(X). Dengan demikian peluang bahwa X lebih besar dari
µ* adalah 0.5, demikian pula peluang X yang lebih kecil dari µ*. Parameter σ*,
yang disebut deviasi standar perkalian yang menentukan bentuk dari distribusinya.
Gambar 4 menunjukkan kurva kepadatan untuk beberapa nilai σ*.

4. Gambar 4. Fungsi kepadatan untuk distribusi lognormal dengan beberapa σ*
Distribusi dikenali dari nilai ekspektasi µ dan deviasi standar σ. Dalam aplikasi
dimana distribusi log-normal tidak begitu menggambarkan data, biasanya
parameter-parameter ini tidak mudah diinterpretasikan dari pada dengan median
α* (McAlister 1879) dan parameter bentuk σ*. Untuk distribusi log-normal,
metode yang paling tepat (yaitu yang dianggap paling efisien) untuk mengestimasi
parameter µ* dan σ* bergantung pada transformasi log. Mean dan deviasi standar
empiris dari logaritma data dihitung dan selanjutnya ditransformasi balik, seperti
pada persamaan (1). Estimator ini disebut x* dan s*, dimana x* adalah mean
geometrik dari data (McAlister 1879); persamaan 4). Estimasi yang lebih robust
namun kurang efisien dapat diperoleh dari median dan quartil data, seperti pada
kotak di bawah ini.
1.2. Definisi dan sifat distribusi log-normal
Variabel acak X berdistribusi log-normal jika log(X) berdistribusi normal.
Biasanya, digunakan logaritma natural, namun basis yang lain juga akan menuju
ke keluarga distribusi yang sama, dengan parameter yang di skalakan kembali.
Fungsi kepadatan peluang dari variabel acak tersebut ditentukan sebagai
(2)
Parameter pengganti bisa ditambahkan untuk mendefinisikan keluarga tiga
parameter. Mean dan varians berturut-turut adalah exp dan,
dengan demikian koefisien variasi adalah
(3)
Perkalian dari dua variabel acak terdistribusi log-normal mempunyai parameter
bentuk
(4)
Karena ditambahkan varians ada variabel yang di transformasikan log. Estimasi:
estimator yang paling efisien (maksimum likelihood) adalah

5. (5)
quartil q1 dan q2 mengarah ke
estimasi yang lebih robust (q1/q2)c
untuk s*, dimana 1/c = 1.349 = 2 . φ-1
(0,75),
dimana φ-1
menyatakan fungsi invers distribusi normal standar. Jika mean x dan
deviasi standar s dari sampel tersedia, yaitu data diambil dalam bentuk x ± s,
parameter µ* dan s* dapat diestimasi berturut – turut dengan menggunakan
dan , ,dengan , cv = koefisien
variasi. Dengan demikian, estimasi s* ini ditentukan hanya dengan cv (persamaan
3).

6. Keuntungan Distribusi lognormal biasanya merupakan model yang lebih
baik untuk data asli
Seperti yang dibahas sebelumnya, koneksi antara efek penjumlahan dan
distribusi normal paralel dengan efek perkalian dan distribusi log-normal.
Kapteyn (1903) telah lama mencatat bahwa jika data dari pengukuran satu
dimensi dari alam sesuai dengan distribusi normal, dimensi dua dan dimensi tiga
misalnya permukaan dan volume tidaklah simetri. Sejumlah efek mengarah ke
distribusi log-normal sebagai model yang sesuai, yang telah digambarkan dalam
berbagai paper (seperti Aitchison dan Brown 1957, Koch 1966, Crow dan
Shimizu 1988). Menariknya, bahkan pada sistematika biologi, sebagai bidang
sains, jumlah spesies per keluarga dianggap sesuai dengan lognormal (Koch
1966).
Pada bidang kimia, sebagai contoh, kecepatan reaksi sederhana bergantung
pada perkalian konsentrasi dari molekul yang dilibatkan. Kondisi ekuilibrium juga
diatur oleh faktor yang bertindak dengan cara perkalian. Dengan demikian,
perbedaannya semakin jelas: alasan yang mengatur distribusi frekuensi di alam
biasanya sesuai dengan distribusi log-normal, sedangkan orang-orang lebih
memilih menggunakan distribusi normal.
Untuk koefisien variasi yang kecil, distribusi normal dan log-normal
keduanya sesuai. Dalam hal ini, tentunya akan dipilih distribusi yang paling sesuai
dengan permasalahan untuk menunjukkan variabilitas yang meningkat, yang
berkaitan dengan hukum yang mendukung alasan variabilitas. Tentunya dalam hal
ini kebanyakan yang dipilih adalah log-normal.

7. Mean Time To Failure (MTTF)
Mean Time To Failure merupakan rata-rat aselang waktu kerusakan dari suatu
distribusi kerusakan. Perhitungan MTTF untuk masing-masing distribusi adalah :
Mean Time To Repair (MTTR)
Untuk menghitung nilai rata-rata perbaikan, distribusi data untuk perbaikan,
distribusi data untuk waktu perbaikan, distribusi data untuk waktu perbaikan perlu
diketahui lebih dahulu. Pengujian untuk menentukan distribusi data dilakukan
dengan cara seperti yang diatas. Rumus untuk masing-masing distribusi adalah :
Fishbone Diagram
Menurut V. Gasperz (1998) diagram sebab akibat adalah suatu diagram yang
menunjukkan hubungan antara sebab dan akibat. Berkaitan dengan pengendalian
proses statistical, diagram sebab dan akibat dipergunakan untuk menunjukkan
faktor-faktor penyebab. Diagram sebab akibat ini disebut juga diagram tulang
ikan (fishbone diagram) karena bentuknya seperti kerangka tulang ikan dan
diperkenalkan pertama kali oleh Prof. Kaoru Ishikawa dari Universitas Tokyo
tahun 1953 sehingga disebut juga diagram Ishikawa.

8. Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung
diperkirakan memiliki distribusi log-normal dengan rata-rata 60 in, dan deviasi
standar 15 in.
a. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 40
sampai 70 in.
Solusi:
Dari table diperoleh:
b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 30 in
c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila distribusi kumulatifnya adalah 10%
Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari 0.5 terkait dengan nilai
variasi negative, sehingga :
Sehingga,