Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Δέκα τριγωνομετρικές εξισώσεις με περιορισμούς
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος [15/02/20]
Εισαγωγή
Σε αρκετές τριγωνομετρικές εξισώσεις λαμβάνουμε περιορισμούς και η διαδικασία
επίλυσης των εξισώσεων γίνεται αρκετά πιο απαιτητική.
Στο βιβλίο των λύσεων, σε όλες τις περιπτώσεις όταν υπολογίζει τις λύσεις γράφει είτε
«προφανώς ικανοποιούν τον περιορισμό…», είτε «οι λύσεις δεν ικανοποιούν τον
περιορισμό …» χωρίς να το δικαιολογήσει παραπάνω.
Σε αυτό το αρχείο θα βρείτε αποδείξεις σε αυτά τα σημεία που το βιβλίο τα ξεπερνάει
πολύ γρήγορα.
Άσκηση 1η
Να λύσετε την εξίσωση 1 ημx συνx  στο διάστημα  0,2π .
Σε αντιδιαστολή της άσκησης του σχολικού βιβλίου Β4 / σελ. 89.
Λύση
Είναι, 1 ημx 0  για κάθε  x 0,2π , άρα αν συνx 0 , τότε η εξίσωση
1 ημx συνx  είναι αδύνατη.
Για να έχει λύση η εξίσωση 1 ημx συνx  πρέπει και αρκεί συνx 0 .
Επειδή οι όροι είναι μη αρνητικοί έχουμε ισοδύναμα:
 
2 2
2 2
2
1 ημx συνx 1 ημx συν x
συνx 0 συνx 0
1 2ημx ημ x 1 ημ x
συνx 0
2ημx 2ημ x 0
συνx 0
   

 
   
    

 
 
  

 
 
 2ημx 1 ημx 0
συνx 0
  

 
 

2.  x 0,2π
ημx 0 ημx 1
ή
συνx 0 συνx 0
3π
x 0 x π x
2
ή ή
συνx 0 συνx 0
συνx 0

   
 
  
   

      
   
     
Τελικά, οι δεκτές λύσεις της εξίσωσης είναι x 0 και
3π
x
2
 .
Άσκηση 2η
Να λύσετε την εξίσωση   2
2συνx 1 εφ x 3 σφx 0   .
Που αποτελεί την άσκηση Α6 ii) / σελ. 88 του σχολικού βιβλίου.
Λύση
 Για να ορίζεται η εφx πρέπει: συνx 0
 Για να ορίζεται η σφx πρέπει: ημx 0
Έχουμε,
  2 1
2συνx 1 εφ x 3 σφx 0 συνx ή εφx 3 ή εφx 3 ή σφx 0
2
2π π π
x 2κπ ή x κπ ή x κπ , κ
3 3 2
         
       Z
Όμως, οι λύσεις
π
x κπ , κ
2
  Zαπορρίπτονται γιατί δεν ικανοποιούν τον
περιορισμό συνx 0 , διότι  
π
συν κπ ημ κπ 0
2
 
    
 
.
Τελικά, οι δεκτές λύσεις της εξίσωσης είναι
2π π
x 2κπ και x κπ , κ
3 3
    Z.
Άσκηση 3η
Να λύσετε την εξίσωση
π
εφ2x σφ 3x 0
3
 
   
 
.
Που αποτελεί την άσκηση Β1 ii) / σελ. 89 του σχολικού βιβλίου.

3. Λύση
 Για να ορίζεται η εφ2x πρέπει: συν2x 0
 Για να ορίζεται η
π
σφ 3x
3
 
 
 
πρέπει:
π
ημ 3x 0
3
 
  
 
Έχουμε,
π π π
εφ2x σφ 3x 0 σφ 2x σφ 3x
3 2 3
π π
2x κπ 3x
2 3
π
5x κπ
6
κπ π
x , κ
5 30
     
           
     
    
   
    Z
Το βιβλίο των λύσεων σε αυτό το σημείο αναφέρει το εξής:
«… που ικανοποιούν τους περιορισμούς».
Εμείς, αυτό το προφανές του βιβλίου θα το δείξουμε πιο αναλυτικά όχι για να το
παρουσιάσει ο μαθητής στο γραπτό του αλλά για να κατανοήσει σε βάθος γιατί
δεχόμαστε όλες τις λύσεις.
Έστω, ότι υπάρχει 0κ Z τέτοιος ώστε η λύση 0κ π π
x
5 30
   να επαληθεύει την
εξίσωση συν2x 0 δηλαδή
 
0 0
0 0
0 0
0 0
κ π 2κ ππ π π
συν 2 0 συν συν
5 30 5 15 2
2κ π 2κ ππ π π π
2λπ ή 2λπ , λ
5 15 2 5 15 2
15 15
6κ 1 30λ ή 6κ 1 30λ , λ
2 2
13 17
6κ 30λ ή 6κ 30λ
2 2
 
 
    
          
    
         
         
     
 
Z Z
Z Z
Z
Z
που είναι άτοπο, άρα για κάθε κ  Z η λύση
κπ π
x , κ
5 30
   Z ικανοποιεί τον
περιορισμό συν2x 0 .

4. Επίσης, έστω ότι υπάρχει 0κ Z τέτοιος ώστε η λύση 0κ π π
x
5 30
   να επαληθεύει
την εξίσωση
π
ημ 3x 0
3
 
  
 
δηλαδή

0 0
0
0
3κ π 3κ ππ π π π
ημ 0 λπ, λ
3 5 10 3 5 10
10
6κ 1 10λ, λ
3
13
10λ 6κ
3


 
        
 
    
  

Z
Z
Z
Z
που είναι άτοπο, άρα για κάθε κ  Z η λύση
κπ π
x , κ
5 30
   Z ικανοποιεί τον
περιορισμό
π
ημ 3x 0
3
 
  
 
.
Άρα οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι οι
κπ π
x , κ
5 30
   Z.
Άσκηση 4η
Να λύσετε την εξίσωση
π
εφx σφ x
3
 
  
 
στο διάστημα  0,2π .
Που αποτελεί την άσκηση Β5 / σελ. 89 του σχολικού βιβλίου.
Λύση
 Για να ορίζεται η εφx πρέπει: συνx 0
 Για να ορίζεται η
π
σφ x
3
 
 
 
πρέπει:
π
ημ x 0
3
 
  
 
Έχουμε,
π π π
εφx σφ x εφx εφ x
3 2 3
π
εφx εφ x
6
π
x κπ x, κ
6
κπ π
x , κ
2 12
   
        
   
 
   
 
    
   
Z
Z

5. Όμως,
 
κπ π
x 0,2π 0 x 2π 0 2π, κ
2 12
1 23
κ , κ
6 6
κ 0 ή κ 1 ή κ 2 ή κ 3
        
    
    
Z
Z
άρα οι λύσεις είναι:
0 1 2 3
π π π π 3π π
x , x , x π , x
12 2 12 12 2 12
      
που ικανοποιεί τον περιορισμό συνx 0 , διότι:
0
π
συνx συν 0
12
 
1
π π π
συνx συν ημ 0
2 12 12
 
     
 
2
π π
συνx συν π συν 0
12 12
 
     
 
3
3π π π
συνx συν ημ 0
2 12 12
 
    
 
Επίσης, οι λύσεις ικανοποιούν και τον περιορισμό
π
ημ x 0
3
 
  
 
, διότι:
0
π π π
ημ x ημ 0
3 3 12
   
      
   
1
π π π π π π
ημ x ημ συν 0
3 3 2 12 3 12
     
           
     
2
π π π π π
ημ x ημ π ημ 0
3 3 12 3 12
     
            
     
3
π π 3π π π π
ημ x ημ συν 0
3 3 2 12 3 12
     
            
     
Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης
0 1 2 3
π π π π 3π π
x , x , x π , x
12 2 12 12 2 12
       είναι δεκτές.
Άσκηση 5η
Να λύσετε την εξίσωση εφx σφ2x 1  .

6. Που αποτελεί την άσκηση Α11 ii / σελ. 88 του σχολικού βιβλίου.
Λύση
 Για να ορίζεται η εφx πρέπει: συνx 0
 Για να ορίζεται η σφ2x πρέπει: ημ2x 0
Η εξίσωση εφx σφ2x 1 0   , άρα εφx 0 , οπότε:
1
εφx σφ2x 1 σφ2x σφ2x σφx 2x κπ x, κ x κπ, κ
εφx
            Z Z
Όμως, οι λύσεις x κπ, κ Z δεν ικανοποιούν τον περιορισμό ημ2x 0 , διότι:
ημ2x ημ2κπ ημ0 0   .
Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο R .
Άσκηση 6η
Να λύσετε την εξίσωση εφx σφ3x 1  .
Σε προέκταση της άσκησης Α11 ii / σελ. 88 του σχολικού βιβλίου.
Λύση
 Για να ορίζεται η εφx πρέπει: συνx 0
 Για να ορίζεται η σφ3x πρέπει: ημ3x 0
Η εξίσωση εφx σφ3x 1 0   , άρα εφx 0 , οπότε:
1 κπ
εφx σφ3x 1 σφ3x σφ3x σφx 3x κπ x, κ x , κ
εφx 2
            Z Z
Όμως, οι λύσεις
κπ
x , κ
2
  Zδεν ικανοποιούν τον περιορισμό συνx 0 , αν το κ
είναι περιττός, δηλαδή κ 2λ 1  διότι:
 
 
2λ 1 πκπ π
συν συν συν λπ ημ λπ 0
2 2 2
  
      
 
.
Επίσης, οι λύσεις
κπ
x , κ
2
  Zδεν ικανοποιούν τον περιορισμό ημ3x 0 , αν το κ
είναι άρτιος, δηλαδή κ 2λ διότι:

7.      
κπ 2λπ
ημ3x ημ 3 ημ 3 ημ 3λπ ημ 2λπ λπ ημ λπ 0
2 2
   
           
   
Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο R .
Άσκηση 7η
Να λύσετε την εξίσωση
π
εφx εφ x 2
4
 
    
 
.
Που αποτελεί την άσκηση Α11 ii / σελ. 96 του σχολικού βιβλίου.
Λύση
 Για να ορίζεται η εφx πρέπει: συνx 0
 Για να ορίζεται η
π
εφ x
4
 
 
 
πρέπει:
π
συν x 0
4
 
  
 
Έχουμε,
2
2
π 1 εφx
εφx εφ x 2 εφx 2
4 1 εφx
εφx εφ x 1 εφx 2 2εφx
εφ x 3
εφx 3
π
x κπ , κ
3
 
        
 
      
 
  
   Z
Οι λύσεις
π
x κπ , κ
3
  Z ικανοποιούν τους περιορισμούς διότι
π π
συν κπ συν 0
3 3
 
    
 
και
π π π π
συν κπ συν 0
4 3 4 3
   
        
   
.
Άσκηση 8η
Να λύσετε την εξίσωση  εφ x α 2   , αν εφα 3  .
Που αποτελεί την άσκηση Α11 iii / σελ. 96 του σχολικού βιβλίου.

8. Λύση
Εδώ ο περιορισμός  συν x α 0  για να ορίζεται η εφ(x – α) δεν χρειάζεται, είναι
περιττός.
Για να εφαρμόσουμε τον τύπο  
εφα εφβ
εφ α β
1 εφα εφβ

 
 
πρέπει να ορίζονται οι
αριθμοί εφα, εφβ , άρα θα διακρίνουμε περιπτώσεις αν ορίζεται η εφx . Ας
θυμηθούμε τι αναφέρει το σχολικό βιβλίο στο σημείο αυτό:
 Αν
π
συνx 0 x 2κπ , κ
2
     Z, τότε
 
π π 1
εφ x α εφ 2κπ α εφ α σφα 0
2 2 3
   
             
   
άρα δεν είναι λύση της εξίσωσης.
 Αν συνx 0 , τότε
 
εφx εφα εφx 3 π
εφ x α 2 2 2 εφx 1 x κπ , κ
1 εφx εφα 1 3εφx 4
 
              
  
Z

9. που ικανοποιεί τον περιορισμό συνx 0 , διότι
π π 2
συν κπ συν 0
4 4 2
 
      
 
.
Άσκηση 9η
Να λύσετε την εξίσωση
π π
εφ x εφ x 2 3
4 4
   
      
   
στο διάστημα  0,π .
Που αποτελεί την άσκηση Β8/σελ. 97 του σχολικού βιβλίου.
Λύση
 Για να ορίζεται η
π
εφ x
4
 
 
 
πρέπει:
π
συν x 0
4
 
  
 
 Για να ορίζεται η
π
εφ x
4
 
 
 
πρέπει:
π
συν x 0
4
 
  
 
Αν
 x 0,π
π
συνx 0 x
2

   , τότε
π π π π π π π π
εφ εφ εφ εφ 1 1 0 2 3
4 2 4 2 2 4 2 4
       
                  
       
άρα η λύση δεν είναι δεκτή.
Αν συνx 0 , άρα ορίζεται η εφx, τότε έχουμε:
 
2
x 0,π
π π 1 εφx 1 εφx
εφ x εφ x 2 3 2 3
4 4 1 εφx 1 εφx
... 3 εφ x 2 εφx 3 0
3
εφx ή εφx 3
3
π 2π
x ή x
6 3

    
         
    
      
   
  
που είναι δεκτές, αφού ικανοποιούν τους περιορισμούς, διότι:
π π π π
συν x συν συν 0
4 4 6 12
   
       
   
,
π π 5π
συν συν 0
4 6 12
 
   
 

10. π 2π π π π
συν συν π συν 0
4 3 3 4 12
   
         
   
,
π 2π π π 7π
συν συν π συν 0
4 3 3 4 12
   
          
   
.
Άσκηση 10η
Να λύσετε την εξίσωση εφx εφ2x 3   στο διάστημα  0,π .
Που αποτελεί την άσκηση Β6/σελ. 102 του σχολικού βιβλίου.
Λύση
 Για να ορίζεται η εφx πρέπει: συνx 0
 Για να ορίζεται η εφ2x πρέπει: συν2x 0
Έχουμε,
2 2
2
2
2εφx
εφx εφ2x 3 εφx 3 2εφ x 3 3εφ x
1 εφ x
εφ x 3
εφx 3
π
x κπ ,κ
3
          

 
  
    Z
που είναι δεκτές, αφού ικανοποιούν τους περιορισμούς
π 1 1
συνx συν κπ ή 0
3 2 2
 
     
 
και
π π 1
συν2x συν 2κπ συν 0
3 3 2
 
     
 
.

11. Πάντα περιορισμοί σε εφαπτόμενες και συνεφαπτόμενες;
Άρα ο μαθητής μπορεί να σκεφτεί τος εξής: «άρα όταν λύνουμε εξισώσεις με
εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη πρέπει να παίρνουμε συνέχεια περιορισμούς; Δηλαδή στις
παρακάτω εξισώσεις του σχολικού βιβλίου πρέπει να πάρουμε περιορισμούς;»
Είναι μια πολύ καλή ερώτηση που μπορεί να μας προβληματίσει. Μια πιθανή απάντηση
μπορεί να είναι η εξής:
Στις παρακάτω περιπτώσεις λύνουμε εξισώσεις στις οποίες οι εφαπτομένες ή
συνεφαπτομένες ισούνται με έναν αριθμό, δηλαδή το β΄ μέλος είναι σταθερό, άρα
ορίζονται. Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν χρειάζεται να πάρουμε περιορισμούς. Σε
αντίθεση περίπτωση, που και τα δύο μέλη περιέχουν γωνίες όχι σταθερές, τότε πρέπει να
πάρουμε περιορισμό.