--

1. LINGKARAN
Oleh :
Franxisca Kurniawati, S.Si.

2. Lingkaran
Unsur – unsur lingkaran
Garis singgung persekutuan
dua lingkaran
Sudut pusat
dan sudut keliling
Sudut pusat, panjang busur
dan luas juring
Lingkaran dalam
dan luar segitiga
Garis singgung lingkaran
Hubungan
sudut kell dan pusat
Sifat sudut kell
Segi empat tali busur
Ling. dalam
Lingk. luar
Titik pusat
Jari2
Titik pusat
Jari2
Persekutuan dalam
Persekutuan luar

4. 1. Titik Pusat
2. Jari-jari
3. Diameter
r d
O

5. 4. Keliling lingkaran
Adalah panjang sisi lengkung
yang membatasi lingkaran
5. Luas lingkaran
Adalah jumlah satu satuan luas
pada daerah lingkaran atau luas
bangun yang diarsir

6. Busur besar,
besar sudut pusatnya
> 𝟏𝟖𝟎°
Busur kecil,
besar sudut pusatnya
< 𝟏𝟖𝟎°
Tali busur
O
6. Busur lingkaran
7. Tali busur

7. Juring besar AOB,
besar sudut pusatnya
> 𝟏𝟖𝟎°
Juring kecil AOB,
besar sudut pusatnya
< 𝟏𝟖𝟎°
8. Juring lingkaran
Juring kecil
Juring besar
O
A B

8. Tembereng besar, luasnya
> luas
𝟏
𝟐
lingkaran
Tembereng kecil, luasnya
< luas
𝟏
𝟐
lingkaran
9. Tembereng lingkaran
Tembereng kecil
O
Tembereng besar

10. 1. Sudut keliling
adalah sudut yang titik sudutnya
berada pada keliling lingkaran, contoh
sudut ACB
2. Sudut pusat
adalah sudut yang titik sudutnya
berada pada pusat lingkaran, contoh
sudut AOB
Sudut pusat
Sudut keliling
O
A B
C
Pengertian :

11. 1. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling
Diketahui :
Sudut AOB = x merupakan sudut pusat.
Sudut ACB = k merupakan sudut keliling.
Garis AC merupakan diameter ling.
Maka :
Segitiga BOC merupakan segitiga sama kaki
(OB = OC = jari2)
Sehingga sudut OCB = sudut COB = k
Sudut BOC = 𝟏𝟖𝟎°- 2k
Sudut AOC = sudut AOB + sudut BOC
𝟏𝟖𝟎° = x + 𝟏𝟖𝟎°- 2k
2k = x
x = 2k
sudut pusat sama dengan dua kali sudut
keliling.
O
A
B
C
k
x
Perhatikan gambar di samping !
Besar sudut pusat adalah dua
kali sudut keliling

12. 2. Sifat – sifat sudut Keliling
a. Besar sudut keliling yang
menghadap diameter adalah
𝟗𝟎° (siku-siku)
Diketahui :
AB adalah diameter, maka besar sudut AOB
= 𝟏𝟖𝟎°
sudut ACB adalah sudut keliling menghadap
busur AB (diameter)
Maka :
sudut ACB =
𝟏
𝟐
x sudut AOB
=
𝟏
𝟐
x 𝟏𝟖𝟎°
= 9𝟎°
Sudut pusat
Sudut keliling
O
A
B
C
Perhatikan gambar di samping !

13. 2. Sifat – sifat sudut Keliling
A B
C
D
E
F
O
b. Besar sudut keliling yang
menghadap busur yang sama adalah
sama
sudut ACB = sudut ADB = sudut AEB =
sudut AFB

14. 3. Segi empat tali busur
O
A
C
D
B
Jumlah sudut-sudut yang
berhadapan pada segi empat tali
busur adalah 𝟏𝟖𝟎°
Adalah segi empat yang sisi-sisinya
merupakan tali busur pada sebuah
lingkaran
Diketahui :
Sudut A, sudut B, sudut C, sudut D adalah sudut
keliling
sudut A menghadap busur kecil BD
sudut B menghadap busur besar AC
sudut C menghadap busur besar BD
sudut D menghadap busur kecil AC
Maka :
sudut A + sudut C
=
𝟏
𝟐
𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒌𝒆𝒄𝒊𝒍 𝑩𝑫 +
𝟏
𝟐
𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒃𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑩𝑫
=
𝟏
𝟐
𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒌𝒆𝒄𝒊𝒍 𝑩𝑫 + 𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒃𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑩𝑫
=
𝟏
𝟐
× 𝟑𝟔𝟎°
= 𝟏𝟖0°
sudut B + sudut D
=
𝟏
𝟐
𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒃𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑨𝑪 +
𝟏
𝟐
𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒌𝒆𝒄𝒊𝒍 𝑨𝑪
=
𝟏
𝟐
𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒃𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑨𝑪 + 𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝒌𝒆𝒄𝒊𝒍 𝑨𝑪
=
𝟏
𝟐
× 𝟑𝟔𝟎°
= 𝟏𝟖0°

16. 𝒃𝒆𝒔𝒂𝒓 ∠𝑨𝑶𝑩
𝒃𝒆𝒔𝒂𝒓 ∠𝑩𝑶𝑪
=
𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝑨𝑩
𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝑩𝑪
=
𝒍𝒖𝒂𝒔 𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑨𝑶𝑩
𝒍𝒖𝒂𝒔 𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑩𝑶𝑪
Juring kecil
A B
O
C
𝜷
𝜶
𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝑨𝑩 =
𝜶
𝜷
× 𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝑩𝑪
𝒑𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝒃𝒖𝒔𝒖𝒓 𝑨𝑩 =
𝜶
𝟑𝟔𝟎°
× 𝑲𝒆𝒍𝒍. 𝒍𝒊𝒏𝒈𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏
𝒍𝒖𝒂𝒔 𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑨𝑶𝑩 =
𝜶
𝜷
× 𝒍𝒖𝒂𝒔 𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑩𝑶𝑪
𝒍𝒖𝒂𝒔 𝒋𝒖𝒓𝒊𝒏𝒈 𝑨𝑶𝑩 =
𝜶
𝟑𝟔𝟎°
× 𝑳𝒖𝒂𝒔 𝒍𝒊𝒏𝒈𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏
atau
atau
Hubungan sudut pusat, panjang busur dan luas juring

18. 1. Lingkaran dalam segitiga
a. Titik pusat lingkaran dalam segitiga
Titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut dalam
segitiga tersebut
𝜶
𝜶
𝜷 𝜷
𝜸
𝜸

19. 1. Lingkaran dalam segitiga
b. Jari-jari lingkaran dalam segitiga
Jari - jari lingkaran dalam segitiga
𝒓𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎 =
𝑳
𝒔
𝒓𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎 =
𝒔(𝒔 − 𝒂)(𝒔 − 𝒃)(𝒔 − 𝒄)
𝒔
dengan 𝒔 =
𝟏
𝟐
𝑲
𝜶
𝜶
𝜷 𝜷
𝜸
𝜸
𝒓
𝒃
𝒂
𝒄

20. 2. Lingkaran luar segitiga
a. Titik pusat lingkaran luar segitiga
Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu
sisi-sisi pada segitiga tersebut
𝒃
𝒂
𝒄

21. 2. Lingkaran luar segitiga
b. Jari-jari lingkaran luar segitiga
Jari-jari lingkaran luar segitiga
𝒓𝒍𝒖𝒂𝒓 =
𝒂𝒃𝒄
𝟒𝑳
𝒓𝒍𝒖𝒂𝒓 =
𝒂𝒃𝒄
𝟒 𝒔(𝒔 − 𝒂)(𝒔 − 𝒃)(𝒔 − 𝒄)
dengan 𝒔 =
𝟏
𝟐
𝑲
𝒃
𝒂
𝒄
𝒓

23. Pengertian
Garis singgung lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran
tepat pada satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari – jari
di titik singgungnya.
O
A
B
𝒓
𝒓

24. Panjang garis singgung lingkaran
O
A
Diketahui :
AB merupakan garis singgung lingkaran
Maka :
Segitiga AOB merupakan segitiga siku-siku di A
𝒓
B
Panjang garis singgung AB
= 𝑶𝑩𝟐 − 𝑶𝑨𝟐

26. 1. Garis singgung persekutuan dalam
Diketahui :
Lingkaran dengan pusat O memiliki jari-jari R
Lingkaran dengan pusat P memiliki jari-jari r
Jarak dua buah lingkaran tersebut adalah OP
AB merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran
𝑹
B
𝑶
𝒓
𝑷
A
𝑺

27. 1. Garis singgung persekutuan dalam
Maka :
OPS adalah segitiga siku2 di S memiliki sisi
OS = R + r
OP = jarak dua lingkaran
PS = AB
Berlaku : 𝑨𝑩 = 𝑶𝑷𝟐 − 𝑶𝑺𝟐
𝑨𝑩 = 𝑶𝑷𝟐 − (𝑹 + 𝒓)𝟐
𝑹
B
𝑶
𝒓
𝑷
A
𝑺

28. 2. Garis singgung persekutuan luar
Diketahui :
Lingkaran dengan pusat O memiliki jari-jari R
Lingkaran dengan pusat P memiliki jari-jari r
Jarak dua buah lingkaran tersebut adalah OP
AB merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran
𝑶
𝑹
B
A
𝑷
𝒓
𝑺

29. 2. Garis singgung persekutuan luar
𝑶
𝑹
B
A
𝑷
𝒓
𝑺
Maka :
OPS adalah segitiga siku2 di S memiliki sisi
OS = R - r
OP = jarak dua lingkaran
PS = AB
Berlaku : 𝑨𝑩 = 𝑶𝑷𝟐 − 𝑶𝑺𝟐
𝑨𝑩 = 𝑶𝑷𝟐 − (𝑹 − 𝒓)𝟐