2. Materi Statistika Industri
BAB I Dasar
Statistik Industri
3.1. Distribusi
Diskrit
3.2. Distribusi
Kontinu
• 1. Populasi dan Sampel
• 2. Parameter dan Harga
Statistik
• 3. Fungsi Distribusi
Probabilitas Teoritis
• 3.1.1. Distribusi Uniform
• 3.1.2. Distribusi Binomial
• 3.1.3. Distribusi Poisson
• 3.2.1. Dsitribusi Normal
• 3.2.2. Distribusi Normal
Standard (distribusi Z)
• 3.2.3. Distribusi Student “t”
(distribusi t)
• 3.2.4. Distribusi Chi Kuadrat
(distribusi X2)
• 3.2.5. Distribusi F
2
3. Referensi
Walpole, R.E., Myers, R.H. 1986. Ilmu Peluang dan
Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, ITB:
Bandung
Walpole, R.E., Myers, R.H., Probability and Statistics
4. Diskret atau Kontinu?
Banyaknya kecelakaan motor per tahun di Jogja
Lamanya waktu pertandingan sepak bola
Banyaknya STNK yang dikeluarkan tiap bulan di
kota tertentu
Banyaknya gula yang dikonsumsi per keluarga tiap
tahun
5. Arti Kejadian Diskret & Kontinu
Suatu kejadian disebut kejadian diskret : bila
pada setiap kejadian yg mungkin terjadi hanya
menghasilkan suatu titik harga.
Sedangkan bila suatu kejadian, baik setiap
kejadian yg mungkin terjadi bisa menghasilkan
sembarang harga yg ada pada suatu interval yg
telah ditetapkan dikatakan sebagai kejadian yg
kontinu.
7. Distribusi Seragam (Uniform)
Ciri dari distribusi uniform adalah setiap variabel
randomnya mempunyai harga probabilitas yang sama.
Fungsinya : y=f(x)=P(x)=1/N
dimana N= banyaknya kejadian
Grafiknya :
x
X1 X2 X3 X4 X5 X6
1/N
y
8. Distribusi Binomial
Ciri dari distribusi binomial adalah setiap kejadian hanya
ada 2 kemungkinan terjadi
Misal :
a. Produk
Sukses/baik
Gagal/cacat
b. Ujian
Sukses/lulus
Gagal/tidak lulus
c. Kelahiran
Sukses/hidup
Gagal/meninggal
9. Distribusi Binomial..
Fungsinya :
atau
Keterangan :
p=proporsi kejadian yang diharapkan
q=1-p
n= ukuran sampel
x
n
x
p
p
x
n
x
P
x
f
y
1
)
(
)
(
x
n
x
q
p
x
n
x
P
x
f
y
)
(
)
(
!
)!
(
!
x
x
n
n
x
n
10. Distribusi Binomial
Contoh :
Suatu produk diambil 30 untuk diperiksa, ternyata ada 1 produk
yang cacat. Bila kita membeli 10 produk berapa besar probabilitas
bahwa dari 10 produk yang dibeli tersebut semua baik (tidak ada
yang cacat)?
Jawab :
Kejadian produk hanya ada 2 kemungkinan, yaitu baik atau cacat,
sehingga distribusi statistik teoritis yang cocok pada kejadian ini
adalah distribusi binomial.
dengan n=10 dan p =1/30
Bila kita menghendaki x=0, maka :
x
n
x
p
p
x
n
x
P
x
f
y
1
)
(
)
(
...
30
29
30
1
1
30
1
0
10
)
0
(
10
0
10
0
x
P
11. Distribusi Poisson
Ciri : banyaknya kejadian yang dibatasi oleh satuan unit tertentu.
Misal :
- banyaknya noda (cacat)pada satu unit produk
- banyaknya salah cetak pada halaman surat kabar
- banyaknya nasabah yang dapat dilayani setiap loket
Fungsinya :
dimana = banyaknya kejadian
λ = jumlah rata-rata outcome per unit waktu atau daerah
x = banyaknya kejadian yang diharapkan
e = 2,71828
!
)
(
)
(
x
e
x
P
x
f
y
x
𝑝(𝑥; 𝑡) =
𝑒−𝑡
𝑡 𝑥
𝑥!
, 𝑥 = 0, 1, 2, …
12. Contoh soal distribusi Poisson
Rata-rata jumlah panggilan lewat telepon
yang masuk bagian pelayanan Telkom per
menit adalah 5 buah. Berapa probabilitas
dalam satu menit tertentu tidak terdapat
panggilan yang masuk dari pelanggan?
Berapa probabilitas dalam satu menit
lebih dari 5 panggilan masuk?
13. Proses Bernoulli
Suatu proses dikatakan sebagai proses Bernoulli jika
memiliki karakteristik sebagai berikut :
1. Eksperimen terdiri atas n ulangan percobaan
2. Masing-masing percobaan menghasilkan outcome
yang dapat diklasifikasikan sebagai sebuah sukses
atau sebuah gagal
3. Probabilitas sebuah sukses disimbolkan dengan p,
tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan
lainnya
4. Ulangan percobaan adalah independen
14. Distribusi Binomial
Sebuah percobaan Bernoulli dapat
menghasilkan outcome sukses dengan
probabilitas p dan outcome gagal dengan
probabilitas q=1-p. Maka distribusi
probabilitas dari variabel random binomial
X, jumlah sukses dalam n percobaan
independen, adalah :
𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥
𝑞𝑛−𝑥
, 𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑛
15. Contoh Distribusi Binomial
Diketahui proporsi pria Indonesia dewasa
yang merokok adalah 0,4. Jika diambil
sampel 5 pria secara acak, berapa
probabilitas tiga orang diantaranya
merokok? Berapa probabilitas kelimanya
merokok?
16. Teorema Rataan dan Variansi Distribusi
Binomial
Mean dan variansi dari distribusi binomial
adalah b(x; n, p)
𝜇 = 𝑛𝑝 dan 𝜎2
= 𝑛𝑝𝑞
18. 6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0
.15
0
.10
0
.05
0
.00
M
inutes
P(
x
)
Minutes to Complete Task: By Half-Minutes
0.0
. 0 1 2 3 4 5 6 7
Minutes
P(
x
)
M
inutes to Complete Task:Fourths of a M
inute
M
inutes
P
(
x
)
M
inutes toCom
plete Task:Eighths ofaM
inute
0 1 2 3 4 5 6 7
Interval waktu dapat dibagi menjadi:
Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit
Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi
menjadi interval kecil yang tidak terbatas,
maka perhitungan probabilitasnya
ditentukan oleh sebuah rentang nilai dan
nilai probabilitas adalah luas area di bawah
kurva dalam rentang tersebut. Untuk
contoh di samping, dinyatakan dengan
P(2<X<3).
7
6
5
4
3
2
1
0
Minutes
f(z)
Dari Diskrit Menjadi Kontinu
19. Variabel Random Kontinu
Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel
random yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu
interval yang diamati.
Probabilitas dari variabel random kontinu X ditentukan
oleh sebuah fungsi densitas, dinotasikan dengan f(x),
dan memiliki beberapa sifat berikut.
- f(x) > 0 untuk setiap nilai x.
- Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b
adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang
dibatasi oleh a dan b.
- Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.
20. Fungsi Densitas dan Kumulatif
F(x)
f(x)
x
x
0
0
b
a
F(b)
F(a)
1
b
a
}
P(a < X < b) = Area di bawah
f(x) yang dibatasi oleh a dan b
= F(b) - F(a)
P(a X b)=F(b) - F(a)
Fungsi
kumulatif
Fungsi
densitas
21. Distribusi Normal
- merupakan distribusi peluang kontinyu
terpenting dalam statistika
- disebut juga Distribusi Gauss
- grafiknya disebut kurva normal
- kurvanya berbentuk seperti Genta atau
Lonceng
22. Kurva Normal
Propertinya sebagai berikut :
1. Memiliki modus, median, dan mean pada satu titik
2. Kurva berbentuk simetri terhadap sumbu vertikal
yang melewati µ
3. Kurva memiliki titik belok pada x= µ±
4. Kurva normal mencapai sumbu horizontal secara
asimptot
23. Perhitungan Probabilitas pada
Distribusi Normal
.Integral /fungsi densitas di atas tidak dapat diselesaikan secara
analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal
yang berisikan luas di bawah area kurva normal baku :
𝑃(𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2) = 𝑛 𝑥; 𝜇, 𝜎 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
=
1
2𝜋𝜎
𝑒−(
1
2
) (𝑥−𝜇)/𝜎 2
𝑑𝑥
𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
24. Distribusi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai:
0
1
dx
e
x x
untuk α > 0
Г(n) = (n – 1)!
Г(1) = 1
Г(1/2) = √π
25. Distribusi Gamma
Variabel acak kontinyu X berdistribusi Gamma,
dengan parameter α dan β, bila fungsi densitasnya
diberikan oleh:
/
1
1 x
e
x
x
f
x > 0
=0, untuk x lainnya
bila α > 0 dan β > 0.
26. Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinyu X berdistribusi
eksponensial, dengan parameter β, bila fungsi
densitasnya diberikan oleh:
,
1 /
x
e
x
f
x > 0
=0 untuk x lainnya
dengan β > 0
27. Contoh:
Misalkan suatu sistem mengandung sejenis komponen
yang daya tahannya dinyatakan oleh variabel acak T
yang berdistribusi eksponensial dengan parameter β=5.
Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasang dalam
sistem yang berlainan, berapa peluang bahwa paling
sedikit 2 masih berfungsi pada tahun ke 8
Jawab:
Peluang bahwa suatu komponen tertentu masih akan
berfungsi setelah 8 tahun:
28. 2
,
0
5
1
8 5
/
8
8
5
/
e
dt
e
T
P t
Distribusi chi-square
Variabel acak kontinu X berdistribusi khi-
kuadrat, dengan derajat kebebasan v, bila
fungsi densitasnya:
,
2
/
2
1 2
/
1
2
2
/
x
v
v
e
x
v
x
f
x > 0
=0, untuk x lainnya
dengan v bilangan bulat positif
29. Distribusi Weibull
Variabel acak kontinyu T berdistribusi Weibull,
dengan parameter α dan β, bila fungsi densitas-
nya diberikan oleh:
,
. .
1
t
e
t
t
f
t > 0
= 0, untuk t lainnya
dengan α > 0 dan β > 0.
30.
31.
32. Distribusi peluang dari suatu statistik disebut
distribusi sampel
Simpangan baku distribusi sampel suatu statistik
disebut galat baku/simpangan baku
Rata-rata Sampel :
Untuk sampel random X1, X2, ... , Xn berukuran n,
rata-rata sampel didefinisikan oleh statistik
Definisi
n
X
X
n
i
i
1
33. Variansi Sampel:
Untuk sampel random X1, X2, ... , Xn berukuran
n, variansi sampel didefinisikan oleh statistik
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
n
n
X
X
n
X
n
X
n
X
X
S
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
35. • Distribusi sampling dari statistik adalah
distribusi probabilitas semua nilai statistik
yang dihitung dari sampel random berukuran
sama (yang diambil dari populasi tertentu).
• Distribusi sampling X adalah distribusi
probabilitas semua nilai statistik dari
sampel random berukuran n.
X
Distribusi Sampling (1)
38. Distribusi probabilitas dari rata-rata sampel disebut distribusi sampling
rata-rata sampel.
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.10
0.05
0.00
X
P(X)
Sampling Distribution of the Mean
X P(X) XP(X) X-X (X-X)2 P(X)(X-X)2
1.0 0.015625 0.015625 -3.5 12.25 0.191406
1.5 0.031250 0.046875 -3.0 9.00 0.281250
2.0 0.046875 0.093750 -2.5 6.25 0.292969
2.5 0.062500 0.156250 -2.0 4.00 0.250000
3.0 0.078125 0.234375 -1.5 2.25 0.175781
3.5 0.093750 0.328125 -1.0 1.00 0.093750
4.0 0.109375 0.437500 -0.5 0.25 0.027344
4.5 0.125000 0.562500 0.0 0.00 0.000000
5.0 0.109375 0.546875 0.5 0.25 0.027344
5.5 0.093750 0.515625 1.0 1.00 0.093750
6.0 0.078125 0.468750 1.5 2.25 0.175781
6.5 0.062500 0.406250 2.0 4.00 0.250000
7.0 0.046875 0.328125 2.5 6.25 0.292969
7.5 0.031250 0.234375 3.0 9.00 0.281250
8.0 0.015625 0.125000 3.5 12.25 0.191406
1.000000 4.500000 2.625000
E X
V X
SD X
X
X
X
( )
( )
( ) .
4.5
2.625
1 6202
2
Distribusi Sampling(4)
39. • Bandingkan dist. populasi
dan dist. sampling rata-
rata:
Keduanya memiliki pusat
yang sama.
Distribusi sampling
cenderung membentuk kurva
lonceng, simetris dan
variansi yang lebih kecil.
8
7
6
5
4
3
2
1
0.2
0.1
0.0
X
P(X)
Uniform Distribution (1,8)
X
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.10
0.05
0.00
P(X)
Sampling Distribution of the Mean
Sifat Distribusi Sampling
40. Sampling dari populasi normal dengan rata-rata dan deviasi
standar , akan menghasilkan distribusi sampling normal:
Artinya:
•Rata-rata tetap.
•Variansi mengecil.
Sampling dari Populasi Normal
Normal population
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
f(X)
Sampling Distribution of the Sample Mean
Sampling Distribution: n =2
Sampling Distribution: n =16
Sampling Distribution: n =4
Normal population
X N
n
~ ( , )
2
41. Bila rataan sampel ukuran acak n
yang diambil dari populasi dengan
rataan dan variansi yang
berhingga, maka bentuk limit dari
distribusi
Bila n ∞ ialah distribusi normal
baku n(z,0,1)
Seberapa besar ukuran sampel n: 5?
20? or 100?
Hampiran normal untuk umumnya
cukup baik bila n≥ 30
2
P
(
X
)
X
0.2
5
0.2
0
0.1
5
0.1
0
0.0
5
0.0
0
n=5
P
(
X
)
0
.2
0
.1
0
.0
X
n=20
f
(
X
)
X
-
0
.4
0
.3
0
.2
0
.1
0
.0
Large n
Teorema Limit Pusat
X
n
X
Z
X
42. IndoAuto membuat engine dengan rata-rata power 220 hp dan
deviasi standar 15 hp. IndoJeep memeriksa 100 sampel, berapa
probabilitas power kurang dari 217 hp?
0228
.
0
)
2
(
10
15
220
217
100
15
220
217
217
)
217
(
Z
P
Z
P
Z
P
n
n
X
P
X
P
Teorema Limit Pusat
43. Proporsi sampel adalah prosentase
sukses dari n percobaan Bernoulli.
p
X
n
Jika ukuran sampel, n, meningkat,
distribusi sampling mendekati distribusi
normal dengan rata-rata p dan deviasi
standar
p
p p
n
( )
1
Proporsi sample :
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.2
0.1
0.0
P(X)
n=15, p =0.3
X
14
15
13
15
12
15
11
15
10
15
9
15
8
15
7
15
6
15
5
15
4
15
3
15
2
15
1
15
0
15
15
15 ^
p
2
1
0
0 .5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
X
P
(
X
)
n=2, p = 0.3
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.3
0.2
0.1
0.0
P(X)
n=10,p=0.3
X
Distribusi Sampling Proporsi
p
44. Anggap 25% orang tertarik pada produk air mineral H2O. Sebuah
sampel random 100 calon pembeli dipilih. Berapa probabilitas bahwa
paling tidak 20% sampel menyatakan ingin membeli H2O.
n
p
np E p
p p
n
V p
p p
n
SD p
100
0 25
100 0 25 25
1 25 75
100
0 001875
1
0 001875 0 04330127
.
( )( . ) ( )
( ) (. )(. )
. ( )
( )
. . ( )
P p P
p p
p p
n
p
p p
n
P z P z
P z
( . )
( )
.
( )
. .
(. )(. )
.
.
( . ) .
0 20
1
20
1
20 25
25 75
100
05
0433
115 0 8749
Proporsi Sampel
45. Jika deviasi standar populasi, , tidak diketahui, dan digantikan dengan deviasi standar
sampel, s (diasumsikan populasi normal) akan dihasilkan statistik:
mengikuti distribusi t dengan (n - 1) degrees of freedom.
• Distribusi t berbentuk bell-shaped
dan simetris.
• Nilai ekspektasi t adalah 0.
• Variansi t lebih besar dari 1, dan
mendekati 1 jika degrees of freedom
membesar (semakin runcing dan
mendekati normal).
t
X
s
n
Standard normal
t, df=20
t, df=10
Distribusi Student’s t
46. Distribusi t-student
• Distribusi t-student bukan merupakan satu
kurva seperti kurva Z, tetapi keluarga dari
distribusi t. setiap distribusi t mempunyai rata-
rata hitung sama dengan nol, tetapi dengan
standar deviasi yang berbeda-beda sesuai
dengan besarnya sampel (n). Ada distribusi t
untuk sampel berukuran 2, yang berbeda dengan
distribusi untuk sampel sebanyak 15, 25, dan
sebagainya. Apabila sampel semakin besar,
maka distribusi t akan mendekati normal.
47.
48. Distribusi Student’s t
Jika z ~ n(0,1) dan v ~ k
2
independen, bila diamati variabel
random T
Z
V k
/
(standarisasi dengan variansi dari
sampel/tidak diketahui), maka t akan berdistribusi :
f t
k
t
k
k k
( )
( )
( ) )
1
2
2 1
1
2
1
(t
k
2
adalah distribusi t-student dengan degree of freedom
sebesar k.
49. TI2232 Statistika Industri TI ITB
49
Sebuah sampel berukuran n=4 memiliki data
x1=10 x2=12 x3=16 x4=?
Sedemikian sehingga rata-rata sampel adalah
Dengan 3 nilai data dan rata-rata, nilai sampel ke-4 dapat ditentukan:
x =
x
n
12 14 16
4
4
14
12 14 16
4
56
x
x
x4 56 12 14 16
x4 56
x
x
n
14
Degrees of Freedom (1)
50. TI2232 Statistika Industri TI ITB
50
x 14
Jika hanya diketahui dua nilai data
x1=10 x2=12 x3=? x4=?
Dua nilai data yang lain tidak dapat ditentukan secara unik.
x =
x
n
12 14
3 4
4
14
12 14
3 4 56
x x
x x
Degrees of Freedom (2)
51. Degrees of freedom adalah jumlah pengukuran (tidak selalu jumlah data
mentah) dikurangi batasan dalam pengukuran. Sebuah batasan adalah kuantitas
yang dihitung dari pengukuran.
Rata-rata sampel adalah sebuah “batasan” dari pengukuran sampel. Setelah
menghitung rata-rata, degrees of freedom tersisa adalah (n-1). Variansi sampel
dihitung dari sisa (n-1) data yang masih bebas:
s
x x
n
2
2
1
( )
( )
Degrees of Freedom (3)
52. Seorang manager mendapat alokasi anggaran €150.000 untuk 4
proyek investasi. Berapa banyak degrees of freedom yang dimiliki
manager tersebut?
Rumuskan : x1 + x2 + x3 + x4 = 150,000
Proyek ke 4 dapat ditentukan setelah mendapatkan perkiraan 3
anggaran proyek lainnya. Misalkan x1=40,000; x2=30,000 ;
x3=50,000, maka
x4=150,000-40,000-30,000-50,000=30,000
Manager tersebut memiliki (n-1)=3 degrees of freedom.
Degrees of Freedom (4)
53. Distribusi Chi-square
Diketahui Z Z Zk
1 2
, , ,
berdistribusi normal dan saling independen
dengan karakteristik E Zi
( ) 0 dan V Zi
( ) 1, bila diamati variabel
random 2
1
2
2
2 2
Z Z Zk
(contoh variansi, sum of square
atau mean square), maka 2
akan berdistribusi :
f u u e u>
otherwise
k k
u
k
2
2
1
2
0
0
2
2
1 2
( )
( )
/
/
dimana ( )
k x
x e dx
k
2
1
0
2
, adalah distribusi chi-square dengan
degree of freedom k.
54. Distribusi F
Jika w dan y adalah variabel random chi-square independen,
masing-masing dengan degree of freedom u dan v. Bila diamati
variabel random F
W u
Y v
/
/
(rasio dua buah sum of square atau
mean square), maka variabel random f akan mengikuti
distribusi :
h f
u v f
u v f
<f<
otherwise
u v u
u v u v
u
( )
( ) ( / )
( ) ( ) ( / )
/
( )/
2
2 1
2 2
2
2
1
0
0
adalah distribusi f dengan degree of freedom u (pembilang)
dan v (penyebut).
55. Ciri Distribusi f
1. Distribusi f lebih mirip dengan distribusi t, yaitu
mempunyai “keluarga” distribusi f.
Pada gambar di atas terlihat bahwa distribusi dengan derajat bebas pembilang 5 da n
penyebut 5 , yang ditulis df(5,5) mempunyai distribufi f yang berbeda dengan df(20,7)
dan df(29,28).
56. Ciri Distribusi f
2. Distribusi f tidak pernah mempunyai nilai negatif
sebagaimana pada distribusi Z. Distribusi Z mempunyai nilai
positif di sisi kanan dan negatif sisi kiri nilai tengahnya.
Distribusi f seluruhnya adalah positif atau menjulur ke positif
(positively skewed) dan merupakan distribusi kontinu yang
menempati seluruh titik di kurva distribusinya.
3. Nilai distribusi f mempunyai rentang dari tidak terhingga
sampai 0. Apabila nilai f meningkat, maka distribusi f
mendekati sumbu X, tetapi tidak pernah menyentuh sumbu X
tersebut.
4. Distribusi f juga memerlukan syarat, yaitu: (a) populasi yang
diteliti mempunyai distribusi normal; (b) populasi
mempunyai standar deviasi yang sama; (c) sampel yang
ditarik dari populasi bersifat bebas serta diambil secara acak
