1. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 1
เฉลยข้อสอบโควตา ม.ขอนแก่น ปี 𝟐𝟓𝟓𝟎
วิชา คณิตศาสตร์(วิทย์)
สอบวันที่ 𝟒 พฤศจิกายน 𝟐𝟓𝟓𝟎
ตอนที่ 𝟏 ข้อสอบแบบปรนัยแบบ 𝟒 ตัวเลือก จานวน 𝟏𝟒 ข้อ (ข้อ 𝟏 − 𝟏𝟒) ข้อละ 𝟐 คะแนน
𝟏. ให้ 𝒑 แทนประพจน์ "สาหรับจานวนจริง 𝒙 ทุกตัว ถ้า 𝒙 < 2 แล้ว 𝒙 𝟐 < 4"
ให้ 𝒒 แทนประพจน์ "สาหรับจานวนจริง 𝒙 ทุกตัว มีจานวนจริง 𝒚 บางตัวที่ 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝒙"
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
[𝟏] ~𝒑 ⇒ 𝒒 𝟐 ~𝒑 ⇒ ~𝒒
[𝟑] 𝒒 ⇒ ~𝒑 𝟒 ~𝒒 ⇒ ~𝒑
เฉลย
𝑝 แทนประพจน์ ∀𝑥 ∈ ℝ [𝑥 < 2 ⇒ 𝑥 2 < 4] เป็นเท็จครับ
เพราะ มีจานวนจริงบางตัวที่ 𝑥 < 2 แล้ว 𝑥 2 ≮ 4
เช่น 𝑥 = −3 จะได้ −3 < 2 แต่ 𝑥 2 = (−3)2 = 9 ≮ 4 ดังนั้น 𝑝 จึงเป็นเท็จคับ
𝑞 แทนประพจน์ ∀𝑥∃𝑦[𝑥 2 𝑦 = 𝑥]
กรณี 𝑥 = 0 เราเลือก 𝑦 ตัวไหนก็ได้ เพราะ 02 𝑦 = 0 เสมอ
กรณี 𝑥 ≠ 0 เราเลือก 𝑦 = 1𝑥 จะทาให้ 𝑥 2 ∙ 1𝑥 = 𝑥
1 1
เช่น 𝑥 = −2 เลือก 𝑦 = (−2) จะได้ (−2)2 ∙ (−2) = −2
ดังนั้นทุกจานวนจริง 𝑥 เราสามารถหา 𝑦 ได้เสมอคับ ดังนั้นจะได้ 𝑞 เป็นจริง
เมื่อพิจารณา ข้อ [1] ~𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝐹 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇
ข้อ [2] ~𝑝 ⇒ ~𝑞 ≡ ~𝐹 ⇒ ~𝑇 ≡ 𝑇 ⇒ 𝐹 ≡ 𝐹
ข้อ [3] 𝑞 ⇒ ~𝑝 ≡ 𝑇 ⇒ ~𝐹 ≡ 𝑇 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇
ข้อ [4] ~𝑞 ⇒ ~𝑝 ≡ ~𝑇 ⇒ ~𝐹 ≡ 𝐹 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇
ตอบข้อ [𝟐]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ต้องการตรวจสอบเราเรื่องตรรกศาสตร์คับ ต้องเข้าใจประพจน์บ่งชี้ปริมาณ
จะเป็นจริงหรือเท็จเมื่อไหร่ ไม่ค่อยออกบ่อยเท่าไหร่ แต่ก็ถือว่าไม่ยากคับ สู้ๆ

2. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 2
𝟑
𝟐. ถ้า 𝑨 = {𝒑|𝒑 เป็นจานวนเฉพาะ และ 𝒑 หาร 𝟓𝟎𝟒 − 𝟐𝒑 ลงตัว} แล้ว ผลบวกของสมาชิกของเซต 𝑨 คือ
ข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 [𝟑] 𝟏𝟏 𝟒 𝟏𝟐
เฉลย
วิธีที่ 1 ข้อนีเราสามารถทาแบบเลือกสุมไปเรือยๆได้ เพราะเราเห็นตัวเลือกแล้ว มีคามากสุดคือ 12 เอง แสดงว่าจานวน
้ ่ ่ ่
เฉพาะนั้นไม่เยอะมาก เอาหละเรามาลองสุ่มตัวเลขกันดู
𝑝 = 2 ; จะได้ [504 − 2(2)]3 = [504 − 4]3 = 5003 พบว่า 𝑝|5003 ว้าวใช้ได้
𝑝 = 3 ; จะได้ [504 − 2(3)]3 = [504 − 6]3 = 4983 พบว่า 𝑝|4983 ว้าวใช้ได้อีกแล้ว
𝑝 = 5 ; จะได้ [504 − 2(5)]3 = [504 − 10]3 = 4943 พบว่า 𝑝 ∤ 4943 ตัวนี้ไม่ลงตัวคับ
𝑝 = 7 ; จะได้ [504 − 2(7)]3 = [504 − 14]3 = 4903 พบว่า 𝑝|4903 ว้าวใช้ได้อีกแล้ว
ดังนั้น 𝑝 ทั้งหมดคือ 2, 3, 7 บวกกันได้ 12 คับตัวเลือกข้อนี้สุดๆ แล้วคับ
3 3 2 2 3
วิธีที่ 2 เนืองจาก (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 − 3𝐴 𝐵 + 3𝐴𝐵 − 𝐵
่
หรือเราท่องกันจนชินปากว่า (หน้า − หลัง)3 = หน้า3 − 3หน้า2 หลัง + 3หน้าหลัง2 − หลัง3
2
ถ้ายังจากันไม่ได้ก็ นา 𝐴 − 𝐵 𝐴− 𝐵 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 𝐴 − 𝐵 อันนี้เป็นกาลังสองคงคุ้นกันนะคับ
เอาหล่ะ คราวนี้เราจะมาพิจารณา
504 − 2𝑝 3 = 5043 − 3 504 2 2𝑝 + 3 504 (2𝑝)2 − (2𝑝)3
เนื่องจาก 𝑝|3 504 2 2𝑝 (เพราะมีตัวประกอบคือ 𝑝 อยู่ด้วยคับ)
𝑝|3(504)(2𝑝)2 (เพราะมีตัวประกอบคือ 𝑝 อยู่ด้วยคับ)
𝑝|(2𝑝)3 (เพราะมีตัวประกอบคือ 𝑝 อยู่ด้วยคับ)
โดยหลักการของการหารลงตัว เรามีข้อสังเกตอยู่ว่า
ถ้า 𝑎 𝑏 ± 𝑐 ± 𝑑 ± ⋯ ± 𝑦 ± 𝑧 และ 𝑎 𝑏, 𝑎 𝑐, 𝑎 𝑑, … , 𝑎|𝑦 เราสามารถสรุปได้ว่า 𝑎|𝑧
นั่นคือ 𝑝|5043 จะได้ว่า 𝑝|504 (เนื่องจากว่า ถ้า 𝑎 𝑏 𝑛 แล้ว 𝑎 𝑏 สาหรับทุก 𝑛 ที่เป็นจานวนเต็มบวกคับ )
เราจึงหาจานวนเฉพาะทั้งหมดที่หาร 504 ได้ทั้งหมด 3 ตัวคือ 2, 3, 7 โดยได้มาจากการแยกตัวประกอบ
504 = 23 ⋅ 32 ⋅ 7
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ถ้าน้องคนไหนอ่อนเรื่องทฤษฎีจานวนสักหน่อย ก็แย่เหมือนกัน โดยเฉพาะเรื่องการหารลง
ตัวนี่ข้อสอบขาดไม่ได้ เห็นออกกันอยู่ทุกปี คับ ถ้าไม่คล่องทฤษฎีก็ไปอ่านมาซะนะ

3. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 3
𝟑. จานวนเต็มบวกจานวนหนึ่งมีสี่หลัก และหารด้วย 𝟗𝟎 ลงตัว ถ้าจานวนนี้มีตัวเลขหลักพันเป็น 𝟐 และหลัก
ร้อยเป็น 𝟏 แล้วหลักสิบคือข้อใด
[𝟏] 𝟔 𝟐 𝟕 [𝟑] 𝟖 𝟒 𝟗
เฉลย จากข้อมูลเราสามารถเขียนจานวนนี้คือ 2 1 𝑎 𝑏
แต่เนื่องจาก 90|21𝑎𝑏 เราจะเห็นได้ว่า 𝑏 = 0 ได้เพียงอย่างเดียว
ดังนั้น เราจึงพิจารณาเพียง 9|21𝑎 โดยวิธีตั้งหารยาวเราจะได้ 𝑎 = 6
หลักสิบจึงเป็น 6
ตอบข้อ [1] ข้อนี้ง่ายจริงๆคับ ถ้าเป็นเราสอบต้องเก็บคะแนนข้อนี้ให้ได้นะ
วิเคราะห์ : ข้อนี้ถือว่าออกมาให้กินคะแนนฟรีๆ (พะนะ !) ไม่ยากเลย แค่รู้จักคาว่า "หารลงตัว "
𝟒. เมตริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้มีรูปขั้นบันไดแบบแถว (𝑹𝒐𝒘 𝒆𝒄𝒉𝒆𝒍𝒐𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎)
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
[𝟏] 𝟎 𝟓 𝟔 𝟕 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟔
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎
[𝟑] 𝟎 𝟎 𝟏 𝟕 𝟒 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
เฉลย เมตริกซ์ในรูปขั้นบันไดแถว (𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚) คือเมตริกซ์ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1. เป็นเมตริกซ์ที่มีตัวนาในแต่ละแถว เป็น 1
2. สมาชิกที่อยู่หน้าตัวนาทุกตัวต้องเป็น 0
3. ตัวนา 1 ในแต่ละคอลัมน์ต้องอยู่แบบเยื้องมาทางขวามือ (ห้ามอยู่ตรงกัน) เช่น
1 3 4 5 0 1 3 4 1 2 3 4 5
0 1 7 −1 , 0 0 1 1 , 0 1 1 4 5
0 0 1 −3 0 0 0 1 0 0 0 1 2

4. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 4
4. แถวที่มีสมาชิกเป็น 0 หมด (ถ้ามี) แถวนั้นต้องอยู่ล่างสุด
1 0 0 1
เช่น 0 1 0 0
0 0 0 0
จากตัวเลือกของข้อนี้ เราจะได้ข้อ [3] เป็น 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚
จริงๆแล้วถ้าใครไม่รู้จัก 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚 ก็ไม่แปลกครับ เนื้อหานี้อยู่ใน 𝑀𝑎𝑡𝑕𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑠 𝐼 ของคณะ
วิทยาศาสตร์ น้องๆปี 1 ทุกคนต้องได้เรียน ครับ แต่เพื่อเตรียมความพร้อมของน้อง ม . 6 จึงเอามาออกสอบมั้งคับ
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ต้องการตรวจสอบนิยามของ 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚 ใครอ่านมาก็ได้ ใครไม่ได้อ่านมาก็ตัว
ใครตัวมันคับ เพราะน้อยนักน้อยหน้าจะออกแบบนี้
𝟓. กาหนดให้ 𝑻 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 และความสัมพันธ์ 𝒓 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑻 × 𝑻|𝒙 > 5 หรือ 𝒚 ≤ 𝟐}
และ 𝒔 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑻 × 𝑻|𝒙 ≤ 𝟓 หรือ 𝒚 > 2} ข้อใดต่อไปนี้ผิด
[𝟏] 𝑹 𝒓 − 𝑹 𝒔 = ∅ 𝟐 𝑫𝒓 ∪ 𝑫𝒔 = 𝑻
[𝟑] 𝒓 ∪ 𝒔 = 𝑻 × 𝑻 𝟒 𝒓∩ 𝒔= ∅
เฉลย อย่างแรกเราต้องหา 𝑟 ก่อนนะ
แต่พี่อยากให้น้องทบทวนก่อนว่า 𝑇 × 𝑇 (อ่านว่า 𝑇 ครอส 𝑇 ) มีสมาชิกกี่ตัว ก็มีเท่ากับ 𝑛(𝑇) ∙ 𝑛 𝑇 ครับ
เท่ากับ 6 ∙ 6 = 36 ซึ่งได้แก่
{ 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 , 2, 1 , 2, 2 , … , (6, 6)}
จากโจทย์โดเมนของ 𝑟 ต้องมากกว่า 5 ดังนั้นคู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ
6, 1 , 6, 2 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6 ∈ 𝑟 มี 6 ตัวใช่ป่ะ
จากเรนจ์ของ 𝑟 ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ดังนั้นคู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ
1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , (6, 2) ∈ 𝑟
ดังนั้นนาสองเซตมายูเนียนกัน จะพบว่ามีบางสมาชิกซ้ากัน (ในเซตเราถือว่าเอามาตัวเดียวพอ)
จะได้ 𝑟 = { 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , 6, 2 ,
6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6)}
ดังนั้น 𝐷 𝑟 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 𝑅 𝑟 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (เท่ากันเยย)
คราวนี้เรามาดูของ 𝑠 กันบ้างนะครับ

5. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 5
จาก 𝑠 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑇 × 𝑇 𝑥 ≤ 5 หรือ 𝑦 > 2}
โดเมนของ 𝑠 น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5
จะได้คู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , … , 2, 6 ,
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , … , 3, 6 ,
⋮ ⋮
5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , … , (5, 6) ∈ 𝑠
หรือ เรนจ์ของ 𝑠 มากกว่า 2 จะได้ คู่ลาดับที่สอดคล้อง คือ
1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 ,
2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 ,
⋮ ⋮
6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6) ∈ 𝑠
จับสมาชิกของ 𝑠 ทั้งหมดมารวมกันจะได้ จะได้
𝑠 = { 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 ,
2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , … , 2, 6 ,
3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , … , 3, 6 ,
⋮ ⋮
5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , … , 5, 6 ,
6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6)}
𝐷 𝑠 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 𝑅 𝑠 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ดังนั้นตอนนี้สรุปว่า 𝐷 𝑟 = 𝑅 𝑟 = 𝐷 𝑠 = 𝑅 𝑠 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑇
พิจารณาตัวเลือกแต่ละข้อคับ
1 𝑅 𝑟 − 𝑅 𝑠 = ∅ ถูกแล้วคับ
2 𝐷 𝑟 ∪ 𝐷 𝑠 = 𝑇 มันถูกอีกแล้ว
[3] 𝑟 ∪ 𝑠 = 𝑇 × 𝑇 ถูกต้องนะค้าบ ลองยูเนียนกันดูได้ครบทุกตัวคับ
4 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ ผิดคับ เพราะมีตั้งหลายตัวที่ซ้ากัน เป็นไปบ่ได้ดอกที่จะเป็นเซตว่าง อย่างน้อยๆก็มี (1,1) ล่ะเอ้า
จริงๆแล้วตอนหาโดเมนกับเรนจ์ ข้อนี้เราไม่จาเป็นกระจาย จนกระจุยออกมาหมดเปลือกเหมือนอย่างพี่ก็ได้คับ เพราะโดเมน
กับเรนจ์สุดๆก็มี 6 ตัว แต่อย่างไรก็ตามเราก็ต้องหามันอยู่ดี เพราะข้อ 3 , [4] เราต้องรู้ว่ามันมีอะไรบ้าง
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อนี้ออกจะยาวสักหน่อย แต่ถ้าได้ฝึกทาบ่อยๆ พี่ป๋อ ณัฐวุฒิ ยังเรียกพี่คับ มันออกจะถึกสักหน่อย
แต่ก็คุ้มเพราะมีแค่เรื่องเซต และผลคูณคาร์ทีเซียน เรียนกันมาตั้งแต่ ม.𝟒 (แต่ก็คืนอาจารย์ไปหมดแล้ว)

6. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 6
𝟔. ถ้ากราฟของสมการ 𝒚 = 𝒇(𝒙) เป็นฟังก์ชันเพิ่มและ 𝒄 เป็นจานวนจริงใดๆ แล้วกราฟของสมการในข้อใด
ต่อไปนี้ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
[𝟏] 𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒄) 𝟐 𝒚= 𝒇 𝒙 + 𝒄
[𝟑] 𝒚 = 𝒇 −𝒙 − 𝒄 𝟒 𝒚 = −𝒇 −𝒙 + 𝒄
เฉลย เรามาดูนิยามของฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดกันก่อนนะครับ
ฟังก์ชันเพิ่ม
สาหรับทุกค่า 𝑥1 , 𝑥2 ที่อยู่ในโดเมนของ 𝑓 ถ้า 𝑥1 > 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
(จาไว้ว่า เครื่องหมายเหมือนกัน )
นิยามของฟังก์ชันเพิ่มอาจนิยามได้อีกแบบคือ ถ้า 𝑥1 < 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
ฟังก์ชันลด
สาหรับทุกค่า 𝑥1 , 𝑥2 ที่อยู่ในโดเมนของ 𝑓 ถ้า 𝑥1 > 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
(จาไว้ว่า เครื่องหมายต่าง )
นิยามของฟังก์ชันลดอาจนิยามได้อีกแบบคือ ถ้า 𝑥1 < 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
ข้อนี้ขอเสนอวิธีเช็ค ง่ายๆ โดยสมมติฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มมาสัก 1 ตัว
คือ 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 เราจะแสดงว่า 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มดังนี้
ให้ 𝑥1 > 𝑥2
บวกด้วย 1 ทั้งสองข้างอสมการ จะได้ 𝑥1 + 1 > 𝑥2 + 1
ดังนั้น 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 (เพราะจากโจทย์ 𝑥1 + 1 = 𝑓(𝑥1 ) และ 𝑥2 + 1 = 𝑓(𝑥2 ) )
นั่นคือ 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ
ตรวจสอบตัวเลือกข้อ 1 ครับ
ให้ 𝑐 = 1 (ให้เป็นอะไรก็ได้ เพราะเป็นค่าคงที่ใดๆ)
พิจารณา 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 + 1 = 𝑥
ได้ฟังก์ชันนี้คือ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 เมื่อตรวจสอบโดยนิยามข้างต้นจะได้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ

7. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 7
ตรวจสอบข้อ [2] ให้ 𝑐 = 1 เหมือนเดิม
𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 = 𝑥 + 1 + 1 = 𝑥 + 2 จะได้ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
เมื่อตรวจสอบโดยนิยามของฟังก์ชันเพิ่มจะได้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ
ตรวจสอบข้อ 3 ให้ 𝑐 = 1
𝑦 = 𝑓 −𝑥 − 𝑐 = −𝑥 + 1 − 1 = −𝑥 จะได้ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥 เป็นฟังก์ชันลดครับ วิธีการพิสูจน์เป็นดังนี้
ให้ 𝑥1 > 𝑥2
คูณด้วย −1 ตลอดอสมการนี้ จะได้ −𝑥1 < −𝑥2 นั่นคือ 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 )
จะได้ 𝑓 เป็นฟังก์ชันลดครับ
ส่วนข้อ [4] นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ ลองทาดูคล้ายๆกับตัวอย่างข้างบนครับ
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ไม่ค่อยออกครับ แต่ก็ออกมาเพื่อทดสอบความรู้เรื่องนิยามฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชัน
ลดครับ นิยามก็ไม่ยากที่จะจดจาครับ เพราะฉะนั้นข้อนี้ก็ไม่ยากเกินไปครับ
𝟕. กาหนดให้วงกลมอยู่ในครอดรันต์ที่ 𝟏 มีรัศมีเท่ากับ 𝟑 หน่วย และสัมผัสแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ที่จุด 𝑨 และ 𝑩
ตามลาดับ ถ้า 𝑳 เป็นเส้นตรงที่ตัดแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ที่จุด 𝑨 และ 𝑩 ตามลาดับ แล้วระยะห่างระหว่างจุด
ศูนย์กลางของวงกลมกับเส้นตรง 𝑳 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟐 𝟑 𝟐
[𝟏] 𝟐
หน่วย 𝟐 𝟐
หน่วย
[𝟑] 𝟐 𝟐 หน่วย 𝟒 𝟑 𝟐 หน่วย

8. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 8
เฉลย
จากภาพเราจะได้จุดศูนย์วงกลมคือ (3,3)
วิธีที่ 1 เนื่องจาก ∆𝐴𝑂𝐵 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
เราสามารถหาความยาว 𝐵𝐴 ได้จากทฤษฎีบทปีทากอรัส นั่นคือ
2
𝐵𝐴 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18
𝐵𝐴 = 18 = 3 2
เนื่องจาก พท.∆𝐴𝑂𝐵 คือ
1 1 1
∙ ฐาน ∙ สูง = ∙ 𝐵𝐴 ∙ 𝑕 = ∙ 3 2 ∙ 𝑕 ______(1)
2 2 2
แต่เนื่องจาก พท.∆𝐴𝑂𝐵 (มองในทางกลับด้านกันนะ)
1 1 1
= ∙ ฐาน ∙ สูง = ∙ 𝐵𝐴 ∙ 𝑕 = ∙ 3 ∙ 3 _______(2)
2 2 2
ดังนั้น 1 = (2)
1 1
∙3 2∙ 𝑕 = ∙3∙3
2 2
ดังนั้น
3 3 2
𝑕= =
2 2

9. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 9
วิธีที่ 1 (สาหรับคนที่ชื่นชอบเรขาคณิตวิเคราะห์)
จากภาพเราจะหาสมการเส้นตรง 𝐿 จากจุดผ่าน 𝐴(3, 0) และ 𝐵(0, 3)
หาความชัน
𝑦2 − 𝑦1 3 − 0 3
𝑚= = = = −1
𝑥2 − 𝑥1 0 − 3 −3
เนื่องจากสมการทั่วไปของเส้นตรง คือ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 เมื่อ 𝑥, 𝑦 คือจุดผ่าน และ 𝑚 คือ ความชัน
เราเลือกจุดผ่านเส้นตรงมา 1 จุด คือ (3, 0) (อันนี้เราสามารถเลือก (0, 3) ก็ได้)
จะได้ 0 = (−1)(3) + 𝑐 นั่นคือ 𝑐 = 3 เราจะได้สมการเส้นตรงคือ 𝑦 = −𝑥 + 3
การหาสมการเส้นตรงทาได้อีกวิธีคือ แทนค่าในสูตร 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) เมื่อ (𝑥1 , 𝑦1 ) คือจุดผ่าน เราจะ
ได้สมการเส้นตรง 𝑦 − 0 = (−1)(𝑥 − 3) = −𝑥 + 3 ⟹ 𝑦 = −𝑥 + 3
จากสูตรของระยะห่างระหว่างเส้นตรง 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 กับจุด (𝑥1 , 𝑦1 ) คือ
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
𝑑=
𝐴2 + 𝐵 2
ดังนั้นระยะห่างระหว่างเส้นตรง 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 กับจุด 3, 3 คือ
1 3 + 1 3 −3 3 3 2
= =
12 + 12 2 2
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ถือว่าไม่ยากเพราะเลือกทาได้ตั้งสองวิธี ใครถนัดแบบไหนก็ทาแบบนั้นครับ
ถึงแม้ว่าวิธีที่สอง จะยาวไปหน่อย แต่วิธีแรกก็อาจใช้ไม่ได้ ถ้า ∆𝑨𝑩𝑶 ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากในขณะที่
วิธีที่สองทาได้หมดครับ เพราะฉะนั้นควรฝึกทั้งสองวิธี จะได้เก่งๆจริงมั้ย  ในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์
จาเป็นต้องจาสูตรพื้นฐานต่างๆ ให้ได้หมดไม่งั้นจะทาไม่ได้เลยครับ

10. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 10
𝟖. วงรีรูปหนึ่งมีความยาวของแกนเอกเท่ากับความยาวของเลตัสเรกตัมของพาราโบลา 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 +
𝟏
𝟐𝟖 = 𝟎 ถ้าวงรีนี้มีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ แล้วความยาวของแกนโทของวงรีนี้ คือข้อใดต่อไปนี้
𝟐
[𝟏] 𝟐 หน่วย 𝟐 𝟐 𝟑 หน่วย
[𝟑] 𝟒 หน่วย 𝟒 𝟒 𝟑 หน่วย
เฉลย พิจารณาพาราโบลา เราต้องการความยาวลาตัสเรกตัม นั่นคือ 4𝑐
ขั้นแรกพยายามจัดรูปให้อยู่ในรูปมาตรฐาน คือ (𝑥 − 𝑕)2 = 4𝑐 𝑦 − 𝑘 จาก
𝑥 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 28 = 0
𝑥 2 − 4𝑥 = 8𝑦 − 28
(𝑥 − 2)2 − 4 = 8𝑦 − 28
(𝑥 − 2)2 = 8𝑦 − 24
(𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 − 3)
ดังนั้น 4𝑐 = 8 นั่นคือ 4𝑐 = 8 เป็นค่า เลตัสเรกตัม (𝐿𝑅) ดังนั้นความยาวแกนเอกคือ 8 นั่นคือ
𝑐
2𝑎 = 8 จะได้ 𝑎 = 4 จากสูตรความเยื้องศูนย์กลางของวงรี คือ 𝑒 = (อันนี้ต้องจาหน่อยนะครับ)
𝑎
ดังนั้น
1 𝑐 𝑐
= = ⇒ 𝑐=2
2 𝑎 4
จากความสัมพันธ์ระหว่าง 𝑎, 𝑏 , 𝑐 ของวงรีคือ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
( 𝑎 เป็นใหญ่ในวงรี 𝑐 เป็นใหญ่ใน 𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟 ถ้าใน 𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟 จะได้ 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 )
ดังนั้น 42 = 𝑏2 + 22 จะได้ 𝑏 = 2 3 ดังนั้นความยาวแกนโทคือ 2𝑏 = 4 3

11. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 11
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ทดสอบเรื่องวงรีและพาราโบลาครับ ทุกสมการเราต้องจาให้ได้ครับ
โดยเฉพาะสมการมาตรฐาน เพราะข้อสอบนิยมออกสอบแบบผสมผสานกันอย่างมากครับ
และอย่าได้คิดว่าจาเรื่อง วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเปอร์แล้วจะทาได้ เราต้องจาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์
ด้วย โดยเฉพาะเรื่องเส้นตรง และสูตรต่างๆ ต้องหาเทคนิคจาให้ได้
𝟐 𝒙 −𝟐 𝟐𝒙
𝟗. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริงและ 𝑨 = 𝒙 ∈ ℝ 𝟓 𝟗 = 𝟔𝟐𝟓 𝟐 } ผลบวกสมาชิกของ 𝑨
คือข้อใดต่อไปนี้
−𝟐 𝟏
[𝟏] −𝟏 𝟐 [𝟑] 𝟎 𝟒
𝟓 𝟓
เฉลย การแก้สมการหรืออสมการ ที่อยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียล เราจาเป็นที่จะต้องทาฐานให้เท่ากันครับ
𝟐 𝒙 −𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟐 ∙𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙+𝟐
𝟓𝟗 = 𝟔𝟐𝟓 𝟐 = (𝟓 𝟒 ) 𝟐 = (𝟓) 𝟒∙𝟐 = (𝟓) 𝟐 = (𝟓) 𝟐
เมื่อฐานเท่ากันแล้ว เราจะนาเลขชี้กาลังมาเท่ากันครับ จะได้ว่า
𝟗 𝟐 𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝟐𝒙+𝟐
𝟐 𝟐𝒙+𝟐 − 𝟗 𝟐 𝒙 + 𝟐 = 0
𝟒 ∙ 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟗 𝟐 𝒙 + 𝟐 = 0_____(1)
ต่อไปให้ 𝐵 = 2 𝑥 แทนใน (1)
4𝐵2 − 9𝐵 + 2 = 0
4𝐵 − 1 𝐵−2 =0
1
𝐵 = ,2
4
กรณี 𝐵 = 1 ⇒ 2 𝑥 = 1 = 2−2 ⇒ 𝑥 = −2
4 4
กรณี 𝐵 = 2 ⇒ 2 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 1
ดังนั้นผลบวกคาตอบ คือ −2 + 1 = −1

12. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 12
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประเภทนี้ออกสอบทุกปีครับ อยู่ที่ว่าจะเอาคาตอบไปทาอะไรครับ เรื่องเอกซ์โปรเนี่ยมัน
ยากตรงที่ทาฐานให้เท่ากัน และแปลงเป็นสมการกาลังสอง แล้วแยกตัวประกอบออกมา หาคาตอบครับ
เรื่องการแยกตัวประกอบก็มีความสาคัญมากเหมือนกันครับ จาเป็นต้องมีพื้นฐานเรื่องนี้มาก
−𝟒
𝟏𝟎. ค่าของ 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟑
−𝟒 −𝟑 𝟑 𝟒
[𝟏] 𝟐 𝟑 𝟒
𝟓 𝟓 𝟓 𝟓
เฉลย อย่างแรกเราต้องนึกถึง
𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 𝑥
−𝟒
ดังนั้นเราต้องหาค่า 𝑦 ที่ทาให้ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑
= 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒚
−4 −4 4
ให้ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3
= 𝜃 แสดงว่า 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 3
= − 3 เราจึงเขียนสามเหลี่ยมมุมฉากได้สองรูปดังนี้

13. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 13
สังเกตเห็นว่ารูปทั้งสองให้ค่า 𝑡𝑎𝑛𝜃 = − 4 ทั้งคู่ แต่เราต้องเลือกมาพิจารณาเพียงรูปเดียวเท่านั้น สิ่งจะกาหนดได้ว่าเรา
3
−𝟒
จะเลือกรูปไหนคือ 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑
แต่ − 2𝜋 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 2𝜋 นั่นคือ เรนจ์ของ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 มีค่าอยู่ระหว่าง
ครอดรันต์ที่ 1 หรือ 4 เท่านั้น แต่ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 มีเครื่องหมายลบ ทาให้ 𝜃 ต้องอยู่ในครอดรันต์ที่ 4 นั่นคือเราต้องเลือกรูปที่ 1
มาพิจารณานั่นเอง เพราะ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 3 เป็นบวก สอดคล้องกับที่ 𝜃 อยู่ในครอดรันต์ที่ 4
5
ถ้ายังไม่เข้าใจเรื่องเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันเหล่านี้ ให้ไปอ่านในหัวข้อ หลักการลดทอนมุมทางตรีโกณมิติ ในหัวข้อถัดจาก
ข้อ 12
ทบทวน − 2𝜋 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 𝜋 , − 2𝜋 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 2𝜋 จาได้มั้ยเอ่ย
เมื่อได้สามเหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มาแล้ว ก็อย่าได้ให้สูญเปล่า เราจึงพิจารณาได้ดังนี้
−4 3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠⁡ )
(
3 5
นั่นคือ
−4 3 3
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 =
3 5 5
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้อาจต้องใช้ความรู้เรื่องโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 มาช่วย ตรงนี้สาคัญ
มากครับ ถ้ายังไม่เข้าใจ ควรทาความเข้าใจให้ถ่องแท้ซะ เพราะข้อสอบออกบ่อยมากๆ แทบทุกปี มีข้อสอบ
แบบนี้แต่เปลี่ยนฟังก์ชันไปเรื่อยๆ อาจเป็น 𝒔𝒊𝒏, 𝒄𝒐𝒔, 𝒕𝒂𝒏 มันไม่ยากถ้าหากเราใส่ใจมันสักนิด

14. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 14
𝟐 𝟐
𝟏𝟏. กาหนดให้ 𝒖 และ 𝒗 เป็นเวกเตอร์ซึ่ง 𝒖 + 𝒗 + 𝒖− 𝒗 = 𝟐𝟐 และ 𝒖 = 𝟑 ถ้ามุมระหว่าง
𝒖 และ 𝒗 เป็น 𝟔𝟎° แล้วค่าของ 𝒖 ∙ 𝒗 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟐 𝟐 𝟔
[𝟑] 𝟏𝟐 𝟒 𝟏𝟖
เฉลย
จากสูตรการดอทกันของเวกเตอร์
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃____________(1)
เมื่อ 𝜃 เป็นมุมระหว่าง 𝑢 และ 𝑣
เนื่องจาก
2 2
𝑢+ 𝑣 + 𝑢− 𝑣 = 𝑢 2+2 𝑢∙ 𝑣 + 𝑣 2
+ 𝑢 2
−2 𝑢∙ 𝑣 + 𝑣 2
=2 𝑢 2+2 𝑣 2
= 22
ดังนั้นเราจะได้
2 2
𝑢 + 𝑣 = 11
แต่ 𝑢 = 3
ดังนั้น 3 + 𝑣 2 = 11 ⇒ 𝑣 = 8
จาก (1)
1
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3 ∙ 8 ∙ 𝑐𝑜𝑠60° = 3 ∙ 8 ∙ = 6
2
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้ถ้าจานิยามของการดอท และสูตรกาลังสองของเวกเตอร์ก็ทาได้แล้วครับ ถือว่าไม่
ยาก แต่ก็ออกสอบทุกปีเหมือนกัน

15. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 15
𝟏𝟎
𝟏+ 𝟑𝒊
𝟏𝟐. ถ้า 𝒛 = แล้ว ตัวผกผันของการบวกของ 𝒛 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟏− 𝟑𝒊
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
[𝟏] − 𝟐 + 𝒊 𝟐 − 𝟐− 𝒊
𝟐 𝟐
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
[𝟑] + 𝒊 𝟒 − 𝒊
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
เฉลย พิจารณา
1 + 3𝑖 (1 + 3𝑖) 1 + 2 3𝑖 + ( 3𝑖)2
=
1 − 3𝑖 (1 + 3𝑖) 1 − ( 3𝑖)2
1 + 2 3𝑖 − 3
=
1 − (−3)
1 + 2 3𝑖 − 3
=
4
−2 + 2 3𝑖
=
4
−1 3𝑖
= +
2 2
อืมมม…..ต้องยกกาลัง 10 เชียวรึเนี่ยว จะยกยังไงไหวเนี่ย เพราะมันต้องยาวขึ้นเรื่อยๆแน่
เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนถึงจะง่ายครับ 555 + +
มาดูวิธีทาให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนครับ (ต้องจาซะหน่อยนะ) และจะชี้ให้เห็นด้วยว่า ถ้าไม่คูณด้วยสังยุค เพื่อจัดรูปก่อนจะยาว
กว่าที่จัดรูปมากน้อยแค่ไหน มาดูกันเลย
พิจารณา ให้ 𝑧1 = 1 + 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑏 3 𝜋
𝑡𝑎𝑛𝜃 = = ดังนั้น 𝜃 = 60° = (อยู่ในครอดรันต์ที่ 1 , 𝑎 เป็น + และ 𝑏 เป็น+)
𝑎 1 3
และ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 = 12 + ( 3)2 = 4 = 2
ดังนั้น 𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2(𝑐𝑜𝑠 3𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 3𝜋 )
การหามุมถ้าใครยังสงสัยให้ไปดูที่ หลักการหามุมเพื่อเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ในหัวข้อหลังจากข้อนี้

16. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 16
ให้ 𝑧2 = 1 − 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑏 − 3 5𝜋
𝑡𝑎𝑛𝜃 = = ดังนั้น 𝜃 = 300° = (อยู่ในครอดรันต์ที่ 4, 𝑎 เป็น + และ 𝑏 เป็น−)
𝑎 1 3
และ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2 = 12 + (− 3)2 = 4 = 2
5𝜋 5𝜋
ดังนั้น 𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2[𝑐𝑜𝑠 3
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛 3
]
จากสูตรการหารจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วจะได้
𝑧1 𝑟1 2 𝜋 5𝜋 𝜋 5𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2 = 𝑐𝑜𝑠 − + 𝑖𝑠𝑖𝑛 −
𝑧2 𝑟2 2 3 3 3 3
4𝜋 4𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 − + 𝑖𝑠𝑖𝑛(− )
3 3
4𝜋 4𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(− )
3 3
𝑧1 10
ต่อไปหา 𝑧2
โดยสูตรของเดอร์มัวร์ 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 (𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃))
ดังนั้น
𝑧1 10 4𝜋 4𝜋
= 110 [𝑐𝑜𝑠 10 ∙ + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−10 ∙ )]
𝑧2 3 3
40𝜋 40𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 − 𝑖𝑠𝑖𝑛( )
3 3
เนื่องจาก 40𝜋 = 13𝜋 + 3𝜋 ตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 3 ดังนั้น 𝑐𝑜𝑠 40𝜋 1 40𝜋 3
= − 2 และ 𝑠𝑖𝑛 =−
3 3 3 2
ดังนั้น
𝑧1 10 1 3
=− + 𝑖
𝑧2 2 2
โจทย์ต้องการตัวผกผันการบวก ซึ่งก็คือ เมื่อนามาบวกกับตัวมันแล้วได้เอกลักษณ์ คือ
1 3 𝑧1 10
ดังนั้นเราจึงได้ตัวผกผันคือ 2
− 2
𝑖 ซึ่งนามาบวกกับ 𝑧2
แล้วได้ 0
ต่อไปนี้ขอเสนออีกวิธีหนึ่งซึ่งเกริ่นไว้ตั้งแต่ตอนแรกด้วยการคูณด้วยสังยุคของตัวมันเอง
ให้ 𝑧 ′ = −1 + 3𝑖
2 2
ทาให้อยู่ในรูปเชิงขั้วแล้วยกกาลัง 10 เราจะได้ว่า

17. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 17
2 2
−1 3 −1 3 2𝜋
𝑎= , 𝑏= , 𝑟= + = 1, 𝜃 =
2 2 2 2 3
2𝜋 2𝜋
ดังนั้น 𝑧′ = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 3
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛 3
นามายกกาลัง 10 โดยใช้สูตรของเดอร์มัวร์จะได้
2𝜋 2𝜋 1 3𝑖
𝑧 = (𝑧′)10 = 𝑐𝑜𝑠 10 ∙ + 𝑖𝑠𝑖𝑛 10 ∙ =− +
3 3 2 2
ตัวผกผันการบวกของ 𝑧10 คือ 1 − 3𝑖
2 2
เห็นไหมล่ะว่าสังยุคมีประโยชน์มากนะครับวิธีที่สองง่ายกว่าเยอะเลยครับ
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้ถือว่ายากครับพ่อแม่พี่น้องครับ เพราะต้องใช้ความรู้หลายอย่างเลย รวมถึงตรีโกณ
ด้วยครับ แต่ถ้าจาหลักการและฝึกทาบ่อยๆ จะจาได้เองครับ เป็นอัตโนมัติเชียวแหละไม่ต้องกังวล ข้อนี้ถือว่า
ต้องใช้เวลามากพอสมควร (ถ้าทามาถูกวิธีก็ไม่ยาวหรอกครับ) แต่ถ้าได้หลักการเหล่าแล้ว เรื่องตรีโกณก็จะ
เบาขึ้นมากครับ
หลักการหามุมเพื่อเขียนจานวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
จาก 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ให้อยู่ในรูป 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽)
เนื่องจากเราทราบกันดีแล้วว่า เราสามารถหา 𝒓 ได้จาก 𝒓 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
แต่ที่เป็นปัญหาคือ เราจะหา 𝜃 มาใส่ได้ถูกต้องหรือไม่
เราจะศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 𝑧 = − 3 + 𝑖 ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

18. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 18
เริ่มแรกเลย จากโจทย์ 𝑎 = − 3 , 𝑏 = 1 และ 𝑟 = (− 3)2 + 12 = 2
และจาก 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = −1 โดยที่ 𝜃 เป็นมุมทีวัดจากแกน 𝑋
3
และ 𝑎 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑋 , 𝑏 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑌 พิจารณาดังภาพ
ต่อไปพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นครับ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม 𝜃 เป็น 1 และความยาวด้าน
ประชิดมุมเป็น 3 ดังนั้น 𝜃 = 30° = 6𝜋 แต่มุมที่เราจะระบุในเชิงขั้ว เป็นมุมที่วัดจากแกน 𝑋 ทางบวกในทิศทวนเข็ม
นาฬิกา ตามลูกศรเส้นปะดังภาพ ดังนั้น 𝜃 ที่เราจะใส่ในเชิงขั้ว คือ 𝜃 = 𝜋 − 6𝜋 = 5𝜋 = 150°
6
( 𝜋 คือครึ่งรอบวงกลม = 180° นาไปลบ 𝜃 ออก จะได้มุมที่ต้องการครับ)
5𝜋 5𝜋
ดังนั้น 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2[𝑐𝑜𝑠 6
+ 𝑖𝑠𝑖𝑛 6
]
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียน 𝑧 = 3 − 3 3𝑖 ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
เริ่มแรกเลย จากโจทย์ 𝑎 = 3 , 𝑏 = −3 3 และ 𝑟 = 32 + (−3 3)2 = 6
และจาก 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = −33 3 โดยที่ 𝜃 เป็นมุมทีวัดจากแกน 𝑋
และ 𝑎 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑋 , 𝑏 เป็นหน่วยความยาวที่วัดจากแกน 𝑌 พิจารณาดังภาพ

19. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 19
ต่อไปพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นครับ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม 𝜃 เป็น 3 3 และความยาว
ด้านประชิดมุมเป็น 3 ดังนั้น 𝜃 = 60° = 3𝜋 แต่มุมที่เราจะระบุในเชิงขั้ว เป็นมุมที่วัดจากแกน 𝑋 ทางบวกในทิศทวนเข็ม
นาฬิกา ตามลูกศรเส้นปะดังภาพ ดังนั้น 𝜃 (ที่เราจะใส่ในเชิงขั้ว)คือ 𝜃 = 2𝜋 − 3𝜋 = 5𝜋 = 300°
3
(2𝜋 คือรอบวงกลม 1 รอบ = 360° นาไปลบ 𝜃 ออก จะได้มุมที่ต้องการครับ)
ถ้าใครอ่านทั้งสองตัวอย่างยังไม่รู้เรื่อง ผมมีอีกวิธีครับ จากตัวอย่างที่ 1 จะเขียน 𝑧 = − 3 + 𝑖 ในรูปเชิงขั้ว
ขั้นแรกให้เรานึกถึง 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = 1 𝜋
(ยังไม่ต้องคิดเครื่องหมายใดๆทั้งสิ้น ) จะได้ 𝜃 =
3 6
แต่เนื่องจาก 𝜃 ตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 2 (ตอนนี้คิดเครื่องหมายของ 𝑎 และ 𝑏 ทาให้ได้ 𝜃 อยู่ใน 𝑄2 ) ดังภาพ

20. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 20
หลังจากนั้นให้เราไล่มุมเริ่มจาก
ตัวเลขที่ปรากฏ 1, 5, 7, 11 คือ ตัวเลขเรียงถัดไป และมี ห .ร.ม กับ กับ 6 เป็น 1
(หรือคิดง่ายๆ ตัวเลขที่เอาเลขอะไรไปตัดกับ 6 ไม่ได้นั่นเอง)
𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋
⟹ ⟹ ⟹
6 6 6 6
𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄3
หมายความว่า ถ้ามุมตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 2 ( 𝑄2 ) เราจะได้ว่า 𝜃 = 5𝜋 ครับ ถ้าตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 3 ก็กลายเป็นมุม7𝜋
6 6
นั่นเองครับ (แนะนาว่าให้ไล่ 1, 2, 3, 4, ,5, … ไปเรื่อยๆและดูว่าตัวเลขตัวไหนที่เอาอะไรตัดกับ 6 ไม่ได้)
ตัวอย่างที่ 2(วิธีที่ 2) จงเขียน 𝑧 = 3 − 3 3𝑖 ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว
ขั้นแรกให้เรานึกถึง 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑏𝑎 = −33 3 = 3 (ยังไม่ต้องคิดเครื่องหมายใดๆทั้งสิ้น คิดแค่ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 3) จะได้
𝜋
𝜃 = 3 แต่เนื่องจาก 𝜃 ตกอยู่ในครอดรันต์ที่ 4 (ตอนนี้คิดเครื่องหมายของ 𝑎 และ 𝑏 ทาให้ได้ 𝜃 อยู่ใน 𝑄2 ) ดังภาพ
หลังจากนั้นให้เราไล่มุมเริ่มจาก
𝜋 2𝜋 4𝜋 5𝜋
⟹ ⟹ ⟹
3 3 3 3
𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4

21. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 21
เราจะได้ว่า มุมที่เราต้องการคือ 𝜃 = 5𝜋
3
หลักการลดทอนมุมทางตรีโกณมิติ
เริ่มต้นจากการท่องว่า 𝐴𝐿𝐿 ⟹ 𝑠𝑖𝑛 ⟹ 𝑡𝑎𝑛 ⟹ 𝑐𝑜𝑠 ดูภาพประกอบนะครับ
คาอธิบาย : ครอดรันต์ที่ 1 𝐴𝐿𝐿 ทุกฟังก์ชันถ้ามุมตกอยู่ในครอดรันต์นี้ ค่าที่ได้จะมีค่าเป็นบวกหมดครับ ไม่ว่าจะเป็น
𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠, 𝑡𝑎𝑛, 𝑠𝑒𝑐, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐, 𝑐𝑜𝑡
1
ครอดรันต์ที่ 2 𝑠𝑖𝑛 และส่วนกลับของ 𝑠𝑖𝑛 คือ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ที่เป็นบวก เพราะ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃
1
ครอดรันต์ที่ 3 𝑡𝑎𝑛 และส่วนกลับของ 𝑡𝑎𝑛 คือ 𝑐𝑜𝑡 ที่เป็นบวก เพราะ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃
1
ครอดรันต์ที่ 4 𝑐𝑜𝑠 และส่วนกลับของ 𝑐𝑜𝑠 คือ 𝑠𝑒𝑐 ที่เป็นบวก เพราะ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 𝜃
4𝜋
เมื่อเราต้องการหา 𝑐𝑜𝑠 3
ให้เราหาก่อนว่า 4𝜋 ตกอยู่ในครอดรันต์ใด
3
4 1
พิจารณา 3 เราสามารถเขียนเป็น 1 + 3
1
1+
3
เพราะ 1 คือผลหาร และ 1 คือ เศษที่เกิดจากการหาร

22. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 22
ดังนั้น
4𝜋 𝜋 𝜋
= 𝜋+
3 3
มุมนี้อยู่ในแนวราบ
จากสูตร 𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃
จะได้บวกหรือลบขึ้นอยู่กับว่ามุมตกอยู่ในควอดรันต์ที่เท่าไหร่
4𝜋 𝜋
เนื่องจากเราพิจารณา 𝑐𝑜𝑠 3
= 𝑐𝑜𝑠 𝜋 +
3
𝜋

3
4𝜋 𝜋
ดังนั้นมุมตกอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 𝑡𝑎𝑛 กับ 𝑐𝑜𝑡 เท่านั้นที่เป็นบวก ดังนั้น 𝑐𝑜𝑠 3
= 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 3 =
𝜋 −1
−𝑐𝑜𝑠 =
3 2
นอกจากนี้เรายังสามารถพิจารณามุมอื่นๆได้อีกด้วย มีสูตรดังต่อไปนี้
𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑖𝑛(ราบ ± 𝜃) = ±𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑡𝑎𝑛(ราบ ± 𝜃) = ±𝑡𝑎𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑡(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑡 𝜃
𝑠𝑒𝑐(ราบ ± 𝜃) = ±𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑐𝑒𝑠𝑒𝑐(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃
เครื่องหมาย บวกหรือลบที่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามุมตกอยู่ในครอดรันต์ที่เท่าใด และมุมในแนวราบในที่นี้คือ 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …

23. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 23
𝟏𝟑. ถ้าให้ 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} และ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓} แล้ว จานวนของฟังก์ชันจาก 𝑨 ไปยัง 𝑩 ที่เป็นฟังก์ชัน
เพิ่มคือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐
[𝟑] 𝟏𝟒 𝟒 𝟏𝟔
เฉลย นิยามของฟังก์ชันเพิ่ม คือ ถ้า 𝑥1 < 𝑥2 แล้ว 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 )
เราสามารถแยกเป็นกรณีเพื่อพิจารณาได้ดังนี้
กรณี 𝑓 1 = 1 (นั่นคือ ให้ 𝑓 ส่ง 1 ไปที่ 1)
จะทาให้ 𝑓(2) ส่งไปที่ 2 หรือ 3 หรือ 4 (ส่งไปที่ 5 ไม่ได้นะ เพราะจะไม่เหลือค่าให้ส่ง 3 อย่าลืมว่าเงื่อนไขเราต้องการ
ฟังก์ชันเพิ่ม) ดูจากภาพ
1
1 2
2 3
3 4
5
เราไม่สามารถหาตัวที่ส่งไป 3 ไปได้ สมมติถ้า 𝑓(3) = 2 จะส่งผลทาให้ฟังก์ชันที่ได้ไม่เป็นฟังก์ชันเพิ่มครับ เพราะ 2 < 3
แต่ 𝑓(2) ≮ 𝑓(3)
ต่อไปพิจารณาถ้า 𝑓(2) = 2 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 3 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1 1 1
1 1 2 1 2
2
2 2 3 2 3
3
4 3 4 3 4
3
5 5 5
𝑓(2) = 3 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 2 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1 1
1 2 1 2
2 3 2 3
3 4 3 4
5 5

24. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 24
𝑓(2) = 4 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 1 วิธี ถ้าเราทาเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1
1 2
2 3
3 4
5
รวมทั้งหมด คือ 3 + 2 + 1 = 6 วิธี
กรณี 𝑓 1 = 2 (นั่นคือ ให้ 𝑓 ส่ง 1 ไปที่ 1)
จะทาให้ 𝑓(2) ส่งไปที่ 3 หรือ 4
𝑓(2) = 3 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 2 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1 1
1 2 1 2
2 3 2 3
3 4 3 4
5 5
𝑓(2) = 3 จะได้ว่า 𝑓 3 เลือกส่งได้ 1 วิธี ถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1
1 2
2 3
3 4
5
รวมทั้งหมด คือ 2 + 1 = 3 วิธี

25. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 25
กรณี 𝑓 1 = 3 จะได้ 𝑓 2 = 4, 𝑓 3 = 5 ทาได้ 1 วิธีถ้าเราจะจาแนกเป็นแผนภาพก็ได้ดังนี้ครับ
1
1 2
2 3
3 4
5
เราจะรวมทุกกรณีได้ 6 + 3 + 1 = 10 วิธี
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบแนวนี้นาฟังก์ชันมาประยุกต์ใช้กับเรื่องการเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ ถือว่าเป็น
ข้อสอบที่แวกแนวอีกแบบ แต่ถ้าเข้าใจพื้นฐานเรื่องการนับเบื้องตันก็ไม่น่าเป็นห่วงหรอกครับ แค่ส่วนใหญ่
เรื่องนี้มักเป็นไม้เบื่อไม้เมากับเด็กเลยทีเดียว ฮ่าๆๆๆ
14. กาหนดตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้
คะแนน ความถี่
21 − 30 90
31 − 40 𝐴
41 − 50 50
51 − 60 𝐵
61 − 70 10
ถ้าคะแนนในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 𝟓𝟎 คือ 𝟒𝟎. 𝟓 แล้วค่าของ 𝑨 − 𝑩 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] −𝟒𝟎 𝟐 − 𝟑𝟎 𝟑 𝟑𝟎 𝟒 𝟒𝟎
เฉลย พิจารณาตารางแจกแจงความถี่และความถี่สะสมได้ดังนี้นะครับ
คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
21 − 30 90 90
31 − 40 𝐴 90 + 𝐴
41 − 50 50 140 + 𝐴
51 − 60 𝐵 140 + 𝐴 + 𝐵
61 − 70 10 150 + 𝐴 + 𝐵

26. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 26
𝑘𝑁
ทบทวนก่อนนะครับ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 𝑘 คือ 𝑃 𝑘 = 100
𝑘𝑁
ตาแหน่งเดไซล์ ที่ 𝑘 คือ 𝐷 𝑘 = 10 (เพิ่มให้นะครับ แต่อย่าลืมว่าเป็นตาแหน่งของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้วเท่านั้น
นะ ถ้าข้อมูลยังไม่แจกแจงความถี่ เราต้องใช้อีกสูตร ลองกลับไปทบทวนดูว่ามันเป็นอย่างไรนะ)
𝑘𝑁
ตาแหน่งคลอไทล์ที่ 𝑘 คือ 𝑄 𝑘 = 4
ต่อไปเป็นสูตรคานวณหาเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และคลอไทล์ นะครับ
𝑘𝑁
𝐼 100 − 𝐹 𝑃
𝑃𝑘 = 𝐿 +
𝑓𝑃
𝑘𝑁
𝐼 10 − 𝐹 𝐷
𝐷𝑘 = 𝐿 +
𝑓𝐷
𝑘𝑁
𝐼 − 𝐹𝑄
4
𝑄𝑘 = 𝐿 +
𝑓𝑄
เมื่อ 𝑃 𝑘 , 𝐷 𝑘 , และ 𝑄 𝑘 คือ ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และ คลอไทล์ ตามลาดับ
𝐿 คือ ขอบล่างของชั้นที่มี 𝑃 𝑘 , 𝐷 𝑘 , และ 𝑄 𝑘 ทั้งนี้เราจะรู้เมื่อหาตาแหน่งออกมาแล้วนะครับ
𝐼 คือ ความกว้างอันตรภาคชั้น
𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝑘𝑁
100 10
, ,คือตาแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และคลอไทล์ตามลาดับ
4
𝐹 𝑃 , 𝐹 𝐷 , 𝐹 𝑄 คือ ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นที่มีค่าต่ากว่าอันตรภาคชั้นที่มีเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และคลอไทล์
อยู่ตามลาดับ
𝑓𝑝 คือ ความถี่ในชั้นที่มี 𝑃 𝑘 , 𝐷 𝑘 , และ 𝑄 𝑘 อยู่ตามลาดับ
𝑁 คือจานวนข้อมูลทั้งหมดที่มี เราอาจเอามาจากความถี่สะสมในชั้นสุดท้ายก็ได้นะ
จากโจทย์ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 คือ 𝑃50 = 50 150+𝐴+𝐵 = 150+𝐴+𝐵
100 2
ดังนั้น
𝑘𝑁
𝐼 100 − 𝐹 𝑃
𝑃50 = 40.5 = 40.5 +
𝑓𝑃
150 + 𝐴 + 𝐵
10 2 − (90 + 𝐴)
= 40.5 +
50

27. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 27
150 + 𝐴 + 𝐵 − 2(90 + 𝐴)
2
= 40.5 +
5
150 + 𝐴 + 𝐵 − 180 − 2𝐴)
= 40.5 +
2
(−30 − 𝐴 + 𝐵)
= 40.5 +
2
ดังนั้น
(−30 − 𝐴 + 𝐵)
40.5 = 40.5 + ===≫ −30 − 𝐴 + 𝐵 = 0 ===≫ 𝐴 − 𝐵 = −30
2
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบแนวนี้จาสูตรได้ก็ได้แหละครับกุญแจสาคัญอยู่ที่สูตร เพราะมันเยอะซะจนปวดหัวไปหมด
พยายามจาแบบมีหลักการ แล้วแยกแยะให้ดีระหว่างข้อมูลที่แจกแจงและไม่แจกแจงความถี่ เพราะสูตร
บางอย่างไม่เหมือนกันครับ
ตอนที่ 2 ข้อสอบแบบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จานวน 14 ข้อ (ข้อ 15-28) ข้อละ 3 คะแนน
15. ให้ 𝒑, 𝒒, 𝒓 และ 𝒔 เป็นประพจน์ใดๆ
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก) ถ้า ~𝒑 ↔ 𝒔 ∧ ∼ 𝒓 → 𝒒 → (𝒓 ∨∼ 𝒔) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วค่าความจริงของ
ให้ 𝒑, 𝒒, 𝒓 และ 𝒔 เป็นจริง เท็จ เท็จ และ จริงตามลาดับ
ข) ถ้า (𝒑 →∼ 𝒒) ∨ 𝒓 มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว 𝒑 ↔ 𝒓 → (𝒒 ∨ 𝒔) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
[𝟏] ก) ถูก และ ข) ถูก 𝟐 ก) ถูก และ ข) ผิด
[𝟑] ก) ผิด และ ข) ถูก 𝟒 ก) ผิด และ ข) ผิด
เฉลย เรื่องนี้มีหัวใจอยู่ที่ค่าความจริงการเชื่อมประพจน์ ของ ∧, , →, ↔, ∼ ครับ เราอาจเห็นเป็นตารางให้ดูตาราง
เทียบกันหลักการจาต่อไปนี้ คือ
∧ เป็นจริง เพียงกรณีเดียว คือ 𝑇 ∧ 𝑇 นอกนั้นเป็นเท็จหมด ไม่ว่าจะเป็น 𝐹 ∧ 𝑇, 𝑇 ∧ 𝐹, 𝐹 ∧ 𝐹 เชื่อมกันเป็นเท็จ
หมด เราจึงจาเป็นต้องจาให้ได้เพียงกรณีเดียวพอครับ เพราะนอกนั้นก็จาว่ามันเป็นเท็จหมดครับ
∨ เป็นเท็จ เพียงกรณีเดียวคือ 𝐹 ∨ 𝐹 นอกนั้นอีก 3 กรณีที่เหลือเป็นจริงหมดครับ น้องลองคิดเอานะว่ามีอะไรบ้าง
→ เป็นเท็จ กรณีเดียว คือ 𝑇 → 𝐹 นอกนั้นเป็นจริงหมด

28. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 28
↔ เป็นจริง 2 กรณีเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน ได้แก่ 𝑇 ↔ 𝑇, 𝐹 ↔ 𝐹 เป็นจริงเพียง 2 กรณีนี้ ถ้าต่างกันก็เป็นเท็จนั่นเอง
จากโจทย์เราจะได้ว่า
จากแผนภาพข้างบนอธิบายได้ว่า เนื่องจากการเชื่อมด้วย → เป็นเท็จกรณีเดียวคือ 𝑇 → 𝐹 ใส่ 𝑇 และ 𝐹 ในบรรทัดที่สอง
ดังภาพ พิจารณา ขวามือ การเชื่อมด้วย ∨ เป็นเท็จกรณีเดียวคือ 𝐹 ∨ 𝐹 ดังนั้น 𝑟 ≡ 𝐹 (อ่านว่า 𝑟 เป็น เท็จนะ) และจะ
ได้ ∼ 𝑠 ≡ 𝐹 ด้วย ดังนั้น 𝑠 ≡ 𝑇 พิจารณาซ้ายมือ การเชื่อมด้วย ∧ เป็นจริงได้เมื่อเชื่อมด้วย 𝑇 ∧ 𝑇 นาค่าความจริงที่
ได้จากขวามือมาใส่ทางซ้ายมือ จะได้ ∼ 𝑟 ≡ 𝑇 (เพราะ 𝑟 ≡ 𝐹 มาก่อนครับ) แต่การเชื่อมกันด้วย ∧ เป็นจริงได้เพียงกรณี
เดียวดังนั้น 𝑞 ≡ 𝑇 นาค่าความจริงของ 𝑠 จากฝั่งขวามือมาใส่ แต่เนื่องจากการเชื่อมกันด้วย ↔ เป็นจริงได้เมื่อเชื่อมกัน
ด้วยค่าความจริงที่เหมือนกัน ดังนั้นจะได้ ∼ 𝑝 ≡ 𝑇 นั่นคือ 𝑝 ≡ 𝐹
ตอนนี้เราได้ค่าความจริงของประพจน์แต่ละตัวหมดแล้วนะครับ พบว่าข้อความ ก) ไม่เป็นจริงเพราะ 𝑞 ≡ 𝑇 ครับ
พิจารณาข้อ ข) (𝑝 →∼ 𝑞) ∨ 𝑟
(𝑝 →∼ 𝑞) ∨ 𝑟
𝐹
𝐹 𝐹
𝑇 𝐹
𝑇
ดังนั้น 𝑝 ≡ 𝑇, 𝑞 ≡ 𝑇, 𝑟 ≡ 𝐹 นาค่าความจริงไปแทนใน 𝑝 ↔ 𝑟 → 𝑞 ∨ 𝑠 จะได้ดังนี้

29. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 29
ถึงแม้ว่าจะไม่รู้ค่าความจริงของ 𝑠 แต่เราต้องสามารถสรุปได้ว่า การเชื่อมด้วย ∨ ถ้ามี 𝑇 อยู่ข้างใดข้างหนึ่งเมื่อเชื่อมแล้วจะ
ได้จริงเสมอนะครับ ดังนั้น ข) เป็นจริงครับ
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้หัวใจอยู่ที่ค่าความจริงของการเชื่อมประพจน์อย่างที่บอกแต่แรกครับ และ
ตรรกศาสตร์เกือบทั้งบทใช้พื้นฐานนี้อย่างมากเลย เพราะฉะนั้นถามตัวเองก่อนว่าจาค่าความจริงของการ
เชื่อมประพจน์ได้หรือยัง ถ้ายัง … ก็ทาความเข้าใจซะ ก่อนที่จะสายไป
𝟏𝟕. กาหนดให้ 𝒙 เป็นจานวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 𝟏𝟔, 𝟒𝟎 และ 𝟏𝟎𝟎 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน และ 𝒚
เป็นจานวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 𝟏𝟔, 𝟒𝟎 และ 𝟏𝟎𝟎 แล้วมีเศษเหลือเป็น 𝟏 ค่าของ 𝒚 − 𝒙 คือข้อใด
[𝟏] 𝟑𝟖𝟗 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟑 𝟒𝟖𝟗 𝟒 𝟓𝟎𝟎
เฉลย ให้ 𝑥 เป็นจานวนเต็มที่หาร 16, 40 และ 100 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการได้ว่า
(สมการนี้เราต้องเขียนเป็นนะครับเวลาโจทย์ให้มา)
16 = 𝑥𝑘1 + 𝑟__________(1)
40 = 𝑥𝑘2 + 𝑟__________(2)
100 = 𝑥𝑘3 + 𝑟__________(3)
สาหรับบางจานวนเต็ม 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 พิจารณาการลบกันของสมการเป็นคู่ๆดังนี้
(2) − (1); 24 = 𝑥(𝑘2 − 𝑘1 )
(3) − (2); 60 = 𝑥(𝑘3 − 𝑘2 )
(3) − (1); 84 = 𝑥(𝑘3 − 𝑘1 )

30. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 30
จะได้ว่า 𝑥|24, 𝑥|60, 𝑥|84 (อ่านว่า 𝑥 หาร 24 ลงตัว, 𝑥 หาร 60 ลงตัว , 𝑥 หาร 84 ลงตัว)
ค่า 𝑥 ที่มากที่สุดคือ ห.ร.ม ของ 24, 60, 84 ซึ่งก็คือ 12
ให้ 𝑦 เป็นจานวนเต็มที่หารด้วย 16, 40 และ 100 แล้วมีเศษเหลือ 1 ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการได้ดังนี้
𝑦 = 16𝑘1 + 1__________(4)
𝑦 = 40𝑘2 + 1__________(5)
𝑦 = 100𝑘3 + 1__________(6)
สาหรับบางจานวนเต็ม 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 ดังนั้นเราจะได้ว่า
𝑦 − 1 = 16𝑘1
𝑦 − 1 = 40𝑘2
𝑦 − 1 = 100𝑘3
ดังนั้น 16|𝑦 − 1, 40|𝑦 − 1, 100|𝑦 − 1
𝑦 − 1 ที่น้อยที่สุดคือ ค.ร.น ของ 16, 40 และ 100 ซึ่งก็คือ 400 ดังนั้น 𝑦 − 1 = 400 นั่นคือ 𝑦 = 401
โจทย์ต้องการหา 𝑦 − 𝑥 = 401 − 12 = 389
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้เกี่ยวกับเรื่องทฤษฎีจานวน โดยเฉพราะเรื่อง การหาร , ค.ร.น, ห .ร.ม เพราะฉะนั้นถ้า
ยังไม่เข้าใจเรื่องดังกล่าวควรทบทวนด่วนแล้วนะครับ เพราะข้อสอบออกไม่ยากเลย เก็บคะแนนได้ง่ายๆ
𝟏𝟖. โดยกระบวนการดาเนินการตามแถว พบว่า
𝑥 2 −3 1 0 0 ~ 1 0 0 −5 4 −3
2 𝑦 0 0 1 0 0 1 0 10 −7 6
4 −2 𝑧 0 0 1 0 0 1 9 −6 5

31. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 31
ค่าของ 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] −𝟗 𝟐 − 𝟕 𝟑 𝟓 𝟒 𝟖
เฉลย เพื่อความสะดวกเราจะทาจากขวามือมาเป็นซ้ายมือ โดยมีข้อกาหนดเบื้องต้นว่า ถ้าเขียน
1 1
− 5 𝑅1 → 𝑅1 หมายถึง เอา − 5 คูณกับเมตริกซ์ในแถวที่ 1 แล้วเก็บค่าที่ได้ไปไว้ในแถวที่ 1
−10𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2 หมายถึง เอา −10 คูณกับเมตริกซ์ในแถวที่ 1 บวกกับเมตริกซ์ในแถวที่ 2 แล้วเก็บค่าที่ได้ไปไว้ใน
แถวที่ 2
1 0 0 −5 4 −3
0 1 0 10 −7 6
จากโจทย์
0 0 1 8 −6 5
1 4 3
−5 0 0 1 −5
1 5
− 5 𝑅1 → 𝑅1 0 1 0 10 −7 6
0 0 1 8 −6 5
1 4 3
−5 0 0 1 −5 5
−10𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2 2 1 0 0 1 0
0 0 1 8 −6 5
1 4 3
−5 0 0 1 −5 5
−8𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3 2 1 0 0 1 0
8 2 1
0 1 0
5 5 5
3 0 2 1 0 1
2 1 0 0 1 0
2𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1 8 2 1
0 1 0 5 5
5
3 0 2 1 0 1
2 1 0 0 1 0
2 4 2 1
− 5 𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3 −5 1 0 0 5
5
3 0 2 1 0 1
5𝑅3 → 𝑅3 2 1 0 0 1 0
4 −2 5 0 0 1

32. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 32
−1 2 −3 1 0 0
−𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1 2 1 0 0 1 0
4 −2 5 0 0 1
ดังนั้นจะได้ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 + 1 + 5 = 5
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : ข้อสอบประมาณนี้ไม่ค่อยเห็นมากนัก แต่ในชุดนี้มีข้อสอบประเภทนี้ถึงสองข้อด้วยกัน แสดงให้
เห็นว่า ทางมหาลัยอยากจะเน้นการโอเปอเรชันทางแถวอย่างมาก เพราะการโอเปอเรชันทางแถวจัดได้ว่าอยู่
ในเนื้อหาของ Math I และ Numerical Analysis I ที่ใช้เมตริกซ์เป็นพื้นฐาน เอาเป็นว่า ยังไงเราก็หนีมันไม่พ้น ถ้าหนี
ตอนนี้ก็ได้เจอกันตอนหน้าในอนาคตก็แล้วกันครับ
𝟏𝟗. กาหนดให้ 𝒇(𝒏) คือ เศษที่เกิดจากการหาร 𝒏 ด้วย 𝟒 และ 𝒈(𝒏) = 𝒏 𝟐 + 𝟏
𝟐𝟓𝟓𝟎
ค่าของ 𝒏=𝟏 𝒇𝒐𝒈 𝒏 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟐𝟓𝟓𝟎 𝟐 𝟑𝟖𝟐𝟓 𝟑 𝟓𝟏𝟎𝟎 𝟒 𝟔𝟐𝟕𝟓
เฉลย โดยคุณสมบัติของการคอมโพสิทฟังก์ชันเราจะได้ว่า
𝑓𝑜𝑔(𝑛) = 𝑓(𝑔(𝑛)) = 𝑓(𝑛2 + 1)
แต่ 𝑓(𝑛2 + 1) คือเศษที่เกิดจากการหาร (𝑛2 + 1) ด้วย 4 พิจารณาอนุกรมต่อไปนี้
2550
𝑓𝑜𝑔 𝑛 = 𝑓𝑜𝑔(1) + 𝑓𝑜𝑔(2) + ⋯ + 𝑓𝑜𝑔(2550)
𝑛=1
= 𝑓(12 + 1) + 𝑓(22 + 1) + ⋯ + 𝑓(25502 + 1)
= 𝑓(2) + 𝑓(5) + 𝑓(10) + 𝑓(17) … + 𝑓(25502 + 1)
= 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ⋯ + 2 + 1 (คิดดูนะครับ ทาไมตัวสุดท้ายถึงเป็น 1)
สังเกตว่า มี 2 ทั้งหมด 1275 ตัว และ มี 1 ทั้งหมด 1275 ตัว ดังนั้นผลรวมจะได้ดังนี้
2550
𝑓𝑜𝑔 𝑛 = 2(1275) + 1275 = 3825
𝑛=1

33. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 33
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : โจทย์ข้อนี้เป็นการประยุกต์ระหว่างทฤษฎีจานวนกับเรื่องอนุกรม แต่ก็อนุกรมก็ถือได้ว่าไม่ยาก
เกิดไป และใช้การสังเกตอีกนิดหน่อย ข้อสอบแต่ละข้อมีแนวของมัน ถ้าเราได้ฝึกทาบ่อยๆ จะมองออกเองว่า
จะทาไปอย่างไร โดยบางทีเราไม่รู้ตัวเสียด้วยซ้า อันนี้เป็นเรื่องจริงครับ สาหรับใครที่ฝึกทาโจทย์น้อยมากควร
พิจารณาตัวเองได้แล้วนะครับ
𝟐𝟎. ให้ 𝑳 𝟏 เป็นเส้น 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎 ที่ตัดแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ที่จุด 𝑨 และ 𝑩 ตามลาดับ ถ้า 𝑪
เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด 𝑨 และ 𝑩 และ 𝑳 𝟐 เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ 𝑳 𝟏 ที่จุด 𝑪 และตัดแกน 𝑿 ที่จุด 𝑫 แล้ว
พื้นที่ของสามเหลี่ยม 𝑨𝑪𝑫 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟏𝟑 𝟏𝟑
[𝟏] 𝟏𝟐
ตารางหน่วย 𝟐 𝟖
ตารางหน่วย
𝟏𝟑 𝟏𝟑
[𝟑] 𝟔
ตารางหน่วย 𝟒 𝟒
ตารางหน่วย
เฉลย การหาจุดตัดของเส้นตรงบนแกน สามารถหาได้อย่างง่ายๆ และเป็นวิธีที่นิยมหาเพื่อเขียนกราฟอย่างคร่าวๆ ได้อีก
ด้วย โดย
แทน 𝑥 = 0 จะได้จุดตัดบนแกน 𝑌
แทน 𝑦 = 0 จะได้จุดตัดบนแกน 𝑋 (เป็นอย่างไรครับ พอไหวมั้ย ?)
พิจารณาเส้นตรง 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎
แทน 𝑥 = 0 ⟹ 2(0) − 3(𝑦) − 6 = 0 ⟹ 3𝑦 = −6 ⟹ 𝑦 = −2 ⟹ ตัดแกน 𝑌 ที่จุด (0, −2)
แทน 𝑦 = 0 ⟹ 2𝑥 − 3(0) − 6 = 0 ⟹ 2𝑥 = 6 ⟹ 𝑥 = 3 ⟹ ตัดแกน 𝑋 ที่จุด (3, 0)

34. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 34
ดูภาพประกอบเลยนะครับ เริ่มแรกเราจะหาจุด 𝐶 จากสูตรการหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดดังนี้
𝑥1 + 𝑥2
𝑥= จุดศูนย์กลางระหว่าง
2
𝑥1 , 𝑥2 และ (𝑦1 , 𝑦2 ) คือ (𝑥 , 𝑦)
𝑦1 + 𝑦2
𝑦=
2
พิจารณา 𝑥 = 3+0 = 3 , 𝑦 = 0+(−2) = −1
2 2 2
ต่อไปพิจารณา สมการเส้นตรง 𝐿1 ; 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 ⇒ −3𝑦 = −2𝑥 + 6 ⇒ 𝑦 = −2 𝑥 + −3 = 2 𝑥 − 2
6
−3 3
เปรียบเทียบสมการ 𝑦 = 2 𝑥 − 2 กับสมการรูปทั่วไปของเส้นตรง คือ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
3
เราจะได้ 𝑚 = 2 นั่นคือ ความชันของ 𝐿1 คือ 2
3 3
แต่เนื่องจากเส้นตรงที่ตั้งฉากกันคูณกันมีค่าเท่ากับ −1
ให้ 𝑚2 เป็นความชันของ 𝐿2 จะได้ 𝑚 ∙ 𝑚2 = −1 ⇒ 2 ∙ 𝑚2 = −1 ⇒ 𝑚2 = −3
3 2
เนื่องจากเราต้องการหาสมการของ 𝐿2 ซึ่งสามารถหาได้จากสูตร 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 เมื่อ (𝑥1 , 𝑦1 ) และ 𝑚 คือ
จุดผ่าน และความชันตามลาดับ เราจะแทนจุดผ่าน (𝑥1 , 𝑦1 ) = (3 , −1) และความชัน 𝑚 = −3 จะได้สมการคือ
2 2
−3 3
𝑦 − (−1) = 𝑥−
2 2
−3 9
𝑦+1 = 𝑥+
2 4
3 5
𝑦+ 𝑥− = 0
2 4

35. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 35
ต่อไปหาจุดตัดของ 𝐿2 บนแกน 𝑋 โดยให้ 𝑦 = 0
3 5 3 5 5 2 5
0+ 𝑥− =0⟹ 𝑥= ⟹ 𝑥= ∙ =
2 4 2 4 4 3 6
5
ดังนั้น จุด 𝐷 คือ 6
,0
ต่อไปเราจะหาพื้นที่ ∆𝐴𝐶𝐷 ซึ่งสามารถหาได้ 2 วิธี
วิธีที่ 1 พิจารณาจากภาพด้วยนะครับ เริ่มจากหาความยาว 𝐷𝐴 จากการนาค่า 𝑥 มาลบกัน (ทาไม ?) ดังนี้
5 13
3− =
6 6
และความสูงของ ∆𝐴𝐶𝐷 คือ 1 (ดูจากค่าของ 𝑦 ของจุด 𝐶 ลองหาเหตุผลซิว่าทาไม)
ดังนั้น พื้นที่ ∆𝐴𝐶𝐷 = 1 ⋅ ฐาน ⋅ สูง = 1 ⋅ 13 13
⋅ 1 = 12
2 2 6
วิธีที่ 2 วิธีนี้เป็นการหาพื้นที่รูป 𝑛 เหลี่ยมใดๆ เลยทีเดียว และไม่ว่ารูปนั้นจะอยู่ในลักษณะใดก็หาได้ทั้งหมด (เพราะ
บางทีเราอาจหา ฐาน และสูงของสามเหลี่ยมไม่ได้) โดยพิจารณาจุดยอดของรูป 𝑛 เหลี่ยมใดๆบนระนาบ 𝑋𝑌 ในที่นี้ก็คือรูป
สามเหลี่ยม จะพิจารณาวนทวนเข็มหรือตามเข็มก็ได้ (ตามใจชอบครับ) ในที่นี้ผมขอวนทวนเข็มนะครับ เป็น
𝐴 𝑥1 , 𝑦1 ⟶ 𝐶 𝑥2 , 𝑦2 ⟶ 𝐷 𝑥3 , 𝑦3 ⟶ 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 สามารถเลือกจุดเริ่มต้นใดก็ได้ แต่ต้องวนกลับมา ณ จุด
เดิมเสมอ สูตรการหาพื้นที่
𝑥2 𝑦1 + 𝑥3 𝑦2 + 𝑥1 𝑦3
1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1
∆𝐴𝐶𝐷 =
2 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦1
𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦3 + 𝑥3 𝑦1
แล้วนา 1 (ล่าง − บน) นั่นคือ
2
1
∆𝐴𝐶𝐷 = 𝑥 𝑦 + 𝑥2 𝑦3 + 𝑥3 𝑦1 − (𝑥2 𝑦1 + 𝑥3 𝑦2 + 𝑥1 𝑦3 )
2 1 2
1
อย่าลืม 2
นะครับ ไม่ว่าจะเป็นรูป 𝑛 เหลี่ยมใดๆ ก็ต้องมีนะครับ ซึ่งจากข้อมูลหาพื้นที่ได้ดังนี้
5
0 + −6 + 0
1 3 3/2 5/6 3
=
2 0 −1 0 0
−3 + 0 + 0
พื้นที่ ∆𝐴𝐶𝐷 = 1 −3 − − 5 = 1 −3 + 5 = 1 − 13 = 1 13 13
= 12
2 6 2 6 2 6 2 6

36. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 36
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : โจทย์ข้อนี้เป็นเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ ก็วิเคราะห์สมชื่อครับ ผู้ที่จะทาโจทย์ประเภทนี้ได้ดี ต้อง
จาสูตรสาคัญๆ ได้หมด เป็นต้นว่า ระยะห่างระหว่างจุด สมการเส้นตรง วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง ระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน
หรือแม้กระทั้งสูตรการหาพื้นที่ 𝒏 เหลี่ยมใดๆ ที่ผมให้ไว้ ณ ข้อนี้ก็ต้องทาความเข้าใจ สูตรทุกสูตรสาคั ญไม่
น้อยกว่ากันเลย เพราะต้องทาเป็นขั้นเป็นตอน และสิ่งที่ขาดไม่ได้คือ ประสบการณ์จากการทาโจทย์ประเภท
นี้จะทาให้คุณมองออกได้ว่าจะทาไปในทิศทางใด
𝟐𝟏. ไฮเปอร์โบลารูปหนึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ 𝟑, 𝟎 และ −𝟑, 𝟎 และผ่านจุด 𝟓, 𝟒 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ศูนย์กลาง คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟐 𝟓 ตารางหน่วย 𝟐 𝟒 𝟓 ตารางหน่วย
[𝟑] 𝟖 𝟓 ตารางหน่วย 𝟒 𝟏𝟔 𝟓 ตารางหน่วย
พิจารณารูปตามเลยนะครับ เราอยากหาพื้นที่ “สี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง” ดังที่ระบายสี แต่เนื่องจาก ความยาวของ
สี่เหลี่ยมมีค่าเป็นความยาวแกนตามขวาง (2𝑎) และ ความกว้างของสี่เหลี่ยม เป็นความยาวแกนสังยุค (2𝑏) ของไฮเปอร์
โบลา ดังนั้นตอนนี้เราต้องการหาค่า 2𝑎 ⋅ 2𝑏 (ตามสูตรกว้างคูณยาว)

37. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 37
เริ่มแรกพิจารณาจากสิ่งที่โจทย์ให้มา คือ จุดโฟกัส 3, 0 และ −3, 0 จึงทาให้เรารู้ได้เลยว่า เป็นไฮเปอร์โบลาที่มีแกน
ตามขวาง (แกนยาว) ขนานแกน 𝑋 และจุดศูนย์กลาง (𝑕, 𝑘) = (0, 0) สมการของไฮเปอร์โบลาคือ
2 2
𝑥− 𝑕 𝑦− 𝑘
− =1
𝑎2 𝑏2
อันนี้เราต้องจาเองนะ แต่พี่มีข้อแนะนาคือ จาให้ได้ว่า ในไฮเปอร์ก้อนไหนเป็นบวก แกนทางยาวขนานแกนนั้น
𝑥−𝑕 2
เช่น ในที่นี้ เนื่องจากเรารู้แล้วว่า แกนทางยาว (แกนตามขวาง) ขนานแกน 𝑋 ทาให้ก้อน 𝑎2
มีค่าเป็นบวกนั่นเอง ส่วน
อีกก้อนก็ต้องเป็นลบไป เพราะไฮเปอร์ต้องมีก้อนที่เป็นบวกกับก้อนที่เป็นลบเสมอ แล้วมีคนสงกะสัยว่า แล้ว จะรู้ได้ไงว่าจะ
ใส่ 𝑎 หรือ 𝑏 ดี ในก้อนที่บวก ไม่ต้องสงสัยเลยครับ เพราะมันจะเป็น 𝑎 เสมอ และอีกในก้อนก็จะเป็น 𝑏 ไปโดยปริตา เอ้ย!
ปริยายครับ คาว่า 𝑎 หรือ 𝑏 ของผมในที่นี้คือ 𝑎2 หรือ 𝑏2 นะครับ แต่ผมอธิบายให้สั้นลง เฉยๆนะ
เราจึงได้สมการไฮเปอร์ออกมาว่า
2
𝑥−0 𝑦−0 2
− =1
𝑎2 𝑏2
𝑥2 𝑦2
− 2 =1
𝑎2 𝑏
แต่เนื่องจากความสัมพันธ์ ของ 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 ในไฮเปอร์คือ 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 จะสังเกตเห็นว่า 𝑐 จะมีค่ามากสุด ผิดกับวงรี
ที่เป็นสมการ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 สองพี่น้องสมการนี้ทาเอาหลายคนจาสับกันอยู่บ่อยครั้ง ผมจะเสนอวิธีการท่องว่า
"𝒂 เป็นใหญ่ในวงรี 𝒄 เป็นใหญ่ในไฮเปอร์" (คาว่าเป็นใหญ่คงรู้กันนะครับ ว่าผมหมายถึงอะไร)
เอาหละครับ มาต่อกันที่สมการเลยนะ เนื่องจากสมการของไฮเปอร์ผ่านจุด (5, 4) แสดงว่าแทนในสมต้องเป็นจริง ดังนั้น
เราจึงได้ว่า
52 42
− 2=1
𝑎2 𝑏
25 16
− 2=1
𝑎2 𝑏
25𝑏2 − 16𝑎2 = 𝑎2 𝑏2 _______(∗)
เนื่องจาก 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 และรู้ว่า ระยะห่างจุดศูนย์กลางถึง โฟกัส มีระยะเป็น 𝑐 ดังนั้นจะได้ 𝑐 = 3
แทนค่า 32 = 𝑎2 + 𝑏2 ==≫ 9 = 𝑎2 + 𝑏2 ==≫ 𝑎2 = 9 − 𝑏2 แทนในสมการ (* ) จะได้
25𝑏2 − 16(9 − 𝑏2 ) = (9 − 𝑏2 )𝑏2
25𝑏2 − 144 + 16𝑏2 = 9𝑏 2 − 𝑏4
𝑏4 + 32𝑏2 − 144 = 0
วิธีการหาค่า 𝑏 ทาได้หลายวิธี วิธีที่ง่ายในที่นี้คือ แยกตัวประกอบให้คล้ายกับสมการกาลังสอง ดังนี้
𝑏2 − 4 𝑏2 + 36 = 0
ดังนั้น 𝑏 = 2, −2 ส่วน 𝑏2 + 36 คาตอบเป็นจานวนเชิงซ้อนเราก็ไม่ต้องสน และเราเลือก 𝑏 = 2

38. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 38
เพราะค่า 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 ทั้งในไฮเปอร์ และวงรี มีค่าเป็นบวกทั้งหมด เพราะเป็นหน่วยความยาว
แทนค่า 𝑏 = 2 ในสมการ 𝑎2 = 9 − 𝑏2 ==≫ 𝑎 = 5
ดังนั้นพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากที่เราต้องการคือ 2𝑎 ⋅ 2𝑏 = 2 5 ⋅ 2(2) = 8 5
ตอบข้อ [3]
วิเคราะห์ : โจทย์ข้อนี้เป็นเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์อีกแล้วครับพี่น้อง แต่เข้ามาเล่นกับไฮเปอร์โบลาลึก
หน่อย ถ้าจับจุดได้ไม่ยากครับ แต่ผมอธิบายแบบค่อยเป็นค่อยไปอย่างมาก ก็เลยดูยาวไป ความจริงทาไม่ถึง
𝟐 นาทีด้วยซ้าไป ถ้าทาคล่องนะครับ ก็แล้วแต่ประสบการณ์ แต่ยังไงก็ยืนยันคาเดิม เรื่องสูตรต้องแม่นครับ
𝟏 𝟒
𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟕 𝟔𝟒
𝟐𝟐. ค่าของ 𝟐𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟓
+ 𝟗 + 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟏𝟔 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟔 𝟑 𝟐𝟕 𝟒 𝟐𝟖
เฉลย
1 4
25 𝑙𝑜𝑔 3 5 + 9 𝑙𝑜𝑔 27 64 + 2 𝑙𝑜𝑔 3 16
1
= 25 𝑙𝑜𝑔 5 3 + 9 𝑙𝑜𝑔 27 64 + 24𝑙𝑜𝑔 16 3 (จากสูตร = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏)
𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎
3
= 52 𝑙𝑜𝑔 5 3 + 32 𝑙𝑜𝑔 33 4 + 24𝑙𝑜𝑔 24 3
2 2
= 5 𝑙𝑜𝑔 5 3 + 3 𝑙𝑜𝑔 3 4 + 2 𝑙𝑜𝑔 2 3
= 32 + 42 + 3 = 9 + 16 + 3 = 28 (จากสูตร 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 = 𝑏)
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : เรื่องลอกาลิทึม ทาเอาหลายคน ทึมกันไปเลยนะครับ เพราะสูตรจุกจิกเหลือเกิน ไม่เพียงแต่ต้อง
จาสูตรให้ได้ แต่ต้องใช้ให้เป็นด้วยนะครับ เพราะฉะนั้น จาเป็นต้องเจอกับมันบ่อยๆ โดยเรื่องนี้ส่วนใหญ่จะ
มากับ เอกซ์โปเนนเชียล ครับ ข้อนี้ถือว่าไม่ยาก ถ้าพลิกแพลงและจาสูตรได้ ก็น่าจะได้คะแนนแล้วครับ
𝟏−𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽
𝟐𝟑. กาหนดให้ 𝑨 = {𝜽 ∈ [𝟎, 𝝅] | 𝒄𝒐𝒕 𝜽 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽) = } ผลบวกของสมาชิกของ 𝑨 คือข้อใด
𝒔𝒊𝒏 𝜽
ต่อไปนี้
𝝅 𝟐𝝅 𝟒𝝅
[𝟏] 𝟐 𝟑 𝝅 𝟒
𝟑 𝟑 𝟑
เฉลย พิจารณา
𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 − 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) =
𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 − 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃

39. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 39
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1 = 0
2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 1 = 0
1
จะได้ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 , −1
กรณี 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1 ==≫ 𝜃 = 3𝜋
2
กรณี 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −1 ==≫ 𝜃 = 𝜋
อย่าลืมค่ามุมที่ได้ต้องพิจารณาภายในช่วง [0, 𝜋] ดังนั้นผลบวกคาตอบคือ 3𝜋 + 𝜋 = 4𝜋
3
หลายคนโดนหลอก ตอบ 4𝜋 และในตัวเลือกก็มีซะด้วยครับ หารู้ไม่ว่า ที่เราตัด 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ออกตั้งแต่เริ่มทาบรรทัดแรกจะได้
3
𝜋
𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≠ 0 ==≫ 𝜃 ≠ 𝜋 (เพราะส่วนเป็นศูนย์ไม่ได้นะครับ ) ดังนั้นคาตอบที่แท้จริงมีคาตอบเดียวคือ 3
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อนี้เป็นเรื่องที่ต้องระวังอย่างที่บอกไว้ครับ เพราะการแก้อะไรก็แล้วแต่ เงื่อนไขที่สาคัญลักษณะ
นี้จะลืมไม่ได้ ลืมเป็นผิด เพราะจะมีตัวเลือกมาหลอกเสมอครับ และอีกอย่างเรื่องตรีโกณถือว่าเป็นเรื่อง
สาคัญอีกเรื่องครับ น้องหลายคนกลัวเรื่องนี้มาก จนทาให้ไม่อยากทา ส่วนคนที่ใจสู้ก็จะได้คะแนนไปครับ
และในแต่ละปีก็จะมีตรีโกณออกมาเยอะเหมือนกัน เพราะฉะนั้นเรื่องนี้จึงขาดเสียมิได้ ในฟิสิกส์ก็ต้องใช้
ครับ ดังนั้นอย่าเพิ่งถอยตั้งแต่ตอนยังไม่ได้สู้นะครับ

40. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 40
𝟐𝟒. พิกัดของจุดในข้อต่อไปนี้เป็นจุดมุมของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดมุมคือ
(𝟏, 𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟐, 𝟒), (𝟐, 𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟑, 𝟑)
[𝟏] (𝟑, 𝟏, 𝟐) 𝟐 (𝟑, 𝟐, 𝟒) 𝟑 (𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝟒 (𝟐, 𝟒, 𝟑)
B(1, 2, 4)
A(1, 2, 3)
D(2, 2, 3)
C(1, 3, 3)
x
y
เมื่อพิจารณารูปออกมาคร่าวๆ จะดังรูปนะครับ ดังนั้นจุดมุมที่เหลืออีก 4 คือจุดมุมดังในภาพต่อไปนี้

41. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 41
เราต้องการหาจุดพิกัด 𝐻, 𝐸, 𝐹 และ 𝐺 (ความจริงแล้ว ถ้าเราหาจุดใดได้แล้วมีในตัวเลือก ก็ไม่ต้องหาจุดอื่นอีก)
ในที่นี้จะหาให้ดูทุกจุด เริ่มจากจุด 𝐻 (อันนี้บางคนก็ดูรูปแล้วตอบได้เลยนะครับ แต่ผมจะใช้เทคนิคการดูเป็นฝา)
ฝาในที่นี้ เป็นด้านที่ประกอบด้วยจุด 4 จุด(รวมเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า) เช่น ฝา 𝐴𝐵𝐻𝐶 เป็นฝาที่ตั้งฉากกับแกน 𝑋
ดังนั้นจุด 𝐴, 𝐵, 𝐶 และ 𝐻 จะมีพิกัดของ 𝑥 เหมือนกันทุกจุด จะได้จุด 𝐻 คือ (1, … , … )
ต่อไปดูที่ฝา 𝐹𝐶𝐻𝐺 ซึ่งฝานี้ตั้งฉากกับแกน 𝑌 จึงมีพิกัด 𝑦 เหมือนกัน จะได้ พิกัดแต่ละจุดคือ
𝐹(… ,3, … ), 𝐶(1, 3, 3), 𝐻(1, 3, … ), 𝐺(… , 3, … )
ต่อไปพิจาณา ฝาล่าง 𝐴𝐶𝐹𝐷 ตั้งฉากกับแกน 𝑍 ทาให้จุด 𝐴, 𝐶, 𝐹 และ 𝐷 มีพิกัด 𝑧 เท่ากัน นั่นคือจะได้ 𝐹(… , 3, 3)
พิจารณาทานองเดียวกันนี้ ที่ฝา 𝐷𝐹𝐺𝐸 ได้จุด 𝐺(2, 3, … ) , 𝐸(2, . . , … )
ฝา 𝐸𝐵𝐻𝐺 ได้จุด 𝐸(2, … ,4), 𝐺(2, 3, 4), 𝐷(1, 3, 4)
ฝา 𝐸𝐵𝐴𝐷 ได้จุด 𝐸(2, 2, 4)
ได้ครบทุกจุดครับ ซึ่งเป็นจุดมุมของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก เทคนิคนี้ใช้ได้ตลอดกับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใดๆนะครับ หรือแผ่น
ระนาบใดๆเรื่องนี้เป็นเทคนิคที่ผมคิดขึ้นเองครับ เพื่อหาวิธีการให้เด็กคนหนึ่งมองรูปสามมิติได้ง่ายขึ้น โดยพิจาณาเป็นฝา
ที่ตั้งฉาก มีหลักการว่า

42. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 42
ฝาที่ตั้งฉากกับแกน 𝑿 จุดที่อยู่บนฝานั้นจะมีพิกัด 𝒙 เหมือนกันทุกจุด
ฝาที่ตั้งฉากกับแกน 𝒀 จุดที่อยู่บนฝานั้นจะมีพิกัด 𝒚 เหมือนกันทุกจุด
ฝาที่ตั้งฉากกับแกน 𝒁 จุดที่อยู่บนฝานั้นจะมีพิกัด 𝒛 เหมือนกันทุกจุด
หรือจะท่องสั้นๆว่า
ฉาก 𝑿 --->𝒙 เหมือน
ฉาก 𝒀 --->𝒚 เหมือน
ฉาก 𝒁 --->𝒛 เหมือน
จุดที่ปรากฏในตัวเลือกคือ จุด 𝐸(2, 3, 4) ครับ
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบแบบนี้เพิ่งเคยทาครับ ไม่ค่อยได้เห็นกันนัก แต่ก็เห็นบ้างในเวกเตอร์ครับ สรุปคือ เราต้อง
รู้ก่อนว่าโจทย์ต้องการหาอะไร อย่างข้อนี้ต้องการจุดอีกจุดที่เป็นจุดมุมของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากครับ โดย
พลอทจุดคร่าวๆเหมือนรูปแรก หลังจากนั้นก็สร้างรูปทรงสี่เหลี่ยมขึ้นมาที่มีจุดเดิมเป็นจุดมุมตามโจทย์และ
ก็หาจุดที่เหลือให้ได้ครับ ไม่ยากใช่มั้ยล่ะ
ยากโคตะระ!! คณิตศาสตร์ง่ายเปล่าเพื่อน
𝟐𝟓. ถ้า 𝒛 𝟏 และ 𝒛 𝟐 เป็นจานวนเชิงซ้อนที่ (𝟐 − 𝒊) + (𝟏 + 𝒊)𝒛 𝟏 = 𝟑 + 𝟐𝒊 และ
𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 + (𝟏 − 𝟐𝒊)𝒛 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 แล้วค่าของ 𝒛−𝟏 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟐
𝟑 𝟑 𝟐
[𝟏] 𝟐
𝟐 𝟐
[𝟑] 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐
เฉลย ให้ 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖
(เราต้องการหา 𝑧2 ให้ได้ นั่นคือ 𝑐 และ 𝑑 คืออะไร
โดยนิยามของสังยุคเราจะได้ว่า 𝑧1 = 𝑎 − 𝑏𝑖
ต่อไปพิจารณา
(2 − 𝑖) + (1 + 𝑖)𝑧1 = 3 + 2𝑖
(2 − 𝑖) + (1 + 𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 3 + 2𝑖
(2 − 𝑖) + 𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 2 = 3 + 2𝑖

43. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 43
(2 − 𝑖) + 𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 + 𝑏 = 3 + 2𝑖
2 + 𝑎 + 𝑏 + (𝑎 − 𝑏 − 1)𝑖 = 3 + 2𝑖
เมื่อเราเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า
2 + 𝑎 + 𝑏 = 3_____(1)
𝑎 − 𝑏 − 1 = 2______(2)
นา (1) + (2) ; 2𝑎 + 1 = 5 ==> 𝑎 = 2
แทน 𝑎 = 2 ใน (1) ; 2 + 2 + 𝑏 = 3 ==≫ 𝑏 = −1
ดังนั้น 𝑧1 = 2 − 𝑖 ต่อไปพิจารณา
𝑧1 𝑧2 + (1 − 2𝑖)𝑧2 − 2 = 0
(2 − 𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) + (1 − 2𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) − 2 = 0
(𝑐 − 𝑑𝑖)[2 − 𝑖 + 1 − 2𝑖] − 2 = 0
(𝑐 − 𝑑𝑖)[3 − 3𝑖] − 2 = 0
3𝑐 − 3𝑐𝑖 − 3𝑑𝑖 + 3𝑑𝑖 2 − 2 = 0
3𝑐 − 3𝑐𝑖 − 3𝑑𝑖 − 3𝑑 − 2 = 0
3𝑐 − 3𝑑 − 2 + (−3𝑐 − 3𝑑)𝑖 = 0 = 0 + 0𝑖
เมื่อเราเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า
3𝑐 − 3𝑑 − 2 = 0______(3)
3𝑐 − 3𝑑 = 0______(4)
−1
นา (3) + (4) ; −6𝑑 − 2 = 0 ⟹ 6𝑑 = −2 ⟹ 𝑑 = 3
−1 −1 1
แทน 𝑑 ใน (4) ; −3𝑐 − 3( 3 ) = 0 ⟹ −3𝑐 + 1 = 0 ⟹ 𝑐 = −3 = 3
ดังนั้น 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 = 1 − 1 𝑖
3 3
*** เราจะหาอินเวอร์สของ 𝑧2 จากสูตร
𝑎 𝑏
อินเวอร์สการคูณของ 𝑎 + 𝑏𝑖 คือ 𝑎 2 +𝑏 2
− 𝑎 2 +𝑏 2
𝑖
1 2 1 2 1 1 2
พิจารณา 𝑐 2 + 𝑑 2 = 3
+ −3 = 9+9= 9
ดังนั้น
1 1
𝑐 𝑑 −3 1 9 1 9 3 3
−1 3
𝑧2 = 2 − 2 𝑖= − 𝑖= − − 𝑖= + 𝑖
𝑐 + 𝑑 2 𝑐 + 𝑑 2 2 2 3 2 3 2 2 2
9 9
−1
ต่อไปเราจะหา 𝑧2 จากสูตร
ให้ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ค่าสัมบูรณ์ของ 𝑧 หรือ ขนาดของ 𝑧 เขียนแทนด้วย 𝑧 คือ 𝑎2 + 𝑏2

44. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 44
−1 3 2 3 2 9 9 18 9 9 3 3 2 3 2
ดังนั้น 𝑧2 = 2
+ 2
= 4
+4= 4
= 2
= 2
= 2
= 2
⋅ 2
= 2
จากบรรทัด *** เราสามารถทาได้อีกวิธีที่ง่ายกว่า โดยเราต้องรู้จักสูตรนี้ก่อน
1
𝑧 −1 = 𝑧 −1
=
𝑧
1 2 −1 2 2
เนื่องจากเราหา 𝑧2 = 3
+ 3
= 3
ดังนั้น
−1 −1
1 3 3 2
𝑧2 = 𝑧2 = = =
𝑧2 2 2
ได้คาตอบเท่ากันครับ
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้ทบทวนเรื่องจานวนเชิงซ้อนได้เกือบทั้งหมดครับ แต่ก็ไม่วายจะต้องแก้สมการเชิง
เส้นสองตัวแปรตั้งสองครั้ง ซึ่งเป็นพื้นฐานหลัก ที่เรียนกันมาแต่อ้อนแต่เอาะ ดังนั้นถ้าใครยังขาดพื้นฐานส่วน
ไหนควรเร่งแก้ไขด่วน ห้ามอายเด็ดขาด ก่อนที่จะสายเกินแก้ และข้อสอบข้อนี้ก็ตบท้ายด้วยเรื่องอินเวอร์ส
ซึ่งก็คงจะไม่ยากมากมายนัก (ถ้าจาสูตรได้นะ อิอิ)
อือมม … . เอ้ย ! อย่าเพิ่งนอน
ขออีก 5 นาที อ่าน math ต่อ
𝟐𝟔. กล่องใบหนึ่งมีบัตร 𝟗 ใบ โดยบัตรแต่ละใบจะมีหมายเลข และมีเลข 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝟗 ตามลาดับ ถ้าสุ่ม
หยิบบัตรขึ้นมาสองใบ แล้วความน่าจะเป็นที่ผลรวมของหมายเลขทั้งสองบัตรมากกว่า 𝟏𝟎 คือข้อใดต่อไปนี้
𝟏 𝟏𝟑
[𝟏] 𝟐
𝟑 𝟑𝟔
𝟓 𝟒
[𝟑] 𝟒
𝟏𝟐 𝟗

45. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 45
เฉลย ให้บัตรทั้งหมดเป็นดังนี้
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗
ผลรวมของทั้งสองบัตรรวมกันมากกว่า 𝟏𝟎 แสดงว่าผลรวมที่เป็นไปได้ คือ 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕
หลักการหาความน่าจะเป็น คือ
𝑛(𝐸)
𝑃(𝐸) =
𝑛(𝑆)
เราจะหา 𝑛(𝑆) (แซมเปิลสเปซ)ก่อน ในการสุ่มหยิบไพ่ 𝟐 ใบขึ้นเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ
𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 𝟓 𝟏 𝟔 𝟏 𝟕 𝟏 𝟖
𝟏 𝟗 ( 8 เหตุการณ์ )
𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔 𝟐 𝟕 𝟐 𝟖 𝟐 𝟗 ( 7 เหตุการณ์ )
𝟑 𝟒 𝟑 𝟓 𝟑 𝟔 𝟑 𝟕 𝟑 𝟖 𝟑 𝟗 ( 6 เหตุการณ์ )
𝟒 𝟓 𝟒 𝟔 𝟒 𝟕 𝟒 𝟖 𝟒 𝟗 ( 5 เหตุการณ์ )
𝟓 𝟔 𝟓 𝟕 𝟓 𝟖 𝟓 𝟗 ( 4 เหตุการณ์ )
𝟔 𝟕 𝟔 𝟖 𝟔 𝟗 ( 3 เหตุการณ์ )
𝟕 𝟖 𝟕 𝟗 ( 2 เหตุการณ์ )
𝟖 𝟗 ( 1 เหตุการณ์ )

46. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 46
*หมายเหตุ การสุ่มหยิบได้ 𝟏 𝟐 หรือ 𝟐 𝟏 ถือเป็นเหตุการณ์เดียวกัน นับเป็นหนึ่งนะครับ กรณีอื่นก็
เช่นเดียวกัน เช่น 𝟐 𝟑 หรือ 𝟑 𝟐 เราสามารถรวมเหตุการณ์ทั้งหมดได้ 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 +
2 + 1 = 36
การแจกแจงทั้งหมดอาจพิจารณาสูตรการเลือกของ 2 สิ่งจากของที่แตกต่างกันทั้งหมด 9 สิ่งทาได้
9 9! 9! 9 × 8 × 7!
= = = = 9 × 4 = 36
2 (9 − 2)! 2! 7! 2! 7! × 2!
ต่อไปพิจารณาหา 𝑛(𝐸) เหตุการณ์ในการสุ่มหยิบบัตร 2 ใบแล้วมีผลรวมมากกว่า 10 คือ
𝟐 𝟗
𝟑 𝟖 𝟑 𝟗
𝟒 𝟕 𝟒 𝟖 𝟒 𝟗
𝟓 𝟔 𝟓 𝟕 𝟓 𝟖 𝟓 𝟗
𝟔 𝟕 𝟔 𝟖 𝟔 𝟗
𝟕 𝟖 𝟕 𝟗
𝟖 𝟗
𝑛(𝐸) 16 4
รวมเหตุการณ์ทั้งหมดได้ 16 เหตุการณ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลรวมมากกว่า 10 คือ 𝑛(𝑆)
= 36 = 9

47. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 47
ตอบข้อ [4]
วิเคราะห์ : เรื่องความน่าจะเป็นถ้าโจทย์เป็นลักษณะนี้ก็ถือว่าไม่ยากนัก แต่เชื่อมั้ยล่ะว่า โจทย์ความน่าจะ
เป็นเนี่ยแหละครับที่น่ากลัวมาก เพราะคาตอบที่เราหาได้มักจะมีในตัวเลือกเสมอ เป็นตัวลวงที่ดีมาก เรา
ความน่าจะเป็นมีวิธีคิดหลายวิธี และถ้าไม่แม่นจริงๆส่วนใหญ่ก็โดนหลอกครับ เพราะฉะนั้นวิธีเดียวที่จะทา
ได้คือ … “ทาใจครับ ” ล้อเล่น ทาโจทย์ครับ
เมื่อไหร่จะอ่านเสร็จเนี่ย อ่านมา
3 เดือนแย้ววว….วัยรุ่นเซ็ง….
𝟐𝟕. ถ้า 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , 𝒙 𝟑 , 𝒙 𝟒 เป็นข้อมูลชุดหนึ่ง ที่มีฐานนิยม และมัธยฐานคือ 𝟎 มีพิสัยคือ 𝟏𝟐 และมีค่าเฉลี่ยเลข
𝟒
คณิตคือ 𝟏 แล้ว ค่าของ 𝒊=𝟏(𝒙 𝒊 − 𝟏) 𝟐 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟕𝟔 𝟐 𝟕𝟖
[𝟑] 𝟖𝟎 𝟒 𝟖𝟐
เฉลย สมมติให้ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก จากสมบัติของค่ามัธยฐานของข้อมูล จะได้
𝑥2 + 𝑥3
=0
2
ดังนั้น 𝑥2 + 𝑥3 = 0
จากสมบัติของพิสัยจะได้ว่า 𝑥4 − 𝑥1 = 12___________(1)
𝑥 1 +𝑥 2 +𝑥 3 +𝑥 4
และค่าเฉลี่ยเลขคณิต 4
= 1 ดังนั้น 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 4 แต่ 𝑥2 + 𝑥3 = 0
ดังนั้น 𝑥1 + 𝑥4 = 4_____________(2)
นา (1) + (2); 2𝑥4 = 16 ⟹ 𝑥4 = 8 แทน 𝑥4 = 8 ใน (2) จะได้ 𝑥1 + 8 = 4 ⟹ 𝑥1 = −4
พิจารณา −4, 𝑥2 , 𝑥3 , 8 เหลือแต่ค่า 𝑥2 , 𝑥3 ซึ่งเรารู้ว่า 𝑥2 + 𝑥3 = 0 ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ 𝑥2 , 𝑥3 คือ
𝑥2 = −4, 𝑥3 = 4 หรือ 𝑥2 = −3, 𝑥3 = 3 หรือ 𝑥2 = −2, 𝑥3 = 2 หรือ 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 0 หรือ ….
เยอะแยะมากมาย แต่จะมีคู่เดียวเท่านั้นที่ใช้ได้คือ 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 0 (ทาไม ?คาใบ้อยู่ในโจทย์นะครับ)
ดังนั้นเมื่อเราได้ครบทุกค่า จะได้
4
𝑖=1(𝑥 𝑖 − 1)2 = (−4 − 1)2 + (0 − 1)2 + (0 − 1)2 + (8 − 1)2 = 76

48. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 48
ตอบข้อ [1]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้เกี่ยวกับสถิติครับ จะพบว่าทดสอบนิยามเราเกือบหมดทีเดียวไม่ว่าจะเป็น พิสัย ฐาน
นิยม มัธยฐาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่ที่ไม่ยากเพราะยังไม่เป็นข้อมูลที่มีการแจกแจงอันตรภาคชั้นครับ จึงให้
อยากให้เตรียมตัวในส่วนนั้นด้วย สูตรก็เยอะอีกแล้วครับเรื่องนี้ ถ้าเราค่อยๆอ่าน ค่อยเป็นค่อยไป พี่ว่าคงไม่
เหลือบ่ากว่าแรงที่จะทาเรื่องนี้ให้เป็นเรื่องง่ายได้ครับ
ฮืออ…ฮือมม…อ่านยังไงก็ไม่ทันอ่ะ จะ อ่านไม่ทัน อ่านไม่ทัน อ่าน
สอบแล้ว เครียด ไม่ทัน….ๆๆๆๆๆ
ค่อยๆอ่านซิ มีสมาธิหน่อย ตั้งสติ แล้วเริ่มอ่านได้แล้ว มัวแต่
ร้อง มัวแต่หัวชนฝา เมื่อไหร่จะได้อ่าน
𝟐𝟖. กาหนดข้อมูลดังต่อไปนี้
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑
𝒚 𝟏 𝒓 𝒔 𝟕. 𝟓
ถ้าข้อมูลชุดนี้ มีสมการที่ใช้ประมาณค่า 𝒚 คือ 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 แล้วค่าของ 𝒔 คือข้อใดต่อไปนี้
[𝟏] 𝟑. 𝟓 𝟐 𝟒
[𝟑] 𝟒. 𝟓 𝟒 𝟓
เฉลย พิจารณา 𝑦 = 2𝑥 + 1 _______(∗) จากคุณสมบัติของ Summation
4 4 4 4
𝑦𝑖 = (2𝑥 𝑖 + 1) = 2 𝑥𝑖 + 1
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1
4
พิจารณาจากตารางจะได้ว่า 𝑖=1 𝑦 𝑖 = 1 + 𝑟 + 𝑠 + 7.5 = 𝑟 + 𝑠 + 8.5 ,
4 4
2 𝑖=1 𝑥 𝑖 = 2(0 + 1 + 2 + 3) = 12 และ 𝑖=1 1 =4
ดังนั้น 𝑟 + 𝑠 + 8.5 = 12 + 4 = 16 ⟹ 𝑟 + 𝑠 = 7.5 ____________(1)
นา 𝑥 คูณ (∗) จะได้ว่า 𝑦𝑥 = 2𝑥 2 + 𝑥 จากสมบัติของ Summation จะได้ว่า

49. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 49
4 4 4 4
𝑦𝑖 𝑥𝑖 = (2𝑥 2 + 𝑥 𝑖 ) = 2
𝑖 𝑥2 +
𝑖 𝑥𝑖
𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1
4
พิจารณา 𝑖=1 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 = 1 ⋅ 0 + 𝑟 ⋅ 1 + 𝑠 ⋅ 2 + 7.5 ⋅ 3 = 𝑟 + 2𝑠 + 22.5
4
2 𝑖=1 𝑥 2 + 4 𝑥 𝑖 = 2(02 + 12 + 22 + 32 ) + 6 = 28 + 6 = 34
𝑖 𝑖=1
ดังนั้น 𝑟 + 2𝑠 + 22.5 = 34 ⟹ 𝑟 + 2𝑠 = 11.5 ____________(2)
จาก (1) และ (2) แก้สมการหา 𝑟 และ 𝑠 โดย (2) − (1); 𝑠 = 4 (เราไม่จาเป็นต้องหา 𝑟 ก็ได้เพราะโจทย์ไม่ต้องการ)
ตอบข้อ [2]
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้เป็นเรื่องการประมาณค่า ซึ่งเป็นข้อที่ไม่ค่อยพบเห็นกันมากนัก โดยข้อนี้ได้รับความ
ช่วยเหลือจาก ธนิต เพื่อนที่เรียนด้วยกัน ต้องขอบคุณอย่างมาก ที่ช่วยเหลือ เพราะลืมเนื้อหาส่วนนี้ไปแล้ว
ตอนแรกก็คิดอยู่ว่าจะทายังไง ถ้าจะแทน 𝟐 ลงในตัว 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 ได้ 𝒙 = 𝟓 ก็นึกอยู่ว่าโจทย์จะให้
𝒓 มาเพื่อ....จึงตั้งข้อสันนิษฐานว่า มันน่าจะมีอะไรแน่ๆ สุดท้ายก็ไม่ได้ง่ายอย่างที่คิดอย่างที่เห็นครับ
จึงเป็นบทเรียนจากโจทย์ว่า การที่โจทย์ให้ข้อมูลเรามาแต่ไม่ได้ใช้ มันน่าจะมีอะไรแน่ๆ ให้คิดไว้ก่อน เพราะบาง
ทีก็อาจจะไม่ได้ใช้จริงๆก็เป็นได้ แต่ส่วนใหญ่จะใช้ข้อมูลจนครบครับ ถึงจะแก้โจทย์ข้อนั้นออก
เหนื่อยนัก ก็ฟังเพลงที่คุณชอบ
แล้วจะพบว่า คลายเครียดดีออก
ตอนที่ 𝟑 ข้อสอบอัตนัยแบบเติมคาตอบ จานวน 𝟏𝟎 ข้อ ข้อ 𝟑 คะแนน
𝟏. กาหนดให้ 𝒙 เป็นจานวนเต็มบวก ที่ประกอบด้วยเลขโดด 𝟒 หลัก ถ้า 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑 และ
𝟏𝟓 หาร 𝒙 ลงตัว แล้วจงหาค่าของ 𝒙
เฉลย เริ่มจากเราจะหา ค.ร.น. ของ 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 15 เราสามารถตัดตัวเลขบางตัวออกได้ถ้าหารกันลง
ตัว เพราะ ค.ร.น. จะเป็นตัวมาก เช่น ระหว่าง 3, 5, 15 ตัด 3, 5 ทิ้งเหลือไว้แค่ 15 (เพราะทั้งคู่ หาร 15 ลงตัว)
2, 4, 6, 12 ตัด 2, 4, 6 ทิ้งเหลือไว้แค่ 12 (เพราะทั้งสาม หาร 12 ลงตัว)
ตอนนี้เราจะเหลือแค่ 10, 11, 12, 13, 15
ค.ร.น. 10, 12, 15 คือ 60 (อันนี้เราสามารถเลือกหา ค .ร.น.ระหว่างตัวไหนก่อนก็ได้)
ค.ร.น. 60, 11, 13 คือ 8580 ดังนั้น 𝑥 = 8580
ข้อสังเกต ถ้าเรานา 8580 ⋅ 2 = 17180 คือตัวเลขถัดไปที่หารด้วย 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 15 ลงตัวแต่
ไม่ใช่ตัวเลข 4 หลักตามที่เราต้องการ เพราะฉะนั้น 𝑥 = 8580 เพียงตัวเดียว

50. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 50
ตอบ 𝑥 = 8580
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้เป็นเรื่อง ค .ร.น ที่อยู่ในเรื่องทฤษฎีจานวนที่ดูเหมือนเป็นบทเล็กๆ แต่ก็เล็กพริกขี้หนู
นะครับ เพราะนามาออกข้อสอบได้หลากหลายรูปแบบ แต่ถ้าเราเจอโจทย์ประเภทนี้บ่อยๆจากการทาโจทย์
เราก็จะพบว่า ไม่ยากเกินความสามารถหรอกครับ
1 2
2. กาหนดให้ 𝐴 = จงหาค่าของ 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋅⋅⋅ +𝐴50 )
0 1
เฉลย พิจารณา 1 2 ดังนั้น 𝐴 ⋅ 𝐴 = 𝐴2 = 1 2 1 2 = 1 4
0 1 0 1 0 1 0 1
เสนอวิธีการคูณของเมตริกซ์ดังต่อไปนี้
ตั้ง 𝐴2 = 𝐴 ⋅ 𝐴 ไว้ดังภาพ
เลข 1 มาจาก นา (1 × 1) + (2 × 0) = 1 เลข 4 มาจาก นา (1 × 2) + (2 × 1) = 1
ดังนั้น 1 2 1 2 = 1 4 เป็นอย่างไรบ้างครับ ง่ายขึ้นมั้ย
0 1 0 1 0 1
เลข 0 มาจาก นา (0 × 1) + (1 × 0) 3 0 2
= เลข 1 มาจาก นา (0 × 2) + (1 × 1) = 1
โดยการพิจารณาการคูณเช่นเดียวกันจะได้ว่า 𝐴 = 𝐴 ⋅ 𝐴 = 0 1 1 2 = 1 6
0 4 0 1 0 1
1 6 1 2 1 8
𝐴4 = 𝐴3 ⋅ 𝐴 = =
0 1 0 1 0 1
18 1 2 1 10
𝐴5 = 𝐴4 ⋅ 𝐴 = =
01 0 1 0 1
𝑛 𝑛−1 1 2𝑛
และเราสังเกตว่า 𝐴 = 𝐴 ⋅ 𝐴 =
0 1
ดังนั้น 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋅⋅⋅ +𝐴50 = 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8
+ ∙∙∙ +
1 100
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
50 2550∗
=
0 50
จาก * เราพิจารณาจาก

51. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 51
2 1 + 50 50
2 + 4 + 6 + 8 + ∙∙∙ +100 = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ∙∙∙ +50) = = 2550
2
𝑛 1+𝑛 𝑛
(จากสูตรผลรวม 𝑖=1 𝑖 = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +𝑛 = 2
) หรือ ท่องว่า “ต้นบวกปลาย คูณปลาย หารสอง ”
ดังนั้น 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋅⋅⋅ +𝐴50 ) = 𝑑𝑒𝑡 50 2550 = (50 × 50) − (0 × 2550) = 2500
0 50
ตอบ 2500
วิเคราะห์ : ข้อสอบข้อนี้เป็นเรื่องเมตริกซ์ผสมกับอนุกรมเล็กน้อยครับถือว่าไม่ยากสมกับคะแนน
เพราะฉะนั้นไม่ได้คะแนนก็น่าเสียดายแย่ เพราะใช้แค่การคูณเมตริกซ์ และหาดีเทอร์มิเนนท์ และผลรวม
แบบง่ายๆ
ขอนแก่น
ขอนแก่น ขอนแก่น
ธรรมศาสตร์ จุฬา มหิดล
เอาอะไรดีน้อ ?
𝟑. ให้ [𝒙] หมายถึง จานวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 𝒙 ถ้า 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎(𝒙 − [𝒙]) และ
𝒚 = (𝒇𝒐𝒇𝒐𝒇)(𝟏𝟐. 𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕) แล้ว จงหาค่าของ [𝒚]
เฉลย เนื่องจากคุณสมบัติของคอมโพสิทฟังก์ชัน (𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥
พิจารณา 𝑓(𝑥) = 10(𝑥 − [𝑥]) ⟹ 𝑓(12.34567) = 10(12.34567 − [12.34567])
= 10(12.34567 − 12)
= 10(0.34567)
= 3.4567
พิจารณา 𝑓 𝑓 12.34567 = 𝑓(3.4567) = 10(3.4567 − [3.4567])
= 10(3.4567 − 3)
= 10(0.4567)
= 4.567
ขั้นสุดท้ายแล้วครับ 𝑓 𝑓 𝑓 12.34567 = 𝑓(4.567) = 10(4.567 − [4.567])
= 10(4.567 − 4)

52. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 52
= 10(0.567)
= 5.67
ตอบ 5.67
วิเคราะห์ : ข้อนี้ก็ค่อนข้างง่ายมากอีกแล้วครับ แค่เข้าใจแบรงค์เก็ต [ ] ว่าเป็นจานวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่
น้อยกว่าค่าที่อยู่ใน [ ] เช่น [𝟑. 𝟐] = 𝟑, [𝟒. 𝟔𝟕𝟖𝟗] = 𝟒 และเข้าใจเรื่องคอมโพสิทฟังก์ชันนิดหน่อยก็ได้
คะแนนแล้วบางทีง่ายกว่าข้อละ 𝟐 คะแนนด้วยซ้า ไม่ควรพลาดนะครับข้อนี้
มีส้ม 5 ผลอยู่ในกล่อง 1 ใบ จะแบ่งส้มให้คน 5 คน อย่างไร เพื่อให้แต่ละคน
ได้ส้มไปคนละผล แต่มีส้ม 1 ผลอยู่ในกล่อง และห้ามฉีกส้มตอนแบ่ง
_______
𝟒. ให้ 𝑨(𝟒, 𝟓) เป็นจุดบนพาราโบลา 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ซึ่งมีจุด 𝑽 เป็นจุดยอดและ 𝑭 เป็นจุด
โฟกัส ถ้า 𝑳 𝟏 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด 𝑨 และ 𝑭 𝑳 𝟐 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด 𝑽 และขนานกับ 𝑳 𝟏 จงหาระยะห่าง
ระหว่างเส้นตรง 𝑳 𝟏 และ 𝑳 𝟐
เฉลย พิจารณาสมการพาราโบลา 𝑦 2 − 2𝑦 − 4𝑥 + 1 = 0 ดังนี้
𝑦 2 − 2𝑦 = 4𝑥 − 1
𝑦 2 − 2𝑦 + 12 = 4𝑥 − 1 + 12 = 4𝑥 − 1 + 1 = 4𝑥(ดูแนวคิดจากข้อ 8 ตอนที่ 1)
(𝑦 − 1)2 = 4(𝑥 − 0)
เมื่อเทียบกับรูปมาตรฐานของสมการพาราโบลา (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑐(𝑥 − 𝑕)
จะได้ ( 𝑕, 𝑘) = (0, 1), 4𝐶 = 4 ⟹ 𝐶 = 1
เรามาทบทวนเกี่ยวกับรูปแบบมาตรฐานของพาลาโบลากันก่อนดีกว่า
2
𝑥− 𝑕 = 4𝑐(𝑦 − 𝑘) ⟹ 𝑦 กาลังเดี่ยว แกนสมมาตรขนานแกน 𝑦
𝑐 > 0 ⟹ กราฟหงาย , 𝑐 < 0 ⟹ กราฟคว่า
2
𝑦− 𝑘 = 4𝑐(𝑥 − 𝑕) ⟹ 𝑥 กาลังเดี่ยว แกนสมมาตรขนานแกน 𝑥
𝑐 > 0 ⟹ กราฟตะแคงขวา , 𝑐 < 0 ⟹ กราฟตะแคงซ้าย

53. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 53
จากสมการมาตรฐาน (𝑦 − 1)2 = 4(𝑥 − 0) มี 𝑥 กาลังเดี่ยว (ดีกรีหนึ่งครับ) จะได้แกนสมมาตรขนานแกน 𝑥 และ
𝑐 > 0 ทาให้เราทราบว่ากราฟตะแคงขวา เราพิจารณาวาดกราฟคร่าวๆได้ดังนี้
และเนื่องจากจุด โฟกัสของพาราโบลา อยู่ห่างจากจุดยอด (𝑕, 𝑘) = (0, 1) เป็นระยะ 𝑐 = 1 = 1 เสมอจะได้ จุด
โฟกัสคือ 𝐹(1, 1) ต่อไปพิจารณา 𝐿1 เป็นเส้นตรงที่ผ่าน 𝐴(4, 5) และ 𝐹(1, 1) ดังภาพ และ 𝐿2 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด
(0, 1) และขนาน 𝐿1 ดังภาพ เราต้องการหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง 𝐿1 และ 𝐿2 ให้เป็นระยะ 𝑑 ดังภาพ การหา
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเราจาเป็นต้องหาสมการของเส้นตรงทั้งสองเส้นเสียก่อน
𝑦2 −𝑦1
พิจารณา 𝐿1 มีความชัน 𝑚 = 𝑥 2 −𝑥 1
เมื่อรู้จุดผ่านสองจุดคือ (𝑥1 , 𝑦1 ) และ (𝑥2 , 𝑦2 )
จะได้ 𝑚 = 5−1 = 4 ดังนั้นสมการเส้นตรง 𝐿1 คือ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) เมื่อ (𝑥1 , 𝑦1 ) คือจุดผ่านเส้นตรง
4−1 3
หาสมการเส้นตรง 𝐿1 ได้ดังนี้
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
4
𝑦 − 5 = 3 (𝑥 − 4)
3𝑦 − 15 = 4𝑥 − 16

54. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 54
0 = 4𝑥 − 3𝑦 − 1
นั่นคือ 𝐿1 : 4𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
ต่อไปหาสมการ 𝐿2 เนื่องจาก 𝐿1 //𝐿2 ดังนั้นความชัน 𝐿2 และ 𝐿1 เท่ากัน
สมการ 𝐿2 คือ
4
𝑦 − 1 = 3 (𝑥 − 0)
3𝑦 − 3 = 4𝑥
0 = 4𝑥 − 3𝑦 + 3
นั่นคือ 𝐿2 : 4𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0
สูตรระยะห่างระหว่างเส้นตรง 𝐿1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐1 = 0 กับ 𝐿2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐2 = 0 คือ
𝑐1 − 𝑐2
𝑑=
𝐴2 + 𝐵 2
ดังนั้น
−1 − 3 −4 4
𝑑= = =
42 + (−3)2 5 5
ตอบ 0.8
วิเคราะห์ : ข้อนี้เช่นเคยครับน้องๆ เรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ ต้องทายาวกันหน่อย เพราะต้องวิเคราะห์อย่าง
ละเอียดและทาเป็นขั้นเป็นตอน ทีสาคัญคือสูตรแหละครับ ที่ขาดไม่ได้เลย ฝึกทาแล้วต้องจาสูตรให้ได้ด้วย
นะครับ
ถ้า ผู้ชาย 4 คน ขุดหลุม 4 หลุม ใช้
เวลา 8 วัน แล้วผู้ชายคนเดียวขุดหลุมครึ่งหลุมใช้
เวลากี่วัน ?

55. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 55
𝟓. กาหนดให้ 𝒂, 𝒃 เป็นคาตอบสมการ 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝒙 + 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝒙 𝟓 = 𝟑 โดยที่ 𝒂 < 𝑏 ถ้า 𝑰+ แทนเซตของจานวน
เต็มบวก และ 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑰+|𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] และ 𝟑 หาร 𝒙 ลงตัว} แล้วจงหาจานวนสมาชิกของเซต 𝑨
เฉลย
𝑙𝑜𝑔5 𝑥 + 2𝑙𝑜𝑔 𝑥 5 = 3
2 1
𝑙𝑜𝑔5 𝑥 + = 3 (จาก 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 = )
𝑙𝑜𝑔 5 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎
ให้ 𝐴 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 จะได้ว่า
2
𝐴+ 𝐴=3
𝐴2 + 2 = 3𝐴
𝐴2 − 3𝐴 + 2 = 0
(𝐴 − 2)(𝐴 − 1) = 0
𝐴 = 2, 𝐴 = 1
ดังนั้น 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 2 ⟹ 𝑥 = 52 ⟹ 𝑥 = 25 (จาก 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⟹ 𝑥 = 𝑎 𝑏 )
จาก 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = 51 ⟹ 𝑥 = 5 แสดงว่า 𝑎 = 5, 𝑏 = 25 (โจทย์ให้ 𝑎 < 𝑏)
ต่อไปพิจารณาเซต 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐼 +|𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] และ 3 หาร 𝑥 ลงตัว}
พิจารณา 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] = [5, 25] ⟹ 𝑥 = 5, 6, 7, 8, … , 25 และ 3 หาร 𝑥 ลงตัวจะได้ 𝑥 ทั้งหมดคือ
𝑥 = 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 จานวนสมาชิกของ 𝐴 คือ 7
ตอบ 7
วิเคราะห์ : ไม่ยากครับข้อนี้ได้คะแนนเน้นๆแบบง่ายๆ ไม่ยุ่งยากซับซ้อนเท่าใดนัก และเรื่องลอการิทึมและ
เอกซ์โปเนนเชียลต้องแม่นซักหน่อยนะครับ ถ้าทาบ่อยก็คงไม่มีปัญหาครับ
มีคนรักอยู่ไกลเอาใจยาก
แฟนเขามากเราไม่รู้ดูไม่เห็น
ความรักเขาเปรียบเสมือนสายลมเย็น
เมื่อไม่เห็นหน้าเราเขาก็ลืม
แฟนเขามากเราไม่รู้ดูไม่เห็น
ความรักเขาเปรียบเสมือนสายลมวามรักเขาเปรียบเสมือนสายลมเย็น
เมื่อไม่เห็นหน้าเราเขา

56. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 56
𝟔. ให้ 𝑨𝑩𝑪𝑫 เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน 𝑴 และ 𝑵 เป็นจุดบนด้าน 𝑩𝑪 และ 𝑪𝑫 ตามลาดับโดยที่ อัตราส่วน
𝑩𝑴: 𝑴𝑪 = 𝑫𝑵: 𝑵𝑪 = 𝟏: 𝟐 ถ้า 𝑨𝑪 = 𝜶𝑨𝑴 + 𝜷𝑨𝑵 แล้วจงหาค่า 𝜶 + 𝜷
เฉลย
𝐴 𝐵
𝑀
𝐷 𝑁 𝐶
ดูภาพประกอบเลยนะครับ
ตอนแรกเราต้องทาความเข้าใจเกี่ยวกับเวกเตอร์เล็กน้อย เมื่อกล่าวถึง 𝐴𝐵 หมายถึง เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด 𝐴 และมีจุด
ปลายที่ 𝐵 เวกเตอร์จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ มีทิศทางเดียวกัน และขนานกันด้วย
ในภาพเราจะสังเกตเห็นว่า 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 และสังเกตได้อีกว่า 𝐵𝑀 = 1 𝐵𝐶 เพราะ 𝐵𝑀: 𝑀𝐶 = 1: 2 จึงแบ่ง 𝐵𝐶
3
ออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน และ 𝐵𝑀 ก็จะเป็นหนึ่งในสามของทั้งหมดนั่นเอง
ตอนนี้เราจะเริ่มหาแล้วนะครับ
เนื่องจาก 𝐴𝑀 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 = 𝐴𝐵 + 1 𝐵𝐶 และ 𝐴𝑁 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝑁 = 𝐵𝐶 + 1 𝐷𝐶 = 𝐵𝐶 + 1 𝐴𝐵
3 3 3
1 1 4 4 4 4
ดังนั้น 𝐴𝑀 + 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵 + 3 𝐵𝐶 + 𝐵𝐶 + 3 𝐴𝐵 = 3 𝐴𝐵 + 3 𝐵𝐶 = 3 ( 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶) = 3 𝐴𝐶
3
นั่นคือ 𝐴𝐶 = 4 𝐴𝑀 + 3 𝐴𝑁 จะได้ 𝛼 = 3 , 𝛽 = 3 ⟹ 𝛼 + 𝛽 = 3 + 3 = 6 = 3
4 4 4 4 4 4 2
ตอบ 1.5
วิเคราะห์ : เรื่องเวกเตอร์ที่ออกประมาณนี้ก็เห็นเยอะเหมือนกันครับ แต่ถ้าเราทาไม่ถูกทางก็งมอยู่นาน
เหมือนกัน ทาให้เสียเวลาเยอะ เพราะโจทย์ประเภทนี้ทาได้หลากหลายทางแต่จะได้คาตอบเดียวกัน และส่วน
ใหญ่ก็จะไปไม่ถึงฝั่งกันครับ เพราะฉะนั้นมีหนทางเดียวที่จะพิชิตโจทย์ประเภทนี้ได้คือ ทาบ่อยๆครับ
รักคนบ้านไกลเอาใจยาก แฟนเขามากเราไม่รู้ดูไม่เห็น เขารักเราเขาก็รักคนอื่นเป็น เขาไม่เห็นหน้าเราเขาก็ลืม

57. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 57
𝟕. ให้ 𝑨 = {𝒛|𝒛 𝟐 − (𝟐 − 𝒊)𝒛 − 𝟐𝒊 = 𝟎} และ 𝑩 = {𝒛|𝒛 𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐𝒊} ถ้า 𝑪 = { 𝒛 𝟐 |𝒛 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩}
แล้วจงหาค่าผลบวกของสมาชิกของ 𝑪
เฉลย พิจารณาหาคาตอบของสมการ 𝑧 2 − (2 − 𝑖)𝑧 − 2𝑖 = 0
จากสูตร
−𝑏 ± 𝑏 − 4𝑎𝑐
𝑧=
2𝑎
จากสมการจะได้ 𝑎 = 1, 𝑏 = −(2 − 𝑖), 𝑐 = −2𝑖
ดังนั้น
2− 𝑖±−(2 − 𝑖) 2 − 4(1)(−2𝑖)
𝑧=
2(1)
2 − 𝑖 ± 4 − 4𝑖 + 𝑖 2 + 8𝑖
=
2
2 − 𝑖 ± 4𝑖 + 3
𝑧= ________(∗)
2
พิจารณารากของสมการ 𝑧 2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 คือ
𝑟+ 𝑎 𝑟− 𝑎
𝑧=± + 𝑖
2 2
โดย 𝑟 = 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏 2
ดังนั้นเราจะหา 3 + 4𝑖 จากสูตร
𝑟+ 𝑎 𝑟− 𝑎
𝑧= + 𝑖 (ทาไมต้องเป็นค่าบวกคิดหน่อยนะ)
2 2
5+3 5−3
𝑧= + 𝑖 = 2− 𝑖
2 2
จาก (∗) จะได้ว่า
2 − 𝑖 ± (2 − 𝑖) 2− 𝑖+2+ 𝑖 2− 𝑖−2− 𝑖
𝑧= คาตอบมีสองค่าคือ 𝑧 = และ 𝑧 = = −𝑖
2 2 2
พิจารณา 𝐵 = {𝑧|𝑧 2 = 5 − 12𝑖} พิจารณาคาตอบของ 𝑧 2 = 5 − 12𝑖 ดังนี้

58. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 58
𝑟+ 𝑎 𝑟− 𝑎
𝑧=± + 𝑖
2 2
13 + 5 13 − 5
=± + 𝑖
2 2
= ±(3 + 2𝑖)
𝑧 = 3 + 2𝑖, 𝑧 = −3 − 2𝑖
ดังนั้น 𝐴 ∪ 𝐵 = {2, −𝑖, 3 + 2𝑖, −3 − 2𝑖}
พิจารณา 𝐶 = { 𝑧 2 |𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵}
ถ้า 𝑧 = 2 ⟹ 𝑧 = 22 + 02 = 2 ⟹ 𝑧 2 = 22 = 4
ถ้า 𝑧 = −𝑖 ⟹ 𝑧 = 02 + (−1)2 = 1 ⟹ 𝑧 2 = 1
2
ถ้า 𝑧 = 3 + 2𝑖 ⟹ 𝑧 = 32 + 22 = 13 ⟹ 𝑧 2 = 3 = 13
2 2
ถ้า 𝑧 = −3 − 2𝑖 ⟹ 𝑧 = −3 2 + −2 2 = 13 ⟹ 𝑧 = 3 = 13
ดังนั้น 𝐶 = {4, 1, 13}
ผลบวกของสมาชิกในเซต 𝐶 คือ 4 + 1 = 13 = 18
ตอบ 18
วิเคราะห์ : เรื่องจานวนเชิงซ้อนเป็นเรื่องใหญ่พอสมควรแต่สังเกตเห็นไหมว่าในข้อนี้ ใช้สูตรหาคาตอบ
เหมือนเรื่องจานวนจริงถ้าเราจาได้ตั้งแต่เรื่องจานวนจริงก็ไม่จาเป็นต้องท่องอีก และเรื่องจานวนเชิงซ้อนยัง
มีหัวข้ออื่นที่นามาออกข้อสอบบ่อยเช่น รากของจานวนเชิงซ้อน การยกกาลังของจานวนเชิงซ้อน คาตอบ
ของสมการ เป็นต้น
หัวกระโหลกกาลังมีแทงปอด ตีด้วยน็อตฟาดด้วยชามตามด้วยไห หนีบด้วยคีบจิ้มด้วยเกลือลนด้วยไฟ
ทาอย่างไรก็ไม่หายคิดถึงเธอ
𝟖. ให้ 𝑮 เป็นกราฟที่มีเซตของจุดยอดเท่ากับเซตของจานวนเฉพาะหกตัวแรก โดยที่จุดยอด 𝒊 และ 𝒋 มีเส้นเชื่อม
ระหว่างสองจุดยอดนี้ก็ต่อเมื่อ 𝒊 ≠ 𝒋 และ 𝒊 + 𝒋 < 10 จงหาจานวนเส้นที่น้อยที่สุดที่สามารถเพิ่มให้กับ 𝑮 เพื่อ
ทาให้ 𝑮 เป็นกราฟออยเลอร์
เฉลย จากเงื่อนไขของโจทย์ถ้าลองวาดกราฟอย่างคร่าวๆ โดยการลงจุดและลงเส้น และเงื่อนไข 𝑖 ≠ 𝑗 และ 𝑖 + 𝑗 < 10
เราจะได้ดังภาพ
2 3 5 7 11 13

59. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 59
เนื่องจากกราฟออยเลอร์คือกราฟที่เราสามารถลากจากจุดเริ่มต้น(จุดใดก็ได้) ไปยังจุดสุดท้ายโดยที่ซ้าจุดเดิมได้แต่ห้ามซ้า
เส้นและต้องกลับมา ณ จุดเริ่มต้นเสมอ เราจะอาศัยทฤษฎีบทหนึ่งที่สาคัญมากๆเกี่ยวกับกราฟออยเลอร์นั่นคือ
กราฟจะเป็นกราฟออยเลอร์ได้ก็ต่อเมื่อดีกรีทุกจุดในกราฟเป็นคู่หมด
ดังนั้นเราจะต้องเพิ่มเส้นเชื่อมให้น้อยที่สุดเพื่อทุกจุดมีดีกรีเป็นคู่นั่นเอง ทาได้หลายวิธีแต่ใช้อย่างน้อยที่สุดคือ 3 เส้นดังภาพ
2 3 5 7 11 13
ตอบ 3
วิเคราะห์ : เรื่องกราฟอาจเป็นเรื่องใหม่สาหรับทุกคน เพราะเพิ่งเพิ่มเข้ามาในหลักสูตรเมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมา
ตอนพี่เรียนมัธยมก็ไม่เคยได้เรียนเลย เพิ่มมาเรียนตอนเรียนปริญญาตรีนี่เอง เรื่องกราฟถ้าสังเกตแล้วก็
ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร อ่านแป็บเดียวก็น่าจะเสร็จ และข้อสอบก็เลือกที่จะออกไม่ยากนัก ส่วนใหญ่ก็วนอยู่กับ
กราฟออยเลอร์เนี่ยแหละครับ แต่อย่าลืมทุกส่วนก็มีความสาคัญไม่น้อยเหมือนกัน
ไม่อยากเป็นบิ๊กเเอสเล่นของสูง
ไม่อยากเป็นเเคลชที่ถามหาไออุ่นรัก
ไม่อยากเป็นไอนําที่อกหัก
เเค่อยากเป็นคนที่ถูกรักเหมือนบอดี้สเเลม
𝟗. กาหนดจุด 𝟗 จุดบนเส้นรอบวงกลมวงหนึ่ง ถ้า 𝒙 และ 𝒚 เป็นจานวนรูปหลายเหลี่ยมที่บรรจุภายในวงกลม
โดยใช้จุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุมและมีจานวนเหลี่ยมเป็นคี่ และคู่ตามลาดับแล้วจงหาค่า 𝒙 − 𝒚
เฉลย เมื่อวาดรูปวงกลมและมีจุด 9 จุดเป็นจุดบนเส้นรอบวงดังภาพ

60. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 60
ให้ 𝑥 เป็นจานวนรูปหลายเหลี่ยมที่มีจานวนเหลี่ยมเป็นคี่ มีความเป็นไปได้คือ 3, 5, 7, 9 เหลี่ยม
กรณี 3 เหลี่ยมมีได้ทั้งหมด 9 = 84 รูป
3
กรณี 5 เหลี่ยมมีได้ทั้งหมด 9 = 126 รูป
5
กรณี 7 เหลี่ยมมีได้ทั้งหมด 9 = 36 รูป
7
กรณี 9 เหลี่ยมมีได้ทั้งหมด 9 = 1 รูป
9
ดังนั้น 𝑥 = 84 + 126 + 36 + 1 = 247
ให้ 𝑦 เป็นจานวนรูปหลายเหลี่ยมที่มีจานวนเหลี่ยมเป็นคี่ มีความเป็นไปได้คือ 4, 6, 8 เหลี่ยม
กรณี 4 เหลี่ยมมีได้ทั้งหมด 9 = 21 รูป
4
กรณี 6 เหลี่ยมมีได้ทั้งหมด 9 = 84 รูป
6
กรณี 8 เหลี่ยมมีได้ทั้งหมด 9 = 9 รูป
8
ดังนั้น 𝑦 = 21 + 84 + 9 = 144
ดังนั้น 𝑥 − 𝑦 = 247 − 144 = 133

61. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 61
ตอบ 133
วิเคราะห์ : เรื่องนี้เราประยุกต์ใช้กับการเลือก ซึ่งถ้าเคยทาข้อประมาณนี้ก็คิดไม่ยากเลยครับ คิดเลขนิดเดียว
ก็ได้คะแนนตั้ง 𝟑 คะแนนแล้ว อย่างนี้ต้องฝึกทาโจทย์ประเภทนี้บ่อยๆนะครับ
เทอคบคายรักคายฉันม่ายว่า
แต่อย่ามาควงแขนหั้ยฉานเหง
ฉานม่ายช่ายมนุษย์ที่จายเย็น
ถ้าฉานเหงถีบกระเด็นทั้งคู่ไม่รู้ตัว
𝟏𝟎. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยมีการแจกแจงแบบปกติและมีมัธฐานเท่ากัน เด็กหญิงดาว
พบว่าคะแนนในวิชาคณิตศาสตร์ของตนอยู่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 𝟕𝟖. 𝟖𝟏 ซึ่งเท่ากับเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนน
ภาษาไทยที่ได้พอดี แต่คะแนนคณิตศาสตร์นั้นมากกว่าคะแนนภาษาไทยอยู่ 𝟐𝟎 คะแนน ถ้า 𝑨 และ 𝑩 เป็นส่วน
เบี่ยงเบนมาตราฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยตามลาดับ แล้ว จงหาค่าของ 𝑨 − 𝑩
𝒛 𝟎. 𝟕𝟎 𝟎. 𝟖𝟎 𝟎. 𝟗𝟎
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง 𝟎. 𝟐𝟓𝟖𝟎 𝟎. 𝟐𝟖𝟖𝟏 𝟎. 𝟑𝟏𝟓𝟗
เฉลย เนื่องจากทั้งสองวิชามีการแจกแจงปกติ และมัธยฐานเท่ากัน ดังนั้น จึงมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากันด้วย
เนื่องจากคะแนนวิชาคณิตศาสตร์อยู่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 78.81 คิดเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 0.7881 ดังภาพ
พิจารณาคะแนนคณิตศาสตร์
𝑥−𝜇 𝑥−𝜇 𝑥−𝜇
จากสูตร 𝑧 = 𝜎
⟹ 𝑧= 𝐴
⟹ 𝐴= 𝑧
______(1)
พิจารณาคะแนนภาษาไทย
𝑥−𝜇 𝑦−𝜇 𝑥−20−𝜇 𝑥−20−𝜇
จากสูตร 𝑧 = 𝜎
⟹ 𝑧= 𝐵
= 𝐵
⟹ 𝐵= 𝑧
_________(2)

62. เฉลยข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ โควตา ม .ขอนแก่น ปีการศึกษา 2550 โดย พี่เปี๊ยก 62
จากโจทย์ต้องการหาค่า 𝐴 − 𝐵 เราจะหาจาก (1) − (2)
20 20
𝐴− 𝐵= = = 25
𝑧 0.8
ตอบ 25
วิเคราะห์ : เรื่องนี้ก็ยากสาหรับผมครับเพราะผมไม่ค่อยชอบเรื่องนี้เป็นทุกเดิมอยู่แล้ว แต่ถ้าได้ทบทวนก็คิด
ว่าไม่เกินความสามารถหรอกครับ น้องๆก็เหมือนเรื่องสถิติเป็นเรื่องสาคัญมากๆ เพราะเรียนตั้งแต่ม . 𝟑 ยัน
ม.𝟔 กันเลยทีเดียว และออกข้อสอบหลายข้อเลยทีเดียวเรื่องนี้อาจจาเป็นต้องท่องสูตรสักหน่อยแต่ถ้าขยัน
อ่านขยันท่องก็ไม่เกินความสามารถหรอกครับ
I love you คู่ฟ้าสตาร์ดับ
The sun ลับขอบฟ้าหมดราศี
and the moon สิ้นแสงแห่งราตรี
But for me I love you รู้หรือยัง
พีหวังว่าทุกคนคงได้อะไรบ้างจากการอ่านเอกสารเล่มนี้ ถ้ามีอะไรผิดพลาด ก็ขออภัยด้วย หวังว่าโอกาสหน้าคงได้ปรับปรุงตัวใหม่และ
่
ทําให้ดีกว่านี้ ถ้ามีอะไรที่อยากแนะนํา กรุณาเมลล์มาที่ mercedesbenz_3010@hotmail.com ขอบคุณคร้าบ