Στιγμιαία ταχύτητα Αςθεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t. H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού.
3.
Στιγμιαία ταχύτητα Κάποια χρονική στιγμή το κινητό βρίσκεται στη θέση Μ 0 και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή t = t 0 + h , βρίσκεται στη θέση Μ.
4.
Στιγμιαία ταχύτητα Στοχρονικό διάστημα από t έως t 0 η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t) – S(t 0 ). H μέση ταχύτητα του κινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναι S(t) – S(t 0 ) t – t 0
5.
Στιγμιαία ταχύτητα Όσοτο t είναι πλησιέστερα στο t 0 , τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρ υ θ μ ό α λ λ α γ ή ς της θέσης του κινητού κοντά στο t 0 . Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο t 0 , το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και τη συμβολίζουμε με: S(t) – S(t 0 ) t – t 0 υ (t 0 ) = lim t t 0
6.
Σχόλιο Όταν ένακινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει : Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 > 0 ≥ 0 υ (t 0 )
7.
Σχόλιο Όταν ένακινητό κινείται προς τα αριστερά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει: Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 < 0 ≤ 0 υ (t 0 )
8.
Εφαπτομένη γραφικής παράστασηςΓνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. Α O
9.
Εφαπτομένη γραφικής παράστασηςΓνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. εφαπτομένη στο Α Α Μ 2 Μ 1 O Μ 3
10.
Γνωρίζουμε ότι ότανμία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης O Α (ε)
11.
x O yΕφαπτομένη γραφικής παράστασης f (x 0 ) A C f x 0
12.
x O Cf x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης
13.
(ε) x OC f x 0 A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης M(x, f(x))
14.
(ε) x OC f x x 0 M (x, f(x)) A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x)
15.
(ε) x OC f x x 0 M (x, f(x)) A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x)
16.
(ε) x OC f x x 0 M A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f
17.
x O Cf x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –
18.
x O Cf x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –
19.
Έστω f μιασυνάρτηση και ένα σημείο της A (x 0 , f(x 0 )). Αν υπάρχει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ( ε ) : που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x x 0
20.
Εξίσωση εφαπτομένης Ηεξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) είναι: λ = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x x 0
21.
Παράδειγμα Έστω ησυνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). Υπολογίζουμε το όριο: = = = = = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x 1 x 2 – 1 x – 1 lim x 1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x 1 (x + 1 ) = lim x 1
22.
Παράδειγμα Έστω ησυνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). Υπολογίζουμε το όριο: = = = = (x + 1 ) = 2 lim x 1 = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x 1 x 2 – 1 x – 1 lim x 1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x 1
23.
Παράδειγμα Έστω ησυνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). Υπολογίσαμε το όριο: = 2 Επειδή το όριο είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε ορίζεται η εφαπτομένη στο Α (1, 1) και έχει εξίσωση την: y – f(1) = λ (x – 1) y – 1 = 2 (x – 1) y – 1 = 2 x – 2 y = 2 x – 1 f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x 1
24.
Ορισμός Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x x 0
25.
Ορισμός Το όριοαυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεται με f ΄( x 0 ). f ΄( x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x x 0
26.
Σχόλιο Αν στοόριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 + h τότε: h = x – x 0 για x -> x 0 το h -> x 0 – x 0 = 0 και το όριο γράφεται: f ΄( x 0 ) = f(x 0 + h) – f(x 0 ) h lim h 0
27.
Σχόλιο Αν στοόριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 h τότε: h = για x -> x 0 το h -> και το όριο γράφεται: f ΄( x 0 ) = = 1 f(x 0 h) – f(x 0 ) x 0 (h – 1) lim h 1 x x 0 x 0 x 0
28.
Στιγμιαία ταχύτητα Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t) τη χρονική στιγμή t 0 . υ (t 0 ) = S ΄ (t 0 )
29.
Στιγμιαία επιτάχυνση Η στιγμιαία επιτάχυνση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης ταχύτητα υ( t) τη χρονική στιγμή t 0 . α (t 0 ) = υ΄ (t 0 )
30.
Εξίσωση εφαπτομένης Άραη εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) γράφεται: Ο συντελεστής διεύθυνσης f ΄ (x 0 ) λέγεται και κλίση της f στο x 0 .
