1. ใบความรู้ ที่ 15
เรื่อง ความน่ าจะเป็ น
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 15
ความน่ าจะเป็ น
3. ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ใด เท่ากับอัตราส่ วนของจานวนผลที่จะเกิดเหตุการณ์
นั้น ต่อจานวนผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได้
จานวนผลทีจะเกิดขึ้นในเหตุการณ ์์น้น
่ ั
หรื อ ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ใด =
จานวนผลทั้งหมดทีอาจ จะเกิดขึ้นได้
่
เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ ม แต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กาหนดให้ E เป็ นเหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) เป็ นความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์น้ น
ั
n(s) เป็ นจานวนสมาชิกทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ ม
n(E) เป็ นจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่เราสนใจ
n( E )
ดังนั้น P(E) =
n( S )
ตัวอย่างที่ 1 ขวดแก้วใบหนึ่ง มีลูกแก้วอยู่ 10 ลูก เป็ นลูกแก้วสี ขาว 7 ลูก ที่เหลือเป็ นลูกแก้วสี
ดา เมื่อสุ่ มหยิบลูกแก้วขึ้นมา 1 ลูก ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสี ขาวเป็ น
เท่าไร และความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสี ดาเป็ นเท่าไร
วิธีทา ในขวดแก้วมีลูกแก้วสี ดา 10 - 7 = 3 ลูก
7
ดังนั้น ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสี ขาว
10
3
และความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสี ดา
10

2. ตัวอย่างที่ 2 จงบอกผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋ า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง และ
จงหาความน่าจะเป็ นที่จะได้ผลบวกของแต้มบนลูกเต๋ าทั้งสองเท่ากับ 11
วิธีทา ในการทอดลูกเต๋ า 1 ลูก ผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้น คือ ขึ้นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5, 6
ดังรู ป
ถ้าทอดลูกเต๋ า 2 ลูกพร้อมกัน ผลทั้งหมดที่เกิดขึ้นสามารถแสดงได้ดวยตารางต่อไปนี้
้
ลูกเต๋ า ลูกที่ 2
1 2 3 4 5 6
ลูกเต๋ าลูกที่1
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
ในตาราง สมาชิกตัวหน้า หมายถึง แต้มของลูกเต๋ าลูกที่ 1 และสมาชิกตัวหลังคือ
แต้มของลูกเต๋ าลูกที่ 2
จะเห็นว่า จานวนผลทั้งหมดที่เกิดขึ้นเท่ากับ 36
ผลบวกของแต้มทั้งสองเท่ากับ 11 เมื่อลูกเต๋ าลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ขึ้นหน้าตามคู่อนดับ
ั
(5, 6) และ (6, 5) ตามลาดับ

3. ดังนั้น ความน่าจะเป็ นที่จะได้ผลบวกของแต้มบนลูกเต๋ าทั้งสองเท่ากับ 11 คือ
2 1
=
36 18
หมายเหตุ ในการทอดลูกเต๋ าสองลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จะเกิดผลทั้งหมดเหมือนกับการทอด
ลูกเต๋ าหนึ่งลูกพร้อมกัน 2 ครั้ง
ตัวอย่างที่ 3 ในขวดโหลทึบใบหนึ่ง มีลูกปิ งปองสี ส้ม 3 ลูก และลูกปิ งปองสี แดง 2 ลูกถ้าหยิบ
ลูกปิ งปองครั้งละหนึ่งลูก แล้วใส่ กลับคืน โดยหยิบจานวน 2 ครั้ง จงหาผลที่
เกิดขึ้นทั้งหมด และความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกปิ งปองที่แต่ละลูกมีสีเดียวกัน
และเป็ นลูกเดียวกัน
วิธีทา กาหนดให้ ส1 ส2 ส3 แทนลูกปิ งปองสี ส้มลูกที่ 1 ลูกที่ 2 และลูกที่ 3 ตามลาดับ
ด1 ด 2 แทนลูกปิ งปองสี แดงลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ตามลาดับ
ดังนั้นจานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 25
จานวนผลที่ได้ลูกปิ งปองแต่ละลูกมีสีเดียวกันและเป็ นลูกเดียวกันเท่ากับ 5
ดังนั้นความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกปิ งปองที่แต่ละลูกมีสีเดียวกันและเป็ นลูกเดียวกัน
5 1
เท่ากับ =
25 5

4. ตัวอย่างที่ 4 ในการหยิบไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่สารับหนึ่ง จานวนผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นเป็ น
เท่าไร จงหาความน่าจะเป็ นที่จะได้ไพ่หมายเลข 4 โพแดง หรื อไพ่หมายเลข 7
ข้าวหลามตัด
วิธีทา ไพ่ 1 สารับ มี 52 ใบ ซึ่ งแบ่งเป็ น 4 ชุด ชุดละ 13 ใบ ดังนี้
ผลทั้งหมด คือ A โพดา, 2 โพดา, 3 โพดา, ..., K โพดา
A โพแดง, 2 โพแดง, 3 โพแดง, ..., K โพแดง
A ข้าวหลามตัด, 2 ข้าวหลามตัด, 3 ข้าวหลามตัด, ..., K ข้าวหลามตัด
A ดอกจิก, 2 ดอกจิก, 3 ดอกจิก, ..., K ดอกจิก
จานวนผลทั้งหมดที่เกิดขึ้นเท่ากับ 52
จานวนที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ จะได้ไพ่หมายเลข 4 โพแดง หรื อไพ่หมายเลข 7 ข้าวหลามตัด
เท่ากับ 2
ดังนั้น ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ไพ่หมายเลข 4 โพแดง หรื อไพ่หมายเลข 7
2 1
ข้าวหลามตัดเท่ากับ =
52 26

5. ตัวอย่างที่ 5 จากการทอดลูกเต๋ า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) ที่แต้มเป็ นจานวนคู่ท้ งสองลูก
ั
2) ผลรวมของแต้มบนหน้าของลูกเต๋ าทั้งสองมากกว่า 10
3) ผลรวมของแต้มบนหน้าของลูกเต๋ าทั้งสองเป็ น 15
4) ผลรวมของแต้มบนหน้าของลูกเต๋ าทั้งสองมากกว่า 1
วิธีทา ในการทอดลูกเต๋ า 2 ลูกพร้อมกันผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นทั้งหมดเป็ นดังตาราง
จานวนผลลัพธ์ท้ งหมดที่เกิดขึ้นเท่ากับ 36
ั
1) เหตุการณ์ท่ีแต้มเป็ นจานวนคู่ท้ งสองลูก ได้แก่ (2, 2), (2, 4) (2, 6), (4, 2),
ั
(4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 9
9 1
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่แต้มเป็ นจานวนคู่ท้ งสองลูกเท่ากับ
ั =
36 4
2) ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 ได้แก่ (5, 6), (6, 5), (6, 6)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 3
3 1
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 เท่ากับ =
36 12

6. 3) ผลรวมของแต้มเท่ากับ 15 ไม่มี เพราะผลรวมของแต้มสู งสุ ดเท่ากับ 12
จึงไม่มีจานวนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 15 หรื อจานวนเหตุการณ์น้ น
ั
เท่ากับ 0
0
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 15 คือ =0
36
4) ผลรวมของแต้มมากกว่า 1 ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5),
(5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 36
36
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 1 เท่ากับ =1
36
ตัวอย่างที่ 6 ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน แต่สีต่างกันดังนี้ ลูกบอลสี เขียว 2 ลูก ลูก
บอล สี ม่วง 2 ลูก และลูกบอลสี ฟ้า 1 ลูกถ้าเขย งแล้วหลับตาหยิบลูกบอล 2
าถุ
ลูก จงหาความน่าจะเป็ นที่จะได้ลูกบอลสี ฟ้า และลูกบอลสี ม่วงอย่างละลูก
เมื่อ
1) หยิบทีละลูก หยิบแล้วไม่ใส่ คืน
2) หยิบทีละลูก เมื่อหยิบลูกแรกแล้วใส่ คืนก่อนที่จะหยิบลูกที่สอง
3) หยิบสองลูกพร้อมกัน
วิธีทา ให้ ข1 ข2 แทน ลูกบอลสี เขียวลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ตามลาดับ
ม1 ม2 แทน ลูกบอลสี ม่วงลูกที่ 1 และลูกที่ 2 ตามลาดับ
ฟ แทน ลูกบอลสี ฟ้า

7. เหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสี ฟ้าและสี ม่วง ได้แก่ (ม1, ฟ), (ม2, ฟ), (ฟ, ม1), (ฟ, ม2)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจทั้งหมดเท่ากับ 4
1) หยิบทีละลูกหยิบแล้วไม่ใส่ คืน ลูกบอลทั้งสองลูกจะไม่ซ้ ากัน จากตาราง
จานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 20
4 1
่
ความน่าจะเป็ นที่จะได้ลูกบอลสี ฟ้าและลูกบอลสี มวงเท่ากับ =
20 5
2) หยิบทีละลูกหยิบแล้วใส่ คืน ลูกบอลที่หยิบครั้งที่ 2 เป็ นลูกเดียวกับลูกบอลที่
หยิบได้ครั้งที่ 1 จากตาราง
จานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 25
4
่
ความน่าจะเป็ นที่จะได้ลูกบอลสี ฟ้าและลูกบอลสี มวงเท่ากับ
25
3) หยิบสองลูกพร้อมกัน ลูกบอลทั้งสองจะไม่ซ้ ากัน การหาค่าความน่าจะเป็ นทาได้
2 วิธี
วิธีที่ 1 ให้ลาดับที่ของลูกบอลที่หยิบได้เป็ นลูกบอลลูกที่ 1 และลูกที่ 2
ตามลาดับ วิธีน้ ีใช้จานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมด และจานวน
เหตุการณ์ เช่นเดียวกับข้อ1
ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกบอลสี ฟ้าและลูกบอลสี ม่วงเท่ากับ
4 1
=
20 5

8. วิธีที่ 2 ไม่ให้ลาดับที่ของลูกบอลที่หยิบได้เนื่องจากไม่ทราบว่าหยิบลูกใด
ก่อน ในกรณี น้ ีจานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมด และเหตุการณ์แตกต่าง
ไปจากข้อ 1 ดังนี้
จากตารางข้างต้นถือว่า (ข1, ข2) เหมือนกับ (ข2, ข1), (ข1, ม1)
เหมือนกับ (ม1, ข1), ...
ดังนั้นจานวนผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 10
่
เหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสี ฟ้าและลูกบอลสี มวง คือ ม1 กับ ฟ
ั
และ ม2 กับ ฟ (สลับที่กนได้)
จานวนเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับ 2
ความน่าจะเป็ นที่จะได้ลูกบอลสี ฟ้าและลูกบอลสี ม่วงเท่ากับ
2 1
=
10 5
ข้ อสั งเกต 1. ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ 0
2. ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอนเท่ากับ 1
3. ความน่าจะเป็ นจะมีค่าระหว่างมากกว่าหรื อเท่ากับ 0 และน้อยกว่าหรื อเท่ากับ 1
นันคือ 0 ≤ P(E) ≤ 1
่

9. แบบฝึ กทักษะที่ 15
เรื่อง ความน่ าจะเป็ น
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 15
ชื่อ…………………………………………..ชั้ น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง ให้นกเรี ยนแสดงวิธีทาในแต่ละข้อต่อไปนี้
ั
1. ในลิ้นชักมีถุงเท้าอยู่ 4 คู่ เป็ นถุงเท้าสี ดา 2 คู่ และสี ขาว 2 คู่ ถ้าทาการทดลองสุ่ มโดยการ
หยิบถุงเท้ามา 2 คู่ ให้หาความน่าจะเป็ นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองเป็ นสี เดียวกัน
2. ในกล่องใบหนึ่งมีเบี้ย 6 อัน ซึ่ งแต่ละอันเขียนตัวเลข 3 , 4 , 7 , 9 , 10 หรื อ 11 ไว้ ถ้าสุ่ มหยิบ
เบี้ย 1 อัน ออกมาจากกล่องใบนี้ จงหาโอกาสที่จะได้เบี้ยที่มีตวเลขเป็ น
ั
2.1 จานวนคู่
2.2 จานวนเฉพาะ
2.3 จานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
2.4 จานวนที่เป็ นกาลังสองสมบูรณ์
3. หยิบลูกปิ งปอง 1 ลูก จากถุงใบหนึ่ง ซึ่ งมีลูกปิ งปองสี แดงอยู่ 15 ลูก สี ขาว 1 ลูก สี เหลือง
1 ลูก สี เขียว 1 ลูก สี ฟ้า 1 ลูก และสี ดา 1 ลูก จงหา
3.1 ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกปิ งปองสี แดง
3.2 ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบไม่ได้ลูกปิ งปองสี ดา
3.3 ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกปิ งปองสี ดา หรื อสี ขาว

10. 4. ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่าแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที่ โจทย์ คาตอบ
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 2 คน จงหาความน่าจะเป็ นที่จะได้
1.1 บุตรคนแรกเป็ นชาย 1.1 ………………….
1.2 บุตรทั้งสองคนเป็ นหญิง 1.2 ………………….
1.3 บุตรชายอย่างน้อย 1 คน 1.3 ………………….
2 จากการสอบถามนักเรี ยน 3 คน ว่าชอบเรี ยนคณิ ตศาสตร์ หรื อไม่
จงหาความน่าจะเป็ นที่
2.1 นักเรี ยนทั้งสามคนชอบเรี ยนคณิ ตศาสตร์ 2.1 ………………….
2.2 นักเรี ยนอย่างน้อย 1 คน ไม่ชอบเรี ยนคณิ ตศาสตร์ 2.2 ………………….
3 สุ่ มเลือกตัวอักษรในคาว่า “mountain” จงหาความน่าจะเป็ น
3.1 ที่จะเลือกได้สระในภาษาอังกฤษ 3.1 ………………….
3.2 ที่จะเลือกได้ตวอักษรที่ไม่ใช่สระภาษาอังกฤษ
ั 3.2 ………………….
3.3 ที่จะเลือกได้ n 3.3 ………………….

11. เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 15
เรื่อง ความน่ าจะเป็ น
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 15
ชื่อ…………………………………………..ชั้ น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง ให้นกเรี ยนแสดงวิธีทาในแต่ละข้อต่อไปนี้
ั
1. ในลิ้นชักมีถุงเท้าอยู่ 4 คู่ เป็ นถุงเท้าสี ดา 2 คู่ และสี ขาว 2 คู่ ถ้าทาการทดลองสุ่ มโดยการ
หยิบถุงเท้ามา 2 คู่ ให้หาความน่าจะเป็ นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองเป็ นสี เดียวกัน
วิธีทา สมมติ ด 1 แทน ถุงเท้าสี ดาคู่ที่ 1
ด 2 แทน ถุงเท้าสี ดาคู่ที่ 2
ข 1 แทน ถุงเท้าสี ขาวคู่ที่ 1
ข 2 แทน ถุงเท้าสี ขาวคู่ที่ 2
จะได้ แซมเปิ ลสเปซ S = { ด1ด2 , ด1ข1 , ด1ข2 , ด2ข1 , ด2ข2 , ข1ข2 }
ให้ E แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ถุงเท้าทั้ง 2 คู่ เป็ นสี เดียวกัน
จะได้ E = { ด1ด2 , ข1ข2 }
P E  
2 1
นันคือ
่ 
6 3
2. ในกล่องใบหนึ่งมีเบี้ย 6 อัน ซึ่ งแต่ละอันเขียนตัวเลข 3 , 4 , 7 , 9 , 10 หรื อ 11 ไว้ ถ้าสุ่ มหยิบ
เบี้ย 1 อัน ออกมาจากกล่องใบนี้ จงหาโอกาสที่จะได้เบี้ยที่มีตวเลขเป็ น
ั
2.1 จานวนคู่
2.2 จานวนเฉพาะ
2.3 จานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
2.4 จานวนที่เป็ นกาลังสองสมบูรณ์
วิธีทา สมมติให้ S แทน แซมเปิ ลสเปซของเหตุการณ์ทดลองสุ่ มครั้งนี้
E1 แทน เหตุการณ์ท่ีหยิบได้เบี้ยมีตวเลขเป็ นจานวนคู่
ั
E 2 แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้เบี้ยเป็ นจานวนเฉพาะ
E 3 แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้เบี้ยเป็ นจานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว

12. E 4 แทน
เหตุการณ์ที่หยิบได้เบี้ยเป็ นจานวนที่เป็ นกาลังสองสมบูรณ์
จะได้ S = 3,4,7,9,10,11
E1  4,10
E2  3,7,11
E3  3,9
E 4  4,9
PE1  
2 1
นันคือ
่ 
6 3
P E 2   
3 1
6 2
P E 3   
2 1
6 3
P E 4   
2 1
6 3
3. หยิบลูกปิ งปอง 1 ลูก จากถุงใบหนึ่ง ซึ่ งมีลูกปิ งปองสี แดงอยู่ 15 ลูก สี ขาว 1 ลูก
สี เหลือง 1 ลูก สี เขียว 1 ลูก สี ฟ้า 1 ลูก และสี ดา 1 ลูก จงหา
3.1 ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกปิ งปองสี แดง
3.2 ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบไม่ได้ลูกปิ งปองสี ดา
3.3 ความน่าจะเป็ นที่จะหยิบได้ลูกปิ งปองสี ดา หรื อสี ขาว
วิธีทา ให้ S แทน แซมเปิ ลสเปซของการสุ่ มหยิบลูกปิ งปอง 1 ลูก
E1 แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิ งปองสี แดง
E 2 แทน เหตุการณ์ที่หยิบไม่ได้ลูกปิ งปองสี ดา
E 3 แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกปิ งปองสี ดา หรื อสี ขาว
nE1  15 3
ดังนั้น PE1    
ns  20 4
nE 2  19
P E 2   
ns  20
n E 3  2
P E 3  
1
 
ns  20 10

13. 4. ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่าแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที่ โจทย์ คาตอบ
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 2 คน จงหาความน่าจะเป็ นที่จะได้
1.1 บุตรคนแรกเป็ นชาย 1.1 1
2
1.2 บุตรทั้งสองคนเป็ นหญิง 1.2 1
1.3 บุตรชายอย่างน้อย 1 คน 4
1.3 3
4
2 จากการสอบถามนักเรี ยน 3 คน ว่าชอบเรี ยนคณิ ตศาสตร์ หรื อไม่
จงหาความน่าจะเป็ นที่
2.1 นักเรี ยนทั้งสามคนชอบเรี ยนคณิ ตศาสตร์ 2.1 1
8
2.2 นักเรี ยนอย่างน้อย 1 คน ไม่ชอบเรี ยนคณิ ตศาสตร์
2.2 7
8
3 สุ่ มเลือกตัวอักษรในคาว่า “mountain” จงหาความน่าจะเป็ น
3.1 ที่จะเลือกได้สระในภาษาอังกฤษ 3.1 1
2
3.2 ที่จะเลือกได้ตวอักษรที่ไม่ใช่สระภาษาอังกฤษ
ั 3.2 1
3.3 ที่จะเลือกได้ n 2
3.3 1
4