Slide ini merupakan materi Matematika Wajib di kelas X

1. Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
(SPLTV)
Oleh :
Franxisca Kurniawati, S.Si.

2. Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
(SPLTV)
Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
(SPLDV)
Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
(SPLTV)
Persamaan Linear Dua
Variabel (PLDV)
Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
(SPLDV)
Persamaan Linear Tiga
Variabel (PLTV)
Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
(SPLTV)

4. 1. Persamaan Linear Dua Variable (PLDV)
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄
Dengan 𝒂, 𝒃 dan 𝒄 adalah bilangan real dan
𝒂 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎
Kalimat terbuka dengan dua variabel yang
memiliki hubungan sama dengan dan masing-
masing variabelnya berpangkat satu
b. Pengertian (PLDV)
a. Bentuk umum :

5. Contoh 1 :
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
Jawab :
Untuk 𝒙 = −𝟏, maka 𝟐(−𝟏) + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟑𝒚 = 𝟔 + 𝟐
𝒚 =
𝟖
𝟑
→ −𝟏,
𝟖
𝟑
1. Dengan aljabar (menghitung) :

6. Untuk 𝒙 = 𝟎, maka 𝟐(𝟎) + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟑𝒚 = 𝟔 + 𝟎
𝒚 = 𝟐
→ 𝟎, 𝟐
Untuk 𝒙 = 𝟏, maka 𝟐(𝟏) + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟑𝒚 = 𝟔 − 𝟐
𝒚 =
𝟒
𝟑
→ 𝟏,
𝟒
𝟑
Untuk 𝒙 = 𝟐, maka 𝟐(𝟐) + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟑𝒚 = 𝟔 − 𝟒
𝒚 =
𝟐
𝟑
→ 𝟐,
𝟐
𝟑
dst…

7. 2. Dengan tabel :
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝒙 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐
𝒚 𝟖
𝟑
𝟐 𝟒
𝟑
𝟐
𝟑
(𝒙, 𝒚)
−𝟏,
𝟖
𝟑
𝟎, 𝟐
𝟏,
𝟒
𝟑
𝟐,
𝟐
𝟑
Himpunan penyelesaian dapat ditulis secara umum sebagai
𝑯𝑷 = 𝒙,
𝟔 − 𝟐𝒙
𝟑
𝒙𝝐𝑹

8. 3. Dengan grafik :
a. memotong sumbu x, jika y=0
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟐𝒙 + 𝟑(𝟎) = 𝟔
𝟐𝒙 = 𝟔
𝒙 = 𝟑
→ (𝟑, 𝟎)
b. memotong sumbu y, jika x=0
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟐(𝟎) + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟑𝒚 = 𝟔
𝒚 = 𝟐
→ (𝟎, 𝟐)
𝟐
𝟑
𝒙
𝒚
𝟎

9. 2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
(SPLDV)
𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒃 𝟏 𝒚 = 𝒄 𝟏
𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒃 𝟐 𝒚 = 𝒄 𝟐
Dengan 𝒂, 𝒃 dan 𝒄 adalah bilangan real
dan 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐 ≠ 𝟎
a. Bentuk umum :
Gabungan dari dua PLDV yang saling berhubungan
satu dengan yang lain
b. Pengertian (SPLDV)

10. c. Penyelesaian (SPLDV)
1. Dengan Metode Grafik:
1. Dari masing2 PLDV, tentukan titik potong dengan
sumbu x, jika y=0
2. Dari masing2 PLDV, tentukan titik potong dengan
sumbu y, jika x=0
3. Gambar grafik masing2 PLDV pada koordinat
cartesius melalui 2 titik potong tersebut
4. Tentukan titik persekutuan (x, y) dari dua grafik
tersebut

11. Contoh 2: (dengan metode grafik)
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut :
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
Jawab :
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
𝒙 𝟐 𝟎
𝒚 𝟎 𝟒
(𝒙, 𝒚) (𝟐, 𝟎) (𝟎, 𝟒)
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
𝒙 𝟏
𝟑
𝟎
𝒚 𝟎 −𝟏
(𝒙, 𝒚)
(
𝟏
𝟑
, 𝟎)
(𝟎, −𝟏)
𝑯𝑷 = { 𝟏, 𝟐 }
Titik
persekutuan

12. 2. Dengan Metode Substitusi:
1. Ambil salah satu PLDV, nyatakan sebagai fungsi
dalam x (diubah bentuknya menjadi y=… )
2. Substitusikan (hasil dari Langkah 1) ke dalam PLDV
yang lainnya
3. Selesaikan (diperoleh nilai x)
4. Subsitusikan nilai x (dari Langkah 3) ke dalam
persamaan dari langkah1 (diperoleh nilai y)
5. Penyelesaiannya yaitu (x, y)

13. Contoh 3: (dengan metode substitusi)
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut :
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
Jawab :
𝟏 … 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
𝒚 = 𝟒 − 𝟐𝒙 … (𝟑)
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒 … (𝟏)
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏 … (𝟐)
𝟑 → 𝟐 … 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
𝟑𝒙 − 𝟒 − 𝟐𝒙 = 𝟏
𝟑𝒙 − 𝟒 + 𝟐𝒙 = 𝟏
𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟏
𝟓𝒙 = 𝟓
𝒙 = 𝟏
𝟐 … 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
𝟑(𝟏) − 𝒚 = 𝟏
𝟑 − 𝟏 = 𝒚
𝒚 = 𝟐
𝑯𝑷 = { 𝟏, 𝟐 }

14. 3. Dengan Metode Eliminasi:
1. Eliminasi variable y dengan cara menyamakan
koefisien variable y akan didapat nilai x
3. Jika tanda di depan koefisien berlawanan maka
PLDV pertama ditambah PLDV kedua.
Jika tanda di depan koefisien sama maka PLDV
pertama dikurangkan PLDV kedua.
2. Eliminasi variable x dengan cara menyamakan
koefisien variable x akan didapat nilai y
4. Penyelesaiannya yaitu (x, y)

15. 𝟓𝒚 = 𝟏𝟎
𝒚 = 𝟐
Contoh 4 : (dengan metode eliminasi)
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut :
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
Jawab :
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
… × 𝟑 𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
… × 𝟐 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐
𝟓𝒙 = 𝟓
𝒙 = 𝟏
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
… × 𝟏 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
… × 𝟏 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏
𝑯𝑷 = { 𝟏, 𝟐 }
Eliminasi variable y
Eliminasi variable x

16. 4. Dengan Metode Gabungan:
Terdapat 2 macam metode gabungan yaitu :
a. Eliminasi-Substitusi
b. Substitusi-Eliminasi

17. Tugas :
Tuliskan apa yang kamu ketahui tentang
perbedaan penyelesaian antara PLDV dan
SPLDV ?
Jawab :

19. 1. Persamaan Linear Tiga Variable (PLTV)
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅
Dengan 𝒂, 𝒃, 𝒄 dan 𝒅 adalah bilangan real dan
𝒂 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎
Kalimat terbuka dengan tiga variabel yang
memiliki hubungan sama dengan dan masing-
masing variabelnya berpangkat satu
b. Pengertian (PLTV)
a. Bentuk umum :

20. Contoh 1:
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟑 dengan 𝒙, 𝒚, 𝒛 bilangan bulat non negatif
Tentukan himpunan penyelesaian PLTV berikut :
Jawab :
*Untuk 𝒙 = 𝟎
Penyelesaiannya, yaitu:
jika 𝒚 = 𝟎 maka 𝒛 = 𝟑 (𝟎, 𝟎, 𝟑)
jika 𝒚 = 𝟏 maka 𝒛 = 𝟐 (𝟎, 𝟏, 𝟐)
jika 𝒚 = 𝟐 maka 𝒛 = 𝟏 (𝟎, 𝟐, 𝟏)
jika 𝒚 = 𝟑 maka 𝒛 = 𝟎 (𝟎, 𝟑, 𝟎)

21. *Untuk 𝒙 = 𝟏
jika 𝒚 = 𝟎 maka 𝒛 = 𝟐 (𝟏, 𝟎, 𝟐)
jika 𝒚 = 𝟏 maka 𝒛 = 𝟏 (𝟏, 𝟏, 𝟏)
jika 𝒚 = 𝟐 maka 𝒛 = 𝟎 (𝟏, 𝟐, 𝟎)
*Untuk 𝒙 = 𝟐
jika 𝒚 = 𝟎 maka 𝒛 = 𝟏 (𝟐, 𝟎, 𝟏)
jika 𝒚 = 𝟏 maka 𝒛 = 𝟎 (𝟐, 𝟏, 𝟎)
*Untuk 𝒙 = 𝟑 jika 𝒚 = 𝟎 maka 𝒛 = 𝟎 (𝟑, 𝟎, 𝟎)
Penyelesaian PLTV ada sebanyak 𝟒 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟎 anggota, yaitu :
𝐇𝐏 = { 𝟎, 𝟎, 𝟑 , 𝟎, 𝟏, 𝟐 , 𝟎, 𝟐, 𝟏 , 𝟎, 𝟑, 𝟎 , 𝟏, 𝟎, 𝟐 ,
𝟏, 𝟏, 𝟏 , 𝟏, 𝟐, 𝟎 , 𝟐, 𝟎, 𝟏 , 𝟐, 𝟏, 𝟎 , (𝟑, 𝟎, 𝟎)}

22. Contoh 2:
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟑 dengan 𝒙, 𝒚, 𝒛 bilangan real non negatif
Tentukan himpunan penyelesaian PLTV berikut :
Jawab :
Perhatikan gambar grafik 3 dimensi berikut :

23. 𝒙
𝒚
𝒛
(𝟎, 𝟎, 𝟑)
(𝟎, 𝟏, 𝟐)
(𝟎, 𝟐, 𝟏)
(𝟎, 𝟑, 𝟎)
(𝟏, 𝟎, 𝟐)
(𝟏, 𝟏, 𝟏)
(𝟏, 𝟐, 𝟎)
(𝟐, 𝟎, 𝟏)
(𝟐, 𝟏, 𝟎)
(𝟑, 𝟎, 𝟎)
Penyelesaian PLTV, yaitu:
semua titik-titik yang berada pada bidang datar
segitiga (jumlah anggotanya tak berhingga)

24. 2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
(SPLTV)
𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒃 𝟏 𝒚 + 𝒄 𝟏 𝒛 = 𝒅 𝟏
𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒃 𝟐 𝒚 + 𝒄 𝟐 𝒛 = 𝒅 𝟐
𝒂 𝟑 𝒙 + 𝒃 𝟑 𝒚 + 𝒄 𝟑 𝒛 = 𝒅 𝟑
Dengan 𝒂, 𝒃, 𝒄 dan 𝒅 adalah bilangan real
dan 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑, 𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐, 𝒃 𝟑 ≠ 𝟎
a. Bentuk umum :
Gabungan dari tiga PLTV yang saling berhubungan
satu dengan yang lain
b. Pengertian (SPLTV)

25. c. Penyelesaian (SPLTV)
1. Metode Eliminasi
2. Metode Substitusi
3. Metode Gabungan
4. Metode Eliminasi Gauss Jordan

26. 3. Dengan Metode Gabungan:
1. Eliminasi salah satu variable dari 3 PLTV akan
didapat 2 PLDV
3. Substitusikan nilai sebuah variabel yang sudah
diketahui ke salah satu PLDV akan didapat nilai
sebuah variabel ke-2
2. Eliminasi salah satu variable dari 2 PLDV akan
didapat nilai sebuah variabel
5. Penyelesaiannya yaitu (x, y, z)
4. Substitusikan dua buah variabel yang sudah
diketahui ke salah satu PLTV akan didapat nilai
sebuah variabel ke-3

27. Contoh 3: (dengan metode gabungan)
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut :
𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒
𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟕𝒛 = −𝟏
Jawab :
𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒 … (𝟏)
𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓 … (𝟐)
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟕𝒛 = −𝟏 … (𝟑)

28. 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒 … (𝟏)
𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓 … (𝟐)
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟕𝒛 = −𝟏 … (𝟑)
𝟏 … 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒
𝟐 … 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓
−𝟒𝒚 + 𝟑 𝒛 = −𝟏𝟏 … (𝟒)
1. Eliminasi variable x
𝟑 … 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟕𝒛 = −𝟏
𝟐 … 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓
−𝟐𝒚 + 𝟏𝟑 𝒛 = −𝟏𝟕 … (𝟓)
… × 𝟐 𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟏𝟒𝒛 = −𝟐
… × 𝟏 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓
𝟒 … − 𝟒𝒚 + 𝟑 𝒛 = −𝟏𝟏
𝟓 … − 𝟐𝒚 + 𝟏𝟑 𝒛 = −𝟏𝟕
−𝟐𝟑 𝒛 = 𝟐𝟑
𝒛 = −𝟏
… × 𝟏 − 𝟒𝒚 + 𝟑𝒛 = −𝟏𝟏
… × 𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟐𝟔 𝒛 = −𝟑𝟒
2. Eliminasi variable y

29. 𝐳 = −𝟏 → 𝟒 … − 𝟒𝒚 + 𝟑 𝒛 = −𝟏𝟏
−𝟒𝒚 + 𝟑 (−𝟏) = −𝟏𝟏
−𝟒𝒚 = −𝟏𝟏 + 𝟑
−𝟒𝒚 = −𝟖
𝒚 = 𝟐
3. Substitusikan nilai z ke PLDV (4)
4. Substitusikan nilai z dan nilai y ke PLTV (1)
𝐳 = −𝟏 𝐝𝐚𝐧 𝐲 = 𝟐 → 𝟏 … 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒
𝟒𝒙 + 𝟐(𝟐) + 𝟒(−𝟏) = 𝟒
𝟒𝒙 = 𝟒 − 𝟒 + 𝟒
𝟒𝒙 = 𝟒
𝒙 = 𝟏
𝑯𝑷 = { 𝟏, 𝟐, −𝟏 }

30. Contoh 4: (aplikasi SPLTV)
Diketahui parabola 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 melalui titik (1,-2),
(-1,0) dan (2,3). Tentukan nilai 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
Jawab :
Untuk titik (𝟏, −𝟐), maka 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
−𝟐 = 𝒂 𝟏 𝟐 + 𝒃(𝟏) + 𝒄
−𝟐 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 … (𝟏)
Untuk titik (−𝟏, 𝟎), maka 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
𝟎 = 𝒂 −𝟏 𝟐 + 𝒃(−𝟏) + 𝒄
𝟎 = 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 … (𝟐)
Untuk titik (𝟐, 𝟑), maka 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
𝟑 = 𝒂 𝟐 𝟐 + 𝒃(𝟐) + 𝒄
𝟑 = 𝟒𝒂 + 𝟐 𝒃 + 𝒄 … (𝟑)

31. Kita dapatkan SPLTV:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = −𝟐 … (𝟏)
𝒂 − 𝒃 + 𝒄 = 𝟎 … (𝟐)
𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟑 … (𝟑)
𝟏 … 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = −𝟐
𝟐 … 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 = 𝟎
𝟐𝒃 = −𝟐
𝒃 = −𝟏
1. Eliminasi variable c
𝟏 … 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = −𝟐
𝟑 … 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = 𝟑
−𝟑𝒂 − 𝒃 = −𝟓 … (𝟒)
𝐛 = −𝟏 → 𝟒 … − 𝟑𝒂 − 𝒃 = −𝟓
−𝟑𝒂 − (−𝟏) = −𝟓
−𝟑𝒂 + 𝟏 = −𝟓
−𝟑𝒂 = −𝟔
𝒂 = 𝟐
2. Substitusikan nilai b ke PLDV (4)

32. 3. Substitusikan nilai b dan nilai a ke PLTV (1)
𝐛 = −𝟏 𝐝𝐚𝐧 𝐚 = 𝟐 → 𝟏 … − 𝟐 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
−𝟐 = 𝟐 + (−𝟏) + 𝒄
−𝟑 = 𝒄
𝒄 = −𝟑
Jadi 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟐 + −𝟏 + (−𝟑)
= −𝟐