Berikut adalah beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.

2. Definisi metode eliminasi
Gauss (EG) dan metode
eliminasi Gauss-Jordan
(EGJ)
Menyelesaikan SPL dengan
metode eliminasi Gauss
(EG)
Menyelesaikan SPL dengan
metode Invers Matriks
Menyelesaikan SPL dengan
metode eliminasi Gauss-
Jordan (EGJ)
Menyelesaikan SPL dengan
metode Cramer
DAFTAR ISI

3. Definisi metode eliminasi Gauss
(EG) dan metode eliminasi
Gauss-Jordan (EGJ)

4. Eliminasi Gauss adalah prosedur pemecahan sistem persamaan linear dengan
merepresentasikannya (mengubahnya) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut
lalu diubah menjadi Matriks Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Atau
lebih jelasnya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
yang diperluas dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon Baris,
lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Metode Eliminasi Gauss
(EG)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

5. Metode Eliminasi Gauss-Jordan
(EGJ)
Camille Jordan (1838-
1922)
Kemudian, eliminasi Gauss disempurnakan menjadi eliminasi Gauss-Jordan.
Eliminasi Gauss Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang
hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris
elementer dari eliminasi Gauss, sehingga menghasilkan matriks Eselon Baris
Tereduksi.
Dan untuk penyelesaian sistem persamaan linear dapat dilakukan dengan cara
mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks yang diperluas. Lalu
ubah menjadi matriks Eselon Baris Tereduksi melalui metode OBE. Setelah
menjadi matriks Eselon Baris Tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai
dari variabel variabelnya tanpa substitusi balik.

6. Menyelesaikan SPL dengan
metode Eliminasi Gauss (EG)

7. Contoh 1 (SPLDV)
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑
2 4 2
1 3 3
𝟐 4 2
1 3 3
1
2
𝑅1
1 2 1
𝟏 3 3
𝑅2 − 𝑅1
1 2 1
0 1 2
𝑥 + 2𝑦 = 1 … (1)
𝒚 = 𝟐 … (𝟐)
𝑥 + 2𝑦 = 1 … (1)
𝑥 + 2 2 = 1
𝑥 + 4 = 1
𝑥 = 1 − 4
𝒙 = −𝟑
Maka diperoleh x = -3, dan y = 2
Langkah 1 :
Mengubah persamaan linear tersebut
ke dalam matriks yang diperluas
Langkah 2
Langkah 3
Langkah 4
Substitusi Pers. 2 ke
Pers. 1

8. Contoh 2
(SPLTV)
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟑
𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟐
2 5 3
3 4 2
1 3 1
1
−3
2
𝟐 5 3
3 4 2
1 3 1
1
−3
2
𝑅1 ↔ 𝑅3
1 3 1
𝟑 4 2
2 5 3
2
−3
1
− 3𝑅1 + 𝑅2
1 3 1
0 −5 −1
𝟐 5 3
2
−9
1
− 2𝑅1 + 𝑅3
1 3 1
0 −𝟓 −1
0 −1 1
2
−9
−3
− 6𝑅3 + 𝑅2
Langkah 1 Langkah 2
Langkah 3
Langkah 4
Langkah 5

9. 1 3 1
0 1 −7
0 −𝟏 1
2
9
−3
𝑅2 + 𝑅3
1 3 1
0 1 −7
0 0 −𝟔
2
9
6
−
1
6
𝑅3
1 3 1
0 1 −7
0 0 1
2
9
−1
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2 … (1)
𝑦 − 7𝑧 = 9 … (2)
𝒛 = −𝟏 … (𝟑)
𝑦 − 7𝑧 = 9
𝑦 = 9 + 7𝑧 ⇒ 𝑦 = 9 + 7 −1 = 2
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 = 2 − 3𝑦 − 𝑧 ⇒ 𝑥 = 2 − 3 2 − −1 = −3
Maka diperoleh x = -3, y = 2, z = -1
Langkah 6
Langkah 7
Langkah 8
Substitusi Pers. 3 ke Pers. 2
Substitusikan ke Pers. 1

10. Menyelesaikan SPL dengan metode
Eliminasi Gauss-Jordan
(EGJ)

11. x + 3y = 4
2x - y = 1
x + y = 2
CONTOH 1
SPLDV (DUA VARIABEL)
Langkah 1
1 3 4
2 −1 1
1 1 2
1 3 4
𝟐 −1 1
1 1 2
2𝑅3 − 𝑅2
Langkah 2
1 3 4
0 3 3
𝟏 1 2
𝑅1 − 𝑅3
Langkah 3

12. 1 3 4
0 𝟑 3
0 2 2
1
3
𝑅2
1 𝟑 4
0 1 1
0 2 2
− 3𝑅2 + 𝑅1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Maka diperoleh x = 1, dan y = 1
Langkah 4
Langkah 5
1 0 1
0 1 1
0 𝟐 2
2𝑅2 − 𝑅3
Langkah 6
Langkah 6

13. Contoh 2
SPLTV (TIGA VARIABEL)
Diketahui A adalah SPL 3 variabel
x + 3y + 2z = 4
2x + 7y + 4z = 6
3x + 9y + 7z = 4
Tentukan nilai dari variabel - variabel persamaan linear diatas !
Langkah 1
1 3 2
2 7 4
3 9 7
4
6
4
1 3 2
𝟐 7 4
3 9 7
4
6
4
𝑅2 − 2𝑅1
Langkah 2
1 3 2
0 1 0
𝟑 9 7
4
−2
4
𝑅3 − 3𝑅1
Langkah 3

14. 1 𝟑 2
0 1 0
0 0 1
4
−2
−8
𝑅1 − 3𝑅2
1 0 𝟐
0 1 0
0 0 1
10
−2
−8
𝑅1 − 2𝑅3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
26
−2
−8
Maka diperoleh x = 26, y = -2, z = -8
Langkah 4
Langkah 5

15. Menyelesaikan SPL dengan
metode CRAMER

16. Metode CRAMER
Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan linear yang terdiri dari beberapa
persamaan dan variabel yang tidak diketahui
(jumlah persamaan harus sama dengan jumlah variabel)
Beberapa istilah berikut harus dipahami terlebih dahulu karena akan dimunculkan dalam penjelasan mengenai Aturan
Cramer nantinya.
1. Matriks koefisien, yaitu matriks yang entrinya disusun dari koefisien variabel pada suatu sistem persamaan linear.
Sebagai contoh, jika diberikan sistem persamaan linear dua variabel
3𝑥 − 2𝑦 = 6
2𝑥 − 𝑦 = 4
, maka matriks koefisiennya
adalah
𝟑 −𝟐
𝟐 −𝟏
2. Matriks konstanta, yaitu matriks yang entrinya disusun dari konstanta pada suatu sistem persamaan linear. Sebagai
contoh, jika diberikan sistem persamaan linear dua variabel
3x − 2y = 6
2x − y = 4
, maka matriks konstantanya adalah
𝟔
𝟒
.
Jika persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel yang tidak diketahui dinyatakan dengan A x = b
dan det(A) ≠ 0, maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian :
𝒙𝟏 =
𝐝𝐞𝐭 (𝑨𝟏)
𝐝𝐞𝐭 (𝑨)
, 𝒙𝟐 =
𝐝𝐞𝐭 (𝑨𝟐)
𝐝𝐞𝐭 (𝑨)
, … , 𝒙𝒏 =
𝐝𝐞𝐭 (𝑨𝒏)
𝐝𝐞𝐭 (𝑨)
dimana 𝑨𝒏 matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri di kolom ke-n pada matriks A
dengan entri-entri pada matriks konstanta b =
𝒃𝟏
𝒃𝟐
⋮
𝒃𝒏

17. 3. Mengganti kolom 𝑨𝒏 dengan matriks b, dan mencari determinan 𝑨𝒏
det(𝐴1)=
−13 −3
4 2
= −13 2 — (−3) 4
= -26 + 12 = -14
det(𝐴2) =
2 −13
1 4
= 2 4 — (−13) 1 = 8 + 13 = 21
2 𝒙𝟏 – 3 𝒙𝟐 = -13
𝒙𝟏 + 2 𝒙𝟐 = 4
CONTOH 1
1. Mengubah persamaan linear
diatas kedalam bentuk matriks
2 −3
1 2
𝑥1
𝑥2
=
−13
4
2. Mencari determinan matriks A
det(𝐴) =
2 −3
1 2
= 2 2 − −3 1
= 4 + 3 = 7
𝑥1 =
det (𝐴1)
det (𝐴)
=
−14
7
= −2
𝑥2 =
det (𝐴2)
det (𝐴)
=
21
7
= 3
4. Mencari nilai 𝑥1 dan 𝑥2
Jadi, nilai 𝑥1 dan 𝑥2 yang
memenuhi SPLDV di atas
yaitu 𝑥1 = −2 dan 𝑥2 = 3

18. Contoh 2
x - 2y + z = 6
3x + y - 2z = 4
7x - 6y – z = 10
1.Mengubah persamaan linear diatas kedalam sebuah matriks
1 −2 1
3 1 −2
7 −6 −1
𝑥
𝑦
𝑧
=
6
4
10
2. Mencari determinan dari matriks A
A =
1 −2 1
3 1 −2
7 −6 −1
1 −2
3 1
7 −6
A = (1.1.(-1)) + ((-2).(-2).7) + (1.3.(-6)) - (1.1.7) - (1.(-2).(-6)) - ((-2).3.(-1))
= (-1) + (28) + (-18) - (7) - (12) - (6)
= -16
𝐴𝑥=
6 −2 1
4 1 −2
10 −6 −1
𝐴𝑦 =
1 6 1
3 4 −2
7 10 −1
𝐴𝑧 =
1 −2 6
3 1 4
7 −6 10
3. Ganti kolom 𝑨𝒏 dengan matriks b

19. 4. Mencari determinan 𝑨𝒏
𝒅𝒆𝒕 (𝑨𝒙) = (6.1.(-1)) + ((-2).(-2).10) + (1.4.(-6)) - (1.1.10) - (6.(-2).(-6)) - ((-2).4.(-1))
=(-6) + (40) + (-24) - (10) - (72) - (8)
= -80
𝒅𝒆𝒕 (𝑨𝒚) =
1 6 1
3 4 −2
7 10 −1
1 6
3 4
7 10
𝒅𝒆𝒕 (𝑨𝒙) =
6 −2 1
4 1 −2
10 −6 −1
6 −2
4 1
10 −6
𝒅𝒆𝒕 (𝑨𝒚) = (1.4.(-1)) + (6.(-2).7) + (1.3.10) - (1.4.7) - (1.(-2).10) - (6.3.(-1))
=(-4) + (-84) + (30) - (28) - (-20) - (-18)
= -48
𝒅𝒆𝒕 (𝑨𝒛) =
1 −2 6
3 1 4
7 −6 10
1 −2
3 1
7 −6
𝒅𝒆𝒕 (𝑨𝒛) = (1.1.10) + ((-2).4.7) + (6.3.(-6)) - (6.1.7) - (1.4.(-6)) - ((-2).3.10)
=(10) + (-56) + (-108) - (42) - (-24) - (-60)
= -112

20. 5. Mencari nilai variabel x, y, dan z
𝑥=
𝑑𝑒𝑡 (𝐴𝑥)
𝑑𝑒𝑡 (𝐴)
=
−80
−16
= 5
𝑦=
𝑑𝑒𝑡 (𝐴𝑦)
𝑑𝑒𝑡 (𝐴)
=
−48
−16
= 3
𝑧=
𝑑𝑒𝑡 (𝐴𝑧)
𝑑𝑒𝑡 (𝐴)
=
−112
−16
= 7
Jadi, melalui metode Cramer, diperoleh solusi 𝑥 = 5, 𝑦 = 3 , dan 𝑧 = 7

21. Menyelesaikan SPL dengan metode
INVERS MATRIKS

22. METODE INVERS MATRIKS
Ingat 2 sifat perkalian matrik berikut:
1. 𝐴 × 𝐴−1
= 𝐼 atau 𝐴−1
× 𝐴 = 𝐼
2. 𝐴 × 𝐼 = 𝐴 atau 𝐼 × 𝐴 = 𝐴
Dengan demikian:
𝐴𝑥 = 𝑏 ≡ 𝐴−1
. 𝐴 . 𝑥 = 𝐴−1
. 𝑏
≡ 𝐼. 𝑥 = 𝐴−1
. 𝑏
≡ 𝑥 = 𝐴−1
. 𝑏
Oleh sebab itu, untuk mencari solusi dari sebuah spl dapat menggunakan metode
invers dengan rumus:
𝒙 = 𝑨−𝟏
× 𝒃
Pada metode invers matriks berlaku
juga aturan bahwa jumlah persamaan
harus sama dengan jumlah variabel.

23. 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟑
𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟕
CONTOH
3 4
5 6
𝑥
𝑦 =
3
7
𝑥
𝑦 =
1
−2
−10
6
𝑥
𝑦 =
5
−3
𝑥
𝑦 =
1
18 − 20
6 −4
−5 3
3
7
𝑥
𝑦 =
1
−2
18 + −28
−15 + 21
𝑥
𝑦 =
1
(3.6) − (4.5)
6 −4
−5 3
3
7 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5 dan y = -3
𝒙 = 𝑨−𝟏
× 𝒃
𝒙
𝒚 =
𝟏
𝒅𝒆𝒕. 𝑨
𝒃𝟐 −𝒃𝟏
−𝒂𝟐 𝒂𝟏
𝒄𝟏
𝒄𝟐
𝐀 . 𝐱 = 𝐛
𝒂𝟏 𝒃𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
𝒙
𝒚 =
𝒄𝟏
𝒄𝟐

24. METODE INVERS MATRIKS SPL TIGA VARIABEL
ATAU LEBIH
𝒙 = 𝑨−𝟏
× 𝒃
𝑨−𝟏
=
𝟏
𝒅𝒆𝒕. 𝑨
× 𝑨𝒅𝒋𝒐𝒊𝒏 𝑨
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
𝐀 . 𝐱 = 𝐛
𝑨𝒅𝒋𝒐𝒊𝒏 𝐀 = (𝒌𝒐𝒇. 𝑨)𝑻
𝐱 =
𝟏
𝒅𝒆𝒕. 𝑨
× (𝒌𝒐𝒇. 𝑨)𝑻
× 𝐛
Bentuk umum :
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

25. Contoh
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟔
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟒
𝟕𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎
1 −2 1
3 1 −2
7 −6 −1
𝑥
𝑦
𝑧
=
6
4
10
 Mencari determinan A
 Mencari determinan A
𝑑𝑒𝑡. 𝐴 =
1 −2 1
3 1 −2
7 −6 −1
1 −2
3 1
7 −6
𝑑𝑒𝑡. 𝐴 = −1 + 28 − 18 − 7 + 12 + 6
𝑑𝑒𝑡. 𝐴 = 9 − 25
𝑑𝑒𝑡. 𝐴 = −16
𝐀 . 𝐱 = 𝐛

26.  Menentukan adjoin matriks A dengan mencari kofaktor matriks A tersebut
𝑘𝑜𝑓. 𝐴 = −
𝑀11 −𝑀12 𝑀13
𝑀21 𝑀22 −𝑀23
𝑀31 −𝑀32 𝑀33
𝑘𝑜𝑓. 𝐴 = −
1 −2
−6 −1
−
3 −2
7 −1
3 1
7 −6
−2 1
−6 −1
1 1
7 −1
−
1 −2
7 −6
−2 1
1 −2
−
1 1
3 −2
1 −2
3 1
𝑘𝑜𝑓. 𝐴 =
−13 −11 −25
−8 −8 −8
3 5 7
𝑨𝒅𝒋𝒐𝒊𝒏 𝑨 = 𝒌𝒐𝒇. 𝑨 𝑻
=
−13 −8 3
−11 −8 5
−25 −8 7
𝐴−1
=
1
−16
×
−13 −8 3
−11 −8 5
−25 −8 7
𝐴−1
=
13
16
1
2
−
3
16
11
16
1
2
−
5
16
25
16
1
2
−
7
16
𝑨−𝟏
=
𝟏
𝒅𝒆𝒕. 𝑨
× 𝑨𝒅𝒋𝒐𝒊𝒏 𝑨
𝒌𝒐𝒇. 𝑨 =
+ − +
− + −
+ − +
𝟏 −𝟐 𝟏
𝟑 𝟏 −𝟐
𝟕 −𝟔 −𝟏

27. 𝒙 = 𝑨−𝟏
× 𝒃
𝑥
𝑦
𝑧
=
13
16
1
2
−
3
16
11
16
1
2
−
5
16
25
16
1
2
−
7
16
×
6
4
10
𝑥
𝑦
𝑧
=
5
3
7
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan diatas
adalah x = 5, y = 3, dan z = 7.
𝑥
𝑦
𝑧
=
78
16
+
4
2
−
30
16
66
16
+
4
2
−
50
16
150
16
+
4
2
−
70
16

28. 𝒙 + 𝒛 = 𝟒
𝒙 − 𝒚 = −𝟏
𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟕
CONTOH
(Menggunakan METODE obe)
1 0 1
1 −1 0
0 2 1
𝑥
𝑦
𝑧
=
4
−1
7
 Langkah 1:
Menambahkan matriks identitas di sebelah kanan matriks A.
𝑨 𝑰
1 0 1
1 −1 0
0 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 Langkah 2
Mengubah matriks A menjadi matriks identitas dengan menggunakan
metode OBE, sehingga matriks identitas di sebelah kanan akan memiliki
angka-angka baru.
𝑨 𝑰 dilakukan OBE → 𝑰 𝑨−𝟏
1 0 1
𝟏 −1 0
0 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑅1 − 𝑅2
𝐀 . 𝐱 = 𝐛

29. Langkah 4
1 0 𝟏
0 1 1
0 0 1
1 0 0
1 −1 0
2 −2 −1
−𝑅3 + 𝑅1
Langkah 5
1 0 0
0 1 𝟏
0 0 1
−1 2 1
1 −1 0
2 −2 −1
−𝑅3 + 𝑅2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1 2 1
−1 1 1
2 −2 −1
Langkah 3
1 0 1
0 1 1
0 𝟐 1
1 0 0
1 −1 0
0 0 1
2𝑅2 − 𝑅3
Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu:
𝐴−1
=
−1 2 1
−1 1 1
2 −2 −1

30. 𝒙 = 𝑨−𝟏
× 𝒃
𝑥
𝑦
𝑧
=
−1 2 1
−1 1 1
2 −2 −1
×
4
−1
7
=
−4 − 2 + 7
−4 − 1 + 7
8 + 2 − 7
=
1
2
3
Maka diperoleh nilai x = 1, y = 2, dan z = 3