ประวัติของตรีโกณมิติ

1. ประวัติตรีโกณมิติ (History Trigonometry)
ตรีโกณมิติ (Trigonometry)ไม่มีใครรู้ว่าเริ่มมีมาตั้งแต่เมื่อใด ใครเป็นผู้คิดค้นหรือเกิด
จากชนชาติใด แต่มีการพบบันทึกที่อยู่ใน Rhind papyrus (กระดาษกกที่พบ ณ เมือง Rhind) ที่
เขียนไว้เกี่ยวกับ cotangent ของมุมที่ฐานของพีระมีด และพบตารางด้านทั้งสามของรูป
สามเหลี่ยมมุมฉาก บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบินโลน(Plimpton 322) ในตารางเมื่อกาหนด
ด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะบอกความยาวของด้านที่สาม และน่าสังเกตว่าเป็นค่า
ของ secants ถ้าได้ศึกษาคณิตศาสตร์สมัยเมโสโปเตียเมียโบราณอาจพบว่า มีการใช้ตรีโกณมิติ
มาตั้งแต่สมัยนั้นก็ได้ แต่จากการบันทึกข้อมูลการสังเกตดวงดาวของนักดาราศาสตร์ชาวบาบิ
โลนหลัง 400 ปีก่อนคริสตกาล ชาวกรีกได้นาข้อมูลเหล่านี้มาใช้ศึกษาดาราศาสตร์ อันเป็น
จุดเริ่มต้นการศึกษาตรีโกณมิติทรงกลม
ฮิปปาร์ชัส (Hipparchus of Nicaea :180 – 125 BC) เป็นนักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่มี
ชื่อเสียงมากที่สุดในยุคนั้น จากบันทึกในตาราของโตเลมี ได้อ้างถึงตารางค่าคอร์ดแสดง
ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของคอร์ดกับมุมที่ศูนย์กลางของวงกลมของฮิปปาร์ชัส

2. โตเลมี (Claudius Ptolemy of Alexandria : A.D. 150) นักดาราศาสตร์และนัก
คณิตศาสตร์ชาวกรีกได้เขียนตาราชื่อ “Syntaxis mathematica” หรือ “Mathematical
collection” โดยได้รวบรวมและเรียบเรียงความรู้ต่างๆ ไว้อย่างละเอียดและเป็นลาดับขั้นตอน
ง่ายต่อการค้นคว้า และจะพบว่าผลงานของฮิปปาร์ชัสมีอิทธิพลต่อความคิดในการพัฒนา
ผลงานต่างๆ ของโตเลมี ปัจจุบันสามารถศึกษาผลงานฮิปปาร์ชัสได้จากตาราชุดนี้ซึ่งเป็นภาษา
อาหรับและเรียกตาราชุดนี้ว่า "อัลมาเกส" (Almagest) หมายความว่า “The Greatest” มีทั้งหมด
13 เล่ม และมีตารางค่าคอร์ด(table of chords) ทุก ๆ มุมหนึ่งองศาตั้งแต่ 0O
ถึง 180O
ซึ่งทาให้
ทราบค่าไซน์(sine) ตั้งแต่ 0O
ถึง 90O
ปรากฏอยู่ในตาราเล่มที่หนึ่ง
เมเนเลาส์(Menelaus of Alexandria : ประมาณ ค.ศ. 98) นักดาราศาสตร์และนัก
คณิตศาสตร์ชาวกรีกได้เขียนตาราที่เกี่ยวกับคอร์ดของวงกลมไว้หกเล่ม แม้นไม่มีหลักฐานการ
คิดปรากฏอยู่ แต่ก็ทราบจากบันทึกของผู้อื่นที่กล่าวไว้ ส่วนตาราอีกชุดหนึ่งมีสามเล่มได้แปล
ไว้เป็นภาษาอาหรับ ชื่อว่า สเฟียริก (Sphaerica) ในตาราชุดนี้เป็นจุดเริ่มของการพัฒนา
ตรีโกณมิติจากทรงกลม
เล่ม 1 กล่าวถึงคาจากัดความของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม และได้รวบรวมทฤษฎีของ
รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม ในแบบเดียวกับทฤษฎีของรูปสามเหลี่ยมบนระนาบของยุคลิด เช่น
ทฤษฎีเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมมากกว่า 180 องศา และการ
เท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม เมื่อรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันสามมุม
มุมต่อมุม ซึ่งรูปสามเหลี่ยมบนระนาบที่มีมุมเท่ากันสามมุมอาจไม่เท่ากันทุกประการ เป็นต้น
เล่ม 2 เกี่ยวกับเรื่องดาราศาสตร์ส่วนเล่ม 3 เป็นทฤษฎีบทที่เมเนเลาส์ได้คิดขึ้นเกี่ยวกับเรขาคณิต

3. บนระนาบและบนทรงกลม และมีทฤษฎีที่สาคัญและได้รับการยกย่องคือ ทฤษฎีบทเมเนเลาส์
(Menelaus’ theorem) ซึ่งกล่าวว่า
“ในรูปสามเหลี่ยม ABC บนระนาบ ลากเส้นตรงผ่านให้ตัดด้าน (หรือส่วนต่อ) BC,
CA, AB ที่จุด D, E, F ตามลาดับ ดังนั้น 1

















FB
AF
EA
CE
DC
BD ”
http://cache.eb.com/eb/image?id=67397&rendTypeId=4
และ “รูปสามเหลี่ยม ABC บนทรงกลม ลากเส้นตรงผ่านให้ตัดส่วนโค้ง (หรือส่วนต่อ) BC,
CA, AB ที่จุด L, M, N ตามลาดับ ดังนั้น 1
sin
sin
sin
sin
sin
sin


















MA
CM
LC
BL
NB
AN ”
ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีอื่นๆ บนทรงกลม
www.kcl.ac.uk/.../exhibitions/gsci/men.jpg

4. Trigonometry มาจากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด
Trigonometry เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการวัดและหาความสัมพันธ์ระหว่าง
ด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ในภาษาไทย “ตรีโกณมิติ” มาจากคาว่า ตรี(แปลว่า
สาม)+ โกณ(อ่านว่า โกนะ แปลว่ามุมหรือเหลี่ยม)+มิติ(แปลว่า การวัด) เป็นวิชาเกี่ยวกับการวัด
รูปสามเหลี่ยมต่างๆ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่าง ด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่ง
คาว่า Trigonometry เริ่มใช้ในศตวรรษที่ 17
ค่า chord หรือ cd คือความยาวของ chord ของวงกลมหนึ่งหน่วยเมื่อมีมุมที่จุด
ศูนย์กลางเท่ากับ  และแบ่งรัศมีวงกลมหนึ่งหน่วยเป็นส่วนย่อยที่เท่ากัน แล้วให้ค่าของ cd
เป็นจานวนเท่าของส่วนย่อยนี้ ยกตัวอย่างเช่น ถ้าแบ่งรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วยเป็น 60 ส่วน
เท่ากัน แล้ว cd 
60 = 60 และ cd 
180 = 120 เป็นต้น ที่จริงแล้ว cd 
60 = 60/60 = 1 และ cd

180 = 120/60 =2 ดังรูป
จากนั้นจึงนิยามฟังก์ชัน sin จากฟังก์ชัน cd ดังนี้
2
)2(
sin


cd

แรกเริ่มนั้น Aryabhata (c. 150) เรียกฟังก์ชัน sine ว่า jya ซึ่งหมายถึงคอร์ดในภาษาฮินดี
ต่อมา jya เพี้ยนเป็น jaib ในภาษาฮาหรับ จากนั้นชื่อฟังก์ชันดังกล่าวกลายมาเป็น sinus ซึ่ง
เป็นคาในภาษาละตินที่มีความหมายเช่นเดียวกับ jaib ตัวย่อ sin ถูกใช้เป็นครั้งแรกใน
ภาพประกอบงานเขียนของ Gunter(1620)
θ
θ
sin θ
cd (2θ)
1
1

5. เมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมมุมหนึ่งเท่ากับ θ เราสามารถหาค่า
sine ของมุมแหลมอีกมุมหนึ่งได้ ค่าดังกล่าวนี้เรียกเป็นภาษาอังกฤษว่า sine of the
complementary angle (sin ของมุมประกอบหนึ่งมุมฉาก) ซึ่งเขียนอย่างสั้นได้เป็น cosine ตัวย่อ
cos ถูกใช้เป็นครั้งแรกในงานเขียนของ Moore (ค.ศ.1674)
แม้ในปัจจุบันฟังก์ชัน tangent มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของฟังก์ชัน sin กับฟังก์ชัน
cosine แรกเริ่มนั้น tan θ คืออัตราส่วนระหว่างความสูงของวัตถุและความยาวของเงาของวัตถุ
นั้น โดย θ คือมุมเงยของยอดของวัตถุเมื่อวัดจากจุดปลายของเงาของวัตถุ ชื่อ tangent ได้มา
จากข้อสังเกตในงานเขียนของ Finck (ค.ศ.1583) ว่า tan θ คือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม θ
ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยด้านตรงข้ามมุม θ นี้สัมผัส (tangent) กับวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุด
ศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุม θ ดังรูป
นอกจากนั้นแล้ว Fincke ยังเรียกความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปว่า secant
ของ θ ตัวย่อ tan และ sec ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย Girard (ค.ศ.1626) ส่วนฟังก์ชัน cotangent
และ cosecant นั้นมีต้นกานิดจากฟังก์ชัน tangent และ secant ในลักษณะเดียวกับที่ฟังก์ชัน
cosine มีต้นกาเนิดจากฟังก์ชัน sine
cos θ = sin (90O
-θ)
90O
-θ
θ
θ
sec θ
tan θ
1

6. ศตวรรษที่ 17 Georg Joachim Rhaeticus นักดาราศาสตร์ชาว Teutonic เป็นผู้นิยาม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยขยายมุมรอบวงกลมที่
เราใช้มาจนถึงทุกวันนี้
นอกจากนั้น Brook Taylor (ค.ศ.1685–1731) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้นิยาม
ค่าฟังก์ชันตรีโกณอยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ ดังนี้
และเรียกอนุกรมนี้ว่า “อนุกรมเทเลอร์” (Taylor’s series) ทาให้การหาค่าของตารางค่า
อัตราส่วนทางตรีโกณมิติสมบูรณ์ แม่นยาจนถึงหลักทศนิยมที่ต้องการ
จากที่กล่าวมาทั้งหมด จะเห็นได้ว่าข้อมูลตรีโกณมิติในอดีตส่วนใหญ่มาจากตาราของ
ชาวอาหรับโบราณ ที่ได้แปลไว้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าชนชาตินี้ได้ให้ความสนใจและมีส่วนในการ
พัฒนาแขนงวิชาตรีโกณมิติให้มีความก้าวหน้าและสามารถนามาประยุกต์ใช้ให้เกิดประโยชน์
ต่าง ๆ มากมายดังที่เห็นในปัจจุบัน
ที่มา :
สารานุกรมไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (เล่ม๑๒) และ สารานุกรมไทยสาหรับเยาวชน
โดยพระราชประสงค์ในพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว (เล่ม ๖)
David Smith. History of Mathematics, Volume II. Dover, New York, 1958.
http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Trigonometry_TrigNameOrigins.xml
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions
http://tu-mathmania.blogspot.com/2007/09/blog-post_5607.html