1. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 1
เฉลยข้อสอบโควตา ม.ขอนแก่น ปี 𝟐𝟓𝟓𝟎
วิชา คณิตศาสตร์(วิทย์)
สอบวันที่ 𝟒 พฤศจิกายน 𝟐𝟓𝟓𝟎
ตอนที่ 𝟏 ข้อสอบแบบปรนัยแบบ 𝟒 ตัวเลือก จานวน 𝟏𝟒 ข้อ (ข้อ 𝟏 − 𝟏𝟒) ข้อละ 𝟐 คะแนน
𝟏. ให้ 𝒑 แทนประพจน์ "สาหรับจานวนจริง 𝒙 ทุกตัว ถ้า 𝒙 < 2 แล้ว 𝒙 𝟐 < 4"
ให้ 𝒒 แทนประพจน์ "สาหรับจานวนจริง 𝒙 ทุกตัว มีจานวนจริง 𝒚 บางตัวที่ 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝒙"
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
[𝟏] ~𝒑 ⇒ 𝒒 𝟐 ~𝒑 ⇒ ~𝒒
[𝟑] 𝒒 ⇒ ~𝒑 𝟒 ~𝒒 ⇒ ~𝒑
เฉลย
𝑝 แทนประพจน์ ∀𝑥 ∈ ℝ [𝑥 < 2 ⇒ 𝑥 2 < 4] เป็นเท็จครับ
เพราะ มีจานวนจริงบางตัวที่ 𝑥 < 2 แล้ว 𝑥 2 ≮ 4
เช่น 𝑥 = −3 จะได้ −3 < 2 แต่ 𝑥 2 = (−3)2 = 9 ≮ 4 ดังนั้น 𝑝 จึงเป็นเท็จคับ
𝑞 แทนประพจน์ ∀𝑥∃𝑦[𝑥 2 𝑦 = 𝑥]
กรณี 𝑥 = 0 เราเลือก 𝑦 ตัวไหนก็ได้ เพราะ 02 𝑦 = 0 เสมอ
กรณี 𝑥 ≠ 0 เราเลือก 𝑦 = 1𝑥 จะทาให้ 𝑥 2 ∙ 1𝑥 = 𝑥
1 1
เช่น 𝑥 = −2 เลือก 𝑦 = (−2) จะได้ (−2)2 ∙ (−2) = −2
ดังนั้นทุกจานวนจริง 𝑥 เราสามารถหา 𝑦 ได้เสมอคับ ดังนั้นจะได้ 𝑞 เป็นจริง
เมื่อพิจารณา ข้อ [1] ~𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝐹 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇
ข้อ [2] ~𝑝 ⇒ ~𝑞 ≡ ~𝐹 ⇒ ~𝑇 ≡ 𝑇 ⇒ 𝐹 ≡ 𝐹
ข้อ [3] 𝑞 ⇒ ~𝑝 ≡ 𝑇 ⇒ ~𝐹 ≡ 𝑇 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇
ข้อ [4] ~𝑞 ⇒ ~𝑝 ≡ ~𝑇 ⇒ ~𝐹 ≡ 𝐹 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇
ตอบข้อ [𝟐]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ต้องการตรวจสอบเราเรื่องตรรกศาสตร์คับ ต้องเข้าใจประพจน์บ่งชี้ปริมาณ
จะเป็นจริงหรือเท็จเมื่อไหร่ ไม่ค่อยออกบ่อยเท่าไหร่ แต่ก็ถือว่าไม่ยากคับ สู้ๆ

2. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 2
𝟑
𝟐. ถ้า 𝑨 = {𝒑|𝒑 เป็นจานวนเฉพาะ และ 𝒑 หาร 𝟓𝟎𝟒 − 𝟐𝒑 ลงตัว} แล้ว ผลบวกของสมาชิกของเซต 𝑨 คือ
ข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 [𝟑] 𝟏𝟏 𝟒 𝟏𝟐
เฉลย
วิธีที่ 1 ข้อนีเราสามารถทาแบบเลือกสุมไปเรือยๆได้ เพราะเราเห็นตัวเลือกแล้ว มีคามากสุดคือ 12 เอง แสดงว่าจานวน
้ ่ ่ ่
เฉพาะนั้นไม่เยอะมาก เอาหละเรามาลองสุ่มตัวเลขกันดู
𝑝 = 2 ; จะได้ [504 − 2(2)]3 = [504 − 4]3 = 5003 พบว่า 𝑝|5003 ว้าวใช้ได้
𝑝 = 3 ; จะได้ [504 − 2(3)]3 = [504 − 6]3 = 4983 พบว่า 𝑝|4983 ว้าวใช้ได้อีกแล้ว
𝑝 = 5 ; จะได้ [504 − 2(5)]3 = [504 − 10]3 = 4943 พบว่า 𝑝 ∤ 4943 ตัวนี้ไม่ลงตัวคับ
𝑝 = 7 ; จะได้ [504 − 2(7)]3 = [504 − 14]3 = 4903 พบว่า 𝑝|4903 ว้าวใช้ได้อีกแล้ว
ดังนั้น 𝑝 ทั้งหมดคือ 2, 3, 7 บวกกันได้ 12 คับตัวเลือกข้อนี้สุดๆ แล้วคับ
3 3 2 2 3
วิธีที่ 2 เนืองจาก (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 − 3𝐴 𝐵 + 3𝐴𝐵 − 𝐵
่
หรือเราท่องกันจนชินปากว่า (หน้า − หลัง)3 = หน้า3 − 3หน้า2 หลัง + 3หน้าหลัง2 − หลัง3
2
ถ้ายังจากันไม่ได้ก็ นา 𝐴 − 𝐵 𝐴− 𝐵 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 𝐴 − 𝐵 อันนี้เป็นกาลังสองคงคุ้นกันนะคับ
เอาหล่ะ คราวนี้เราจะมาพิจารณา
504 − 2𝑝 3 = 5043 − 3 504 2 2𝑝 + 3 504 (2𝑝)2 − (2𝑝)3
เนื่องจาก 𝑝|3 504 2 2𝑝 (เพราะมีตัวประกอบคือ 𝑝 อยู่ด้วยคับ)
𝑝|3(504)(2𝑝)2 (เพราะมีตัวประกอบคือ 𝑝 อยู่ด้วยคับ)
𝑝|(2𝑝)3 (เพราะมีตัวประกอบคือ 𝑝 อยู่ด้วยคับ)
โดยหลักการของการหารลงตัว เรามีข้อสังเกตอยู่ว่า
ถ้า 𝑎 𝑏 ± 𝑐 ± 𝑑 ± ⋯ ± 𝑦 ± 𝑧 และ 𝑎 𝑏, 𝑎 𝑐, 𝑎 𝑑, … , 𝑎|𝑦 เราสามารถสรุปได้ว่า 𝑎|𝑧
นั่นคือ 𝑝|5043 จะได้ว่า 𝑝|504 (เนื่องจากว่า ถ้า 𝑎 𝑏 𝑛 แล้ว 𝑎 𝑏 สาหรับทุก 𝑛 ที่เป็นจานวนเต็มบวกคับ )
เราจึงหาจานวนเฉพาะทั้งหมดที่หาร 504 ได้ทั้งหมด 3 ตัวคือ 2, 3, 7 โดยได้มาจากการแยกตัวประกอบ
504 = 23 ⋅ 32 ⋅ 7
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ถ้าน้องคนไหนอ่อนเรื่องทฤษฎีจานวนสักหน่อย ก็แย่เหมือนกัน โดยเฉพาะเรื่องการหารลง
ตัวนี่ข้อสอบขาดไม่ได้ เห็นออกกันอยู่ทุกปี คับ ถ้าไม่คล่องทฤษฎีก็ไปอ่านมาซะนะ

3. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 3
𝟑. จานวนเต็มบวกจานวนหนึ่งมีสี่หลัก และหารด้วย 𝟗𝟎 ลงตัว ถ้าจานวนนี้มีตัวเลขหลักพันเป็น 𝟐 และหลัก
ร้อยเป็น 𝟏 แล้วหลักสิบคือข้อใด
[𝟏] 𝟔 𝟐 𝟕 [𝟑] 𝟖 𝟒 𝟗
เฉลย จากข้อมูลเราสามารถเขียนจานวนนี้คือ 2 1 𝑎 𝑏
แต่เนื่องจาก 90|21𝑎𝑏 เราจะเห็นได้ว่า 𝑏 = 0 ได้เพียงอย่างเดียว
ดังนั้น เราจึงพิจารณาเพียง 9|21𝑎 โดยวิธีตั้งหารยาวเราจะได้ 𝑎 = 6
หลักสิบจึงเป็น 6
ตอบข้อ [1] ข้อนี้ง่ายจริงๆคับ ถ้าเป็นเราสอบต้องเก็บคะแนนข้อนี้ให้ได้นะ
วิเคราะห์ : ข้อนี้ถือว่าออกมาให้กินคะแนนฟรีๆ (พะนะ !) ไม่ยากเลย แค่รู้จักคาว่า "หารลงตัว "
𝟒. เมตริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้มีรูปขั้นบันไดแบบแถว (𝑹𝒐𝒘 𝒆𝒄𝒉𝒆𝒍𝒐𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎)
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
[𝟏] 𝟎 𝟓 𝟔 𝟕 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟔
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎
[𝟑] 𝟎 𝟎 𝟏 𝟕 𝟒 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
เฉลย เมตริกซ์ในรูปขั้นบันไดแถว (𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚) คือเมตริกซ์ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1. เป็นเมตริกซ์ที่มีตัวนาในแต่ละแถว เป็น 1
2. สมาชิกที่อยู่หน้าตัวนาทุกตัวต้องเป็น 0
3. ตัวนา 1 ในแต่ละคอลัมน์ต้องอยู่แบบเยื้องมาทางขวามือ (ห้ามอยู่ตรงกัน) เช่น
1 3 4 5 0 1 3 4 1 2 3 4 5
0 1 7 −1 , 0 0 1 1 , 0 1 1 4 5
0 0 1 −3 0 0 0 1 0 0 0 1 2

4. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 4
4. แถวที่มีสมาชิกเป็น 0 หมด (ถ้ามี) แถวนั้นต้องอยู่ล่างสุด
1 0 0 1
เช่น 0 1 0 0
0 0 0 0
จากตัวเลือกของข้อนี้ เราจะได้ข้อ [3] เป็น 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚
จริงๆแล้วถ้าใครไม่รู้จัก 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚 ก็ไม่แปลกครับ เนื้อหานี้อยู่ใน 𝑀𝑎𝑡𝑕𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑠 𝐼 ของคณะ
วิทยาศาสตร์ น้องๆปี 1 ทุกคนต้องได้เรียน ครับ แต่เพื่อเตรียมความพร้อมของน้อง ม . 6 จึงเอามาออกสอบมั้งคับ
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ต้องการตรวจสอบนิยามของ 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚 ใครอ่านมาก็ได้ ใครไม่ได้อ่านมาก็ตัว
ใครตัวมันคับ เพราะน้อยนักน้อยหน้าจะออกแบบนี้
𝟓. กาหนดให้ 𝑻 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 และความสัมพันธ์ 𝒓 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑻 × 𝑻|𝒙 > 5 หรือ 𝒚 ≤ 𝟐}
และ 𝒔 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑻 × 𝑻|𝒙 ≤ 𝟓 หรือ 𝒚 > 2} ข้อใดต่อไปนี้ผิด
[𝟏] 𝑹 𝒓 − 𝑹 𝒔 = ∅ 𝟐 𝑫𝒓 ∪ 𝑫𝒔 = 𝑻
[𝟑] 𝒓 ∪ 𝒔 = 𝑻 × 𝑻 𝟒 𝒓∩ 𝒔= ∅
เฉลย อย่างแรกเราต้องหา 𝑟 ก่อนนะ
แต่พี่อยากให้น้องทบทวนก่อนว่า 𝑇 × 𝑇 (อ่านว่า 𝑇 ครอส 𝑇 ) มีสมาชิกกี่ตัว ก็มีเท่ากับ 𝑛(𝑇) ∙ 𝑛 𝑇 ครับ
เท่ากับ 6 ∙ 6 = 36 ซึ่งได้แก่
{ 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 , 2, 1 , 2, 2 , … , (6, 6)}
จากโจทย์โดเมนของ 𝑟 ต้องมากกว่า 5 ดังนั้นคู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ
6, 1 , 6, 2 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6 ∈ 𝑟 มี 6 ตัวใช่ป่ะ
จากเรนจ์ของ 𝑟 ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ดังนั้นคู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ
1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , (6, 2) ∈ 𝑟
ดังนั้นนาสองเซตมายูเนียนกัน จะพบว่ามีบางสมาชิกซ้ากัน (ในเซตเราถือว่าเอามาตัวเดียวพอ)
จะได้ 𝑟 = { 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , 6, 2 ,
6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6)}
ดังนั้น 𝐷 𝑟 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 𝑅 𝑟 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (เท่ากันเยย)
คราวนี้เรามาดูของ 𝑠 กันบ้างนะครับ

5. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 5
จาก 𝑠 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑇 × 𝑇 𝑥 ≤ 5 หรือ 𝑦 > 2}
โดเมนของ 𝑠 น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5
จะได้คู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , … , 2, 6 ,
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , … , 3, 6 ,
⋮ ⋮
5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , … , (5, 6) ∈ 𝑠
หรือ เรนจ์ของ 𝑠 มากกว่า 2 จะได้ คู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ
1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 ,
2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 ,
⋮ ⋮
6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6) ∈ 𝑠
จับสมาชิกของ 𝑠 ทั้งหมดมารวมกันจะได้ จะได้
𝑠 = { 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , … , 2, 6 ,
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , … , 3, 6 ,
⋮ ⋮
5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , … , 5, 6 ,
6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6)}
𝐷 𝑠 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 𝑅 𝑠 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ดังนั้นตอนนี้สรุปว่า 𝐷 𝑟 = 𝑅 𝑟 = 𝐷 𝑠 = 𝑅 𝑠 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑇
พิจารณาตัวเลือกแต่ละข้อคับ
1 𝑅 𝑟 − 𝑅 𝑠 = ∅ ถูกแล้วคับ
2 𝐷 𝑟 ∪ 𝐷 𝑠 = 𝑇 มันถูกอีกแล้ว
[3] 𝑟 ∪ 𝑠 = 𝑇 × 𝑇 ถูกต้องนะค้าบ ลองยูเนียนกันดูได้ครบทุกตัวคับ
4 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ ผิดคับ เพราะมีตั้งหลายตัวที่ซ้ากัน เป็นไปบ่ได้ดอกที่จะเป็นเซตว่าง อย่างน้อยๆก็มี (1,1) ล่ะเอ้า
จริงๆแล้วตอนหาโดเมนกับเรนจ์ ข้อนี้เราไม่จาเป็นกระจาย จนกระจุยออกมาหมดเปลือกเหมือนอย่างพี่ก็ได้คับ เพราะโดเมน
กับเรนจ์สุดๆก็มี 6 ตัว แต่อย่างไรก็ตามเราก็ต้องหามันอยู่ดี เพราะข้อ 3 , [4] เราต้องรู้ว่ามันมีอะไรบ้าง
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ออกจะยาวสักหน่อย แต่ถ้าได้ฝึกทาบ่อยๆ พี่ป๋อ ณัฐวุฒิ ยังเรียกพี่คับ มันออกจะถึกสักหน่อย
แต่ก็คุ้มเพราะมีแค่เรื่องเซต และผลคูณคาร์ทีเซียน เรียนกันมาตั้งแต่ ม.𝟒 (แต่ก็คืนอาจารย์ไปหมดแล้ว)

6. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 6
𝟔. ถ้ากราฟของสมการ 𝒚 = 𝒇(𝒙) เป็นฟังก์ชันเพิ่มและ 𝒄 เป็นจานวนจริงใดๆ แล้วกราฟของสมการในข้อใด
ต่อไปนี้ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
[𝟏] 𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒄) 𝟐 𝒚= 𝒇 𝒙 + 𝒄
[𝟑] 𝒚 = 𝒇 −𝒙 − 𝒄 𝟒 𝒚 = −𝒇 −𝒙 + 𝒄
เฉลย เรามาดูนิยามของฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดกันก่อนนะครับ
ฟังก์ชันเพิ่ม
สาหรับทุกค่า 𝑥1 , 𝑥2 ที่อยู่ในโดเมนของ 𝑓 ถ้า 𝑥1 > 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
(จาไว้ว่า เครื่องหมายเหมือนกัน )
นิยามของฟังก์ชันเพิ่มอาจนิยามได้อีกแบบคือ ถ้า 𝑥1 < 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
ฟังก์ชันลด
สาหรับทุกค่า 𝑥1 , 𝑥2 ที่อยู่ในโดเมนของ 𝑓 ถ้า 𝑥1 > 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
(จาไว้ว่า เครื่องหมายต่าง )
นิยามของฟังก์ชันลดอาจนิยามได้อีกแบบคือ ถ้า 𝑥1 < 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
ข้อนี้ขอเสนอวิธีเช็ค ง่ายๆ โดยสมมติฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มมาสัก 1 ตัว
คือ 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 เราจะแสดงว่า 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มดังนี้
ให้ 𝑥1 > 𝑥2
บวกด้วย 1 ทั้งสองข้างอสมการ จะได้ 𝑥1 + 1 > 𝑥2 + 1
ดังนั้น 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 (เพราะจากโจทย์ 𝑥1 + 1 = 𝑓(𝑥1 ) และ 𝑥2 + 1 = 𝑓(𝑥2 ) )
นั่นคือ 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ
ตรวจสอบตัวเลือกข้อ 1 ครับ
ให้ 𝑐 = 1 (ให้เป็นอะไรก็ได้ เพราะเป็นค่าคงที่ใดๆ)
พิจารณา 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 + 1 = 𝑥
ได้ฟังก์ชันนี้คือ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 เมื่อตรวจสอบโดยนิยามข้างต้นจะได้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ

7. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 7
ตรวจสอบข้อ [2] ให้ 𝑐 = 1 เหมือนเดิม
𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 = 𝑥 + 1 + 1 = 𝑥 + 2 จะได้ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
เมื่อตรวจสอบโดยนิยามของฟังก์ชันเพิ่มจะได้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ
ตรวจสอบข้อ 3 ให้ 𝑐 = 1
𝑦 = 𝑓 −𝑥 − 𝑐 = −𝑥 + 1 − 1 = −𝑥 จะได้ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥 เป็นฟังก์ชันลดครับ วิธีการพิสูจน์เป็นดังนี้
ให้ 𝑥1 > 𝑥2
คูณด้วย −1 ตลอดอสมการนี้ จะได้ −𝑥1 < −𝑥2 นั่นคือ 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 )
จะได้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันลดครับ
ส่วนข้อ [4] นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ ลองทาดูคล้ายๆกับตัวอย่างข้างบนครับ
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ไม่ค่อยออกครับ แต่ก็ออกมาเพื่อทดสอบความรู้เรื่องนิยามฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชัน
ลดครับ นิยามก็ไม่ยากที่จะจดจาครับ เพราะฉะนั้นข้อนี้ก็ไม่ยากเกินไปครับ
𝟕. กาหนดให้วงกลมอยู่ในครอดรันต์ที่ 𝟏 มีรัศมีเท่ากับ 𝟑 หน่วย และสัมผัสแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ที่จุด 𝑨 และ 𝑩
ตามลาดับ ถ้า 𝑳 เป็นเส้นตรงที่ตัดแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ที่จุด 𝑨 และ 𝑩 ตามลาดับ แล้วระยะห่างระหว่างจุด
ศูนย์กลางของวงกลมกับเส้นตรง 𝑳 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟐 𝟑 𝟐
[𝟏] 𝟐
หน่วย 𝟐 𝟐
หน่วย
[𝟑] 𝟐 𝟐 หน่วย 𝟒 𝟑 𝟐 หน่วย

8. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 8
เฉลย
จากภาพเราจะได้จุดศูนย์วงกลมคือ (3,3)
วิธีที่ 1 เนื่องจาก ∆𝐴𝑂𝐵 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
เราสามารถหาความยาว 𝐵𝐴 ได้จากทฤษฎีบทปีทากอรัส นั่นคือ
2
𝐵𝐴 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18
𝐵𝐴 = 18 = 3 2
เนื่องจาก พท.∆𝐴𝑂𝐵 คือ
1 1 1
∙ ฐาน ∙ สูง = ∙ 𝐵𝐴 ∙ 𝑕 = ∙ 3 2 ∙ 𝑕 ______(1)
2 2 2
แต่เนื่องจาก พท.∆𝐴𝑂𝐵 (มองในทางกลับด้านกันนะ)
1 1 1
= ∙ ฐาน ∙ สูง = ∙ 𝐵𝐴 ∙ 𝑕 = ∙ 3 ∙ 3 _______(2)
2 2 2
ดังนั้น 1 = (2)
1 1
∙3 2∙ 𝑕 = ∙3∙3
2 2
ดังนั้น
3 3 2
𝑕= =
2 2

9. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 9
วิธีที่ 1 (สาหรับคนที่ชื่นชอบเรขาคณิตวิเคราะห์)
จากภาพเราจะหาสมการเส้นตรง 𝐿 จากจุดผ่าน 𝐴(3, 0) และ 𝐵(0, 3)
หาความชัน
𝑦2 − 𝑦1 3 − 0 3
𝑚= = = = −1
𝑥2 − 𝑥1 0 − 3 −3
เนื่องจากสมการทั่วไปของเส้นตรง คือ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 เมื่อ 𝑥, 𝑦 คือจุดผ่าน และ 𝑚 คือ ความชัน
เราเลือกจุดผ่านเส้นตรงมา 1 จุด คือ (3, 0) (อันนี้เราสามารถเลือก (0, 3) ก็ได้)
จะได้ 0 = (−1)(3) + 𝑐 นั่นคือ 𝑐 = 3 เราจะได้สมการเส้นตรงคือ 𝑦 = −𝑥 + 3
การหาสมการเส้นตรงทาได้อีกวิธีคือ แทนค่าในสูตร 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) เมื่อ (𝑥1 , 𝑦1 ) คือจุดผ่าน เราจะ
ได้สมการเส้นตรง 𝑦 − 0 = (−1)(𝑥 − 3) = −𝑥 + 3 ⟹ 𝑦 = −𝑥 + 3
จากสูตรของระยะห่างระหว่างเส้นตรง 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 กับจุด (𝑥1 , 𝑦1 ) คือ
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
𝑑=
𝐴2 + 𝐵 2
ดังนั้นระยะห่างระหว่างเส้นตรง 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 กับจุด 3, 3 คือ
1 3 + 1 3 −3 3 3 2
= =
12 + 12 2 2
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ถือว่าไม่ยากเพราะเลือกทาได้ตั้งสองวิธี ใครถนัดแบบไหนก็ทาแบบนั้นครับ
ถึงแม้ว่าวิธีที่สอง จะยาวไปหน่อย แต่วิธีแรกก็อาจใช้ไม่ได้ ถ้า ∆𝑨𝑩𝑶 ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากในขณะที่
วิธีที่สองทาได้หมดครับ เพราะฉะนั้นควรฝึกทั้งสองวิธี จะได้เก่งๆจริงมั้ย  ในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์
จาเป็นต้องจาสูตรพื้นฐานต่างๆ ให้ได้หมดไม่งั้นจะทาไม่ได้เลยครับ

10. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 10
𝟖. วงรีรูปหนึ่งมีความยาวของแกนเอกเท่ากับความยาวของเลตัสเรกตัมของพาราโบลา 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 +
𝟏
𝟐𝟖 = 𝟎 ถ้าวงรีนี้มีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ แล้วความยาวของแกนโทของวงรีนี้ คือข้อใดต่อไปนี้
𝟐
[𝟏] 𝟐 หน่วย 𝟐 𝟐 𝟑 หน่วย
[𝟑] 𝟒 หน่วย 𝟒 𝟒 𝟑 หน่วย
เฉลย พิจารณาพาราโบลา เราต้องการความยาวลาตัสเรกตัม นั่นคือ 4𝑐
ขั้นแรกพยายามจัดรูปให้อยู่ในรูปมาตรฐาน คือ (𝑥 − 𝑕)2 = 4𝑐 𝑦 − 𝑘 จาก
𝑥 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 28 = 0
𝑥 2 − 4𝑥 = 8𝑦 − 28
(𝑥 − 2)2 − 4 = 8𝑦 − 28
(𝑥 − 2)2 = 8𝑦 − 24
(𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 − 3)
ดังนั้น 4𝑐 = 8 นั่นคือ 4𝑐 = 8 เป็นค่า เลตัสเรกตัม (𝐿𝑅) ดังนั้นความยาวแกนเอกคือ 8 นั่นคือ
𝑐
2𝑎 = 8 จะได้ 𝑎 = 4 จากสูตรความเยื้องศูนย์กลางของวงรี คือ 𝑒 = (อันนี้ต้องจาหน่อยนะครับ)
𝑎
ดังนั้น
1 𝑐 𝑐
= = ⇒ 𝑐=2
2 𝑎 4
จากความสัมพันธ์ระหว่าง 𝑎, 𝑏 , 𝑐 ของวงรีคือ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
( 𝑎 เป็นใหญ่ในวงรี 𝑐 เป็นใหญ่ใน 𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟 ถ้าใน 𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟 จะได้ 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 )
ดังนั้น 42 = 𝑏2 + 22 จะได้ 𝑏 = 2 3 ดังนั้นความยาวแกนโทคือ 2𝑏 = 4 3

11. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 11
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ทดสอบเรื่องวงรีและพาราโบลาครับ ทุกสมการเราต้องจาให้ได้ครับ
โดยเฉพาะสมการมาตรฐาน เพราะข้อสอบนิยมออกสอบแบบผสมผสานกันอย่างมากครับ
และอย่าได้คิดว่าจาเรื่อง วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเปอร์แล้วจะทาได้ เราต้องจาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์
ด้วย โดยเฉพาะเรื่องเส้นตรง และสูตรต่างๆ ต้องหาเทคนิคจาให้ได้
𝟐 𝒙 −𝟐 𝟐𝒙
𝟗. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริงและ 𝑨 = 𝒙 ∈ ℝ 𝟓 𝟗 = 𝟔𝟐𝟓 𝟐 } ผลบวกสมาชิกของ 𝑨
คือข้อใดต่อไปนี้
−𝟐 𝟏
[𝟏] −𝟏 𝟐 [𝟑] 𝟎 𝟒
𝟓 𝟓
เฉลย การแก้สมการหรืออสมการ ที่อยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียล เราจาเป็นที่จะต้องทาฐานให้เท่ากันครับ
𝟐 𝒙 −𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟐 ∙𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙+𝟐
𝟓𝟗 = 𝟔𝟐𝟓 𝟐 = (𝟓 𝟒 ) 𝟐 = (𝟓) 𝟒∙𝟐 = (𝟓) 𝟐 = (𝟓) 𝟐
เมื่อฐานเท่ากันแล้ว เราจะนาเลขชี้กาลังมาเท่ากันครับ จะได้ว่า
𝟗 𝟐 𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝟐𝒙+𝟐
𝟐 𝟐𝒙+𝟐 − 𝟗 𝟐 𝒙 + 𝟐 = 0
𝟒 ∙ 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟗 𝟐 𝒙 + 𝟐 = 0_____(1)
ต่อไปให้ 𝐵 = 2 𝑥 แทนใน (1)
4𝐵2 − 9𝐵 + 2 = 0
4𝐵 − 1 𝐵−2 =0
1
𝐵 = ,2
4
กรณี 𝐵 = 1 ⇒ 2 𝑥 = 1 = 2−2 ⇒ 𝑥 = −2
4 4
กรณี 𝐵 = 2 ⇒ 2 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 1
ดังนั้นผลบวกคาตอบ คือ −2 + 1 = −1

12. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 12
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ออกสอบทุกปีครับ อยู่ที่ว่าจะเอาคาตอบไปทาอะไรครับ เรื่องเอกซ์โปรเนี่ยมัน
ยากตรงที่ทาฐานให้เท่ากัน และแปลงเป็นสมการกาลังสอง แล้วแยกตัวประกอบออกมา หาคาตอบครับ
เรื่องการแยกตัวประกอบก็มีความสาคัญมากเหมือนกันครับ จาเป็นต้องมีพื้นฐานเรื่องนี้มาก
−𝟒
𝟏𝟎. ค่าของ 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟑
−𝟒 −𝟑 𝟑 𝟒
[𝟏] 𝟐 𝟑 𝟒
𝟓 𝟓 𝟓 𝟓
เฉลย อย่างแรกเราต้องนึกถึง
𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 𝑥
−𝟒
ดังนั้นเราต้องหาค่า 𝑦 ที่ทาให้ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑
= 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒚
−4 −4 4
ให้ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3
= 𝜃 แสดงว่า 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 3
= − 3 เราจึงเขียนสามเหลี่ยมมุมฉากได้สองรูปดังนี้

13. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 13
สังเกตเห็นว่ารูปทั้งสองให้ค่า 𝑡𝑎𝑛𝜃 = − 4 ทั้งคู่ แต่เราต้องเลือกมาพิจารณาเพียงรูปเดียวเท่านั้น สิ่งจะกาหนดได้ว่าเรา
3
−𝟒
จะเลือกรูปไหนคือ 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑
แต่ − 2𝜋 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 2𝜋 นั่นคือ เรนจ์ของ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 มีค่าอยู่ระหว่าง
ครอดรันต์ที่ 1 หรือ 4 เท่านั้น แต่ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 มีเครื่องหมายลบ ทาให้ 𝜃 ต้องอยู่ในครอดรันต์ที่ 4 นั่นคือเราต้องเลือกรูปที่ 1
มาพิจารณานั่นเอง เพราะ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 3 เป็นบวก สอดคล้องกับที่ 𝜃 อยู่ในครอดรันต์ที่ 4
5
ถ้ายังไม่เข้าใจเรื่องเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันเหล่านี้ ให้ไปอ่านในหัวข้อ หลักการลดทอนมุมทางตรีโกณมิติ ในหัวข้อถัดจาก
ข้อ 12
ทบทวน − 2𝜋 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 𝜋 , − 2𝜋 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 2𝜋 จาได้มั้ยเอ่ย
เมื่อได้สามเหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มาแล้ว ก็อย่าได้ให้สูญเปล่า เราจึงพิจารณาได้ดังนี้
−4 3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠⁡ )
(
3 5
นั่นคือ
−4 3 3
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 =
3 5 5
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้อาจต้องใช้ความรู้เรื่องโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 มาช่วย ตรงนี้สาคัญ
มากครับ ถ้ายังไม่เข้าใจ ควรทาความเข้าใจให้ถ่องแท้ซะ เพราะข้อสอบออกบ่อยมากๆ แทบทุกปี มีข้อสอบ
แบบนี้แต่เปลี่ยนฟังก์ชันไปเรื่อยๆ อาจเป็น 𝒔𝒊𝒏, 𝒄𝒐𝒔, 𝒕𝒂𝒏 มันไม่ยากถ้าหากเราใส่ใจมันสักนิด

14. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 14
𝟐 𝟐
𝟏𝟏. กาหนดให้ 𝒖 และ 𝒗 เป็นเวกเตอร์ซึ่ง 𝒖 + 𝒗 + 𝒖− 𝒗 = 𝟐𝟐 และ 𝒖 = 𝟑 ถ้ามุมระหว่าง
𝒖 และ 𝒗 เป็น 𝟔𝟎° แล้วค่าของ 𝒖 ∙ 𝒗 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟐 𝟐 𝟔
[𝟑] 𝟏𝟐 𝟒 𝟏𝟖
เฉลย
จากสูตรการดอทกันของเวกเตอร์
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃____________(1)
เมื่อ 𝜃 เป็นมุมระหว่าง 𝑢 และ 𝑣
เนื่องจาก
2 2
𝑢+ 𝑣 + 𝑢− 𝑣 = 𝑢 2+2 𝑢∙ 𝑣 + 𝑣 2
+ 𝑢 2
−2 𝑢∙ 𝑣 + 𝑣 2
=2 𝑢 2+2 𝑣 2
= 22
ดังนั้นเราจะได้
2 2
𝑢 + 𝑣 = 11
แต่ 𝑢 = 3
ดังนั้น 3 + 𝑣 2 = 11 ⇒ 𝑣 = 8
จาก (1)
1
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3 ∙ 8 ∙ 𝑐𝑜𝑠60° = 3 ∙ 8 ∙ = 6
2
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้ถ้าจานิยามของการดอท และสูตรกาลังสองของเวกเตอร์ก็ทาได้แล้วครับ ถือว่าไม่
ยาก แต่ก็ออกสอบทุกปีเหมือนกัน

15. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 15
𝟏𝟎
𝟏+ 𝟑𝒊
𝟏𝟐. ถ้า 𝒛 = แล้ว ตัวผกผันของการบวกของ 𝒛 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟏− 𝟑𝒊
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
[𝟏] − 𝟐 + 𝒊 𝟐 − 𝟐− 𝒊
𝟐 𝟐
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
[𝟑] + 𝒊 𝟒 − 𝒊
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
เฉลย พิจารณา
1 + 3𝑖 (1 + 3𝑖) 1 + 2 3𝑖 + ( 3𝑖)2
=
1 − 3𝑖 (1 + 3𝑖) 1 − ( 3𝑖)2
1 + 2 3𝑖 − 3
=
1 − (−3)
1 + 2 3𝑖 − 3
=
4
−2 + 2 3𝑖
=
4
−1 3𝑖
= +
2 2
อืมมม…..ต้องยกกาลัง 10 เชียวรึเนี่ยว จะยกยังไงไหวเนี่ย เพราะมันต้องยาวขึ้นเรื่อยๆแน่
เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนถึงจะง่ายครับ 555 + +
มาดูวิธีทาให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนครับ (ต้องจาซะหน่อยนะ) และจะชี้ให้เห็นด้วยว่า ถ้าไม่คูณด้วยสังยุค เพื่อจัดรูปก่อนจะยาว
กว่าที่จัดรูปมากน้อยแค่ไหน มาดูกันเลย
พิจารณา ให้ 𝑧1 = 1 + 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑏 3 𝜋
𝑡𝑎𝑛𝜃 = = ดังนั้น 𝜃 = 60° = (อยู่ในครอดรันต์ที่ 1 , 𝑎 เป็น + และ 𝑏 เป็น+)
𝑎 1 3
และ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 = 12 + ( 3)2 = 4 = 2
ดังนั้น 𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2(𝑐𝑜𝑠 3𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 3𝜋 )
การหามุมถ้าใครยังสงสัยให้ไปดูที่ หลักการหามุมเพื่อเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ในหัวข้อหลังจากข้อนี้

16. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 16
ให้ 𝑧2 = 1 − 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑏 − 3 5𝜋
𝑡𝑎𝑛𝜃 = = ดังนั้น 𝜃 = 300° = (อยู่ในครอดรันต์ที่ 4, 𝑎 เป็น + และ 𝑏 เป็น−)
𝑎 1 3
และ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 = 12 + (− 3)2 = 4 = 2
5𝜋 5𝜋
ดังนั้น 𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2[𝑐𝑜𝑠 3
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛 3
]
จากสูตรการหารจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วจะได้
𝑧1 𝑟1 2 𝜋 5𝜋 𝜋 5𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2 = 𝑐𝑜𝑠 − + 𝑖𝑠𝑖𝑛 −
𝑧2 𝑟2 2 3 3 3 3
4𝜋 4𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 − + 𝑖𝑠𝑖𝑛(− )
3 3
4𝜋 4𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(− )
3 3
𝑧1 10
ต่อไปหา 𝑧2
โดยสูตรของเดอร์มัวร์ 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 (𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃))
ดังนั้น
𝑧1 10 4𝜋 4𝜋
= 110 [𝑐𝑜𝑠 10 ∙ + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−10 ∙ )]
𝑧2 3 3
40𝜋 40𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 − 𝑖𝑠𝑖𝑛( )
3 3
เนื่องจาก 40𝜋 = 13𝜋 + 3𝜋 ตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 3 ดังนั้น 𝑐𝑜𝑠 40𝜋 1 40𝜋 3
= − 2 และ 𝑠𝑖𝑛 =−
3 3 3 2
ดังนั้น
𝑧1 10 1 3
=− + 𝑖
𝑧2 2 2
โจทย์ต้องการตัวผกผันการบวก ซึ่งก็คือ เมื่อนามาบวกกับตัวมันแล้วได้เอกลักษณ์ คือ
1 3 𝑧1 10
ดังนั้นเราจึงได้ตัวผกผันคือ 2
− 2
𝑖 ซึ่งนามาบวกกับ 𝑧2
แล้วได้ 0
ต่อไปนี้ขอเสนออีกวิธีหนึ่งซึ่งเกริ่นไว้ตั้งแต่ตอนแรกด้วยการคูณด้วยสังยุคของตัวมันเอง
ให้ 𝑧 ′ = −1 + 3𝑖
2 2
ทาให้อยู่ในรูปเชิงขั้วแล้วยกกาลัง 10 เราจะได้ว่า

17. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 17
2 2
−1 3 −1 3 2𝜋
𝑎= , 𝑏= , 𝑟= + = 1, 𝜃 =
2 2 2 2 3
2𝜋 2𝜋
ดังนั้น 𝑧′ = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 3
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛 3
นามายกกาลัง 10 โดยใช้สูตรของเดอร์มัวร์จะได้
2𝜋 2𝜋 1 3𝑖
𝑧 = (𝑧′)10 = 𝑐𝑜𝑠 10 ∙ + 𝑖𝑠𝑖𝑛 10 ∙ =− +
3 3 2 2
ตัวผกผันการบวกของ 𝑧10 คือ 1 − 3𝑖
2 2
เห็นไหมล่ะว่าสังยุคมีประโยชน์มากนะครับวิธีที่สองง่ายกว่าเยอะเลยครับ
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้ถือว่ายากครับพ่อแม่พี่น้องครับ เพราะต้องใช้ความรู้หลายอย่างเลย รวมถึงตรีโกณ
ด้วยครับ แต่ถ้าจาหลักการและฝึกทาบ่อยๆ จะจาได้เองครับ เป็นอัตโนมัติเชียวแหละไม่ต้องกังวล ข้อนี้ถือว่า
ต้องใช้เวลามากพอสมควร (ถ้าทามาถูกวิธีก็ไม่ยาวหรอกครับ) แต่ถ้าได้หลักการเหล่าแล้ว เรื่องตรีโกณก็จะ
เบาขึ้นมากครับ
หลักการหามุมเพื่อเขียนจานวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
จาก 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ให้อยู่ในรูป 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽)
เนื่องจากเราทราบกันดีแล้วว่า เราสามารถหา 𝒓 ได้จาก 𝒓 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
แต่ที่เป็นปัญหาคือ เราจะหา 𝜃 มาใส่ได้ถูกต้องหรือไม่
เราจะศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 𝑧 = − 3 + 𝑖 ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

18. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 18
เริ่มแรกเลย จากโจทย์ 𝑎 = − 3 , 𝑏 = 1 และ 𝑟 = (− 3)2 + 12 = 2
และจาก 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = −1 โดยที่ 𝜃 เป็นมุมทีวัดจากแกน 𝑋
3
และ 𝑎 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑋 , 𝑏 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑌 พิจารณาดังภาพ
ต่อไปพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นครับ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม 𝜃 เป็น 1 และความยาวด้าน
ประชิดมุมเป็น 3 ดังนั้น 𝜃 = 30° = 6𝜋 แต่มุมที่เราจะระบุในเชิงขั้ว เป็นมุมที่วัดจากแกน 𝑋 ทางบวกในทิศทวนเข็ม
นาฬิกา ตามลูกศรเส้นปะดังภาพ ดังนั้น 𝜃 ที่เราจะใส่ในเชิงขั้ว คือ 𝜃 = 𝜋 − 6𝜋 = 5𝜋 = 150°
6
( 𝜋 คือครึ่งรอบวงกลม = 180° นาไปลบ 𝜃 ออก จะได้มุมที่ต้องการครับ)
5𝜋 5𝜋
ดังนั้น 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2[𝑐𝑜𝑠 6
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛 6
]
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียน 𝑧 = 3 − 3 3𝑖 ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
เริ่มแรกเลย จากโจทย์ 𝑎 = 3 , 𝑏 = −3 3 และ 𝑟 = 32 + (−3 3)2 = 6
และจาก 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = −33 3 โดยที่ 𝜃 เป็นมุมทีวัดจากแกน 𝑋
และ 𝑎 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑋 , 𝑏 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑌 พิจารณาดังภาพ

19. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 19
ต่อไปพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นครับ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม 𝜃 เป็น 3 3 และความยาว
ด้านประชิดมุมเป็น 3 ดังนั้น 𝜃 = 60° = 3𝜋 แต่มุมที่เราจะระบุในเชิงขั้ว เป็นมุมที่วัดจากแกน 𝑋 ทางบวกในทิศทวนเข็ม
นาฬิกา ตามลูกศรเส้นปะดังภาพ ดังนั้น 𝜃 (ที่เราจะใส่ในเชิงขั้ว)คือ 𝜃 = 2𝜋 − 3𝜋 = 5𝜋 = 300°
3
(2𝜋 คือรอบวงกลม 1 รอบ = 360° นาไปลบ 𝜃 ออก จะได้มุมที่ต้องการครับ)
ถ้าใครอ่านทั้งสองตัวอย่างยังไม่รู้เรื่อง ผมมีอีกวิธีครับ จากตัวอย่างที่ 1 จะเขียน 𝑧 = − 3 + 𝑖 ในรูปเชิงขั้ว
ขั้นแรกให้เรานึกถึง 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = 1 𝜋
(ยังไม่ต้องคิดเครื่องหมายใดๆทั้งสิ้น ) จะได้ 𝜃 =
3 6
แต่เนื่องจาก 𝜃 ตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 2 (ตอนนี้คิดเครื่องหมายของ 𝑎 และ 𝑏 ทาให้ได้ 𝜃 อยู่ใน 𝑄2 ) ดังภาพ

20. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 20
หลังจากนั้นให้เราไล่มุมเริ่มจาก
ตัวเลขที่ปรากฏ 1, 5, 7, 11 คือ ตัวเลขเรียงถัดไป และมี ห .ร.ม กับ กับ 6 เป็น 1
(หรือคิดง่ายๆ ตัวเลขที่เอาเลขอะไรไปตัดกับ 6 ไม่ได้นั่นเอง)
𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋
⟹ ⟹ ⟹
6 6 6 6
𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄3
หมายความว่า ถ้ามุมตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 2 ( 𝑄2 ) เราจะได้ว่า 𝜃 = 5𝜋 ครับ ถ้าตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 3 ก็กลายเป็นมุม7𝜋
6 6
นั่นเองครับ (แนะนาว่าให้ไล่ 1, 2, 3, 4, ,5, … ไปเรื่อยๆและดูว่าตัวเลขตัวไหนที่เอาอะไรตัดกับ 6 ไม่ได้)
ตัวอย่างที่ 2(วิธีที่ 2) จงเขียน 𝑧 = 3 − 3 3𝑖 ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
ขั้นแรกให้เรานึกถึง 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = −33 3 = 3 (ยังไม่ต้องคิดเครื่องหมายใดๆทั้งสิ้น คิดแค่ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 3) จะได้
𝜋
𝜃 = 3 แต่เนื่องจาก 𝜃 ตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 4 (ตอนนี้คิดเครื่องหมายของ 𝑎 และ 𝑏 ทาให้ได้ 𝜃 อยู่ใน 𝑄2 ) ดังภาพ
หลังจากนั้นให้เราไล่มุมเริ่มจาก
𝜋 2𝜋 4𝜋 5𝜋
⟹ ⟹ ⟹
3 3 3 3
𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4

21. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 21
เราจะได้ว่า มุมที่เราต้องการคือ 𝜃 = 5𝜋
3
หลักการลดทอนมุมทางตรีโกณมิติ
เริ่มต้นจากการท่องว่า 𝐴𝐿𝐿 ⟹ 𝑠𝑖𝑛 ⟹ 𝑡𝑎𝑛 ⟹ 𝑐𝑜𝑠 ดูภาพประกอบนะครับ
คาอธิบาย : ครอดรันต์ที่ 1 𝐴𝐿𝐿 ทุกฟังก์ชันถ้ามุมตกอยู่ในครอดรันต์นี้ ค่าที่ได้จะมีค่าเป็นบวกหมดครับ ไม่ว่าจะเป็น
𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠, 𝑡𝑎𝑛, 𝑠𝑒𝑐, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐, 𝑐𝑜𝑡
1
ครอดรันต์ที่ 2 𝑠𝑖𝑛 และส่วนกลับของ 𝑠𝑖𝑛 คือ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ที่เป็นบวก เพราะ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃
1
ครอดรันต์ที่ 3 𝑡𝑎𝑛 และส่วนกลับของ 𝑡𝑎𝑛 คือ 𝑐𝑜𝑡 ที่เป็นบวก เพราะ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃
1
ครอดรันต์ที่ 4 𝑐𝑜𝑠 และส่วนกลับของ 𝑐𝑜𝑠 คือ 𝑠𝑒𝑐 ที่เป็นบวก เพราะ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 𝜃
4𝜋
เมื่อเราต้องการหา 𝑐𝑜𝑠 3
ให้เราหาก่อนว่า 4𝜋 ตกอยู่ในครอดรันต์ใด
3
4 1
พิจารณา 3 เราสามารถเขียนเป็น 1 + 3
1
1+
3
เพราะ 1 คือผลหาร และ 1 คือ เศษที่เกิดจากการหาร

22. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 22
ดังนั้น
4𝜋 𝜋 𝜋
= 𝜋+
3 3
มุมนี้อยู่ในแนวราบ
จากสูตร 𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃
จะได้บวกหรือลบขึ้นอยู่กับว่ามุมตกอยู่ในควอดรันต์ที่เท่าไหร่
4𝜋 𝜋
เนื่องจากเราพิจารณา 𝑐𝑜𝑠 3
= 𝑐𝑜𝑠 𝜋 +
3
𝜋

3
4𝜋 𝜋
ดังนั้นมุมตกอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 𝑡𝑎𝑛 กับ 𝑐𝑜𝑡 เท่านั้นที่เป็นบวก ดังนั้น 𝑐𝑜𝑠 3
= 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 3 =
𝜋 −1
−𝑐𝑜𝑠 =
3 2
นอกจากนี้เรายังสามารถพิจารณามุมอื่นๆได้อีกด้วย มีสูตรดังต่อไปนี้
𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑖𝑛(ราบ ± 𝜃) = ±𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑡𝑎𝑛(ราบ ± 𝜃) = ±𝑡𝑎𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑡(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑡 𝜃
𝑠𝑒𝑐(ราบ ± 𝜃) = ±𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑐𝑒𝑠𝑒𝑐(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃
เครื่องหมาย บวกหรือลบที่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามุมตกอยู่ในครอดรันต์ที่เท่าใด และมุมในแนวราบในที่นี้คือ 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …

23. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 23
𝟏𝟑. ถ้าให้ 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} และ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓} แล้ว จานวนของฟังก์ชันจาก 𝑨 ไปยัง 𝑩 ที่เป็นฟังก์ชัน
เพิ่มคือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐
[𝟑] 𝟏𝟒 𝟒 𝟏𝟔
เฉลย นิยามของฟังก์ชันเพิ่ม คือ ถ้า 𝑥1 < 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 )
เราสามารถแยกเป็นกรณีเพื่อพิจารณาได้ดังนี้
กรณี 𝑓 1 = 1 (นั่นคือ ให้ 𝑓 ส่ง 1 ไปที่ 1)
จะทาให้ 𝑓(2) ส่งไปที่ 2 หรือ 3 หรือ 4 (ส่งไปที่ 5 ไม่ได้นะ เพราะจะไม่เหลือค่าให้ส่ง 3 อย่าลืมว่าเงื่อนไขเราต้องการ
ฟังก์ชันเพิ่ม) ดูจากภาพ
1
1 2
2 3
3 4
5
เราไม่สามารถหาตัวที่ส่งไป 3 ไปได้ สมมติถ้า 𝑓(3) = 2 จะส่งผลทาให้ฟังก์ชันที่ได้ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ เพราะ 2 < 3
แต่ 𝑓(2) ≮ 𝑓(3)
ต่อไปพิจารณาถ้า 𝑓(2) = 2 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 3 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1 1 1
1 1 2 1 2
2
2 2 3 2 3
3
4 3 4 3 4
3
5 5 5
𝑓(2) = 3 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 2 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1 1
1 2 1 2
2 3 2 3
3 4 3 4
5 5

24. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 24
𝑓(2) = 4 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 1 วิธี ถ้าเราทาเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1
1 2
2 3
3 4
5
รวมทั้งหมด คือ 3 + 2 + 1 = 6 วิธี
กรณี 𝑓 1 = 2 (นั่นคือ ให้ 𝑓 ส่ง 1 ไปที่ 1)
จะทาให้ 𝑓(2) ส่งไปที่ 3 หรือ 4
𝑓(2) = 3 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 2 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1 1
1 2 1 2
2 3 2 3
3 4 3 4
5 5
𝑓(2) = 3 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 1 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1
1 2
2 3
3 4
5
รวมทั้งหมด คือ 2 + 1 = 3 วิธี

25. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 25
กรณี 𝑓 1 = 3 จะได้ 𝑓 2 = 4, 𝑓 3 = 5 ทาได้ 1 วิธีถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1
1 2
2 3
3 4
5
เราจะรวมทุกกรณีได้ 6 + 3 + 1 = 10 วิธี
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบแนวนี้นาฟังก์ชันมาประยุกต์ใช้กับเรื่องการเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ ถือว่าเป็น
ข้อสอบที่แวกแนวอีกแบบ แต่ถ้าเข้าใจพื้นฐานเรื่องการนับเบื้องตันก็ไม่น่าเป็นห่วงหรอกครับ แค่ส่วนใหญ่
เรื่องนี้มักเป็นไม้เบื่อไม้เมากับเด็กเลยทีเดียว ฮ่าๆๆๆ
14. กาหนดตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้
คะแนน ความถี่
21 − 30 90
31 − 40 𝐴
41 − 50 50
51 − 60 𝐵
61 − 70 10
ถ้าคะแนนในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 𝟓𝟎 คือ 𝟒𝟎. 𝟓 แล้วค่าของ 𝑨 − 𝑩 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] −𝟒𝟎 𝟐 − 𝟑𝟎 𝟑 𝟑𝟎 𝟒 𝟒𝟎
เฉลย พิจารณาตารางแจกแจงความถี่และความถี่สะสมได้ดังนี้นะครับ
คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
21 − 30 90 90
31 − 40 𝐴 90 + 𝐴
41 − 50 50 140 + 𝐴
51 − 60 𝐵 140 + 𝐴 + 𝐵
61 − 70 10 150 + 𝐴 + 𝐵

26. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 26
𝑘𝑁
ทบทวนก่อนนะครับ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 𝑘 คือ 𝑃 𝑘 = 100
𝑘𝑁
ตาแหน่งเดไซล์ ที่ 𝑘 คือ 𝐷 𝑘 = 10 (เพิ่มให้นะครับ แต่อย่าลืมว่าเป็นตาแหน่งของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้วเท่านั้น
นะ ถ้าข้อมูลยังไม่แจกแจงความถี่ เราต้องใช้อีกสูตร ลองกลับไปทบทวนดูว่ามันเป็นอย่างไรนะ)
𝑘𝑁
ตาแหน่งคลอไทล์ที่ 𝑘 คือ 𝑄 𝑘 = 4
ต่อไปเป็นสูตรคานวณหาเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และคลอไทล์ นะครับ
𝑘𝑁
𝐼 100 − 𝐹 𝑃
𝑃𝑘 = 𝐿 +
𝑓𝑃
𝑘𝑁
𝐼 10 − 𝐹 𝐷
𝐷𝑘 = 𝐿 +
𝑓𝐷
𝑘𝑁
𝐼 − 𝐹𝑄
4
𝑄𝑘 = 𝐿 +
𝑓𝑄
เมื่อ 𝑃 𝑘 , 𝐷 𝑘 , และ 𝑄 𝑘 คือ ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และ คลอไทล์ ตามลาดับ
𝐿 คือ ขอบล่างของชั้นที่มี 𝑃 𝑘 , 𝐷 𝑘 , และ 𝑄 𝑘 ทั้งนี้เราจะรู้เมื่อหาตาแหน่งออกมาแล้วนะครับ
𝐼 คือ ความกว้างอันตรภาคชั้น
𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝑘𝑁
100 10
, ,คือตาแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และคลอไทล์ตามลาดับ
4
𝐹 𝑃 , 𝐹 𝐷 , 𝐹 𝑄 คือ ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นที่มีค่าต่ากว่าอันตรภาคชั้นที่มีเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และคลอไทล์
อยู่ตามลาดับ
𝑓𝑝 คือ ความถี่ในชั้นที่มี 𝑃 𝑘 , 𝐷 𝑘 , และ 𝑄 𝑘 อยู่ตามลาดับ
𝑁 คือจานวนข้อมูลทั้งหมดที่มี เราอาจเอามาจากความถี่สะสมในชั้นสุดท้ายก็ได้นะ
จากโจทย์ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 คือ 𝑃50 = 50 150+𝐴+𝐵 = 150+𝐴+𝐵
100 2
ดังนั้น
𝑘𝑁
𝐼 100 − 𝐹 𝑃
𝑃50 = 40.5 = 40.5 +
𝑓𝑃
150 + 𝐴 + 𝐵
10 2 − (90 + 𝐴)
= 40.5 +
50

27. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 27
150 + 𝐴 + 𝐵 − 2(90 + 𝐴)
2
= 40.5 +
5
150 + 𝐴 + 𝐵 − 180 − 2𝐴)
= 40.5 +
2
(−30 − 𝐴 + 𝐵)
= 40.5 +
2
ดังนั้น
(−30 − 𝐴 + 𝐵)
40.5 = 40.5 + ===≫ −30 − 𝐴 + 𝐵 = 0 ===≫ 𝐴 − 𝐵 = −30
2
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบแนวนี้จาสูตรได้ก็ได้แหละครับกุญแจสาคัญอยู่ที่สูตร เพราะมันเยอะซะจนปวดหัวไปหมด
พยายามจาแบบมีหลักการ แล้วแยกแยะให้ดีระหว่างข้อมูลที่แจกแจงและไม่แจกแจงความถี่ เพราะสูตร
บางอย่างไม่เหมือนกันครับ
ตอนที่ 2 ข้อสอบแบบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จานวน 14 ข้อ (ข้อ 15-28) ข้อละ 3 คะแนน
15. ให้ 𝒑, 𝒒, 𝒓 และ 𝒔 เป็นประพจน์ใดๆ
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก) ถ้า ~𝒑 ↔ 𝒔 ∧ ∼ 𝒓 → 𝒒 → (𝒓 ∨∼ 𝒔) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ
ให้ 𝒑, 𝒒, 𝒓 และ 𝒔 เป็นจริง เท็จ เท็จ และ จริงตามลาดับ
ข) ถ้า (𝒑 →∼ 𝒒) ∨ 𝒓 มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว 𝒑 ↔ 𝒓 → (𝒒 ∨ 𝒔) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
[𝟏] ก) ถูก และ ข) ถูก 𝟐 ก) ถูก และ ข) ผิด
[𝟑] ก) ผิด และ ข) ถูก 𝟒 ก) ผิด และ ข) ผิด
เฉลย เรื่องนี้มีหัวใจอยู่ที่ค่าความจริงการเชื่อมประพจน์ ของ ∧, , →, ↔, ∼ ครับ เราอาจเห็นเป็นตารางให้ดูตาราง
เทียบกันหลักการจาต่อไปนี้ คือ
∧ เป็นจริง เพียงกรณีเดียว คือ 𝑇 ∧ 𝑇 นอกนั้นเป็นเท็จหมด ไม่ว่าจะเป็น 𝐹 ∧ 𝑇, 𝑇 ∧ 𝐹, 𝐹 ∧ 𝐹 เชื่อมกันเป็นเท็จ
หมด เราจึงจาเป็นต้องจาให้ได้เพียงกรณีเดียวพอครับ เพราะนอกนั้นก็จาว่ามันเป็นเท็จหมดครับ
∨ เป็นเท็จ เพียงกรณีเดียวคือ 𝐹 ∨ 𝐹 นอกนั้นอีก 3 กรณีที่เหลือเป็นจริงหมดครับ น้องลองคิดเอานะว่ามีอะไรบ้าง
→ เป็นเท็จ กรณีเดียว คือ 𝑇 → 𝐹 นอกนั้นเป็นจริงหมด

28. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 28
↔ เป็นจริง 2 กรณีเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน ได้แก่ 𝑇 ↔ 𝑇, 𝐹 ↔ 𝐹 เป็นจริงเพียง 2 กรณีนี้ ถ้าต่างกันก็เป็นเท็จนั่นเอง
จากโจทย์เราจะได้ว่า
จากแผนภาพข้างบนอธิบายได้ว่า เนื่องจากการเชื่อมด้วย → เป็นเท็จกรณีเดียวคือ 𝑇 → 𝐹 ใส่ 𝑇 และ 𝐹 ในบรรทัดที่สอง
ดังภาพ พิจารณา ขวามือ การเชื่อมด้วย ∨ เป็นเท็จกรณีเดียวคือ 𝐹 ∨ 𝐹 ดังนั้น 𝑟 ≡ 𝐹 (อ่านว่า 𝑟 เป็น เท็จนะ) และจะ
ได้ ∼ 𝑠 ≡ 𝐹 ด้วย ดังนั้น 𝑠 ≡ 𝑇 พิจารณาซ้ายมือ การเชื่อมด้วย ∧ เป็นจริงได้เมื่อเชื่อมด้วย 𝑇 ∧ 𝑇 นาค่าความจริงที่
ได้จากขวามือมาใส่ทางซ้ายมือ จะได้ ∼ 𝑟 ≡ 𝑇 (เพราะ 𝑟 ≡ 𝐹 มาก่อนครับ) แต่การเชื่อมกันด้วย ∧ เป็นจริงได้เพียงกรณี
เดียวดังนั้น 𝑞 ≡ 𝑇 นาค่าความจริงของ 𝑠 จากฝั่งขวามือมาใส่ แต่เนื่องจากการเชื่อมกันด้วย ↔ เป็นจริงได้เมื่อเชื่อมกัน
ด้วยค่าความจริงที่เหมือนกัน ดังนั้นจะได้ ∼ 𝑝 ≡ 𝑇 นั่นคือ 𝑝 ≡ 𝐹
ตอนนี้เราได้ค่าความจริงของประพจน์แต่ละตัวหมดแล้วนะครับ พบว่าข้อความ ก) ไม่เป็นจริงเพราะ 𝑞 ≡ 𝑇 ครับ
พิจารณาข้อ ข) (𝑝 →∼ 𝑞) ∨ 𝑟
(𝑝 →∼ 𝑞) ∨ 𝑟
𝐹
𝐹 𝐹
𝑇 𝐹
𝑇
ดังนั้น 𝑝 ≡ 𝑇, 𝑞 ≡ 𝑇, 𝑟 ≡ 𝐹 นาค่าความจริงไปแทนใน 𝑝 ↔ 𝑟 → 𝑞 ∨ 𝑠 จะได้ดังนี้

29. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 29
ถึงแม้ว่าจะไม่รู้ค่าความจริงของ 𝑠 แต่เราต้องสามารถสรุปได้ว่า การเชื่อมด้วย ∨ ถ้ามี 𝑇 อยู่ข้างใดข้างหนึ่งเมื่อเชื่อมแล้วจะ
ได้จริงเสมอนะครับ ดังนั้น ข) เป็นจริงครับ
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้หัวใจอยู่ที่ค่าความจริงของการเชื่อมประพจน์อย่างที่บอกแต่แรกครับ และ
ตรรกศาสตร์เกือบทั้งบทใช้พื้นฐานนี้อย่างมากเลย เพราะฉะนั้นถามตัวเองก่อนว่าจาค่าความจริงของการ
เชื่อมประพจน์ได้หรือยัง ถ้ายัง … ก็ทาความเข้าใจซะ ก่อนที่จะสายไป
𝟏𝟕. กาหนดให้ 𝒙 เป็นจานวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 𝟏𝟔, 𝟒𝟎 และ 𝟏𝟎𝟎 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน และ 𝒚
เป็นจานวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 𝟏𝟔, 𝟒𝟎 และ 𝟏𝟎𝟎 แล้วมีเศษเหลือเป็น 𝟏 ค่าของ 𝒚 − 𝒙 คือข้อใด
[𝟏] 𝟑𝟖𝟗 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟑 𝟒𝟖𝟗 𝟒 𝟓𝟎𝟎
เฉลย ให้ 𝑥 เป็นจานวนเต็มที่หาร 16, 40 และ 100 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการได้ว่า
(สมการนี้เราต้องเขียนเป็นนะครับเวลาโจทย์ให้มา)
16 = 𝑥𝑘1 + 𝑟__________(1)
40 = 𝑥𝑘2 + 𝑟__________(2)
100 = 𝑥𝑘3 + 𝑟__________(3)
สาหรับบางจานวนเต็ม 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 พิจารณาการลบกันของสมการเป็นคู่ๆดังนี้
(2) − (1); 24 = 𝑥(𝑘2 − 𝑘1 )
(3) − (2); 60 = 𝑥(𝑘3 − 𝑘2 )
(3) − (1); 84 = 𝑥(𝑘3 − 𝑘1 )

30. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 30
จะได้ว่า 𝑥|24, 𝑥|60, 𝑥|84 (อ่านว่า 𝑥 หาร 24 ลงตัว, 𝑥 หาร 60 ลงตัว , 𝑥 หาร 84 ลงตัว)
ค่า 𝑥 ที่มากที่สุดคือ ห.ร.ม ของ 24, 60, 84 ซึ่งก็คือ 12
ให้ 𝑦 เป็นจานวนเต็มที่หารด้วย 16, 40 และ 100 แล้วมีเศษเหลือ 1 ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการได้ดังนี้
𝑦 = 16𝑘1 + 1__________(4)
𝑦 = 40𝑘2 + 1__________(5)
𝑦 = 100𝑘3 + 1__________(6)
สาหรับบางจานวนเต็ม 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 ดังนั้นเราจะได้ว่า
𝑦 − 1 = 16𝑘1
𝑦 − 1 = 40𝑘2
𝑦 − 1 = 100𝑘3
ดังนั้น 16|𝑦 − 1, 40|𝑦 − 1, 100|𝑦 − 1
𝑦 − 1 ที่น้อยที่สุดคือ ค.ร.น ของ 16, 40 และ 100 ซึ่งก็คือ 400 ดังนั้น 𝑦 − 1 = 400 นั่นคือ 𝑦 = 401
โจทย์ต้องการหา 𝑦 − 𝑥 = 401 − 12 = 389
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้เกี่ยวกับเรื่องทฤษฎีจานวน โดยเฉพราะเรื่อง การหาร , ค.ร.น, ห .ร.ม เพราะฉะนั้นถ้า
ยังไม่เข้าใจเรื่องดังกล่าวควรทบทวนด่วนแล้วนะครับ เพราะข้อสอบออกไม่ยากเลย เก็บคะแนนได้ง่ายๆ
𝟏𝟖. โดยกระบวนการดาเนินการตามแถว พบว่า
𝑥 2 −3 1 0 0 ~ 1 0 0 −5 4 −3
2 𝑦 0 0 1 0 0 1 0 10 −7 6
4 −2 𝑧 0 0 1 0 0 1 9 −6 5