Part 1

)
•
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΤΟΜΟΣ 1ος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
Γιώργος Αποστόλου
apgeorge2004@yahoo.com
Μαθηµατικός
Εκπαιδευτικό ϐοήθηµα για τους µαθητές της Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
(Η στοιχειοθεσία έχει γίνει µε LaTEX)
Ιωάννινα,
Ιούνιος 2016

Αποστόλου Γιώργος

Περιεχόµενα
I. ΑΝΑΛΥΣΗ 7
1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 9
1.1. ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ . . . . . 9
1.1.1. ϑΕΩΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2. ΟΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2.1. ϑΕΩΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2.4. ΜΗ ΠΕΠΕΡ. ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.2.5. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.3.1. ϑΕΩΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2. ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 157
2.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.1.1. ϑΕΩΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.2. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΚΑΝΟΝΕΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.2.1. ϑΕΩΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.3. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
2.3.1. ϑΕΩΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Μέρος I.
ΑΝΑΛΥΣΗ
7

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
1.1. ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ
1.1.1. θΕΩΡΙΑ
1. Να αναφέρετε, τί καλούµε πραγµατική συνάρτηση, ορισµένη στο A ⊆ R;
΄Εστω A ένα υποσύνολο του R. Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού
το A µια διαδικασία (κανόνα) f, µε την οποία κάθε στοιχείο x ∈ A αντιστοιχίζεται σε
ένα µόνο πραγµατικό αριθµό y. Το y ονοµάζεται τιµή της f στο x και συµβολίζεται
µε f(x).
Για να εκφράσουµε τη διαδικασία αυτή, γράφουµε:
f A → R
x → f(x)
i. Το γράµµα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του A λέγεται ανεξάρτητη
µεταβλητή, ενώ το γράµµα y, που παριστάνει την τιµή της f στο x, λέγεται
εξαρτηµένη µεταβλητή.
ii. Το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης f συνήθως συµβολίζεται µε Df .
iii. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιµές της f σε όλα τα x ∈ A, λέγεται
σύνολο τιµών της f και συµβολίζεται µε f(A). Είναι δηλαδή:
f(A) = {y y = f(x)για κάποιοx ∈ A}.
2. Τι ονοµάζουµε πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f ;
Πεδίο ορισµού της συνάρτησης f, ονοµάζουµε, το ευρύτερο υποσύνολο του R για
τους οποίους η f(x) έχει νόηµα.
3. Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση µιας συνάρτησης;
΄Εστω f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού A και Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων
στο επίπεδο. Το σύνολο των σηµείων M(x,y) για τα οποία ισχύει y = f(x), δηλαδή
το σύνολο των σηµείων M(x,f(x)), x ∈ A, λέγεται γραφική παράσταση της f και
συµβολίζεται συνήθως µε Cf .
Η εξίσωση, λοιπόν, y = f(x) επαληθεύεται µόνο από τα σηµεία της Cf . Εποµένως, η
y = f(x) είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.
Παρατήρηση
Επειδή κάθε x ∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο y ∈ R, δεν υπάρχουν σηµεία της γρα-
ϕικής παράστασης της f µε την ίδια τετµηµένη. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε κατακόρυφη
9

ευθεία έχει µε τη γραφική παράσταση της f το πολύ ένα κοινό σηµείο (Σχ. 7α). ΄Ετσι,
ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ. 7β).
4. Τι γνωρίζουµε για τις γραφικές παραστάσεις των −f και f ;
• Η γραφική παράστασης της συνάρτησης −f είναι συµµετρική, ως προς τον
άξονα x′
x της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σηµεία
M′
(x,−f(x)) που είναι συµµετρικά των M(x,f(x)), ως προς τον άξονα x′
x
(Σχ. 9).
• Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τµήµατα της Cf που ϐρίσκο-
νται πάνω από τον άξονα x′
x και από τα συµµετρικά, ως προς τον άξονα x′
x,
των τµηµάτων της Cf που ϐρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 10).
5. Πότε οι συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;
∆ύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
• έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού A και
• για κάθε x ∈ A ισχύει f(x) = g(x).
Για να δηλώσουµε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουµε f = g.
Παρατήρηση ΄Εστω τώρα f,g δύο συναρτήσεις µε πεδία ορισµού A,B αντιστοίχως
και Γ ένα υποσύνολο των A και B. Αν για κάθε x ∈ Γ ισχύει f(x) = g(x), τότε λέµε
10 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ. (Σχ. 22)
6. ΄Εστω η συνάρτηση f ορισµένη στο A και η συνάρτηση g ορισµένη στο B
και έστω A ∩ B = K ≠ ∅ Να ορίσετε, τις πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης,
πολλαπλασιασµού και διαίρεσης
• ΄Αθροισµα: f + g /Kτων f,g και µε τύπο (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• ∆ιαφορά: f − g /Kτων f,g και µε τύπο (f − g)(x) = f(x) − g(x)
• Γινόµενο: f ⋅ g /Kτων f,g και µε τύπο (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
• Πηλίκο:
f
g
/K − {x g(x) = 0}των f,g και µε τύπο (
f
g
)(x) =
f(x)
g(x)
7. ΄Εστω f,g δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού Af , Ag αντιστοίχως. Να ορίσετε
τη σύνθεση της f µε την g
Αν f,g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού A,B αντιστοίχως, τότε ονοµάζουµε
σύνθεση της f µε την g, και τη συµβολίζουµε µε g ○ f, τη συνάρτηση
• µε τύπο (g ○ f)(x) = g(f(x)).
• µε πεδίο ορισµού που αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισµού
της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισµού της g. ∆ηλαδή είναι το
σύνολο
A1 = {x ∈ A f(x) ∈ B}.
Είναι ϕανερό ότι η g ○ f ορίζεται αν A1 ≠ ∅, δηλαδή αν f(A) ∩ B ≠ ∅.
Παρατηρήσεις
i. Γενικά, αν f,g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g ○ f και f ○ g, τότε αυτές
δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.
Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

ii. Αν f,g,h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h ○ (g ○ f), τότε ορίζεται και η
(h ○ g) ○ f και ισχύει
h ○ (g ○ f) = (h ○ g) ○ f
Τη συνάρτηση αυτή τη λέµε σύνθεση των f,g και h και τη συµβολίζουµε µε
h ○ g ○ f. Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις
συναρτήσεις.
8. Πότε η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο ∆ ⊆ Af ;
Η f λέγεται γνησίως αύξουσα στο ∆ ⊆ Af όταν για κάθε
x1,x2 ∈ ∆µε x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2)
Για να δηλώσουµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆, γράφουµε
f ↑ ∆.
Η f λέγεται αύξουσα στο ∆ ⊆ Af όταν για κάθε
x1,x2 ∈ ∆µε x1 < x2 ⇔ f(x1) ≤ f(x2)
9. Πότε η συνάρτηση f λέγεται γνησίως ϕθίνουσα στο ∆ ⊆ Af .
Η f λέγεται γνησίως ϕθίνουσα στο ∆ ⊆ Af όταν για κάθε
x1,x2 ∈ ∆µε x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2)
Για να δηλώσουµε ότι η f είναι γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα ∆, γράφουµε
f ↓ ∆.
Η f λέγεται ϕθίνουσα στο ∆ ⊆ Af όταν για κάθε
x1,x2 ∈ ∆µε x1 < x2 ⇔ f(x1) ≥ f(x2)

10. Πότε η συνάρτηση f λέγεται γνησίως µονότονη στο ∆ ⊆ Af ;
Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως ϕθίνουσα σ΄ ένα διάστηµα
∆ του πεδίου ορισµού της, τότε λέµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη στο ∆. Στην
περίπτωση που το πεδίο ορισµού της f είναι ένα διάστηµα ∆ και η f είναι γνησίως
µονότονη σ΄ αυτό, τότε ϑα λέµε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως µονότονη.
11. Να αναφέρετε, πότε η f έχει στο σηµείο x0 ∈ Af , ολικό µέγιστο.
Αν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ Af λέµε ότι η f παρουσιάζει στο x0 ολικό µέγιστο, το
f(x0)
12. Να αναφέρετε, πότε η f έχει στο σηµείο x0 ∈ Af , ολικό ελάχιστο.
Αν f(x) ≥ f(x0) για κάθε x ∈ Af λέµε ότι η f παρουσιάζει στο x0 ολικό ελάχιστο,
το f(x0)
13. Να αναφέρετε πότε η συνάρτηση f A → R λέγεται «1-1»
Η συνάρτηση f A → R λέµε ότι είναι 1 − 1 στο A αν για κάθε
x1,x2 ∈ Af µε: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

ή ισοδύναµος ορισµός µε τη µέθοδο της απαγωγής σε άτοπο για κάθε
x1,x2 ∈ Af µε: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
i. Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι µια συνάρτηση f είναι «1-1», αν και
µόνο αν:
• Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς
µια λύση ως προς x.
• ∆εν υπάρχουν σηµεία της γραφικής της παράστασης µε την ίδια τεταγµένη.
Αυτό σηµαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της
f το πολύ σε ένα σηµείο.
ii. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση
«1-1».
14. Να αναφέρετε, τι ονοµάζουµε σαν αντίστροφη συνάρτηση της f;
΄Εστω µια συνάρτηση f ορισµένη και 1 − 1 στο A τότε ορίζεται η f−1
µε
• Αλγεβρικο τύπο που προκύπτει: f(x) = y ⇔ x = f−1
(y)
• Πεδιο ορισµού: της f−1
ειναι το σύνολο τιµων της f
δηλ. Af−1 = f(A)
15. Ποιες είναι οι ιδιότητες της αντίστροφης συνάρτησης;

i. Το πεδίο ορισµού της f−1
, είναι το πεδίο τιµών της f και το πεδίο τιµών της f−1
,
είναι το πεδίο ορισµού της f
ii. Ισχύει η ισοδυναµία: f(x) = y ⇔ x = f−1
(y)
iii. Η f−1
○ f είναι ταυτοτική στο Af και
η f ○ f−1
είναι ταυτοτική στο f(Af )
16. Ποία είναι η γεωµετρική ερµηνεία της αντιστρόφου;
Οι γεωµετρικές παραστάσεις Cf και Cf−1 είναι συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο
(δ) y = x του πρώτου και τρίτου τεταρτηµορίου.

1.1.2. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
Πεδίο ορισµού
Πεδίο ορισµού
΄Οταν γνωρίζουµε µόνο τον τύπο µιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο
ορισµού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ο τύπος της
f(x) έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. Θα ϐρίσκουµε το πεδίο ορισµού
µιας συνάρτησης f ϑέτοντας κατάλληλους περιορισµούς σύµφωνα µε τον
παρακάτω πίνακα:
Συνάρτηση f Περιορισµός
f(x) =
P(x)
Q(x)
Q(x) ≠ 0
f(x) = ν
√
P(x),ν ∈ N∗
− {1} P(x) ≥ 0
f(x) = ln(P(x)) P(x) > 0
f(x) = φ(P(x)) P(x) ≠ κπ +
π
2
,κ ∈ Z
Συνάρτηση f Περιορισµός
f(x) = σφ(P(x)) P(x) ≠ κπ,κ ∈ Z
f(x) = (P(x))Q(x)
P(x) > 0
Παράδειγµα
1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων:
i f(x) =
7 − x
2x − 1 − 7
ii f(x) =
ln((1
3
)
x
− 1
9)
√
ex − 1
iii f(x) = (9 − x2
)
√
x −1

Λύση
i. Η συνάρτηση
f(x) =
7 − x
2x − 1 − 7
ορίζεται όταν:
2x − 1 − 7 ≠ 0 ⇔ 2x − 1 ≠ 7 ⇔
2x − 1 ≠ 7 και 2x − 1 ≠ −7 ⇔
x ≠ 4 και x ≠ −3
΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο
Af = R − {−3,4}
ii. Η συνάρτηση
f(x) =
ln((1
3)x
− 1
9
)
√
ex − 1
ορίζεται όταν ισχύουν οι παρακάτω τρεις περιορισµοί.
αʹ.
(
1
3
)
x
−
1
9
> 0 ⇔ (
1
3
)
x
>
1
9
⇔ (
1
3
)
x
> (
1
3
)
2
⇔ x < 2
ϐʹ.
ex
− 1 ≥ 0 ⇔ ex
≥ 1 ⇔ ex
≥ e0
⇔ x ≥ 0
γʹ.
√
ex − 1 ≠ 0 ⇔ ex
− 1 ≠ 0 ⇔ ex
≠ 1 ⇔ ex
≠ e0
⇔ x ≠ 0
Από την συναλήθευση των προηγούµενων περιορισµών προκύπτει ότι το πεδίο
ορισµού της f είναι το σύνολο
Af = {x ∈ (0,2)}
iii. Η συνάρτηση
f(x) = (9 − x2
)
√
x −1
9 − x2
> 0 ⇔ 9 > x2
⇔
3 > x ⇔ −3 < x < 3

x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔
x ≥ 1 ή x ≤ −1
Από τη συναλήθευση των προηγούµενων περιορισµών προκύπτει ότι το πεδίο
ορισµού της f είναι το σύνολο
Af = (−3,−1] ∪ [1,3)
2. Να ϐρείτε για ποιές τιµές του λ ∈ R το πεδίο ορισµού της συνάρτησης
f(x) = ln[(λ − 2)x2
+ (λ + 1)x + λ + 1]
είναι το R.
Λύση
Η συνάρτηση
f(x) = ln[(λ − 2)x2
+ (λ + 1)x + λ + 1]
έχει πεδίο ορισµού το R όταν:
(λ − 2)x2
+ (λ + 1)x + λ + 1 > 0
για κάθε x ∈ R. Για να ισχύει αυτό πρέπει:
λ − 2 > 0 και ∆ < 0
΄Αρα έχουµε:
λ − 2 > 0 ⇔ λ > 2 (1.)
και
∆ < 0 ⇔
(λ + 1)2
− 4(λ − 2)(λ + 1) < 0 ⇔
λ2
+ 2λ + 1 − 4(λ2
+ λ − 2λ − 2) < 0 ⇔
λ2
+ 2λ + 1 − 4λ2
+ 4λ + 8 < 0 ⇔
− 3λ2
+ 6λ + 9 < 0 ⇔ 3(−λ2
+ 2λ + 3) < 0 ⇔ −λ2
+ 2λ + 3 < 0
∆′
= 22
− 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
λ1,2 =
−2 ± 4
−2
=
{
λ1 = −1
λ2 = 3

δηλαδη
x −∞ −1 3 +∞
−λ2
+ 2λ + 3 - 0 + 0 -
΄Αρα
−λ2
+ 2λ + 3 < 0 ⇔⇔ λ ∈ (−∞,−1) ∪ (3,+∞) (2.)
Από τη συναλήθευση των προηγούµενων περιορισµών (1.) και (2.) προκύπτει ότι
λ ∈ (3,+∞)
3. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =
√
x + α για την οποία ισχύει f(13) − f(−3) = 4. Να
ϐρείτε:
i. Τον αριθµό α.
ii. Το πεδίο ορισµού της f.
iii. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g(x) =
ln(x + f(f(33)))
x2 − f(f(−2)) x
Λύση
i. ΄Εχουµε:
f(13) =
√
13 + α και f(−3) =
√
−3 + α
΄Αρα:
f(13) − f(−3) = 4 ⇔
√
13 + α −
√
−3 + α = 4 ⇔
√
13 + α =
√
−3 + α + 4 ⇔
(
√
13 + α)2
= (
√
−3 + α + 4)2
⇔
13 + α = −3 + α + 8
√
−3 + α + 16 ⇔
8
√
−3 + α = 0 ⇔
− 3 + α = 0 ⇔
α = 3
ii. Για α = 3 ο τύπος της f γίνεται f(x) =
√
x + 3. Η f ορίζεται όταν:
x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3
΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο: Af = [−3,∞)

iii. ΄Εχουµε:
f(33) =
√
33 + 3 =
√
36 = 6 ⇔
f(f(33)) = f(6) =
√
6 + 3 = 3 ⇔
f(−2) =
√
−2 + 3 = 1 ⇔
f(f(−2)) = f(1) =
√
1 + 3 = 2
΄Αρα η συνάρτηση g γράφεται:
g(x) =
ln(x + 3)
x2 − 2 x
Για να ορίζεται η συνάρτηση g πρέπει ισχύον οι παρακάτω δύο συνθηκες:
αʹ. x + 3 > 0 ⇔ x > −3.
ϐʹ.
x2
− 2 x ≠ 0 ⇔ x ( x − 2) ≠ 0 ⇔
x ≠ 0 και x ≠ 2 ⇔
x ≠ 0 και x ≠ ±2
Από τη συναλήθευση των προηγούµενων περιορισµών προκύπτει ότι το πεδίο ορισµού
της συνάρτησης g είναι το σύνολο:
Ag = (−3,−2) ∪ (−2,0) ∪ (0,2) ∪ (2,+∞)
4. ∆ίνεται η συνάρτηση
f(x) = {
x2
− 3, −5 ≤ x ≤ 1
4x − 2, 1 < x < 15
i. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f.
ii. Να ϐρείτε τις τιµές f(−2),f(3),f(1).
iii. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 6.
Λύση
i. Η συνάρτηση f ορίζεται στα διαστήµατα [−5,1] και (1,15). ΄Αρα το πεδίο
ορισµού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Af = x ∈ [−5,15)
ii. ΄Εχουµε:
f(−2) = (−2)2
− 3 = 4 − 3 = 1
f(3) = 4 ⋅ 3 − 2 = 12 − 2 = 10
f(1) = 12
− 3 = −2

iii. Αν −5 ≤ x ≤ 1, η εξίσωση γίνεται:
x2
− 3 = 6 ⇔ x2
= 9 ⇔ x ± 3
Η λύση x = 3 απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί τον περιορισµό
−5 ≤ x ≤ 1, ενώ η λύση x = −3 είναι δεκτή.
Αν 1 < x < 15, η εξίσωση γίνεται:
4x − 2 = 6 ⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2 η οποία είναι δεκτή
Σύνολο τιµών
Σύνολο τιµών
Για να ϐρούµε το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f εργαζόµαστε ως εξής:
• Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού της f.
• Θεωρούµε την εξίσωση y = f(x) και τη λύνουµε ως προς x ϑέτοντας
όπου χρειάζεται περιορισµούς για το y.
• Απαιτούµε η λύση x που ϐρήκαµε να ανήκει στο πεδίο ορισµού της
f.
• Συναληθεύουµε τους περιορισµούς που έχουν προκύψει για το y
και ϐρίσκουµε έτσι το σύνολο τιµών της f.
f(x) =
5x − 8
x − 3
Να ϐρείτε:
i. Το πεδίο ορισµού της f.
ii. Το σύνολο τιµών της f.
Λύση
f(x) =
5x − 8
x − 3
ορίζεται όταν: x − 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 ΄Αρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι
το σύνολο: Af = R − {3}

ii. Λύνουµε ως προς x την εξίσωση
y = f(x) ⇔ y =
5x − 8
x − 3
⇔
(x − 3)y = 5x − 8 ⇔ xy − 3y = 5x − 8 ⇔
xy − 5x = 3y − 8 ⇔ (y − 5)x = 3y − 8
y≠5
⇔
x =
3y − 8
y − 5
Πρέπει:
x ∈ R − {3} ⇔
3y − 8
y − 5
≠ 3 ⇔
3y − 8 ≠ 3y − 15 ⇔
0y ≠ −7 ισχύει για κάθε y ∈ R
Συναληθεύοντας τους περιορισµούς έχουµε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το
f(A) = R − {5}
2. ∆ίνεται συνάρτηση f R → R για την οποία ισχύει
f(x) + 3f(2 − x) = −4x
για κάθε x ∈ R. Να ϐρείτε:
i. Την τιµή f(1).
ii. Τον τύπο της συνάρτησης f.
Λύση
i. ΄Εχουµε:
f(1) + 3f(2 − 1) = −4 ⇔
f(1) + 3f(1) = −4 ⇔ 4f(1) = −4 ⇔
f(1) = −1
ii. Από την σχέση
f(x) + 3f(2 − x) = −4x

αν ϑέσουµε όπου x το 2 − x έχουµε:
f(2 − x) + 3f(x) = −4(2 − x) ⇔ f(2 − x) + 3f(x) = −8 + 4x ⇔
f(2 − x) = 4x − 8 − 3f(x)
Αν αντικαταστήσουµε την τελευταία σχέση στην αρχική έχουµε:
f(x) + 3(4x − 8 − f(x)) = −4 ⇔
f(x) + 12x − 24 − 3f(x) = −4 ⇔
− 2f(x) = 20 − 12x ⇔
f(x) = 6x − 10
΄Αρτια - Περιττή Συνάρτηση
΄Αρτια - περιττή συνάρτηση
Μια συνάρτηση f A → R λέγεται άρτια όταν:
• Για κάθε x ∈ A είναι και −x ∈ A
• Ισχύει f(−x) = f(x) για κάθε x ∈ A
Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς
τον άξονα y′
y.
Μια συνάρτηση f A → R λέγεται περιττή όταν:
• Για κάθε x ∈ A είναι και −x ∈ A
• Ισχύει f(−x) = −f(x) για κάθε x ∈ A
Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως
προς τον άξονα x′
x.
1. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις
i. f(x) =
x3
− ηµx
x2 − 4
.
ii. f(x) =
x + x4
√
16 − x2
Λύση
i. Πρέπει αρχικά να ϐρούµε το πεδίο ορισµού της
f(x) =
x3
− ηµx
x2 − 4

Η f ορίζεται όταν:
x2
− 4 ≠ 4 ⇔ x2
≠ 4 ⇔ x ≠ ±2
΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο: Af = R − {−2,2} Παρατηρούµε
ότι για κάθε x ∈ Af είναι και −x ∈ Af . Επίσης για κάθε x ∈ Af ισχύει:
f(−x) =
(−x)3
− ηµ(−x)
(−x)2 − 4
=
−x3
+ ηµx
x2 − 4
= −
x3
+ ηµx
x2 − 4
= −f(x)
∆ηλαδή για κάθε x ∈ Af ισχύει f(−x) = −f(x), άρα η f είναι περιττή.
ii. Πρέπει αρχικά να ϐρούµε το πεδίο ορισµού της
f(x) =
x + x4
√
16 − x2
Η f ορίζεται όταν:
16 − x2
> 0 ⇔ x2
< 4 ⇔ −2 < x < 2
΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο:
Af = (−2,2)
Παρατηρούµε ότι για κάθε x ∈ Af είναι και −x ∈ Af . Επίσης για κάθε x ∈ Af
ισχύει:
f(−x) =
− x + (−x)4
√
16 − (−x)2
=
x + x4
√
16 − x2
= f(x)
∆ηλαδή για κάθε x ∈ Af ισχύει f(−x) = f(x), άρα η f είναι άρτια.
`

Σηµεία γραφικών παραστάσεων
Σηµείο ανήκει σε Cf
΄Ενα σηµείο M(x0,y0) ανήκει στη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης
f αν και µόνο αν ισχύει:
f(x0) = y0
Σηµείο τοµής συνάρτησης f µε τους άξονες ή µε άλλες συναρτήσεις.
Για να ϐρούµε:
• Το σηµείο τοµής µε τον άξονα x′
x.
Θέτουµε y = 0 και λύνουµε την εξίσωση f(x) = 0. Οι λύσεις της
εξίσωσης αυτής ϑα µας δώσει τα σηµεία τοµής.
΄Αρα τα σηµεία τοµής είναι τα
A1(x1,0),A2(x2,0),....,Aν(xν,0)
• Το σηµείο τοµής µε τον άξονα y′
y.
Θέτουµε x = 0 και λύνουµε την εξίσωση y = f(0). Το σηµείο τοµής
µε τον άξονα y′
y είναι η λύση της εξίσωσης και είναι το A(0,f(0)).
Εφόσον υπάρχει τέτοιο σηµείο αυτό είναι και µοναδικό.
• Τα σηµεία τοµής δύο συναρτήσεων f(x) και g(x).
Λύνουµε την εξίσωση f(x) = g(x) και οι ϱίζες της εξίσωσης αποτε-
λούν τα κοινά σηµεία. Αν η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων δεν
µας δώσει λύσεις τότε απλά οι συναρτήσεις αυτές δεν έχουν κανένα
σηµείο τοµής.
1. ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = x2
− 10x + 9. Να ϐρεθούν τα κοινά σηµεία της:
i. Με τον άξονα x′
x.
ii. Με τον άξονα y′
y.
iii. Με την συνάρτηση g(x) = −5x + 3.
Λύση
i. Θέτουµε y = 0 δηλαδή f(x) = 0 άρα έχουµε x2
− 10x + 9 = 0
∆ = (−10)2
− 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 100 − 36 = 64 > 0
x1,2 =
−(−10) ±
√
64
2 ⋅ 1
=
10 ± 8
2
⇔
{
x1 = 9
x2 = 1

΄Αρα τα κοινά σηµεία µε τον x′
x είναι τα A(9,0) και B(1,0).
ii. Θέτουµε x = 0 δηλαδή f(0) = 02
− 10 ⋅ 0 + 9 άρα f(0) = 9 οπότε το κοινό σηµείο
είναι το A(0,9).
iii. Θέτουµε f(x) = g(x) και λύνουµε την εξίσωση. ΄Αρα έχουµε:
f(x) = g(x) ⇔
x2
− 10x + 9 = −5x + 3 ⇔
x2
− 10x + 5x + 9 − 3 = 0 ⇔
x2
− 5x + 6 = 0
∆ = (−5)2
− 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0
x1,2 =
−(−5) ±
√
1
2 ⋅ 1
=
5 ± 1
2
⇔
{
x1 = 3
x2 = 2
Οπότε x1 = 3 και x2 = 2 και
g(3) = −5 ⋅ 3 + 3
= −15 + 3
= −12
και
g(2) = −5 ⋅ 2 + 3
= −10 + 3
= −7
΄Αρα τα σηµεία τοµής είναι ∆(3,−12) και E(2,−7).
• Για να ϐρω πότε µια συνάρτηση f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα
x′
x.
Λύνω την ανίσωση f(x) > 0, ενώ για κάτω από τον x′
x λύνουµε την
ανίσωση f(x) < 0.
• Για να ϐρω σε ποια διαστήµατα µια συνάρτηση f είναι πάνω από
µια άλλη συνάρτηση g, λύνω την ανίσωση f(x) > g(x).
1. ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = x2
− 10x + 9.

i. Πότε η Cf ϐρίσκεται πάνω από τον x′
x;
ii. Πότε η Cf ϐρίσκεται κάτω από τον x′
x;
iii. Πότε η Cf ϐρίσκεται πάνω από την Cg µε g(x) = −5x + 3;
Λύση
i. Λύνω την ανίσωση f(x) > 0 και έχω
x2
− 10x + 9 > 0 ⇔
(x − 9)(x − 1) > 0
x −∞ 1 9 +∞
x − 9 − 0 − +
x − 1 − + 0 +
f(x) + 0 − 0 +
΄Αρα f(x) > 0 για x ∈ (−∞,1) ∪ (9,+∞)
ii. Λύνω την ανίσωση f(x) < 0 και έχω
x2
− 10x + 9 < 0 ⇔ (x − 9)(x − 1) < 0
΄Αρα f(x) < 0 για x ∈ (1,9)
iii. Λύνω την ανίσωση f(x) > g(x) και έχω
x2
− 15x + 6 > 0 ⇔
(x − 3)(x − 2) < 0
x −∞ 2 3 +∞
x − 2 − 0 + +
x − 3 − − 0 +
(x − 2)(x − 3) + 0 − 0 +
΄Αρα f(x) − g(x) > 0 για x ∈ (−∞,2) ∪ (3,+∞)
Ισότητα Συναρτήσεων
Ισότητα συναρτήσεων Για να αποδείξουµε ότι δύο συναρτήσεις f,g είναι
ίσες αρκεί να δείξουµε ότι:
• έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού Α και,
• για κάθε x στο πεδίο ορισµού τους έχουν τον ίδιο τύπο, δηλαδή
f(x) = g(x) ∀x ∈ A

1. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις
f(x) =
x2
+ 2x − 8
x2 − 3x + 2
και g(x) =
x + 4
x − 1
είναι ίσες. Αν δεν είναι ίσες να ϐρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο είναι
ίσες.
Λύση
f(x) =
x2
+ 2x − 8
x2 − 3x + 2
x2
− 3x + 2 ≠ 0 ⇔
(x − 2)(x − 1) ≠ 0 ⇔
x ≠ 2 και x ≠ 1
Af = R − {1,2}
.Η συνάρτηση
g(x) =
x + 4
x − 1
x − 1 ≠ 0 ⇔
x ≠ 1
΄Αρα το πεδίο ορισµού της g είναι το σύνολο
Ag = R − {1}
Παρατηρούµε Af ≠ Ag, άρα οι συναρτήσεις f και g δεν είναι ίσες.
Αν όµως x ∈ Af ∩ Ag = R − {1,2}, τότε ισχύει:
f(x) =
x2
+ 2x − 8
x2 − 3x + 2
=
(x + 4)(x − 2)
(x − 2)(x − 1)
=
x + 4
x − 1
= g(x)
΄Αρα για x ∈ R − {1,2} ισχύει ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.

Πράξεις Συναρτήσεων
Πράξεις Συναρτήσεων
΄Εστω δύο συναρτήσεις f,g µε πεδία ορισµού A και B αντίστοιχα. Τότε οι
πράξεις του αθροίσµατος, διαφοράς, γινόµενου και πηλίκου ορίζονται
ως εξής:
• S(x) = f(x) + g(x), για x ∈ A ∩ B
(∆ηλαδή το άθροισµα S έχει πεδίο ορισµού τα κοινά στοιχεία των
συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A ∩ B).
• D(x) = f(x) − g(x), για x ∈ A ∩ B
(∆ηλαδή η διαφορά D έχει πεδίο ορισµού τα κοινά στοιχεία των
• P(x) = f(x) ⋅ g(x), για x ∈ A ∩ B
(∆ηλαδή το γινόµενο P έχει πεδίο ορισµού τα κοινά στοιχεία των
• R(x) =
f(x)
g(x) , για {x ∈ A ∩ B / g(x) ≠ 0}
(∆ηλαδή το πηλίκο R έχει πεδίο ορισµού τα κοινά στοιχεία των
συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο {x ∈ A ∩ B / g(x) ≠ 0}).
1. ∆ίνονται οι συναρτήσεις
f(x) =
√
x − 1 και g(x) =
x2
− 4
x2 − 3x
Να ορίσετε τις συναρτήσεις f + g,f − g,f ⋅ g και
f
g
Λύση
Αρχικά ϑα ϐρούµε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f και g.
Η συνάρτηση f(x) =
√
x − 1 ορίζεται όταν
x − 1 ≥ 0 ⇔
x ≥ 1
΄Αρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το σύνολο
Af = [1,+∞)
g(x) =
x2
− 4
x2 − 3x

ορίζεται όταν
x2
− 3x ≠ 0 ⇔ x(x − 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 και x ≠ 3
΄Αρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το σύνολο
Ag = R − {0,3}
Οι συναρτήσεις f + g,f − g,f ⋅ g έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
A = Af ∩ Ag = [1,3) ∪ (3,+∞)
και τύπους αντίστοιχα
(f + g)(x) = f(x) + g(x) =
√
x − 1 +
x2
− 4
x2 − 3x
(f − g)(x) = f(x) + g(x) =
√
x − 1 −
x2
− 4
x2 − 3x
(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) =
√
x − 1 ⋅
x2
− 4
x2 − 3x
Τέλος έχουµε
g(x) = 0 ⇔ x2
− 4 = 0 ⇔ x = ±2
΄Αρα η συνάρτηση
f
g
έχει πεδίο ορισµού το σύνολο
Af
g
= Af ∩ Ag − {x / g(x) = 0}
= [1,2) ∪ (2,3) ∪ (3,+∞)
και τύπο
(
f
g
)(x) =
f(x)
g(x)
=
√
x − 1
x2−4
x2−3x
=
(x2
− 3x)
√
x − 1
x2 − 4
f(x) = {
x − 4, x ≤ 2
3x − 2, x > 2
και
g(x) = {
2 − x, x ≤ −1
x + 1, x > −1
Να ορίσετε τη συνάρτηση f + g.
ΛΥΣΗ
Οι πράξεις µεταξύ συναρτήσεων ορίζονται στα κοινά σηµεία του πεδίου ορισµού τους.
΄Αρα έχουµε:

Για x ≤ −1
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x − 4 + 2 − x = −2
Για −1 < x ≤ 2
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x − 4 + x + 1 = 2x − 3
Για x > 2
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 3x − 2 + x + 1 = 4x − 1
΄Αρα έχουµε ότι:
(f + g)(x) =
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
−2, x ≤ −1
2x − 3, −1 < x ≤ 2
4x − 1, x > 2
Σύνθεση Συναρτήσεων
Σύνθεση Συναρτήσεων
΄Εστω f και g δύο συναρτήσεις µε πεδία ορισµού A και B αντίστοιχα. Αν
ισχύει f(A) ∩ B ∉ ∅, τότε ονοµάζουµε σύνθεση της f µε τη g και τη
συµβολίζουµε µε g ○ f τη συνάρτηση που έχει:
• Πεδίο ορισµού το σύνολο A1 = {x ∈ A / f(x) ∈ B}
• Και τύπο (g ○ f)(x) = g(f(x)).
1. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(x) =
√
x και g(x) = −x2
−1. Να ϐρείτε τις συναρτήσεις:
i. g ○ f ii. f ○ g
Λύση
Αρχικά ϑα ϐρούµε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f και g.
√
x ορίζεται όταν: x ≥ 0 ΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το
σύνολο Af = [0,+∞) Η συνάρτηση g(x) = −x2
− 1 ορίζεται όταν για κάθε x ∈ R
΄Αρα το πεδίο ορισµού της g είναι το σύνολο Ag = R
i. Η συνάρτηση (g ○ f)(x) ορίζεται όταν x ∈ Af και f(x) ∈ Ag
΄Εχουµε: x ∈ Af ⇔ x ≥ 0
Επιπλέον f(x) ∈ Ag ⇔
√
x ∈ R ⇔
√
x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
Από τη συναλήθευση των παραπάνω περιορισµών έχουµε ότι το πεδίο ορισµού
της g ○ f είναι το σύνολο Ag○f = [0,+∞)
Ο τύπος της g ○ f είναι: (g ○ f)(x) = g(f(x)) = −(
√
x)2
− 1 = −x − 1
ii. Η συνάρτηση (f ○ g)(x) ορίζεται όταν x ∈ Ag και g(x) ∈ Af
΄Εχουµε: x ∈ Ag ⇔ x ∈ R
Επιπλέον g(x) ∈ Af ⇔ −x2
− 1 ≥ 0 ⇔ −x2
≥ 1 Αδύνατο Εποµένως δεν ορίζεται
η f ○ g

f(x) = {
x − 2, x ≤ 0
x + 2, x > 0
και
g(x) = {
1 − x, x < 1
2 − x, x ≥ 1
Να ορίσετε τη f ○ g.
Λύση
Θέτουµε για διευκόλυνση:
f1(x) = x − 2, µε Af1 = (−∞,0]
f2(x) = x + 2, µε Af2 = (0,+∞)
g1(x) = 1 − x, µε Ag1 = (−∞,1)
g2(x) = 2 − x, µε Ag1 = [1,+∞)
Θα ϐρούµε αν ορίζονται οι συνθέσεις
f1 ○ g1, f1 ○ g2, f2 ○ g1 και f2 ○ g2
• Η συνάρτηση (f1 ○ g1)(x) ορίζεται όταν:
x ∈ Ag1 και g1(x) ∈ Af1
΄Εχουµε: x ∈ Ag1 ⇔ x ∈ (−∞,1)
Επίσης g1(x) ∈ Af1 ⇔ g(x) ∈ (−∞,0] ⇔ 1−x ≤ 0 ⇔ x ≥ 1 Από τη συναλήθευση
των παραπάνω περιορισµών έχουµε ότι (f1 ○ g1)(x) δεν ορίζεται.
΄Εχουµε:x ∈ Ag2 ⇔ x ∈ [1,+∞)
Επίσης g2(x) ∈ Af1 ⇔ g(x) ∈ (−∞,0] ⇔ 2 − x ≤ 0 ⇔ x ≥ 2
της (f1 ○ g2)(x) είναι το σύνολο Af1○g2 = [2,+∞)
µε τύπο: (f1 ○ g2)(x) = f1(g2(x)) = (2 − x) − 2 = 2 − x − 2 = −x
΄Εχουµε:x ∈ Ag1 ⇔ x ∈ (−∞,1)
Επίσης g1(x) ∈ Af2 ⇔ g(x) ∈ (0,+∞) ⇔ 1 − x > 0 ⇔ x < 1

της (f2 ○ g1)(x) είναι το σύνολο Af2○g1 = (−∞,1) µε τύπο: (f2 ○ g1)(x) =
f2(g1(x)) = (1 − x) + 2 = 1 − x + 2 = −x + 3
΄Εχουµε:x ∈ Ag2 ⇔ x ∈ [1,+∞)
Επίσης g2(x) ∈ Af2 ⇔ g(x) ∈ (0,+∞) ⇔ 2−x > 0 ⇔ x < 2 Από τη συναλήθευση
των παραπάνω περιορισµών έχουµε ότι το πεδίο ορισµού της (f2 ○ g2)(x) είναι
το σύνολο Af2○g2 = (1,2)
µε τύπο: (f2 ○ g2)(x) = f2(g2(x)) = (2 − x) + 2 = 2 − x + 2 = −x + 4
Τελικά η σύνθεση f ○ g είναι:
(f ○ g)(x) =
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
−x, x ≥ 2
4 − x, 1 ≤ x < 2
3 − x, x < 1
΄Οταν γνωρίζουµε τις συναρτήσεις (f ○ g)(x) και g(x), τότε για να ϐρούµε
τη συνάρτηση f(x) εργαζόµαστε ως εξής:
• Θέτουµε όπου g(x) = u.
• Λύνουµε την παραπάνω σχέση ως προς x.
• Αντικαθιστούµε το x που ϐρήκαµε στον τύπο f(g(x)).
1. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν
f(x) = 2x − 1 και (g ○ f)(x) = 4x2
+ 4
Να ορίσετε τη συνάρτηση g.
Λύση
Ισχύει
(g ○ f)(x) = 4x2
+ 4 ⇔
(g(f(x)) = 4x2
+ 4 (1)

Θέτουµε u = f(x) και έχουµε:
u = 2x − 1 ⇔
2x = u + 1 ⇔
x =
u + 1
2
(2)
΄Ετσι η σχέση (1) γίνεται:
g(f(x)) = 4x2
+ 4 ⇔
g(u) = 4(
u + 1
2
)2
+ 4 ⇔
g(u) = u2
+ 2u + 5
Αν αλλάξουµε τη µεταβλητή από u σε x έχουµε ότι:
g(x) = x2
+ 2x + 5
΄Οταν γνωρίζουµε τις συναρτήσεις (f ○ g)(x) και f(x), τότε για να ϐρούµε
τη συνάρτηση g(x) εργαζόµαστε ως εξής:
• Θέτουµε όπου g(x) = x στον τύπο της f(x).
• ΄Εχουµε τη συνάρτηση f(g(x)) µε δύο µορφές. Εξισώνουµε τις δύο
αυτές µορφές και ϐρίσκουµε τη g(x).
1. ∆ίνονται συναρτήσεις f,g R → R για τις οποίες ισχύουν
(f ○ g)(x) = 3x2
− 6x + 10 και f(x) = 3x + 1
Λύση
Ισχύει ότι:
(f ○ g)(x) = 3x2
− 6x + 10 ⇔
f(g(x)) = 3x2
− 6x + 10 (1)
Στη συνάρτηση f(x) = 3x + 1, ϑέτουµε όπου x το g(x) και προκύπτει ότι:
f(g(x)) = 3g(x) + 1 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι
3g(x) + 1 = 3x2
− 6x + 10 ⇔
3g(x) = 3x2
− 6x + 9 ⇔
g(x) = x2
− 2x + 3

Μονοτονία συνάρτησης
1. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:
i. f(x) = 5 −
√
6 − 2x.
ii. f(x) = ex
+ x3
.
Λύση
i. Η συνάρτηση f(x) = 5 −
√
6 − 2x ορίζεται όταν:
6 − 2x ≥ 0 ⇔
2x ≤ 6 ⇔ x ≤ 3
Af = (−∞,3]
΄Εστω x1,x2 ∈ Af , µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ −2x1 > −2x2 ⇔
6 − 2x1 > 6 − 2x2 ⇔
√
6 − 2x1 >
√
6 − 2x2 ⇔
−
√
6 − 2x1 < −
√
6 − 2x2 ⇔ 5 −
√
6 − 2x1 < 5 −
√
6 − 2x2 ⇔
f(x1) < f(x2)
΄Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα.
ii. Η συνάρτηση f(x) = ex
+ x3
ορίζεται για κάθε x ∈ R ΄Αρα το πεδίο ορισµού της
f είναι το σύνολο
Af = R
΄Εστω x1,x2 ∈ R, µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ x3
1 < x3
2
x1 < x2 ⇔ ex1
< ex2
Προσθέτουµε κατά µέλη τις παραπάνω ανισότητες και προκύπτει:
ex1
+ x3
1 < ex2
+ x3
2 ⇔ f(x1) < f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Μελέτη µονοτονίας µε κλάδους

Μελέτη µονοτονίας µε κλάδους
Για να µελετήσουµε ως προς τη µονοτονία µια συνάρτηση µε κλάδους,
εργαζόµαστε ως εξής:
• Βρίσκουµε τη µονοτονία κάθε κλάδου ξεχωριστά.
• Αν οι κλάδοι έχουν διαφορετική µονοτονία, τότε η συνάρτηση είναι
µονότονη κατά διαστήµατα.
• Αν οι κλάδοι έχουν την ίδια µονοτονία τότε πρέπει να συγκρίνουµε
τα f(x1) και f(x2), όταν x1,x2 ανήκουν σε ξεχωριστά διαστήµατα,
ώστε να διαπιστώσουµε αν η f είναι γνησίως µονότονη σε όλο το
πεδίο ορισµού της.
1. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση
f(x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
√
x −
1
x
, x > 0
1 − 2x3
+ e−x
, x ≤ 0
Λύση
Θα µελετήσουµε ως προς τη µονοτονία ξεχωριστά κάθε κλάδο της συνάρτησης
f(x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
√
x −
1
x
, x > 0
1 − 2x3
+ e−x
, x ≤ 0
Στο (0,+∞) είναι
f(x) =
√
x −
1
x
΄Εστω x1,x2 ∈ (0,+∞) µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔
√
x1 <
√
x2
x1 < x2 ⇔
1
x1
>
1
x2
⇔ −
1
x1
< −
1
x2
Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο παραπάνω ανισώσεις και έχουµε:
√
x1 −
1
x1
<
√
x2 −
1
x2
⇔
f(x1) < f(x2)

΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (0,+∞).
Στο (−∞,0] είναι f(x) = 1 − 2x3
+ e−x
.
΄Εστω x1,x2 ∈ (−∞,0] µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ x3
1 < x3
2 ⇔ −2x3
1 > −2x3
2
x1 < x2 ⇔ −x1 > −x2 ⇔ e−x1
> e−x2
Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο παραπάνω ανισώσεις και έχουµε:
− 2x3
1 + e−x1
> −2x3
2 + e−x2
⇔ 1 − 2x3
1 + e−x1
> 1 − 2x3
2 + e−x2
⇔
f(x1) > f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα (−∞,0].
2. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση
f(x) =
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x2
+ 1, x ≥ 0
x + 2, x < 0
Λύση
Θα µελετήσουµε ως προς τη µονοτονία ξεχωριστά κάθε κλάδο της συνάρτησης
f(x) =
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x2
+ 1, x ≥ 0
x + 2, x < 0
Στο [0,+∞) είναι f(x) = x2
+ 1.
΄Εστω x1,x2 ∈ [0,+∞) µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ x2
1 < x2
2 ⇔ x2
1 + 1 < x2
2 + 1 ⇔
f(x1) < f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0,+∞).
Στο (−∞,0) είναι f(x) = x + 2
΄Εστω x1,x2 ∈ (−∞,0) µε x1 < x2.΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ x1 + 2 < x2 + 2 ⇔
f(x1) < f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (−∞,0)
Εξετάζουµε τώρα αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R.
΄Εστω x2 ∈ [0,+∞) και x1 ∈ (−∞,0). Τότε x1 < x2 και f(x2) = x2
2+1 και f(x1) = x1+2.

Παρατηρούµε ότι:
x1 < 0 ⇔ x1 + 2 < 2 ⇔ f(x1) < 2
x2 ≥ 0 ⇔ x2
2 ≥ 0 ⇔ x2
2 + 1 ≥ 1 ⇔ f(x2) ≥ 1
΄Αρα η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Μονοτονία και πλήθος ϱιζών
Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη, τότε η Cf τέµνει τον άξονα
x′
x το πολύ µία ϕορά. Αυτό σηµαίνει ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ
µία ϱίζα.
Μια εξίσωση που δεν λύνεται µε κάποια γνωστή µέθοδο, µπορεί να λυθεί
ως εξής:
• Μεταφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος.
• Θέτουµε το πρώτο µέλος ίσο µε f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη µορφή
f(x) = 0
• Βρίσκουµε µε δοκιµές µία ϱίζα της εξίσωσης f(x) = 0.
• Αποδεικνύουµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη, οπότε η εξίσωση
f(x) = 0
έχει το πολύ µία ϱίζα. ΄Ετσι η ϱίζα που ϐρήκαµε προηγουµένως είναι
µοναδική.
1. Να λυθεί η εξίσωση e3−x
− 1 = ln(x − 2)
Λύση
Με x − 2 > 0 ⇔ x > 2 η εξίσωση γίνεται: e3−x
− 1 − ln(x − 2) = 0
Θέτουµε f(x) = e3−x
− 1 − ln(x − 2) µε x > 2, οπότε η εξίσωση γίνεται: e3−x
− 1 −
ln(x − 2) = 0 ⇔ f(x) = 0
Παρατηρούµε ότι µια προφανής ϱίζα της εξίσωσης είναι η x = 3, αφού:
f(3) = e3−3
− 1 − ln(3 − 2) = e0
− 1 − ln1 = 1 − 1 − 0 = 0
Θα µελετήσουµε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία.
΄Εστω x1,x2 ∈ (2,+∞), µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ −x1 > −x2 ⇔ 3 − x1 > 3 − x2 ⇔ e3−x1
> e3−x2

και
x1 < x2 ⇔ x1 − 2 < x2 − 2 ⇔ ln(x1 − 2) < ln(x2 − 2) ⇔ −ln(x1 − 2) > −ln(x2 − 2)
Προσθέτουµε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουµε:
e3−x1
− ln(x1 − 2) > e3−x2
− ln(x2 − 2) ⇔
e3−x1
− 1 − ln(x1 − 2) > e3−x2
− 1 − ln(x2 − 2) ⇔ f(x1) > f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα, οπότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ
µια ϱίζα.
Εποµένως η ϱίζα x = 3 είναι η µοναδική ϱίζα της εξίσωσης f(x) = 0, άρα και της
αρχικής εξίσωσης.
Μια ανίσωση που δεν λύνεται µε κάποια γνωστή µέθοδο, µπορεί να λυθεί
ως εξής:
• Θέτουµε το πρώτο µέλος ίσο µε f(x), οπότε η ανίσωση έχει τη µορφή
f(x)≤
≥0
• Αποδεικνύουµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη.
• Βρίσκουµε µε δοκιµές µία ϱίζα ρ της εξίσωσης f(x) οπότε η ανίσωση
γίνεται
f(x)≤
≥0 ⇔
f(x)≤
≥f(ρ)
• Εκµεταλλευόµαστε τη µονοτονία της f.
1. Να λυθεί η ανίσωση 5x3
+ lnx <
2
x
+ 3
Λύση
Η ανίσωση µε x > 0 ισοδύναµα γίνεται:5x3
+ lnx − 2
x − 3 < 0 Θέτουµε f(x) = 5x3
+
lnx − 2
x − 3 µε Af = (0,+∞). ΄Ετσι η ανίσωση γίνεται:
5x3
+ lnx −
2
x
− 3 < 0 ⇔ f(x) < 0
Θα µελετήσουµε την f ως προς τη µονοτονία.

΄Εστω x1,x2 ∈ (0,+∞), µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ x3
1 < x3
2
x1 < x2 ⇔ lnx1 < lnx2
x1 < x2 ⇔
1
x1
>
1
x2
⇔ −
1
x1
< −
1
x2
x3
1 + lnx1 −
1
x1
− 3 < x3
2 + lnx2 −
1
x2
− 3 ⇔ f(x1) < f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση έχει µία
προφανής ϱίζα την x = 1 αφού:
f(1) = 5 ⋅ 13
+ ln1 −
2
1
− 3 = 5 + 0 − 2 − 3 = 0
Εποµένως η ανίσωση γίνεται:
f(x) < 0 ⇔ f(x) < f(1) ⇔ x < 1
2. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = 1
x −
√
x
i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία.
ii. Να λύσετε την ανίσωση
1
2x2 + 3
−
1
x2 + 2x + 6
>
√
2x2 + 3 −
√
x2 + 2x + 6
Λύση
f(x) =
1
x
−
√
x
ορίζεται για x > 0, οπότε έχει πεδίο ορισµού το Af = (0,+∞). ΄Εστω x1,x2 ∈
(0,+∞) µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔
1
x1
>
1
x2
επίσης
x1 < x2 ⇔
√
x1 <
√
x2 ⇔ −
√
x1 > −
√
x2

1
x1
−
√
x1 >
1
x2
−
√
x2 ⇔ f(x1) > f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα.
ii. Για κάθε x ∈ R η ανίσωση ισοδύναµα γίνεται:
1
2x2 + 3
−
1
x2 + 2x + 6
>
√
2x2 + 3 −
√
x2 + 2x + 6 ⇔
1
2x2 + 3
−
√
2x2 + 3 >
1
x2 + 2x + 6
−
√
x2 + 2x + 6 ⇔
f(2x2
+ 3) > f(x2
+ 2x + 6) ⇔
2x2
+ 3 < x2
+ 2x + 6 ⇔ x2
− 2x − 3 < 0 ⇔
(x − 3)(x + 1) < 0 ⇔ x ∈ ((−1,3)
f(x) =
√
9 −
√
x
Να ϐρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη της τιµή.
Λύση
√
9 −
√
x ορίζεται όταν:
x ≥ 0 και 9 −
√
x ≥ 0 ⇔
√
x ≤ 9 ⇔ x ≤ 81
΄Αρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Af = [0,81]
Για κάθε x ∈ Af ισχύει ότι:
√
9 −
√
x ≥ 0
΄Οµως έχουµε: f(81) =
√
9 −
√
81 =
√
9 − 9 = 0
∆ηλαδή
√
9 −
√
x ≥ 0 ⇔
√
9 −
√
x ≥ f(81) ⇔ f(x) ≥ f(81)∀x ∈ Af
Από την παραπάνω ανισότητα προκύπτει ότι η f παρουσιάζει στο x = 81 (ολικό)
ελάχιστο το f(81) = 0
Επιπλέον έχουµε ∀x ∈ Af ισχύει ότι:
√
x ≥ 0 ⇔ −
√
x ≥ 0 ⇔ 9 −
√
x ≤ 9 ⇔
√
9 −
√
x ≤ 3
΄Οµως έχουµε: f(0) =
√
9 −
√
0 =
√
9 = 3
∆ηλαδή έχουµε:
√
9 −
√
x ≤ 3 ⇔
√
9 −
√
x ≤ f(0) ⇔ f(x) ≤ f(0)∀ x ∈ Af
Απο την παραπάνω ανισότητα προκύπτει ότι η f παρουσιάζει στο x = 0 (ολικό) µέγιστο
το f(0) = 3

Συνάρτηση 1-1
1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) =
3lnx − 2
4
είναι 1 − 1.
Λύση
Η συνάρτηση ορίζεται όταν: x > 0 ΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο
Af = (0,+∞) ΄Εστω x1,x2 ∈ Af µε f(x1) = f(x2). ΄Εχουµε:
f(x1) = f(x2) ⇔
3lnx1 − 2
4
=
3lnx2 − 2
4
⇔
lnx1 = lnx2 ⇔ x1 = x2
΄Αρα η f είναι 1-1.
Παρατήρηση: ΄Οταν έχω µόνο ένα είδος συνάρτησης στον τύπο, προτιµώ να αποδείξω
το ¨1-1¨ µε τον ορισµό.
2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = e1−x
− x3
είναι 1 − 1.
Λύση
Η συνάρτηση ορίζεται για κάθε x ∈ R ΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο:
Af = R ΄Εστω x1,x2 ∈ R µε x1 < x2. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ −x1 > −x2 ⇔ 1 − x1 > 1 − x2 ⇔ e1−x1
> e1−x2
Επίσης x1 < x2 ⇔ x3
1 < x3
2 ⇔ −x3
1 > −x3
2
e1−x1
− x3
1 > e1−x2
− x3
2 ⇔ f(x1) > f(x2)
΄Αρα η f είναι γνησίως ϕθίνουσα, οπότε είναι και 1-1. Παρατήρηση: ΄Οταν έχω
παραπάνω από ένα είδη συναρτήσεων στον τύπο, προτιµώ να αποδείξω το ¨1-1¨ µε
την µονοτονία.

Μια εξίσωση που δεν λύνεται µε κάποια γνωστή µέθοδο, µπορεί να λυθεί
ως εξής:
• Θέτουµε το πρώτο µέλος ίσο µε f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη µορφή
f(x) = 0
• Αποδεικνύουµε ότι η f είναι 1-1.
• Βρίσκουµε µε δοκιµές µία ϱίζα x0 της εξίσωσης f(x) = 0
• Η εξίσωση γίνεται
f(x) = 0 ⇔
f(x) = f(x0)
1−1
⇔
x = x0
1. Να λυθεί η εξίσωση ex
= 1 − x7
.
Λύση
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναµα: ex
− 1 + x7
= 0
Θέτουµε: f(x) = ex
− 1 + x7
µε Af = R Οπότε η εξίσωση γίνεται: f(x) = 0 Θα
µελετήσουµε την f ως προς την µονοτονία.
΄Εστω x1,x2 ∈ R µε x1 < x2.
΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ ex1
< ex2
και
x1 < x2 ⇔ x7
1 < x7
2
ex1
− 1 + x7
1 < ex2
− 1 + x7
2 ⇔ f(x1) < f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και 1-1.
Παρατηρούµε ότι έχουµε µια προφανή ϱίζα την x = 0 αφού:
f(0) = e0
− 1 − x7
= 1 − 1 − 0 = 0
΄Ετσι η εξίσωση f(x) = 0 γίνεται: f(x) = 0 ⇔ f(x) = f(0)
1−1
⇔ x = 0
2. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = x + lnx.
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 − 1.
ii. Να λύσετε την εξίσωση ln
√
x + 1
x2 + 1
= x2
−
√
x

Λύση
i. Η συνάρτηση f(x) = x + lnx ορίζεται όταν x > 0.
΄Αρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο Af = (0,+∞)
Θα µελετήσουµε την f ως προς την µονοτονία.
΄Εστω x1,x2 ∈ R µε x1 < x2. ΄Εχουµε: x1 < x2 ⇔ lnx1 < lnx2
και x1 < x2
x1 + lnx1 < x2 + lnx2 ⇔ f(x1) < f(x2)
΄Αρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και 1 − 1.
ii. Η εξίσωση γίνεται:
ln
√
x + 1
x2 + 1
= x2
−
√
x ⇔
ln(
√
x + 1) − ln(x2
+ 1) = x2
−
√
x ⇔
√
x + ln(
√
x + 1) = x2
+ ln(x2
+ 1) ⇔
√
x + 1 + ln(
√
x + 1) = x2
+ 1 + ln(x2
+ 1) ⇔
f(
√
x + 1) = f(x2
+ 1) ⇔
√
x + 1 = x2
+ 1
1−1
⇔
√
x = x2
⇔ x = x4
⇔
x4
− x = 0 ⇔ x(x3
− 1) = 0 ⇔ x = 0 απορ. ή x = 1
3. ∆ίνεται συνάρτηση f R → R∗
για την οποία ισχύει (f ○f)(x) = (x−2)f(x) για κάθε
x ∈ R.
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 − 1.
ii. Να ϐρείτε την τιµή f(3).
iii. Να λύσετε την εξίσωση f(x + 1 − f( x − 1 )) − f(x − 2) = 0.
Λύση
i. ΄Εστω x1,x2 ∈ R µε f(x1) = f(x2). Τότε ισχύει:
f(f(x1)) = f(f(x2)) ⇔ (x1 − 2)f(x1) = (x2 − 2)f(x2) (1)
΄Οµως f(x1),f(x2) ≠ 0, άρα:
(1) ⇔ x1 − 2 = x2 − 2 ⇔ x1 = x2
΄Αρα η συνάρτηση f είναι 1 − 1.

ii. Θέτουµε x = 3 στη σχέση (f ○ f)(x) = (x − 2)f(x) και προκύπτει:
f(f(3))(3) = (3 − 2)f(3) ⇔ f(f(3))(3) = f(3)
1−1
⇔ f(3) = 3
iii. Η εξίσωση ισοδύναµα γίνεται:
f(x + 1 − f( x − 1 )) − f(x − 2) = 0 ⇔
f(x + 1 − f( x − 1 )) = f(x − 2)
1−1
⇔
x + 1 − f( x − 1 ) = x − 2 ⇔ f( x − 1 ) = 3 ⇔
f( x − 1 ) = f(3)
1−1
⇔ x − 1 = 3 ⇔
x = 4ήx = −2
Αντίστροφη συνάρτηση
Εύρεση αντίστροφης
΄Εστω f A → R µια συνάρτηση. Για να ϐρούµε την αντίστροφη της f
εργαζόµαστε ως εξής:
• Αποδεικνύουµε ότι η f είναι 1 − 1.
• Θέτουµε y = f(x) οπότε είναι f−1
(y) = x.
• Λύνουµε την εξίσωση y = f(x) ως προς χ, ϐάζοντας κατάλληλους
περιορισµούς για το ψ.
• Η συναλήθευση των περιορισµών για το y µας δίνουν το σύνολο
τιµών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισµού της f−1
.
• Αν η λύση της εξίσωσης y = f(x) ως προς x ειναι η x = g(y), τότε
έχουµε f−1
(y) = g(y). Θέτουµε όπου y το x και έχουµε έτσι τον
τύπο της f−1
.
1. Να ϐρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f(x) =
3x − 2
x + 1
.
Λύση
3x − 2
x + 1
x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1
΄Αρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το σύνολο:
Af = R − {1}

΄Εστω x1,x2 ∈ Af µε f(x1) = f(x2). ΄Εχουµε:
f(x1) = f(x2) ⇔
3x1 − 2
x1 + 1
=
3x2 − 2
x2 + 1
⇔
3x1x2 + 3x1 − 2x2 − 2 = 3x1x2 + 3x2 − 2x1 − 2 ⇔
⇔ x1 = x2
΄Αρα η συνάρτηση f είναι 1-1, οπότε είναι αντιστρέψιµη. Θέτουµε y = f(x) και
έχουµε:
y = f(x) ⇔ y =
3x − 2
x + 1
⇔ yx + y = 3x − 2 ⇔
yx − 3x = −2 − y ⇔ x(y − 3) = −y − 2
Για y − 3 ≠ 0 έχουµε:
x =
−y − 2
y − 3
⇔ f−1
(y) =
−y − 2
y − 3
µεy ≠ 3
΄Αρα η συνάρτηση f−1
έχει πεδίο ορισµού το σύνολο
Af−1 = R − {3}
και τύπο
f−1
(x) =
−x − 2
x − 3
Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις 2ου
ϐαθµού, µε πεδίο ορισµού το R, δεν ε-
ίναι αντιστρέψιµες. ΄Οµως αν έχουν πεδίο ορισµού κατάλληλο διάστηµα
µπορεί να είναι 1-1.
1. ∆ίνεται η συνάρτηση f [2,+∞) → R µε f(x) = x2
− 4x + 5
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
ii. Να ϐρείτε την f−1
.
Λύση
i. Παρατηρούµε ότι:
f(x) = x2
− 4x + 5 = x2
− 4x + 4 + 1 = (x − 2)2
− 1 ⇔ f(x) = (x − 2)2
− 1

΄Εστω x1,x2 ∈ [2,+∞) µε f(x1) = f(x2). ΄Εχουµε:
f(x1) = f(x2) ⇔ (x1 − 2)2
+ 1 = (x2 − 2)2
+ 1 ⇔
(x1 − 2)2
= (x2 − 2)2
⇔
√
(x1 − 2)2 =
√
(x2 − 2)2 ⇔
x1 − 2 = x2 − 2
x1,x2>2
⇔
x1 − 2 = x2 − 2 ⇔ x1 = x2
΄Αρα η f είναι 1-1, οπότε είναι αντιστρέψιµη.
ii. Θέτουµε y = f(x) και έχουµε:
y = f(x) ⇔ y = (x − 2)2
+ 1 ⇔ (x − 2)2
= y − 1
Πρέπει y − 1 ≥ 0 ⇔ y ≥ 1. Με αυτόν τον περιορισµό έχουµε:
√
(x − 2)2 =
√
y − 1 ⇔ x − 2 =
√
y − 1
x≥2
⇔ x − 2 =
√
y − 1 ⇔
΄Αρα είναι:
f−1
(x) =
√
(x − 1) + 2,Af−1 = [1,+∞)
Σχέση 1-1 και αντίστροφης συνάρτησης
΄Εστω f A → R µία 1-1 συνάρτηση οπότε ορίζεται η αντίστροφη f−1
.
Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και f−1
είναι συµµετρικές ως προς
την ευθεία y = x, προκύπτει ότι οι εξισώσεις f(x) = x και f−1
(x) = x είναι
ισοδύναµες, δηλαδή:
f(x) = x ⇔ f−1
(x) = x
1. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = −x3
− x + 12
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη.
ii. Να ϐρείτε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης f−1
µε την ευθεία y = x.
iii. Να λύσετε την ανίσωση f−1
(f( x − 1) + 8) < 1
Λύση
i. Το πεδίο ορισµού της f(x) = −x3
− x + 12 είναι το R. Θα µελετήσουµε την f ως
προς τη µονοτονία. ΄Εστω x1,x2 ∈ R. ΄Εχουµε:
x1 < x2 ⇔ x3
1 < x3
2 ⇔ −x3
1 > −x3
2
x1 < x2 ⇔ −x1 > −x2

Προσθέτοντας κατά µέλη τις παραπάνω ανισώσεις έχουµε:
−x3
1 − x1 + 12 > −x3
2 − x2 + 12 ⇔ f(x1) > f(x2)
΄Αρα η f είναι γνησίως ϕθίνουσα, οπότε είναι 1-1, δηλαδή είναι αντιστρέψιµη.
ii. Τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f−1
µε την ευθεία y = x ϐρίσκο-
νται από τη λύση του συστήµατος:
f(x) = {
y = f−1
(x)
y = x
από το οποίο προκύπτει η εξίσωση:
f−1
(x) = x ⇔ f(x) = x ⇔ −x3
− x + 12 = x ⇔
− x3
− 2x + 12 = 0 ⇔ (x − 2)(x2
− 2x + 6) = 0 ⇔ x = 2
΄Αρα η Cf−1 και η ευθεία y = x τέµνονται στο σηµείο A(2,2).
iii. Η ανίσωση f−1
(f( x − 1) + 8) < 1 γίνεται:
f−1
(f( x − 1) + 8) < 1
f
⇔ f(f−1
(f( x − 1) + 8)) < f(1) ⇔
f( x − 1) + 8 < 10 ⇔ f( x − 1) < 2 ⇔ f( x − 1) < f(2)
f
⇔
f
⇔ x − 1 < 2 ⇔ x < 3 ⇔ −3 < x < 3
΄Εστω f A → R µια 1-1 συνάρτηση οπότε ορίζεται η αντίστροφη f−1
.
Αποδεικνύεται ότι αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις f(x) =
f−1
(x),f(x) = x και f−1
(x) = x είναι ισοδύναµες, δηλαδή:
f−1
(x) = f(x) ⇔ f(x) = x ⇔ f−1
(x) = x.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα σηµεία τοµής των γραφικών παρα-
στάσεων Cf και Cf−1 , είναι τα ίδια µε τα σηµεία τοµής της Cf µε την y = x
ή της Cf−1 µε την y = x.
Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις f(x) = f−1
(x) και
f(x) = x δεν είναι ισοδύναµες. Μπορεί δηλαδή να υπάρχουν σηµεία
τοµής των Cf και Cf−1 που δεν ανήκουν στην ευθεία y = x.
1. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ex−2
+ x − 1
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη.
ii. Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων f και f−1
.
Λύση

i. Το πεδίο ορισµού της f(x) = ex−2
+ x − 1 είναι το R. Θα µελετήσουµε την f ως
προς τη µονοτονία. ΄Εστω x1,x2 ∈ R µε x1 < x2.
΄Εχουµε:x1 < x2 ⇔ x1 − 2 < x2 − 2 ⇔ ex1−2
< ex2−2
(1)
Προσθέτοντας, κατά µέλη στην (1), την σχέση x1 < x2, έχουµε:
ex1−2
+ x1 < ex1−2
+ x2 ⇔ ex1−2
+ x1 − 1 < ex1−2
+ x2 − 1 ⇔ f(x1) < f(x2)
΄Αρα η f είναι , οπότε είναι 1-1, δηλαδή αντιστρέψιµη.
ii. Τα σηµεία τοµής της Cf και Cf−1 ϐρίσκονται από τη λύση του συστήµατος :
{
y = f−1
(x)
y = f(x)
από το οποίο προκύπτει η εξίσωση:
f−1
(x) = f(x)
f
⇔ f(x) = x ⇔ ex−2
+ x − 1 = x ⇔
ex−2
= 1 ⇔ ex−2
= e0
⇔ x = 2
΄Αρα η Cf και Cf−1 τέµνονται στο σηµείο A(2,2)

1.1.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων
i) f(x) =
√
x2 − x ii) f(x) =
√
x − 1 −
√
2 − x
iii) f(x) =
√
2 −
√
x − 1 iv) f(x) =
√
2x + 3
x − 1
v) f(x) =
√
9 − 4x2
2 −
√
1 − x
vi) f(x) =
√
x2 − 3x − 4
i) f(x) =
x − 3
2x2 − x − 1
ii) f(x) =
x
x − 2
iii) f(x) =
x
2συνx − 1
iv) f(x) =
1
e2x − ex − 2
v) f(x) =
1
2ln(x − 1) − 1
vi) f(x) =
x + 1
x2 + x − 6
vii) f(x) = ln(x2
− x − 12) viii) f(x) = ln(
3 − 2x
5 + 3x
)
ix) f(x) = ln(2 − x ) x) f(x) = ln( x + 2 − 5)
4. Να ϐρείτε τις τιµές του λ ∈ R ώστε το Af = R µε
f(x)
√
(λ − 2)x2 − 2λx + 2λ − 3
5. ∆ίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(101) = 1 και
f(x) =
√
3 − log(x + α)
αʹ) Να ϐρείτε την τιµη του α
ϐʹ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f
γʹ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης:
g(x) = f(f(
11
10
)) − ln(x − f(2))
6. ∆ίνεται η συνάρτηση:
f(x) = {
x + α, αν − 6 ≤ x < −1
x2
+ β, αν − 1 ≤ x < 7
για την οποία ισχύει f(−2) = 5 και f(5) = 24.

αʹ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f.
ϐʹ) Να ϐρείτε τους αριθµούς α και β.
γʹ) Να ϐρείτε τις τιµές f(−1) και f(f(−3)).
δʹ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3.
7. ΄Εστω f µε πεδίο ορισµού το [−1,8] Να ϐρεθούν τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων:
i) f(x3
) ii) f(2x
) iii) f(x2
+ 2x) iv) f(lnx − 1)
8. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =
x − 7
x − 1
.
αʹ) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f.
ϐʹ) Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f.
γʹ) Αν τώρα το Af = [−1,0] να ϐρεθεί το σύνολο τιµών.
9. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις
i) f(x) =
x2
+ 3 x
x3 − 9x
ii) g(x) =
συνx
√
25 − x2
10. ∆ίνετε η συνάρτηση f(x) = ln(3 − 2ex
)
i) Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία της Cf µε τον άξονα x′
x
ii) Να ϐρείτε τη σχετική ϑέση της Cf µε τον άξονα x′
x
11. Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία της Cf µε τον άξονα x′
x όταν
i) f(x) =
2x + 1
x2 + x + 1
ii) f(x) =
x2
− 4x + 4
x2 − 5x + 6
12. Να ϐρειτε τα σηµεία τοµής καθώς και τη σχετική ϑέση των Cf και Cg των παρακάτων
συναρτήσεων
i) f(x) = x2
+ 1 και g(x) = 3x − 1
ii) f(x) = 1
2x − 4 και g(x) =
√
x − 1
iii) f(x) = x3
− x και g(x) = x2
− 1
13. ∆ίνετε η συνάρτηση f(x) = x3
− x + 2 και η ευθεία ( ) 6x − y − 4 = 0
i) Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία της Cf και της ( )
ii) Να ϐρείτε τη σχετική ϑέση της Cf και της ( )
14. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις f = g Στις περιπτώσεις που
είναι f ≠ g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει
f(x) = g(x)
i) f(x) =
e2x
− xex
xex
και g(x) =
ex
x
− 1
ii) f(x) =
x2
− 1
x2 − x
και g(x) = 1 +
1
x

iii) f(x) =
x − 4
√
x + 2
και g(x) =
√
x − 2
iv) f(x) =
x − 1
3
√
x − 1
και g(x) =
3
√
x2 + 3
√
x + 1
v) f(x) = x2
+
√
x4 + 2 και g(x) =
2
√
x4 + 2 − x2
15. Αν f(x) =
x
x + 2
και g(x) = 1 −
4
x2
Να ϐρείτε τις συναρτήσεις:
i) f + g ii) f ⋅ g iii)
1
f
iv)
f
g
16. ΄Εστω οι συναρτήσεις f(x) = 2lnx − 1, g(x) = 2 − ex
και h =
f
g
i) Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της Ch µε τον άξονα x′
x
ii) Να ϐρείτε τη σχετική ϑέση της Ch µε τον άξονα x′
x
17. Αν f,g συναρτήσεις µε f(x) = αx2
+
β
x
−1 και g(x) = 3x−2. Να ϐρεθούν τα α,β ώστε
οι Cf και Cg να τέµνονται πάνω στις ευθείες x = 1 και x = −1.
18. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g ○ f αν
i) f(x) = x2
, και g(x) = lnx
ii) f(x) = συνx, και g(x) =
√
1 − x2
iii) f(x) = x2
+ 3, και g(x) =
1
x − 4
iv) f(x) =
2x
x − 2
, και g(x) =
√
x − 1
19. Να ϐρείτε τις συναρτήσεις f ○ g, g ○ f όταν:
i) f(x) =
√
x − 1 και g(x) = ln(x − 1)
ii) f(x) =
lnx
x
και g(x) =
ex
x
.
20. Να ϐρείτε τις συναρτήσεις f ○ g, g ○ f, f ○ f, g ○ g όταν:
i. f(x) =
√
2x − 1, g(x) = ln(9 − x2
)
ii. f(x) =
x + 3
x − 2
, g(x) =
√
x − 1
21. Να ϐρείτε την συνάρτηση g ○ f όταν.
f(x) =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
3x − 2, αν x < 2
−x + 5, αν x ≥ 2
και g(x) =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
−x2
+ 1, αν x < 0
x − 1, αν x ≥ 0

22. Να εκφράσετε ως σύνθεση δύο ή τριών συναρτήσεων την f όταν:
i) f(x) = ηµx2
ii) f(x) = e
√
x2+1
iii) f(x) = ηµ ln(x2
+ 1) iv) f(x) =
√
e2x + 1
23. Να ϐρείτε την συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει:
i) (f ○ g)(x) = 4x2
− 14x + 13 αν g(x) = 2x − 3
ii) (f ○ g)(x) =
√
1 + x3 αν g(x) = −x3
iii) (f ○ g)(x) =
2 − x
2 + x
αν g(x) = lnx
iv) (g ○ f)(x) = 9x2
− ηµx + 1 αν g(x) = 3x − 1
v) (g ○ f)(x) = 2x − 1 αν g(x) =
x
x − 2
24. Να ϐρείτε την συνάρτηση f αν :
i. (f ○ g)(x) = 4x2
+ 4x + 2, g(x) = 2x + 1.
ii. (f ○ g)(x) =
√
1 + x2, g(x) = −x2
.
iii. (g ○ f)(x) = x4
, g(x) = x3
− 2
25. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x − 1 και g(x) = 3αx + 1
Για ποια τιµή του α ∈ R ισχύει g ○ f = f ○ g
26. ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = αx + β, x,αβ ∈ R
i) Να ορίσετε την συνάρτηση f ○ f
ii) Να ϐρείτε τις τιµές των α,β για τις οποίες ισχύει
(f ○ f)(x) = 4x + 3, ∀x ∈ R.
27. Να ϐρεθούν οι παράµετροι α, β ∈ R όταν ισχύουν ∀x ∈ Af Οι σχέσεις
(f ○ f)(x) = 4x + 2β µε f(x) = (1 − α)x + α + β
28. ∆ίνεται η συνάρτηση f R → R για την οποία ισχύει
f(x − 1) − 2f(3 − x) = x2
+ 1, ∀x ∈ R.
i) Να δείξετε ότι:
α.) f(x) − 2f(2 − x) = x2
+ 2x + 2
β.) f(2 − x) − 2f(x) = x2
− 6x + 10
ii) Να ϐρείτε την f.

29. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f R → R για την οποία ισχύει
f(x − 3) − 2f(1 − x) = x2
− 2x, ∀x ∈ R.
30. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f R → R για την οποία ισχύει
f(x) − 2f(3 − x) = 2x − 1, ∀x ∈ R.
31. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f µε f(x) = x και g µε g(x) =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
x − 2, αν x ≥ 1
x2
, αν x < 1
Να ϐρείτε τις συναρτήσεις f + g και
f
g
32. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f,g R → R για τις οποίες ισχύει:
(f2
+ g2
)(x) ≤ −2 − 2(f − g)(x), x ∈ R.
∆είξτε ότι οι Cf και Cg είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα x′
x.
33. ∆ίνεται η συνάρτηση f R → (3,+∞) και η g ορισµένη στο R, για την οποία ισχύει:
g(x) = f(x)2
+ 4f(x) + 4 − x2006
, x ∈ R
∆είξτε ότι οι η Cg τέµνει τον ϑετικό ηµιάξονα τον Oy
34. Να ϐρείτε τη συνάρτηση f R → R για την οποία ισχύει:
f(x) ⋅ [f(x) + 2ex
] = −e2x
, R.
35. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f R∗
→ R για την οποία ισχύει:
f(x) = −3f(
1
x
) − x, x ∈ R∗
.
36. Να ϐρεθεί η συνάρτηση f R → R για τη οποία ισχύει:
f(x − 1) − 2f(3 − x) = x2
+ 3, x ∈ R.
37. ∆ίνεται η συνάρτηση f R → R µε την ιδιότητα:
f(x + y) = xf(y) + yf(x), x,y ∈ R.
Να αποδειχθεί ότι i) f(0) = 0 ii) f είναι άρτια.
38. ∆ίνεται µια µη σταθερή συνάρτηση f R → R µε την ιδιότητα:
f(xy) = f(x)f(y) και f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, x,y ∈ R.

Να αποδειχθεί ότι
i) f(0) = 0, f(1) = 1, f(−1) = 1 ii) f είναι άρτια. iii) f(x) = x2
i) f(x) = 5 −
√
6 − 2x ii) f(x) = 3 −
1
√
2 − x + 1
iii) f(x) = ex
+ x3
iv) f(x) = (
1
2
)
x
− 2x5
+ 1.
v) f(x) = ln(x − 2) + 3x2
vi) f(x) =
2
x
− lnx.
i) f(x) = 2x3
− 1 ii) f(x) = −x3
− 3x + 2
iii) f(x) = 2 −
√
x − 1 iv) f(x) = 2e3−x
− 1
v) f(x) = 1 − 3ln(x − 1) vi) f(x) = 2x5
+ 3ex
− 3.
i) f(x) = x2
− 2x − 1 ii) f(x) = −2x2
+ 4x − 1
i) f(x) =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
ex
− x2
, αν x ≤ −1
3 − ln(x + 1), αν x > −1
ii) f(x) =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
x2
+ 1, αν x ≥ 0
x + 2, αν x < 0
iii) f(x) =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
3x − 1, αν x < 1
−2x, αν x ≥ 1
iv) f(x) =
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
−
2
x
, αν x < 0
3
x
, αν x > 0
43. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι γνησίως ϕθίνουσες στο διάστηµα ∆, να δείξετε ότι και η
συνάρτηση f + g είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα ∆
44. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3 − 2x + e−x
είναι γν. ϕθίνουσα στο R.
45. ΄Εστω η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ∆ και η g γνησίως ϕθίνου-
σα στο διάστηµα ∆,
i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f − g είναι γνησίως αύξουσα στο ∆
ii) Αν f(x) ≥ 0,g(x) > 0, για κάθε x ∈ ∆, να δείξετε ότι η
f
g
είναι στο ∆
iii) Αν g(∆) ⊆ ∆ να δείξετε ότι η f ○ g είναι γν. ϕθίνουσα στο ∆.
46. ΄Εστω οι συναρτήσεις f,g R → R. Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα και η f ○g γνησίως
αύξουσα, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως ϕθίνουσα
47. ΄Εστω η συνάρτηση f R → R η οποία είναι γνησίως ϕθίνουσα και η συνάρτηση
g(x) = f(3x − 2) − f(1 − 2x), x ∈ R. Να εξετάσετε την g ως προς τη µονοτονία
48. ∆ίνεται µε f µε f(x) = 2x − 2 + lnx.

i. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία.
ii. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0.
iii. Να λυθεί η ανίσωση f(x) > 0.
49. Αν η συνάρτηση f R → R ειναι και η γραφική της παράσταση διέρχεται απο τα
σηµεία A(2,3) και B(0,1), να λύσετε την ανίσωση:
f[1 + f(3x + 2)] < 3.
50. ΄Εστω f(x) = x7
+ x5
+ x + 1
α.) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία
β.) Να λύσετε τις ανισώσεις:
i. x7
+ x5
> −x ii. f(x + 1) < f(x3
+ 1)
iii. (1 − x)7
+ (1 − x)5
> x − 4
51. ΄Εστω f συνάρτηση γνησίως µονότονη στο R και η γραφική της πράσταση διέρχεται
απο τα σηµεία A(1,5) και B(5,−2).
i. ∆είξτε ότι η f είναι
ii. ∆είξτε ότι η f ○ f είναι
iii. Να λυθεί η ανίσωση f(f(ex
)) < −2.
52. ∆ίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f R → R για την οποία ισχύει:
f(2 − x) + f(x + 4) = x2
− 1, x ∈ R
i.) Να λυθεί εξίσωση: f(x) = 0 ii.) Να λυθεί ανίσωση: f(x2
− 5) > 0.
53. i. ∆είξτε ότι η συνάρτηση f µε f(x) = ex
+ x3
είναι
ii. Να λυθεί η ανίσωση: ex+1
+ (x + 1)3
< 1.
54. i. ∆είξτε ότι η συνάρτηση f µε f(x) = x + lnx είναι
ii. Να λυθεί η ανίσωση: x2
+ lnx < x.
55. ΄Εστω µια συνάρτηση f R → R περιττή και
i. ∆είξτε ότι f(0) = 0.
ii. ∆είξτε ότι xf(x) > 0, για κάθε x ∈ R∗
.
56. ΄Εστω η συνάρτηση f R → R µε f(x) =
ex+1
− 1
2x
.
i. ∆είξτε ότι η f είναι
ii. Να λυθεί η ανίσωση: f(ex
− 2) < 0.

iii. ∆είξτε ότι ex2+1
− 1 ≥ (e − 1) ⋅ 2x2
για κάθε x ∈ R
57. Να ϐρείτε την ελάχιστη τιµή των παρακάτω συναρτήσεων:
i) f(x) = 3 + x − 2 ii) f(x) = 3 −
4
2 +
√
x − 3
58. Να ϐρείτε την µέγιστη τιµή των παρακάτω συναρτήσεων:
i) f(x) = 5 − x + 1 ii) f(x) =
6
x2 + 3
59. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις ειναι 1-1
i. f(x) =
3lnx − 2
4
ii. f(x) = 2ex−3
− 5
iii. f(x) =
3 − x
x + 1
iv. f(x) = ln
x − 2
x + 2
v. f(x) =
ex
ex − 1
vi. f(x) =
lnx − 2
lnx + 1
vii. f(x) = 2x5
+ 7x3
+ 3x − 5 viii. f(x) = 3ex
− 2lnx − 1
60. Να εξετάσετε αν ειναι 1 − 1 οι παρακάτω συναρτήσεις:
i) f(x) = x −
√
x2 + 1 ii) f(x) = x3
+ 2x + 1
iii) f(x) =
x − 1
x2 + 1
iv) f(x) =
x
√
9 − x2
61. Να δειχτεί οτι δεν είναι 1 − 1 οι συναρτήσεις:
i) f(x) = x3
− 9x ii) f(x) = x2
−
√
x
iii) f(x) = ηµx + ηµ3x iv) f(x) = ex2−x
62. Να ϐρείτε εφόσον ορίζονται, τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων:

i. f(x) =
2x − 2
x + 3
ii. f(x) =
ex
− 1
ex + 1
iii. f(x) = 1 + ln(x − 3) iv. f(x) = 3 +
√
x − 2
v. f(x) =
√
4 −
√
x − 2 vi. f(x) =
1 − ex
2ex + 1
vii. f(x) =
8x − 2
4x + 1
viii. f(x) =
√
x − 1
ix. f(x) = x3
− 1, x. f(x) = 3x3
− 2.
63. Να δειχθεί ότι είναι 1 − 1 οι συναρτήσεις f και g µε:
f(x) =
2x
− 1
2x + 1
και g(x) = (
1
2
)
x
− x
και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση: (
1
2
)
x−1
− (
1
2
)
x2−1
= x − x2
.
64. Να δείξετε οτι συνάρτηση f ειναι 1 − 1 για την οποία ισχύει
f(f(x)) = ex
+ f3
(x), x ∈ R
65. ∆ίνεται η 1 − 1 συνάρτηση f R → R∗
, για την οποία ισχύει:
f(x)f(2 − x) = f(α ⋅ x + 4), α ∈ R.
i) Να ϐρείτε το α. ii) Να ϐρείτε το f(−2)
66. Θεωρούµε την συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Af = (0,+∞) τέτοια ώστε
για κάθε x > 0 ισχύουν f(x) > 0 και xf(x) = f(f(x)).
i) ∆είξτε ότι: f είναι 1 − 1. ii) ∆είξτε ότι:f(1) = 1.
67. ∆ίνεται η συνάρτηση f R → R για την οποία ισχύει
f(f(x)) = x2
− x + 1, x ∈ R.
i. ∆είξτε ότι f(1) = 1.
ii. Η συνάρτηση g µε g(x) = x2
− xf(x) + 1, x ∈ R δεν είναι 1 − 1
68. ∆ίνεται η συνάρτηση f R → R µε f . Να αποδειχθεί ότι:
f−1
(x) = f(x) = x.
69. ΄Εστω η συνάρτηση f µε f(x) = 3 +
√
x − 2.

i. ∆είξτε ότι η f αντιστρέφεται και ϐρείτε την αντίστροφή της.
ii. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις Cf και Cf−1
iii. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = f−1
(x).
70. Να ϐρεθεί η f−1
για την f µε f(x) = 3
√
x − 2. Και να χαράξετε την Cf−1
71. Θεωρούµε την συνάρτηση f R → R µε f(x) = x5
+ x + 1.
i. ∆είξτε ότι η f αντιστρέφεται.
ii. Λύστε την εξίσωση f(x) = f−1
(x).
iii. Υπολογίστε το f−1
(1).
72. ΄Εστω f R → R µε f 1 − 1, για την οποία η Cf διέρχεται από τα σηµεία A(1,2) και
B(3,4). Να λύσετε την εξίσωση: f(2 + f−1
(1 − x)) = 4.
73. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x ⋅ ηµx, x ∈ (0, π
2 )
∆είξτε ότι η f αντιστρέφεται και να ϐρείτε το f−1
( π
12).
74. Να ϐρεθεί η f−1
της f R → R, για την οποία ισχύει
(f(x))
3
+ f(x) = x + 1, x ∈ R.
75. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) =
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
x2
− 1, αν 0 ≤ x ≤ 1
lnx, αν x > 1.
i. Να γίνει η γραφική παράσταση των f και f−1
ii. Να ϐρεθεί ο τύπος της f−1.
76. ΄Εστω η συνάρτηση f µε f R → R, για την οποία ισχύει
f(f(x)) + x = 0, x ∈ R.
i. Να δείξτε ότι η f είναι 1 − 1
ii. Να δείξτε ότι f(x)−1
= −f(x)
iii. Να δείξτε ότι η f δεν είναι γνησιως µονότονη.
77. Αν f(x) = x2
− 6x + 14 και g(x) =
√
x − 5 να ϐρεθούν οι παρακάτω συναρτήσεις:
i) g ○ f, ii) g−1
, iii) f ○ g−1
.
78. ΄Εστω f(x) = ln(
x
1 − x
).
i. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f.
ii. ∆είξτε ότι η f είναι 1 − 1.
iii. Να ϐρεθεί η f−1

iv. Αν κ = f−1
(ln1) + f−1
(ln2), να ϐρεθεί το κ
79. ΄Εστω η f ορισµένη στο R, για την οποία υποθέτουµε (f ○ f)(x) + x = 0.
i. ∆είξτε ότι η f είναι 1 − 1
ii. ∆είξτε ότι η f δεν µπορεί να είναι γνησίως αύξουσα.
iii. Να λύσετε την εξίσωση: f(x3
+ x) = f(2x + 6).
1.2. ΟΡΙΑ
1.2.1. θΕΩΡΙΑ
1. ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο
• Αν lim
x→x0
f(x) > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x0 (Σχ. α)
• Αν lim
x→x0
f(x) < 0, τότε f(x) < 0 κοντά στο x0 (Σχ. ϐ)
2. ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο x0 και ισχύει f(x) ≤ g(x) κοντά
στο x0, τότε
lim
x→x0
f(x) ≤ lim
x→x0
g(x)
3. ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x0, τότε:
i. lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x)

1.2. ΟΡΙΑ
ii. lim
x→x0
(κ ⋅ f(x)) = κ ⋅ lim
x→x0
f(x), για κάθε σταθερά κ ∈ R
iii. lim
x→x0
(f(x) ⋅ g(x)) = lim
x→x0
f(x) ⋅ lim
x→x0
g(x)
iv. lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
, εφόσον g(x) ≠ 0
v. lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
f(x)
vi. lim
x→x0
κ
√
f(x = κ
√
lim
x→x0
f(x), εφόσον f(x) ≥ 0 κοντά στο x0.
vii. lim
x→x0
[f(x)]ν
= [ lim
x→x0
f(x)ν
]
viii. lim
x→x0
xν
= x0
ν
4. ΄Εστω το πολυώνυµο:
P(x) = ανxν
+ αν−1xν−1
+ ⋯ + α1x + α0, αν ≠ 0
Να αποδείξετε ότι: lim
x→x0
P(x) = P(x0)
lim
x→x0
P(x) = lim
x→x0
(ανxν
+ αν−1xν−1
+ ⋯ + α1x + α0)
= lim
x→x0
(ανxν
) + lim
x→x0
(αν−1xν−1
) + ⋯ + lim
x→x0
(α1x) + lim
x→x0
(α0)
= αν lim
x→x0
(xν
) + αν−1 lim
x→x0
(xν−1
) + ⋯ + α1 lim
x→x0
(x) + (α0)
= ανxν
0 + αν−1xν−1
0 + ⋯ + α1x0 + α0
= P(x0)
5. ΄Εστω η ϱητή συνάρτηση f(x) =
P(x)
Q(x)
, όπου P(x), Q(x), Να αποδείξετε ότι:
lim
x→x0
f(x) =
P(x0)
Q(x0)
Ισχύει lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
P(x)
Q(x)
=
lim
x→x0
P(x)
lim
x→x0
Q(x)
=
P(x0)
Q(x0)
πολυώνυµα του x και x0 ∈ R µε
Q(x0) ≠ 0
6. Να αναφέρετε το κριτήριο παρεµβολής.
Αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και lim
x→x0
h(x) = lim
x→x0
g(x) = l τότε ϑα υπάρχει το
όριο lim
x→x0
f(x) και ϑα ισούται µε l.

7. Πως ορίζεται το όριο σύνθετης συνάρτησης;
Για να υπολογίσουµε το lim
x→x0
f(g(x)), της σύνθετης συνάρτησης f ○ g στο σηµείο x0,
τότε
• Θέτουµε u = g(x).
• Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το u0 = lim
x→x0
g(x)
• Υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το l = lim
u→u0
f(u)
Αποδεικνύεται ότι, αν g(x) ≠ u0 κοντά στο x0, τότε το Ϲητούµενο όριο είναι ίσο µε l,
δηλαδή ισχύει:
lim
x→x0
f(g(x)) = lim
u→u0
f(u)
8. Να διατυπώσετε το κριτήριο των πλευρικών ορίων
Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη σε σύνολο της µορφής (α,x0) ∪ (x0,β) για να
υπάρχει το όριο στο x0 καθώς το x πλησιάζει στο x0 από δεξιά και από αριστερά
πρέπει τα πλευρικά όρια
l1 = lim
x→x−
0
f(x) και l2 = lim
x→x+
0
f(x)
να είναι ίσα. Οπότε:
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x)
• Αν τα πλευρικά όρια είναιδιαφορετικά,τότε δεν υπάρχει το όριο
• Αν, το x0 πλησιάζει µόνο από αριστερά ή µόνο από από δεξιά τότε το όριο
ταυτίζεται και µόνο µε το πλευρικό όριο.
9. Ιδιότητες µη πεπερασµένων ορίων
i. lim
x→x0
f(x) = +∞ ⇔ lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = +∞
ii. lim
x→x0
f(x) = −∞ ⇔ lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = −∞
iii. Αν lim
x→x0
f(x) = +∞ τότε f(x) > 0 κοντά στο x0
iv. Αν lim
x→x0
f(x) = −∞ τότε f(x) < 0 κοντά στο x0
v. Αν lim
x→x0
f(x) = +∞ τότε lim
x→x0
−f(x) = −∞

1.2. ΟΡΙΑ
vi. Αν lim
x→x0
f(x) = −∞ τότε lim
x→x0
−f(x) = +∞
vii. Αν lim
x→x0
f(x) = −∞ ή − ∞, τότε lim
x→x0
1
f(x)
= 0
viii. Αν lim
x→x0
f(x) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο x0, τότε lim
x→x0
1
f(x)
= +∞
ix. Αν lim
x→x0
f(x) = 0 και f(x) < 0 κοντά στο x0, τότε lim
x→x0
1
f(x)
= −∞
x. Αν lim
x→x0
f(x) = −∞ ή − ∞, τότε Αν lim
x→x0
f(x) = +∞
xi. Αν lim
x→x0
f(x) = +∞, τότε lim
x→x0
κ
√
f(x) = +∞
Σύµφωνα µε τις ιδιότητες αυτές έχουµε:
• lim
x→0
1
x2
= +∞ και γενικά lim
x→0
1
x2ν
= +∞
• lim
x→0+
1
x
+ ∞ και γενικά lim
x→0+
1
x2ν+1
= +∞
• lim
x→0−
1
x
= −∞ και γενικά lim
x→0−
1
x2ν+1
= −∞
10. ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (όριο αθροίσµατος)
Αν στο x0 ∈ R
το όριο της f είναι: α ∈ R α ∈ R +∞ −∞ +∞ −∞
το όριο της g είναι: +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞
τότε το όριο της f + g είναι: +∞ −∞ +∞ −∞ ; ;
11. ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινοµένου)
το όριο της f είναι: α > 0 α < 0 α > 0 α < 0
το όριο της g είναι: +∞ ∞ −∞ −∞
τότε το όριο της f ⋅ g είναι: +∞ +∞ −∞ −∞
το όριο της f είναι: 0 0 +∞ +∞ −∞ −∞
το όριο της g είναι: +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞
τότε το όριο της f ⋅ g είναι: +∞ ; ; +∞ −∞ −∞
12. Ποιές είναι οι περιπτώσεις που έχουµε απροσδιόριστες µορφές ορίων;
• Απροσδιόριστες µορφές για τα όρια αθροίσµατος και γινοµένου συναρτήσεων
είναι οι:
(+∞) + (−∞) και 0 ⋅ (±∞)
• Απροσδιόριστες µορφές για τα όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων
είναι οι:
(+∞) − (+∞), (−∞) − (−∞) και
0
0
,
±∞
±∞

Part 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Part 1

Similar to Part 1 (20)

More from Christos Loizos

More from Christos Loizos (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (17)

Part 1